SO, HOW SHOULD BE EVALUATED THE MEASUREMENT UNCERTAINTY OF A FRACTAL DIMENSION?

## AFINAL, COMO DEVE SER ESTIMADA A INCERTEZA DE MEDIÇÃO DA DIMENSÃO FRACTAL?

## SO, HOW SHOULD BE EVALUATED THE UNCERTAINTY IN A MEASURE OF A FRACTAL DIMENSION?

*Bernardes, A. T. 1,2 ; Carvalho, S.S. ; Dick, O. 1 1

1 Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Inmetro, Centro de Capacitação, atbernardes@inmetro.gov.br

2 Universidade Federal de Ouro Preto, Departamento de Física

## 1. Introdução

As necessidades de medir e comparar estão presentes desde os mais remotos momentos da cultura da humanidade. Atualmente, o fato de as relações econômicas e comerciais se darem em escala mundial traz redobrada importância para a Metrologia. Constitui-se como um elemento estratégico para os países e para as empresas, na busca por maior competitividade em mercados sem fronteiras. A informação de que a maior economia mundial, os Estados Unidos, gasta ao redor de 6% de seu PIB em processos de medição reforça a importância das questões metrológicas na sociedade moderna.

Contrastando com essa afirmação, percebe-se que, de uma maneira geral, ainda há uma carência de conceitos fundamentais de Metrologia na formação profissional. Isso não se limita apenas aos profissionais das Ciências Físicas e Engenharias. Hoje em dia, as mais diversas áreas profissionais necessitam da utilização de normas e regulamentos técnicos que estabelecem critérios de medições específicos. Para atender a estas determinações faz-se necessária a compreensão adequada do processo de medição envolvido, bem como da expressão correta dos resultados e das incertezas associadas.

As definições fundamentais na área da metrologia estão explícitas em documentos do Bureau Internacional de Pesos e Medidas - BIPM, notadamente o Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) e o Guia para Expressão da Incerteza da Medição (conhecido como GUM ou ISO-GUM). Note-se que ambos os documentos tem seu conteúdo aprovado por sociedades científicas internacionais, entre elas a União Internacional de Física Pura e Aplicada (IUPAP, na sigla em inglês).

Apesar dos conceitos expressos nestes documentos se estenderem por normas técnicas e serem utilizados em processos industriais e nas relações comerciais, seu desconhecimento nos cursos introdutórios nas áreas de ciências físicas e tecnologia, bem como entre outras áreas do conhecimento científico, é notável.

Em muitos cursos, as primeiras noções sobre medições e expressão de medições é, de maneira geral, feita nos textos de Física Básica. Para fins deste artigo, foram estudadas as definições presentes em cinco livros de Física utilizados

em disciplinas introdutórias (Resnick, 2003; Tipler, 2006; Nussenzveig, 2002; Chaves, 2001; Young, 2008). Observando-se estes textos, nota-se uma confusão entre os conceitos. São comumente confundidos os conceitos de erro e incerteza. Usa-se o conceito de algarismos significativos como meio de avaliar a incerteza de medição. Essa confusão se estende em roteiros de laboratórios de Física Básica. Aulas práticas em disciplinas de Física costumam ser os primeiros contatos dos alunos com as noções de medidas e análise de dados, bem como de expressão dos resultados das medições. Ao expor de maneira incompleta ou equivocada os conceitos, cria-se uma deformação, cujo resultado pode ser visto em inúmeros trabalhos científicos, em que os resultados são expostos de forma inadequada.

Alguns textos publicados no Brasil (Albertazzi, 2008) procuram apresentar os conceitos fundamentais da área. No entanto, na maior parte das vezes, estes textos são utilizados em disciplinas específicas de Metrologia em cursos de Engenharia, sem que seu conteúdo seja de fato disseminado nas disciplinas introdutórias. Além disso, alguns destes textos utilizam conceitos obsoletos da área, que foram atualizados a partir da publicação da terceira edição do Vocabulário Internacional de Metrologia. De fato, muita da confusão existente se deve ao fato de os textos básicos ainda usarem conceitos que foram superados há duas décadas (KACKER, 2007).

- O propósito deste trabalho é apresentar os procedimentos de avaliação da incerteza de medição de acordo com o estabelecido no ISO-GUM. A fim de que essa apresentação possa ter uma aplicação didática, ela será feita num experimento que é aplicado em diversas disciplinas de Física básica e trata de um tema de interesse de várias áreas de conhecimento: o cálculo da dimensão fractal.

## 2. Cálculo da dimensão fractal de bolinhas de papel

- O conceito de objetos fractais surgiu a partir da observação das formas da natureza. A principal característica destes objetos é a autossemelhança em diferentes níveis de escala. Ao contrário de objetos descritos pela geometria euclidiana, apresentam dimensão fractal. O estudo dos fractais e a busca por maneiras de descrever essa geometria são importantíssimos para a ciência, possibilitando simulações e compreensão dos mais diversos fenômenos.

Nas duas últimas décadas, procedimentos experimentais têm sido realizados em laboratórios de ensino de física, buscando familiarizar os alunos com as características de objetos fractais. Um dos experimentos mais usados é o cálculo da dimensão fractal de bolinhas de papel. Existem disponíveis na internet diversos roteiros de laboratórios e estudos com finalidade didática.

Para definir a dimensão fractal, utiliza-se a relação entre a massa do objeto e um comprimento característico, no caso o raio, dada por:

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onde m é a massa da bolinha, r é o raio e Df a dimensão fractal. Em linhas gerais, utilizam-se bolinhas amassadas de diversos tamanhos. A bolinha é pesada em uma balança e os raios são medidos com um paquímetro. Dado que as bolinhas não são exatamente esféricas, em geral tomam-se diversas medidas do raio - de 4 a

- 10 medidas (NPL, 2008). Os dados são plotados em um gráfico log-log e a dimensão é calculada como a inclinação da reta que ajusta os dados.
- A incerteza expressa parte do desconhecimento exato do valor do mensurando. Há fatores que influenciam no valor da incerteza, como : definição incompleta do mensurando; amostragem não-representativa; conhecimento inadequado dos efeitos das condições ambientais sobre a medição etc.

No caso do experimento em discussão, para um modelo bem simples para avaliação da incerteza de medição, podemos considerar dois fatores: (i) no caso da massa e do raio, temos as incertezas associadas aos instrumentos, balança e paquímetro (tipo B); (ii) no caso do raio, temos a incerteza associada à repetição das medidas em cada bolinha (tipo A). No primeiro caso, as incertezas são informadas nos certificados de calibração.

Muitas das vezes, usa-se em laboratórios didáticos outros procedimentos, ou porque os instrumentos não são calibrados (o que é claro lança dúvidas sobre a qualidade das medidas) ou por desconhecimentos por parte dos professores de que existem estes certificados de calibração. Essa lacuna é grave, pois nas aplicações comerciais ou industriais o uso destes certificados é obrigatória.

Tendo os valores de m ± Um e r ± Ur para cada bolinha, plotamos estes valores num gráfico log-log e realizamos o ajuste, obtendo o valor da dimensão fractal e a incerteza a ela associada.

## 3. Conclusão

Buscamos apresentar neste trabalho uma discussão sobre diversos problemas existentes na avaliação da incerteza de medição em disciplinas introdutórias de física básica.

Trata-se de um passo que pode levar a uma revisão importante na literatura da área, com a finalidade de preparar futuros profissionais para os desafios de uma sociedade em que a metrologia e a avaliação da conformidade tem um peso cada vez maior e exige-se cada vez mais destes profissionais um adequado às exigçencias de um mercado globalizado.

## Referências

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) e INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE INDUSTRIAL (INMETRO). Guia para a Expressão da Incerteza de Medição. 3. ed. Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, 2003. 120 p.

ALBERTAZZI JR, A.; SOUZA, A. R. DE. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. 1. ed. Barueri, SP: Manole, 2008. v. 1, 405 p.

KACKER, Raghu; SOMMER, Klaus-Dieter; KESSEL, Rüdiger. Evolution of modern approaches to express uncertainty in measurement. Metrologia, Sevres, v. 44, p. 513-529, 2007.

NATIONAL PHYSICAL LABORATORY (NPL). Measurement Good Practice Guide No. 11: A Beginner's Guide to Uncertainty of Measurement. Crown, 2ª ed.

Teddington, 2001. Disponível em: &lt; http://www.npl.co.uk/&gt;. Acesso em: 25 nov. 2008.