Movimento planetário virtual, sob ação da força gravitacional como um problema de força central

## MOVIMENTO PLANETÁRIO VIRTUAL, SOB AÇÃO DA FORÇA GRAVITACIONAL COMO UM PROBLEMA DE FORÇA CENTRAL VIRTUAL PLANETARY MOVEMENT UNDER ACTION OF FORCE AS A PROBLEM OF GRAVITATIONAL CENTRAL FORCE

Jousseph, Carlos A. C. , Sehn, Elizandra , Heilmann, Armando , Paulo Oyama 1 2 3 4

- 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, CEALM, jousseph@utfpr.edu.br
- 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, CEAMB, elizandrasehn@hotmail.com
- 3 Universidade Federal do Paraná/Facear - Fac. Educ. Araucária, DCG, armando@facear.edu.br

## Teoria Básica

A equação utilizada para descrever a órbita de um corpo com ação de uma força central pode ser dada por [4] :

Descrevendo o movimento de um corpo a uma distância r de um corpo central de massa M, com momento angular H por unidade de massa m , com velocidade v , dada por h = H/m = r.v/m .

## Descrição do Problema

O presente programa deve ser capaz de representar primeiramente a trajetória deste objeto em torno da Terra. Uma figura para observar a trajetória deste objeto circulando a Terra (cujo raio é conhecido) é mostrada na fig-1. Uma vez que nossa intenção é mostrar ao aluno uma visão geral do problema, o programa é capaz de mostrar um gráfico da distância que o objeto se encontra da superfície da Terra em função do ângulo da órbita. Observa-se na fig-2 a distância da superfície da Terra em relação ao seu próprio centro de massa como sendo a linha contínua (com valor do raio médio da Terra) e, a distância do objeto em órbita em relação ao centro de massa da Terra na linha pontilhada. Observa-se também que, para um lançamento do objeto no periélio o objeto se encontra mais distante da superfície quando o ângulo de órbita vale aproximadamente θ = 180 , de acordo com a fig-1 e, 0 volta ao ponto de lançamento em θ = 360 fechando a elipse (órbita fechada). 0

A fim de ilustrar o problema, o programa pode mostrar a órbita da forma mais conveniente para um bom entendimento. Vejamos isso na fig-3 uma imagem 3D, em que os círculos representam a superfície do planeta central e a linha externa como sendo a trajetória descrita pelo objeto que se encontra em órbita. Este programa depende de variáveis iniciais como: a velocidade de lançamento, a excentricidade, ângulo entre a velocidade inicial e o raio de lançamento, dentre outras variáveis. Então, podemos variar condições iniciais para observar o que acontece com a trajetória do objeto em órbita em várias situações diferentes.

Vejamos o que acontece se variarmos a excentricidade e . Como sabemos esta variável está fortemente ligada à velocidade inicial. Até agora, usamos e = 0,8, ou seja, valor menor que 1. Vamos utilizar e = 1 e observar sua órbita na fig-4. Observamos que a trajetória tracejada não se fecha, representando uma órbita parabólica. A proporção na figura é tão grande que o planeta central nem aparece na figura, sendo este um ponto próximo ao vértice da parábola. Para e = 1,1, ou seja, para valor maior que 1, observamos uma trajetória hiperbólica (tracejada), como previsto em nossa introdução teórica. Veja a fig-5.

Com estes exemplos, a variável h (momento por unidade de massa) também já foi exemplificada. Pois a mesma é calculada em função da altura do objeto lançado em relação à superfície do planeta central e a velocidade de lançamento. Então, esta variável é responsável por mudar a excentricidade e fazer o objeto colidir com o planeta, mantendo a órbita elíptica ou escapar em uma trajetória parabólica ou hiperbólica. Outra variável se dá através do ângulo de lançamento GLYPH<31>, que indica o ângulo entre o vetor raio da Terra e o vetor velocidade de lançamento. Este ângulo representa se estamos lançando um objeto na vertical em relação à superfície da Terra, sendo um lançamento para "cima" ou horizontal em relação à superfície da Terra, sendo um lançamento para o "horizonte".

Como o raio da Terra está na direção radial, o consideramos na vertical em relação à superfície da Terra. Então, para GLYPH<31> = 0 o lançamento é na direção vertical, e para GLYPH<31> = 90 é lançamento na horizontal. Nos exemplos acima, utilizamos GLYPH<31> = 90. Variando um pouco este ângulo, verificamos que nem sempre o objeto se encontra em órbita podendo colidir com a Terra. Vejamos a fig-6. Nesta figura, a linha tracejada que representa o objeto em órbita, sobrepõe-se a linha contínua (planeta central) indicando colisão. Para melhor visualização, poderíamos fazer uma figura semelhante a fig-2 para melhor visualização.

Com isto, verificamos o comportamento de um objeto lançado aos arredores de um planeta e fomos capazes de testar diferentes condições de forma dinamizar o problema.

Fig.2: Distância á superfície da Terra de um objeto em órbita em função do ângulo de órbita.

<!-- image -->

Fig.1: Orbita de um objeto em torno da Terra com excentricidade 0,8.

<!-- image -->

Fig.3: Visão 3D da trajetória de um objeto em órbita em torno da superfície da Terra.

<!-- image -->

Fig.5: Órbita hiperbólica de um objeto em torno da Terra com excentricidade 1,1.

<!-- image -->

Fig.4: Órbita parabólica de um objeto em torno da Terra com excentricidade 1,0.

<!-- image -->

Fig.6: Orbita de um objeto lan¸cado com ângulo de lançamento entre o raio da Terra e a velocidade inicial como sendo φ = 65 . 0

<!-- image -->

## Considerações Finais

A idéia em simular problemas em um programa computacional é despertar no estudante de física a vontade e a necessidade em se aprender conceitos teóricos, capacitando-o visualizar seus resultados além da teoria sem que isto gere custos com laboratórios experimentais.

## Referências

[1] Simulador de propagação de ondas mecânicas em meios sólidos para o ensino da física, rbef, v. 32, n. 1, 1501 (2010). Experimento Balístico Virtual aplicado ao Ensino da Mecânica Clássica.

- [2] http://www.larv.ufpa.br/downloads/artigos/labs\_virtuais/SVR\_IC\_2006.pdf, acesso em 20 de outubro de 2010.
- [3] http://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB, acesso em 20 de outubro de 2010.
- [4] Mecânica Vetorial para Engenheiros, Vol.2 - 5 edição, Ferdinando P. a Beer e E. Russel Johnston, Jr. McGrawHill.