IDENTIFICANDO OS SIGNIFICADOS DE ''MATEMATIZAÇÃO" NUM CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA.

## IDENTIFICANDO OS SIGNIFICADOS DE 'MATEMATIZA˙ˆO' NUM CURSO DE LICENCIATURA EM F"SICA.

## Diego Vizcaíno , Eduardo Terrazzan 1 2

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Universidade Estadual Paulista UNESP / d\_vizcaino@yahoo.com

2 Universidade Federal de Santa Maria UFSM / eduterra@pq.cnpq.br

## Resumo

Apresenta-se um estudo sobre a forma como Ø entendida e trabalhada a MatemÆtica no âmbito do Ensino e a Aprendizagem da Física, no curso de Licenciatura em Física de uma Universidade pœblica do interior de Sªo Paulo, Brasil. Para tal, fizemos um levantamento sobre as propostas de pesquisadores nesta linha, que mostrou-nos como vŒm-se inserindo neste campo o termo de 'Matematizaçªo' para representar processos por meio dos quais o aprendizado da Física ganha significaçªo, ao considerar a formaçªo de habilidades, tais como; observaçªo, descriçªo, idealizaçªo, analise lógico local, axiomatizaçªo e aplicaçªo. Acompanhamos durante um ano, diversas disciplinas de Física de diferentes semestres buscando que fossem do começo, metade e final do curso. Utilizamos o diÆrio de campo como tØcnica de registro da informaçªo, coletando; dados bÆsicos, conteœdos, e desenvolvimento da aula. Com base na anÆlise do diÆrio de campo foi elaborado um roteiro de observaçªo contendo indicadores que permitissem detectar a presença e a forma como se desenvolvem processos de Matematizaçªo, servindonos deste roteiro, observamos durante um semestre um outro grupo de disciplinas de Física, fazendo uma analise de conteœdo sobre o material produzido. Constatamos que o fato de observar disciplinas de diferentes níveis do curso, nªo ofereceu diferenças de atuaçªo dos professores nem dos estudantes. Com relaçªo à presença de processos de Matematizaçªo, nªo se pode falar que nªo existam, uma vez que tanto estudantes quanto professores vªo em busca da compreensªo dos conteœdos da Física. Porem, nªo se evidencia desenvolvimento profundo das características da Matematizaçªo oferecidas pelos pesquisadores neste tópico.

Palavras-chave : Ensino de Física. Matematizaçªo. Relaçªo matemÆtica e ensino da física. Licenciatura em Física.

## Abstract

We present a study about how the Mathematics is understood and worked on a teaching and learning medium, in a course of education for physics teachers, from a public University in Sao Paulo, Brazil. To this objective, we studied different proposals in this research field. We found that the term Mathematization has been introduced in order to represent processes by which learning of physics gain significance when considering formation of skills, such as: observation, description, idealization, local logical analysis, axiomatization and, application. We followed for a year, different subjects of physics in several semesters by filling a daybook. There we registered basic information, contents and development of the classes. Based on the daybook' analyses, we elaborated an observation guideline with indicators to detect the presence and the way that teachers and students developed processes of Mathematization. With the final guideline, we observed during a semester, a group of

several other disciplines. We did a content analysis on the material produced. We note that the fact of observing subjects from different levels of course, didn't present differences in the performance of teachers neither students. Looking for the presence of Mathematization processes, we cannot talk that doesn't exist, since both students and teachers go in search of comprehension of physics contents. However, there is no evidence of deep development of Mathematization features offered by the researchers in this topic.

Keywords: Physics teaching. Mathematization. Relation between Maths and Physics teaching. Education for physics teachers.

## Introduçªo

Na nossa busca de resultados de pesquisa sobre o uso da MatemÆtica no Ensino de Física, encontramos que, vem-se introduzindo na literatura o termo de 'Matematizaçªo', ao se referir à relaçªo entre a MatemÆtica e o Ensino de Física. Encontramos ainda que existem diversas formas de caracterizar tal Matematizaçªo. Por exemplo, segundo Uhden (2011), esta serve como ferramenta (perspectiva pragmÆtica), atua como linguagem (funçªo comunicativa), e prove uma via de razoamento lógico dedutivo (funçªo estrutural). JÆ segundo Pietrocola (2002) a importância da Matematizaçªo estÆ no papel estruturante que ela pode desempenhar no desenvolvimento de processos para a interpretaçªo do mundo físico. Assim, as definiçıes de Matematizaçªo contradizem o imaginÆrio que existe entre professores e estudantes de física, no qual para ter sucesso no aprendizado da física Ø necessÆrio ter um bom domínio da MatemÆtica envolvida, como foi apresentado por (Hudson and McIntire 1977 aput Uhden 2012).

Este estudo objetiva identificar os usos da MatemÆtica nas praticas educativas de Ensino de Física em um grupo de disciplinas do curso de Licenciatura em Física, a fim de analisar as possibilidades de desenvolver processos de Matematizaçªo que levem a potencializar a formaçªo de futuros professores de Física, ao formar eles para ir alem da visªo pragmÆtica de MatemÆtica como um mero conjunto de algoritmos.

## Aportes teórico-conceituais

Dentre as tendŒncias que propunham-se melhorar a eficÆcia do Ensino de Física encontramos o trabalho de Hewitt (2011) chamado de 'Física Conceitual', que visava no utilizar equaçıes nos cursos introdutórios de física, como preparaçªo para a compreensªo e uso delas em níveis superiores. TendŒncia que tem detratores como Ø o caso de Hestenes (2002) quem defende a idØia de que a 'Física Conceitual', entendida como a Física sem MatemÆtica, nªo tem sucesso no aprendizado. Nesta œltima linha de pensamento encontram-se trabalhos como o de Uhden, O. et al (2011) que objetivam mostrar caminhos para a compreensªo do uso da MatemÆtica no Ensino de Física, defendendo a ideia de que a Física Ø mais que um simples contexto de aplicaçªo da MatemÆtica. Para eles a Matematizaçªo se dÆ quando Ø possível explicar as teorias da Física a partir do carÆter dedutivo do formalismo matemÆtico, tambØm quando a MatemÆtica oferece possibilidades de analogias que permitem pensar fenômenos físicos desconhecidos, e quando funciona como guia de raciocínio para a abstraçªo, contribuindo assim na estrutura do pensamento físico.

No sentido da MatemÆtica como guia de raciocínio, a pesquisadora da MatemÆtica Krygovska (1968) expressa que ' (...) a matematizaçªo propriamente dita começa pela construçªo de um esquema primÆrio da situaçªo inicial; tal esquema se re-constrói no âmbito do domínio conhecido e se descreve na linguagem de tal domínio...' [traduçªo própria] onde o esquema primÆrio corresponde à descriçªo de fatos reais do domínio que para o caso Ø a Física, e descrito na linguagem da Física, se auxiliando de esquemas matemÆticos. Ela ainda chama a atençªo sobre o cuidado que se deve tomar para nªo confundir a realidade com o esquema que a representa, jÆ que esta Ø uma visªo superficial que gera paradoxos incompreensíveis.

Steiner (1968), considera outra idØia de Matematizaçªo, apoiada na formaçªo de habilidades necessÆrias para que a descriçªo MatemÆtica surja no processo de estudo dos fenômenos, habilidades como; observaçªo, descriçªo, idealizaçªo, analise lógico local, axiomatizaçªo e aplicaçªo. Segundo ele

No começo do processo Ø usada uma linguagem imprecisa e conceitos intuitivos (...) a anÆlise lógica (conceitual e proposicional) por meio do qual alguns conceitos e proposiçıes tomam um lugar definido, Ø o segundo passo para conseguir o modelo matemÆtico (...) o terceiro passo no processo de matematizaçªo consiste em avançar desde o ponto de vista axiomÆtico (...) um importante aspecto final para os estudantes consiste em formar uma representaçªo dedutiva completa da teoria que foi desenvolvida previamente de forma intuitiva por meio de uma anÆlise local dedutiva. (STEINER, 1968. Traduçªo própria)

O matemÆtico Freudenthal (2002), diz que a Matematizaçªo Ø um processo que tem trŒs componentes; axiomatizaçªo, formalizaçªo, e esquematizaçªo. O autor chama a atençªo sobre o fato de que no âmbito educativo costuma-se restringir o processo de Matematizaçªo a um destes componentes, e lembra da importância de considerar a dependŒncia deste processo com os indivíduos e seu contexto cotidiano, uma vez que axiomatizar tem a ver com o uso de símbolos, formalizar Ø um processo de adequar e transformar a linguagem a partir das simbolizaçıes, e esquematizar exige generalizar a linguagem em forma de leis e regras por meio da abstraçªo, para criar esquemas que se adØquem à realidade.

## Metodologia de pesquisa

Nosso campo de observaçªo foi um curso de Licenciatura em Física de uma universidade pœblica do interior de Sªo Paulo, Brasil. Dentro dele foram escolhidas disciplinas que correspondem a semestres iniciais, intermØdios e finais do curso, com o objetivo de obter informaçıes de estudantes 'novos' num curso de física, que de alguma maneira nªo tem sido influenciados pelas dinâmicas de trabalho universitÆrio, estudantes do nível mØdio dentro do curso, que jÆ tiveram contato com as formas de trabalhar os usos da MatemÆtica para o Ensino de Física na universidade, e estudantes do final de curso que se tem formado para o ensino.

As disciplinas observadas foram; Física II (35 alunos), Física MatemÆtica I (12 alunos), Física Moderna I (24 alunos), sendo elas do segundo, quinto, e sexto semestre respectivamente. Fizemos uma observaçªo nªo participante durante um ano, na perspectiva de Martins (2008) quando diz que 'o observador poderÆ, ou nªo,

ser um participante da estrutura social que investiga'. A ssim, preenchemos um diÆrio de campo registrando aspectos como; dados bÆsicos da disciplina, conteœdos trabalhados, desenvolvimento da aula, e observaçıes gerais. Embasamo-nos na proposta de Estrela (1994) acerca dos aspectos a serem observados em sala de aula, de forma direta e distanciada, considerando todos os elementos constitutivos da aula (professor, alunos, materiais), com o œnico fim de determinar os 'observÆveis' a sistematizar na relaçªo MatemÆtica e Ensino de Física.

Como resultado da anÆlise deste diÆrio de campo elaboramos um roteiro de observaçªo que desse conta das características dos processos da Matematizaçªo. O roteiro foi constituído com indicadores de existŒncia, uma coluna para marcar com 'x' a presença dele, e, uma outra coluna na qual foi registrada a descriçªo do modo como foi evidenciada a presença do indicador. Foram propostos 16 indicadores para analisar os estudantes, buscando responder perguntas de pesquisa como: 1. Quais significados de Matematizaçªo costumam estar presentes na atuaçªo de alunos em sala de aula, em disciplinas de Física do Curso de Licenciatura em Física?; 2. Quais significados de Matematizaçªo costumam estar presentes nas explicaçıes sobre assuntos de física, dos alunos do Curso de Licenciatura em Física?.

TambØm, o roteiro tem 22 indicadores para analisar os professores, buscando responder perguntas como: 3. Como a Matematizaçªo costuma estar presente na organizaçªo das atividades didÆticas de professores do Curso de Licenciatura em Física?; 4. Quais aspectos caracterizam a presença da Matematizaçªo nas explicaçıes sobre assuntos de física, em discursos de professores de um curso de Licenciatura em Física?. A coluna numero trŒs, na qual foram registradas as informaçıes do modo como foram evidenciados os indicadores nªo foi apresentada neste artigo por questıes de extensªo do documento. Com este roteiro observamos durante um semestre as disciplinas: Física I (45 alunos); Física III (28 alunos), e Laboratório de Física Moderna (Grupo 1, 12 alunos), disciplinas de primeiro, terceiro e sØtimo semestre respectivamente. Acrescentamos que nªo foi possível fazer a observaçªo nas mesmas disciplinas do ano anterior, por causa do rodízio de disciplinas que se da cada ano neste curso de Licenciatura em Física, mas em geral se mantiveram os mesmos estudantes.

Os roteiros de observaçªo constituíram o texto que foi analisado de forma sistemÆtica para obter inferŒncias sobre o comportamento dos indicadores. Nesta metodologia de anÆlise embasamo-nos nos aportes teóricos e tØcnicas de Analise de Conteœdo propostos por Bardin, L. Especialmente na anÆlise sistemÆtica da informaçªo a fim de inferir conhecimentos, uma vez que segundo a autora a anÆlise de conteœdo Ø

'um conjunto de tØcnicas de anÆlise das comunicaçıes visando obter por procedimentos, sistemÆticos e objetivos de descriçªo do conteœdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou nªo) que permitam a inferŒncia de conhecimento relativos as condiçıes de produçªo'. (BARDIN, 2002)

## Resultados

Consideramos importante salientar que este estudo nªo objetiva julgar se os professores observados atuaram do jeito 'certo' ou nªo, mas sim analisar a forma como aparecem os indicadores que caracterizam a presença de processos de Matematizaçªo. A seguir apresentamos entªo, os resultados que permitiram-nos constituir respostas para nossas perguntas de pesquisa:

Questªo 1: Quais significados de Matematizaçªo costumam estar presentes na atuaçªo de alunos em sala de aula, em disciplinas de Física do Curso de Licenciatura em Física?

Quadro 1. Indicadores de observaçªo dos estudantes em momentos em que recebem a aula do professor, e, presença de 8 indicadores nas disciplinas observadas.

O primeiro indicador ofereceu maior frequŒncia, se apresentando nas aulas observadas do primeiro, terceiro e sØtimo semestre. Nessas aulas ao menos um estudante fez perguntas ao professor. Ao analisar o tipo de perguntas, encontramos que a maioria delas pretendia esclarecer o procedimento pelo qual foi resolvido um exercício, a deduçªo de uma equaçªo, as unidades utilizadas, e em alguns casos solicitando o esclarecimento de termos científicos. O indicador 4 tem presença numa disciplina, tambØm visando esclarecer procedimentos utilizados na resoluçªo de problemas. Pela natureza da disciplina de sØtimo semestre ao se tratar de prÆticas de laboratório, as perguntas foram principalmente sobre o funcionamento dos equipamentos para obter os resultados de forma adequada, e pela mesma razªo aparecem os indicadores 2,3,6 e 7, ao ter que apresentar para o professor os resultados obtidos na prÆtica.

Observamos que para os estudantes Ø suficiente com obter respostas pontuais, sem gerar outros tipos de interaçªo ou complemento nem para as perguntas, nem para as respostas, como poderiam ser por exemplo, o uso de analogias ou comparaçıes com saberes obtidos em outros contextos. Observamos tambØm que tanto na disciplina de tipo experimental quanto nas Teóricas, as perguntas nªo se constituem em parte de um processo de compreensªo de um fenômeno, mas na soluçªo de dificuldades pontuais para desenvolver as atividades indicadas pelos professores, uma vez que nªo tem presença os indicadores 5 e 8. Concluímos entªo, que a ideia de Matematizaçªo dos estudantes esta relacionada com o bom domínio dos algoritmos envolvidos na resoluçªo de problemas da física.

Questªo 2: Quais significados de Matematizaçªo costumam estar presentes nas explicaçıes sobre assuntos de física, dos alunos do Curso de Licenciatura em Física?

Quadro 2. Indicadores de observaçªo dos estudantes em momentos em que eles explicam as teorias e apresentam seus argumentos, e, presença de 8 indicadores nas disciplinas observadas.

Para evidenciar este grupo de indicadores foi necessÆrio que o estudante falasse em pœblico, razªo pela qual nªo foi possível detectar evidencias nas disciplinas do primeiro e terceiro semestres, uma vez que a metodologia destas disciplinas se desenvolveu principalmente sob a explicaçªo do professor e o trabalho individual e grupal dos estudantes, sem espaço para o aluno apresentar explicaçıes em pœblico. No entanto, a metodologia da disciplina do sØtimo termo permitiu-nos observar os estudantes apresentando suas explicaçıes dos resultados obtidos nas prÆticas de laboratório. Embora todos os indicadores tenham tido presença, a forma como se deu (registrada na coluna do quadro que nªo esta inserida neste trabalho) permitiu-nos observar algumas particularidades.

Com relaçªo aos indicadores 1 e 2, observamos que as explicaçıes oferecidas pelos estudantes se fundamentam principalmente no uso das equaçıes que descrevem as leis físicas, por exemplo, para explicar a obtençªo da velocidade da luz, os alunos descrevem o arranjo experimental com cada uma das partes, falam da tomada do dado sobre a distancia dos espelhos no ponto de interferŒncia das sinais, e logo depois apresentam a equaçªo para inserir os dados e desenvolver o procedimento algorítmico, sem chegar a explicar o principio físico em si mesmo.

No indicadores 3 e 4, observamos o uso de representaçıes como desenhos, fotografias e esquemas de montagens experimentais para fornecer uma determinada visualizaçªo do fenômeno a fim de facilitar suas explicaçıes, por exemplo, para explicar a relaçªo inversa entre frequŒncia e comprimento de onda usaram o grÆfico de uma onda sinusoidal, tambØm, para explicar o experimento de Millikan usaram um grÆfico para apresentar a relaçªo entre energia e carga do elØtron. Em geral, estes recursos sªo utilizados principalmente para dinamizar seu discurso ou para complementar a expressªo oral, mas nªo foram observadas anÆlises o questionamentos sobre os desenhos, fotografias o grÆficos utilizados.

Nos indicadores 6 e 7, observamos que usam os termos científicos para garantir exatidªo na descriçªo do fenômeno, e só usam a linguagem cotidiana para fazer comentÆrios adicionais à explicaçªo visando expor os problemas ou acertos que tiveram no desenvolvimento da prÆtica. No indicador 8 observamos que os dados experimentais sªo usados para comparÆ-los com a teoria, a fim de analisar o grau de exatidªo da sua tomada de dados.

Observamos entªo, que a idØia de Matematizaçªo nas explicaçıes dos alunos trata-se de 'expor da melhor maneira possível as teorias em estudo', se fundamentando principalmente na descriçªo das equaçıes, dos símbolos e representaçıes padrªo das teorias, mas sem manifestar dœvidas ou anÆlises, mais alem daquelas relacionadas com a reflexªo sobre possíveis causas do erro na tomada de dados experimentais.

Questªo 3. Como a Matematizaçªo costuma estar presente na organizaçªo das atividades didÆticas de professores do Curso de Licenciatura em Física?

Quadro 3. Indicadores de observaçªo da atuaçªo em momentos em que falam do plano de curso ou de aula, e presença de 5 indicadores nas disciplinas observadas.

Observa-se que os trŒs primeiros indicadores tem presença em todas as disciplinas. Nos indicadores 1 e 2, os professores manifestam em geral os mesmos critØrios de seleçªo tanto para os exercícios a serem resolvidos por eles em sala de aula, quanto para os exercícios a serem resolvidos pelos estudantes, bem em sala de aula ou como trabalho extraclasse, sendo eles; contribuir na compreensªo do tema em estudo, e permitir que os estudantes pratiquem os procedimentos utilizados na soluçªo dos problemas que envolvem os conceitos dos diferentes fenômenos físicos. Para o caso da disciplina de laboratório, a seleçªo dos experimentos tem a ver com o aprofundamento da temÆtica em estudo e as possibilidades tØcnicas e logísticas do laboratório.

No indicador 3, os objetivos das diferentes aulas foram apresentados em alguns casos para a aula próxima, em outros casos para um grupo de aulas e em outros casos para o semestre completo como foi o caso da disciplina de laboratório. Nesta disciplina em particular, os estudantes devem preencher um teste no começo de cada aula, a fim de demonstrar seus conhecimentos prØvios da prÆtica a ser realizada. A ausŒncia do indicador 4, evidencia que o uso dos resultados das provas aplicadas aos estudantes, sejam escritas ou orais, Ø para avaliar o conhecimento do estudante atØ um determinado momento e fornecer as respectivas notas, mas em nenhum dos casos se evidenciou que formasse parte do planejamento das aulas próximas. Com relaçªo ao indicador 5, encontramos que os critØrios estªo relacionados com condiçıes de prØ requisitos para a compreensªo de um tema, p. ex, falar de campo elØtrico antes de falar de campo eletromagnØtico. TambØm encontramos os critØrios da contextualizaçªo histórica de uma problemÆtica da Física para compreender como ela foi resolvida, ou o seguimento da sequŒncia sobre como foi desenvolvida a física ao longo da historia, na tentativa de ir do simples ao complexo.

Concluímos entªo, que a idØia de Matematizaçªo se relaciona com a compreensªo dos fenômenos físicos, no sentido de lhes permitir aos alunos aplicar a teoria na resoluçªo de problemas, compreender as variÆveis envolvidas e descrever os fenômenos em estudo. A organizaçªo da sequŒncia de atividades, visa principalmente ir gradativamente acrescentando a complexidade dos problemas a serem resolvidos e o aprofundamento das teorias em estudo. Sendo estes processos orientados pelos procedimentos da Física em si mesma.

Questªo 4. Quais aspectos caracterizam a presença da Matematizaçªo nas explicaçıes sobre assuntos de física, em discursos de professores de um curso de Licenciatura em Física?

Quadro 4. Indicadores de observaçªo dos professores em momentos nos quais explica, e presença dos 8 indicadores nas disciplinas observadas.

Com relaçªo ao indicador 1 da questªo 4, observamos o uso dos algoritmos matemÆticos em exercícios de deduçªo matemÆtica das equaçıes que descrevem as diferentes leis da Física, ou na anÆlise do comportamento das variÆveis sob determinadas condiçıes. Nos indicadores 2 e 3 observamos que quando o professor encara a necessidade de representar o fenômeno físico usa representaçıes e grÆficos como complemento a sua exposiçªo oral, especialmente para ilustrar as equaçıes ou os resultados de dados experimentais. O indicador 4 deixa ver que o professor usa desenhos para esclarecer idØias que possam aparecer confusas, por exemplo, o desenho de um anel para falar da sua carga e seu potencial elØtrico. No indicador 5 encontramos o uso de modelos explicativos das teorias cientificas, por exemplo, a descriçªo do modelo de campo elØtrico explicando a direçªo da Força em relaçªo às direçıes do campo e da corrente elØtrica, se apoiando na representaçªo do campo com setas e no grÆfico de curvas equipotenciais.

No indicador 6 observamos que a maior parte do tempo os professores utilizam linguagem cientifica, quer dizer, uso de termos cujas definiçıes sªo exatas, em procura de maior clareza e exatidªo na descriçªo dos fenômenos físicos. JÆ a linguagem do cotidiano aparece nas explicaçıes de fatos do dia a dia, por exemplo, falar de 'baterias' de carro, para comparar com capacitores no tema de eletricidade, evidenciando o indicador 7. O indicador 8 nªo aparece nas disciplinas teóricas, uma vez que a prÆtica experimental nªo faz parte das atividades de ensino.

## Conclusıes

Em primeiro lugar constatamos que o fato de observar disciplinas de diferentes níveis no curso, nªo ofereceu diferenças de atuaçªo dos professores nem dos estudantes.

Com relaçªo à presença de processos de Matematizaçªo, nªo se pode falar que nªo existam, uma vez que tanto estudantes quanto professores vªo em busca da compreensªo dos conteœdos da Física. Porem, nªo se evidencia desenvolvimento profundo das características da Matematizaçªo oferecidas pelos pesquisadores neste tópico, em aspectos como:

- - O estudo dos fenômenos se desenvolve principalmente por meio do uso de problemas, formulaçıes, símbolos e axiomas, a partir de um modelo explicativo definido, fato que poderia ser enriquecido ao orientar o estudante para a observaçªo e busca das características essenciais em cada um desses aspectos.

- - A principal via de aplicaçªo dos conteœdos estudados Ø a partir do uso dos algoritmos, fato que pode ser potencializado ao trabalhar em processos de formaçªo de habilidades para esquematizar, algoritmizar, simbolizar e formalizar a descriçªo dos fenômenos físicos, se servindo de recursos de anÆlise, como por exemplo, as analogias.
- - O uso da Historia da Física Ø principalmente para colocar problemas cruciais no desenvolvimento das teorias, abordagem que pode ser ampliada ao envolver os estudantes em situaçıes paradigmÆticas.
- - Os professores procuram a maior exatidªo possível nas explicaçıes por meio do uso dos termos científicos, e os estudantes assumem que explicar Ø usar corretamente os termos científicos utilizados pelo professor. Embora esta situaçªo contribua para o aprendizado, poderia ser enriquecida ao procurar cada vez uma compreensªo mais aprofundada dos termos científicos utilizados, por meio de processos de produçªo de esquemas, e estratØgias de organizaçªo da informaçªo, ou de situaçıes problema que levem ao estudante a construir argumentos permitindo-lhes tomar posiçªo critica perante a linguagem utilizada.

## ReferŒncias

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