UTILIZAÇÃO DO CONCEITO DE AUMENTO ANGULAR PARA INTERPRETAR IMAGENS OBSERVADAS EM ESPELHOS ESFÉRICOS CÔNCAVOS.

## UTILIZAÇÃO DO CONCEITO DE AUMENTO ANGULAR PARA INTERPRETAR IMAGENS OBSERVADAS EM ESPELHOS ESFÉRICOS CÔNCAVOS.

## USE OF ANGULAR ENHANCEMENT CONCEPT TO INTERPRETE OBSERVABLE IMAGES IN CONCAVE ESPHERICAL MIRRORS.

Vitor Luiz Bastos de Jesus 1 , * Daniel Guilherme Gomes Sasaki 2

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro IFRJ/Campus Nilópolis, vitor.jesus@ifrj.edu.br

2 Centro Federal Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET-RJ/Unidade Maracanã, sasaki@cefet-rj.br

Palavras-chave : ensino de física, espelho côncavo, aumento angular.

## 1) Justificativa e objetivos

Os livros didáticos de Ensino Médio quando abordam espelhos e lentes esféricas definem o aumento linear (AL) e classificam as imagens pela sua natureza (real ou virtual) e pelo AL [1] [2] [3]. Tal procedimento é repetido em livros didáticos de ensino superior, tanto aqueles usados para o ciclo básico [4] quanto para livros voltados para o ensino de óptica em nível mais avançado [5]. O AL pode ser um número positivo ou negativo, quando a imagem está direita ou invertida em relação ao objeto, respectivamente. Além disso, o AL pode ser maior ou menor do que 1, quando o tamanho transversal da imagem for maior ou menor do que o objeto, respectivamente. Apesar do emprego do AL ser bem útil ao propósito pedagógico de classificar os diferentes tipos de imagem, ele induz o aluno a confundir a formação geométrica da imagem com a sua visualização concreta. O aluno, por exemplo, após uma aula teórica sobre espelhos esféricos imagina que ao observar um objeto através de um espelho esférico côncavo irá ver a imagem associada com as mesmas características descritas nos livros, independente da posição que se encontra o observador. Tal equívoco já foi apontado por Silveira, Axt e Pires em um artigo onde eles estudam imagens vistas por um observador, através de um espelho esférico côncavo, tomando como objeto o próprio olho do observador [6]. No presente trabalho, empregamos o conceito de aumento angular (AA) para demonstrar que a visão do observador acerca do tamanho relativo entre o objeto e a sua imagem associada por um espelho esférico côncavo, depende da própria posição do observador.

## 2) Marco Teórico

Para uma imagem produzida por um espelho esférico côncavo, nas condições de nitidez de Gauss, definimos o aumento angular

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onde β é o ângulo visual da imagem associada e α é o ângulo visual do objeto, ambos medidos em relação ao observador.

Essa definição é operacional somente quando o objeto e a imagem estão simultaneamente a uma distância do observador igual ou maior do que o ponto próximo (em geral, 25 cm).

Supondo uma configuração genérica de objeto e imagem conjugada, especificamos os seguintes parâmetros: p (posição do objeto em relação ao vértice), p' (posição da imagem em relação ao vértice), x (posição do observador em relação ao vértice), (tamanho linear da imagem), i o (tamanho linear do objeto) e f (distância focal). Seguindo a convenção de sinais de Gauss, concluímos que:

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Substituindo a equação dos pontos conjugados (equação de Gauss) e a equação do aumento linear na equação (1) obtemos, após algumas manipulações algébricas, que:

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A equação (2) é uma expressão geral para o aumento angular (AA) de um espelho esférico côncavo, em função da distância focal e das posições do objeto e do observador, ambas medidas em relação ao vértice do espelho. O AA pode ser um número positivo ou negativo, contudo nas nossas análises tomamos o seu módulo pois nosso interesse está apenas na ampliação ou na redução da imagem em relação ao objeto, quando se varia a posição do observador.

## 3) Metodologia e Análise de Pesquisa

Os espelhos esféricos didáticos têm uma distância focal entre 5,0 cm e 20 cm. Em nossa metodologia consideramos um espelho côncavo de distância focal 20 cm e escolhemos valores arbitrários para a posição do objeto, tomando números múltiplos inteiros de 10, entre 10 cm e 50 cm. Assim, reproduzimos os 4 casos de imagem possíveis produzidas por um espelho esférico côncavo descritas nos livros didáticos de Ensino Médio. Substituímos esses valores na equação (2) e construímos os gráficos do módulo do AA em função da distância do observador ao vértice do espelho, para cada um dos casos acima especificados. Os gráficos ilustrados na figura 1 mostram que, exceto no caso do objeto localizado no centro de curvatura (figura 1c), o aumento angular depende da posição do observador.

Figura 1: Os quatro gráficos mostram o módulo do aumento angular em função da posição do observador, x, medida em relação ao vértice do espelho côncavo. As regiões hachuradas em vermelho indicam a região onde a imagem observada não seria nítida para um ponto de próximo de 25 cm. (a) Objeto colocado entre o vértice e o foco do espelho. (b) Objeto colocado entre o foco e o centro de curvatura do espelho. (c) Objeto colocado no centro de curvatura do espelho. (d) Objeto colocado além do centro de curvatura do espelho.

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## 4) Conclusões

A classificação das imagens produzidas por espelhos esféricos através da definição do aumento linear é interessante do ponto de vista pedagógico, mas reflete a ênfase excessivamente formal e teórica do ensino de óptica geométrica que despreza a posição do observador. Quando o aluno toma contato com um espelho côncavo numa aula de laboratório de física, coloca um objeto na frente do espelho e observa, em diferentes posições, as imagens associadas, existe um conflito entre aquilo que ele enxerga e a classificação das imagens apresentadas nos livros. Mostramos a necessidade da introdução do conceito de aumento angular nos livros didáticos de Ensino Médio para compreender a visualização das imagens formadas por um espelho esférico côncavo.

## 5) Agradecimentos

O autor V. L. B. de Jesus é Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência - PIBID, da CAPES - Brasil.

## 6) Referências

- [1] GASPAR, A. Física, Vol. 2 . São Paulo: Editora Ática, 2003.
- [2] ALVARENGA, B.; MÁXIMO, A. Física, Vol.2 . São Paulo: Scipione, 2007.
- [3] RAMALHO JÚNIOR, F.; FERRARO, N.G.; SOARES, P.A.T. Os

Fundamentos da Física, Vol.2. São Paulo: Editora Moderna, 2007.

[4] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Vol.4 . Rio de Janeiro: Editora LTC, 2009.

- [5] HECHT, E. Óptica . Lisboa: Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 2002.

[6]

DA SILVEIRA, F.L.; AXT, R.; PIRES, M.A.

O que vemos quando nos

miramos em um espelho côncavo? Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 26. N. 1, p. 19-25, 2004.