A COMPLEXA DINÂMICA DA QUEDA DE UMA PARTÍCULA SOBRE UMA SUPERFÍCIE OSCILANTE

## A COMPLEXA DINÂMICA DA QUEDA DE UMA PARTÍCULA SOBRE UMA SUPERFÍCIE OSCILANTE

## THE COMPLEX DYNAMICS OF THE FALL OF A PARTICLE ONTO AN OSCILLATORY SURFAECE

## F. das Chagas Nóbrega Junior , Julio S. Espinoza Ortiz , Ana Rita Pereira 1 2 3

- 1 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão, franciscocnjr@gmail.com
- 2 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão, jsespino.phys@gmail.com
- 3 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão, anaritapr@gmail.com

## Resumo

Estudamos a dinâmica de uma partícula de massa unitária que voa sobre uma superfície que pode oscilar com uma determinada frequência e amplitude constantes, sujeita à ação do campo gravitacional. Analisamos diferentes tipos de colisões da partícula com a superfície oscilante, para isso consideramos coeficientes de restituição de diferentes valores: sendo maior que um para colisões superelásticas, igual a um para colisões perfeitamente elásticas e menor que um para colisões inelásticas. O objetivo deste experimento numérico, que pode ser colocado em prática e analisado utilizando simples programas computacionais de livre acesso com ferramentas úteis e fácil sintaxe computacional como são o Modellus e o SuperLogo, consiste em mostrar ao estudante de qualquer formação uma forma prática e amena o conceito físico de caos na mecânica clássica. Enquanto a análise e estudo dos denominados sistemas integráveis são bem expostos nos livros de física básica de nível médio, uma outra classe denominada de sistemas caóticos não são devidamente abordados, embora os conceitos e entendimentos sobre a sua complexidade remonta ao século passado. Certamente a dinâmica deste sistema pode ser rica em complexidade. Assim, encontramos diferentes regimes de movimento clássico desde o integrável ao caótico e inclusive um regime misto que pode envolver conjuntamente uma dinâmica tanto regular quanto caótica, simplesmente variando a razão da frequência de oscilação da superfície em relação à velocidade inicial da partícula que se movimenta em direção à superfície que oscila. Um mapa de evolução dinâmica da partícula sujeita a sucessivas colisões é obtido e utilizado para classificar o tipo dinâmico de movimento .

Palavras-chave : Colisão elástica, inelástica e Super-elástica, Caos.

## Abstract

We study the dynamics of a particle of unitary mass falling over a surface which can oscillate at determined constant frequency and amplitude, subject to the action of the gravitational field. We analyze different types of collision between the particle and the oscillating surface, so that we consider different restitution coefficient values: being bigger than one for super-elastic collision, equal to one for perfect elastic collision and less than one for inelastic collisions. The objective of this numerical experiment, which can be put in practice and analyzed by using simple computational codes of free access with useful tools and easy computational

syntaxes as say the Modellus and the Super-LOGO, consist to show to the students in a practical and mild way the physics concept of chaos in classical mechanics. Meanwhile the analyze and study of systems called of integrable are well exposed in school basic books of physics, another class of systems called of chaotics are not covered even that these concepts and understandings on its complexity come back from last century. Certainly the dynamics of this system can be rich in complexity. Thus, we find different regimes of classical motion ranging from integrable to chaos and inclusive a mixed one which can involve jointly both dynamics regular and chaotic, by simply varying the quotient of the surface's oscillation frequency related to the initial velocity of the particle which can move onto the oscillating surface. A dynamical map of evolution of the particle subjects to successive collisions is obtained and it is used to classify the different dynamical types of motions.

Keywords : Elastic, inelastic and super-elastic collision, chaos.

## Introdução

A mecânica clássica tem sido objeto de especial atenção a respeito do estudo do comportamento dos sistemas dinâmicos ao longo do tempo [1]. Historicamente, a primeira noção sobre caos apareceu ao final do século XIX tendo como foco de interesse científico a estabilidade do sistema solar. O problema teria sido proposto da seguinte maneira [2]:

Para um sistema qualquer de massas pontuais que se atraem umas às outras de acordo com as leis de Newton, na hipótese que os pontos não colidem, encontre as coordenadas dos pontos individuais para todo instante de tempo como sendo a soma de uma série uniformemente convergente cujos termos sejam representados por funções conhecidas.

- O resultado da análise deste problema desenvolvido por Henri Poincaré foi conhecido através do seu famoso comentário como resposta [3]:

Pode acontecer que pequenas mudanças nas condições iniciais produzam grandes diferenças para o resultado final do fenômeno em questão. Um pequeno erro no primeiro produz um erro enorme no último. Predições se fazem impossíveis e nós temos um fenômeno fortuito.

O termo caos é utilizado para se referir a esta imprevisibilidade marcada pela instabilidade dinâmica do sistema, que é uma das características centrais do fenômeno em questão. Na verdade a dinâmica do sistema pode em geral mostrar situações bem variadas, demostrando uma rica complexidade dinâmica. Umas vezes este pode ser considerado imprevisível no sentido que pequenas variações nas condições iniciais resultam em movimentos radicalmente diferentes, onde trajetórias com condições inicias muito próximas se afastam rapidamente; exponencialmente no tempo. Outras vezes a dinâmica pode ser previsível no sentido que pequenas variações nas condições iniciais podem acarretar numa pequena diferença da dinâmica do sistema em relação ao movimento inicial. Pode inclusive existir uma situação intermediaria entre estas duas situações extremas, isto é ; regimes marcados por uma mistura de regularidade e caos. O problema apresentado neste trabalho demonstra de maneira geral a existência de uma hierarquia deste tipo de movimento à medida que o caos aumenta [4].

A implementação deste experimento tem como propósito didático estudar e observar fenômenos físicos em tempo real que apenas aparecem nos sistemas dinâmicos não lineares, isso através da utilização de métodos estândar para a

análise do caos. Pretende-se mostrar de forma sistemática e simples que os processos caóticos são diferentes dos processos periódicos assim como dos processos aleatórios.

## Descrição do Problema

Trata-se de uma partícula de massa unitária movimentando-se apenas na direção vertical, sujeita à aceleração gravitacional, podendo colidir sucessivas vezes com uma superfície horizontal. Para esta última são consideradas várias situações envolvendo diferentes tipos de colisões. Como será mostrado a seguir, o resultado é um inesperado complexo comportamento dinâmico da partícula.

Note-se que para a situação mais simples a partícula pode colidir elasticamente com a superfície em repouso. Precisamente sobre a superfície, a velocidade da partícula permanece constante mesmo após sucessivas colisões. Além do mais a energia mecânica permanece constante, isso implica que a altura máxima que esta alcança após colidir também permanece constante. Nesta situação estamos frente a um sistema integrável. Os casos super-elásticos e inelástico, apesar de mudarem o módulo da velocidade da partícula após repetidas colisões com a superfície - aumentando ou diminuindo o módulo da velocidade - continuam integráveis, pois pequenas variações das condições iniciais (por exemplo, da velocidade inicial) repercutirão em pequenas variações das variáveis dinâmicas da partícula. Como iremos estudar a seguir, o caso mais geral consiste em considerar que a superfície pode oscilar com uma certa amplitude e frequência constante, mas antes de analisarmos este interessante caso mostraremos como este simples problema atraiu a atenção da comunidade científica na procura por um mecanismo de aceleração estocástico de partículas.

## Breve Histórico do Problema

O mecanismo de aceleração estocástico de partículas foi sugerido por Fermi [5] para explicar a origem das partículas rápidas na radiação cósmica. Segundo este mecanismo partículas carregadas colidindo com nuvens movendo-se aleatoriamente no espaço interestelar devem em média acelerar. Se uma nuvem é considerada uma partícula gigante de grande massa, a causa da aceleração das partículas pode ser construída da seguinte maneira: em colisões individuais uma partícula ganha ou perde energia dependendo se a nuvem se move na direção ou afastando-se dela. Se a velocidade dos corpos com os quais a partícula colide está aleatoriamente distribuída podemos pensar que o número de partículas deslocando numa determinada direção é aproximadamente a mesma daquelas se deslocando na direção oposta. Isto significa que o número de colisões com os corpos deslocando em direção à partícula será bem grande em número, porque tais encontros são mais frequentes. Daí que a partícula mais frequentemente ganhará energia ao em vez de perdê-la e isto produziria uma aceleração efetiva, chamada de aceleração de Fermi.

Entretanto, em condições reais a dinâmica das nuvens macroscopicamente grandes pode ser puramente regular e a pergunta que surge é se a aceleração de Fermi pode aparecer sem a prévia suposição das nuvens com velocidades aleatórias. Em conexão com este problema Ullam [6] sugeriu o simples modelo de uma partícula se movimentando entre duas paredes horizontais, sendo que uma das paredes está em repouso enquanto a outra pode oscilar periodicamente.

Na mesma direção deste último problema, Zaslavsky propôs a ideia de um motor gravitacional [7] onde um campo gravitacional variável, por exemplo, o campo de uma estrela binária, pode ser utilizado para acelerar seja uma nave espacial ou

um determinado objeto material. Se ignorarmos os detalhes relativos ao tempo requerido para tal aceleração, a pergunta é se a partícula pode acumular energia suficiente para atingir altitudes cada vez maiores em sucessivas colisões com a superfície.

## Análise da dinâmica do Problema

Figura 01: Uma partícula colidindo com uma superfície oscilante. São mostrados em tempos discretos que se referem ao instante da i-ésima colisão, onde também são exibidas as respectivas velocidades antes e depois do impacto.

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Na figura 01 mostramos a trajetória oscilante da partícula sujeita à ação da aceleração gravitacional em função do parâmetro tempo, este último discretizado de forma a fornecer informação precisa da ocorrência de cada colisão. Se focarmos no instante de tempo , após a i-ésima colisão da partícula é possível escrevermos as seguintes equações dinâmicas para o deslocamento e a velocidade; respectivamente:

<!-- formula-not-decoded -->

(2)

Ainda é necessário considerar o movimento da superfície que oscila harmonicamente com uma certa frequência ( ) e amplitude de oscilação ( A ) préestabelecidas. Sendo que, no instante a posição da superfície será igual á posição vertical , isto nos permite reescrever a primeira equação:

<!-- formula-not-decoded -->

É preciso agora relacionar as variáveis e , isso porque estamos interessados em construir um mapa da evolução dinâmica da partícula, que se relaciona às variáveis e . Para isso contamos com mais uma relação que estabelece o tipo da colisão mecânica, esta refere ao coeficiente de restituição GLYPH&lt;31&gt; :

<!-- formula-not-decoded -->

,onde . É vantajoso agora fazermos uma mudança de variáveis, realizada de forma que as novas variáveis tornem-se adimensionais: . Desta maneira, considerando que , o novo conjunto de equações escreve-se da seguinte forma

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Reinterpretando estas últimas equações acima, conhecendo onde e são condições iniciais: A relação (5) fornece o intervalo de tempo entre colisão , esta equação é não linear e pode ser resolvida usando o método da bisseção. Uma vez encontrado podem-se encontrar e a partir da relação (6). Este conjunto não linear de equações é denominada de mapa dinâmico, pois descreve a evolução da partícula na vizinhança do ponto de equilíbrio da superfície oscilante . Iterando estas equações de forma sucessiva é encontrado o conjunto de pontos discretos ; pré-conhecidos os i-ésimos pontos anteriores.

## Resultados numéricos

Nossa investigação considera os diferentes tipos de colisões possíveis, como é o caso de uma colisão perfeitamente elástica quando = 1, assim como os casos de colisões inelástica onde &lt; 1 e super-elásticas onde &gt; 1, respectivamente. Em todos esses casos, para fins comparativos, são considerados os seguintes parâmetros; enquanto que a variável a pode tomar três valores diferentes: a =0,200; a =0,285; a =0,500; respectivamente. Note que mudar a variável a implica em mudar a frequência de oscilação da superfície -o que segue da relação .

Mas adiante para os diferentes casos especificados, nas figuras à esquerda são representadas em linha-continua-preta a evolução da partícula e em linhacontínua-vermelha a evolução da superfície oscilante em função de . Já nas figuras à direita são representados os diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança do ponto de equilíbrio da superfície . Esta última é chamada de seção de Poincaré, onde consideramos em torno de 15.000 iterações sucessivas.

Figura 02 : À direita a curva regular fechada representa os diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança de y=0, na horizontal temos a representação do tempo. Este é um caso integrável onde a =0,200. As evoluções da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda

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Figura 03: A Integrabilidade começa a ser quebrada para a =0,285, a figura à direita perdeu regularidade. Pontos discretos aparecem na vizinhança da curva fechada. As evoluções da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda.

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Figura 04: O caos toma conta da seção de Poincaré quando a =0,500, a figura à direita perdeu totalmente a sua regularidade. As evoluções da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda.

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## O caso inelástico; = 0,75:

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Figura 05: À esquerda a trajetória da partícula e da superfície oscilante em função de( tau). À direita são representados diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança de y=0. Há uma certa acumulação de pontos discretos na vizinhança da amplitude máxima de oscilação da superfície. Este caso é não integrável onde a =0,200.

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Figura 06: A direita temos a evolução da velocidade da partícula na vizinhança de y=0, quando =0,285. Certa regularidade aparece no extremo direito da figura, mas uma pequena a região caótica ainda se manifesta pouco afastado dela. As evoluções da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda

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Figura 07: As trajetórias da partícula e da superfície oscilante à esquerda. À direita temos a evolução da velocidade da partícula na vizinhança de y=0, quando a =0,500. Há uma mistura de regularidade local nos extremos direito da figura, mas globalmente manifesta-se ainda certa irregularidade.

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Figura 08: Uma quase completa aleatoriedade global toma conta da seção de Poincaré na Figura à direita quando a =0,200, enquanto a velocidade da partícula aumenta incrivelmente.

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Figura 09: Uma irregularidade global quase que total quando a =0,285, enquanto a velocidade da partícula aumenta ainda mais em relação ao caso acima. A esquerda também nota-se completa irregularidade.

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Figura 10: Uma total aleatoriedade toma conta da seção de Poincaré quando a =0,500, enquanto a velocidade da partícula continua aumentando incrivelmente. A esquerda também nota-se completa irregularidade.

## Algumas considerações Finais

O sistema estudado é um sistema mecânico que consiste de uma partícula que bate e rebate repetidas vezes sobre uma superfície que oscila e que demonstra ter um comportamento complexo que vai da Integrabilidade ao caos, dependendo da escolha dos parâmetros apropriados. Este comportamento foi aqui demonstrado a utilização de simples cálculos numéricos iterativos. Frente a esta complexa diversidade dinâmica podemos afirmar que o caos é caraterizado por um comportamento que parece ser aleatório. Em contrapartida sistemas caóticos não são aleatórios, mas são determinísticos, isto é, seu comportamento futuro pode ser totalmente determinado a partir das condições iniciais. Certamente sistemas caóticos são determinísticos e para estes sistemas as trajetórias são instáveis na medida em que as trajetórias na sua vizinhança afastam-se das mesmas exponencialmente no tempo.

É notório um claro comportamento dinâmico diferenciado do sistema aqui apresentado em relação àqueles apresentados nos livros introdutórios de física básica. Entretanto, devido à complexidade do comportamento físico do sistema e os conceitos físicos nele envolvidos, pretende-se que o experimento aqui descrito seja utilizado por estudantes de física e áreas afins em diferentes níveis de ensino numa forma totalmente interagente. Para isso estamos trabalhando na implementação de um material de ambiente experimental completo onde o experimento é realizado pelo próprio usuário fornecendo apropriados valores para os parâmetros como: a amplitude de vibração da superfície, frequência de oscilação da superfície, coeficiente de restituição bola-superfície, velocidade da bola sobre a superfície, observando e analisando assim o movimento.

## Análise dos dados experimentais

Existem vários métodos utilizados para analisar sistemas caóticos. Dentre eles, aqui são utilizados a análise do sistema no espaço dos parâmetros e a análise do sistema no espaço de fase, este último também chamada de Seção de Poincaré, n ão descartando a utilização de métodos mais complexos como a de Poder espectral e de Correlação dimensional (medida fractal).

N o espaço dos parâmetros, o nosso sistema apresenta três: 1) A frequência da superfície oscilante, 2) A amplitude de oscilação e 3) O coeficiente de restituição da bola-superfície. Mapeando o comportamento do sistema para diferentes valores podemos construir o mapa paramétrico. Um mapa paramétrico permite-nos identificar regiões de comportamento periódico inclusive o caótico. Um retrato de fase não é mais do que uma simples representação da trajetória dos sistemas no espaço de fase. O espaço de fase é descrito pelas variáveis de posição e velocidade.

Enfatizamos que a descrição dos experimentos deverá conter alguns comentários gerais que irão permitir que o usuário possa ter uma visão inicial pelo menos intuitiva sobre a física dos sistema estudado. Esperando que uma vez introduzido no campo dos fenômenos físicos não lineares, o usuário encontre seu próprio caminho para adentrar nos seus próprios espaços de interesse relativos à área e porque não da física em geral.

## Conclusões

O estudo deste simples modelo mostra-se útil como ferramenta didática, envolvendo conceitos e aplicações físico-matemáticas do caos, para que os estudantes possam obter percepção e adquirir conhecimento sobre esta excitante teoria. Os resultados mostram a quebra da regularidade da seção de Poincaré para diferentes tipos de colisões entre uma partícula e uma superfície oscilante. Os casos super-elástico e perfeitamente elástico demonstram uma tendência mais caótica produzindo um aumento considerável no módulo da velocidade da partícula. Já o caso inelástico demonstra um menor grau de caos, isso por causa da diminuição da velocidade da partícula após cada colisão que tenta conduzir esta a certa regularidade.

Estamos trabalhando na direção de medir o grau do caos neste sistema, isso através do cálculo do expoente de Lyapunov [1]. Em paralelo estamos trabalhando na implementação experimental deste sistema, onde a superfície oscilante consiste em um alto-falante emitindo som numa certa frequência e a partícula é uma bola plástica. O experimento será analisado utilizando os programas Modellus [8] e Super-Logo [9], programas estes que nos permitem importar vídeos e realizar análises do movimento em tempo real.

## Referências

- [1] A.J. Lichtemberg and M.A. Lieberman, Regular and Stochastic Motion, New York Springer (1983).
- [2] J. Moser, Math. Intell 1 , 65 (1978).
- [3] I. Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System, W.H. Freeman New York (1993).
- [4] A.M. Ozorio de Almeida, Sistemas Hamiltonianos : Caos e Quantização (1990) Editora da Unicamp.
- [5] E. Fermi, Phys. Rev. 75 , 1169 (1949).
- [6] S. Ullam, Proc. 4 th . Berkeley Symposium on Mathematics and Probability 3 , 315 (1961).
- [7] G. M. Zaslavsky, Phys. Rep. 80 , 157 (1981).
- [8] V. Duarte Teodoro, Modellus 2.01, Universidade de Lisboa (Portugal, 2000).
- [9] B. Harvey, Computer Science Logo Style (MIT PRESS, 1977).