Inconsistência da famosa aplicação do princípio da incerteza de Heisenberg ao átomo de hidrogênio

## INCONSISTÊNCIA DA FAMOSA APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG AO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

## Karen Fernanda Pagnoni 1 , Alexys Bruno-Alfonso 2

- 1 UNESP Bauru / Curso de Licenciatura em Física / karen.pagnoni@unesp.br
- 2 UNESP Bauru / Departamento de Matemática / alexys.bruno-alfonso@unesp.br

## Resumo

As relações de incerteza de Heisenberg são pilares da teoria quântica comumente utilizadas para introduzir ideias essenciais da teoria e fazer previsões sobre sistemas quânticos. Este trabalho reitera e justifica um alerta publicado em 1976 pelo professor Elliot H. Lieb da Universidade de Princeton sobre a inconsistência da famosa aplicação dessas relações para explicar a estabilidade do átomo de hidrogênio e estimar o seu tamanho. Tal aplicação tem se disseminado na literatura básica de cursos de Física Moderna e Mecânica Quântica por mais de 70 anos, incluindo livros de autores renomados como Feynman e Eisberg. A fonte principal de erro está na suposição de que o valor esperado da distância elétron-núcleo é da ordem do inverso da incerteza da posição do elétron. Apesar da condição valer para a solução exata do problema, não é admissível como ponto de partida na resolução. Reforçamos a necessidade de não negligenciar o tratamento matemático na teoria quântica.

Palavras-chave : Relações de Incerteza de Heisenberg, Átomo de Hidrogênio, Erros em Livros-Texto.

## Introdução

Quase um século após a publicação do físico alemão W. Heisenberg (1927), as relações de incerteza entre a posição e o momento linear de uma partícula se tornaram pilares para a física moderna (Lindley, 2008). Elas trouxeram uma compreensão única dos fenômenos atômicos, impactando o desenvolvimento da ciência.

Ao mesmo tempo, as relações de incerteza continuam a desafiar tanto estudantes quanto professores de física. Três das principais razões dessa dificuldade podem ser as seguintes: (i) o acesso insuficiente a informações quantitativas sobre experimentos onde as relações se manifestam, (ii) o enraizamento das ideias, devido ao rigoroso estudo em física clássica que tradicionalmente precede o estudo do mundo quântico, (iii) uma simplificação excessiva do tratamento matemático das relações de incerteza. A necessidade de uma melhor compreensão do princípio da incerteza é refletida pela atenção que ele tem recebido ao longo dos anos.

Quando a posição de uma partícula é medida, os valores obtidos se dispersam em torno do valor esperado, o que também ocorre com o momento linear. Para uma partícula em um dado estado quântico, as magnitudes podem ser medidas, em experimentos separados, com uma precisão limitada pela tecnologia. Curiosamente, o produto das incertezas será maior ou igual a uma quantidade estritamente positiva. Portanto, se a incerteza na posição se tornar suficientemente pequena, a incerteza no momento será arbitrariamente grande, e vice-versa. As duas magnitudes não podem ser determinadas com precisão arbitrária no mesmo estado.

Devido à sua aparente simplicidade matemática, as relações de incerteza são utilizadas para explicar fenômenos quânticos e fazer estimativas aproximadas sobre

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20 a 24 de janeiro de 2025 - Niterói - RJ

os estados quânticos de uma partícula. Considerando a importância do átomo de hidrogênio no ensino e aprendizado da física moderna, uma das mais famosas aplicações dessas relações tem sido explicar a estabilidade do átomo e estimar o seu nível de energia fundamental. Isto pode ser constatado em vários livros-texto tradicionais que versam sobre Mecânica Quântica (Bohm, 1951; Cohen-Tannoudji, 1986) e Física Moderna (Feynman, 1963; Eisberg, 1985; Tipler, 2012; Nussenzveig, 2014). Desafortunadamente, tais aplicações são variações de um argumento inconsistente que vem se espalhando nos cursos de Física ao longo de mais de 70 anos, apesar do alerta lançado por Lieb há quase meio século (Lieb, 1976).

Neste trabalho reiteramos o alerta sobre a mencionada inconsistência, trazendo uma análise de alguns textos e estendendo as ideias de Lieb. Sem deixar de reconhecer o imenso mérito científico e didático dos autores cujas obras criticamos, esperamos contribuir para a compreensão geral da teoria quântica, através de um tratamento matemático rigoroso. Igualmente, pretendemos estimular a realização de melhoramentos importantes na bibliografia básica do tema.

## As Relações de Incerteza e o Valor Esperado da Energia

Na formulação de Schrödinger, cada estado estacionário de uma partícula é dado pelas funções de onda 𝜓(𝑟 ⃗) e 𝜙(𝑝 ⃗) que o representam nos espaços da posição e do momento, respectivamente. Os quadrados dos valores absolutos dessas funções fornecem as densidades de probabilidade de encontrar o elétron em uma vizinhança infinitesimal de cada ponto fixo no espaço correspondente. O valor esperado e a incerteza da posição são dados por

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e

com

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Expressões análogas valem para ⟨𝑝 ⃗⟩ , 𝛥𝑝 e ⟨𝑝 2 ⟩ , com 𝜙(𝑝 ⃗) no lugar de 𝜓(𝑟 ⃗) . Cada integral é calculada sobre todo o espaço vetorial tridimensional.

As relações de incerteza decorrem do fato de que 𝜙(𝑝 ⃗) é a transformada de Fourier de 𝜓(𝑟 ⃗) . Quando uma delas apresenta um único pico suficientemente estreito próximo a um ponto fixo, a outra se espalha por uma região bastante ampla no outro espaço. Quantitativamente, isso é descrito pela relação entre os desvios padrão ao longo de cada eixo cartesiano:

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em que 𝛿𝑖𝑗 é o delta de Kronecker. Ele assume o valor 1 quando 𝑖 = 𝑗 e, 0, em caso contrário. Portanto, as incertezas 𝛥𝑥𝑖 e 𝛥𝑝𝑗 estão relacionadas se e somente se 𝑖 = 𝑗 .

Para obter uma relação de incerteza tridimensional entre 𝛥𝑟 e 𝛥𝑝 , observamos que a Eq. (4) e o fato da a média harmônica dos quadrados das incertezas ser igual ou menor que a média aritmética dos quadrados levam a

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A relação de incerteza na Eq. (6) permite obter um limite inferior para o valor esperado da energia cinética da partícula, a saber:

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Então, o valor esperado da energia 𝐸 da partícula, dado pela soma dos valores esperados da energia cinética e da energia potencial 𝑈(𝑟 ⃗) , satisfaz

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em que

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é um funcional da densidade de probabilidade de posição 𝜌 = |𝜓| 2 . Se esse funcional tiver um valor mínimo denotado por ℇ𝑚í𝑛 , então teremos

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e ℇ𝑚í𝑛 pode ser uma estimativa do nível fundamental de energia.

A otimização da funcional ℇ[𝜌] deve ser realizada sobre toda a família de formas permitidas para a densidade de probabilidade 𝜌(𝑟 ⃗) : contínuas e normalizadas no espaço tridimensional. No entanto, considerar subfamílias paramétricas de distribuições pode fornecer informações úteis sobre a solução. A existência de ℇ𝑚í𝑛 e a qualidade da sua aproximação à energia do estado fundamental dependem do potencial específico 𝑈(𝑟 ⃗) . Para o oscilador harmônico tridimensional isotrópico com energia potencial 𝑈(𝑟 ⃗) = 𝑚𝜔 2 𝑟 2 /2 , verifica-se que ℇ𝑚í𝑛 = 3ℏ𝜔/2 , que é o valor exato do nível de energia fundamental. Veremos a seguir que no átomo de hidrogênio o procedimento requer maior cuidado.

## Aplicações ao Átomo de Hidrogênio

A energia potencial do elétron no átomo de hidrogênio é dada por 𝑈(𝑟 ⃗) = -𝑘𝑞 2 /𝑟 , em que 𝑞 é o valor da carga do elétron, 𝑟 = |𝑟 ⃗| , 𝑘 = 1/(4𝜋𝜖0 ) e 𝜖0 é a permissividade elétrica do vazio. Portanto, o funcional a minimizar adota a forma

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com

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donde

## Uma boa estimativa sob condições bastante restritas

Quando a análise é restrita às distribuições 𝜌(𝑟 ⃗) isotrópicas que decaem exponencialmente com 𝑟 , então o funcional de energia ℇ[𝜌] é limitada inferiormente. Se trata da subfamília paramétrica de distribuições de probabilidade dadas por 𝜌(𝑟 ⃗) = 𝑓(𝑎, 𝑟) , com

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onde 𝑎 é um parâmetro ajustável. Neste caso, 𝛥𝑟 = √ 3 𝑎 e ⟨1/𝑟⟩ = 1/𝑎 , de modo que

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Sendo onde 𝑅𝑦 = 𝑞 4 𝑘 2 𝑚/(2ℏ 2 ) ≈ 13,606 eV e 𝑎0 = ℏ 2 /(𝑞 2 𝑘𝑚) ≈ 0,522 Å a energia de Rydberg e o raio de Bohr, respectivamente. O valor mínimo é dado por ℇ𝑚í𝑛 = - 𝑅𝑦/ 4 3 e corresponde a 𝑎 = 3 𝑎0/ 4 . Assim, a nossa estimativa do nível de energia fundamental é 𝐸 0 ≈ - 𝑅𝑦/ 4 3 .

Observamos que a estimativa é razoável, uma vez que o valor exato é 𝐸0 = -𝑅𝑦 . Além disso, a distribuição exata 𝜌0 (𝑟 ⃗) = 𝑓(𝑎 0 , 𝑟) decai exponencialmente. No entanto, ao tentar estimar o nível de energia fundamental a partir das relações de incerteza, não há razão para restringir a minimização do funcional à subfamília de distribuições que decaem exponencialmente.

## Aplicação por Outros Autores

Para o átomo de hidrogênio, alguns autores têm feito suposições questionáveis sobre a distribuição de probabilidade. Tem sido comum impor a condição

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de que o valor esperado de 1 /𝑟 é da ordem de 1 /𝛥𝑟 . Para densidades de probabilidade que decaem exponencialmente a suposição é boa, pois temos ⟨1/𝑟⟩ = √3/𝛥𝑟 . Entretanto, existem distribuições em que tal suposição é totalmente inadequada.

No terceiro volume das suas reconhecidas lições de Física publicadas originalmente em 1965, Feynman dedica a Seção 2.4 estimar o tamanho do átomo através do princípio da incerteza para o átomo de hidrogênio (Feynman, 2010). Curiosamente, no início da seção ele adverte que a discussão não deve ser levada muito a sério:

' We now consider another application of the uncertainty relation, Eq. (2.3). It must not be taken too seriously; the idea is right but the analysis is not very accurate. (seção 2, pág. 10). '

Feynman assume que 𝛥𝑟 é da ordem de um parâmetro 𝑎 e afirma que, pelo princípio de incerteza, 𝛥𝑝 é da ordem de ℏ/𝑎 , donde a energia cinética é aproximada

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por ℏ 2 /(2𝑚𝑎) . Então, considera que a energia potencial é da ordem de -𝑘𝑞 2 /𝑎 . Tal consideração equivale à condição ⟨1/𝑟⟩ ∼ 1/𝛥𝑟 , portanto, é questionável. Assim expressa a energia total 𝐸 como função de 𝑎 e determina o valor desse parâmetro que minimiza 𝐸 . Impressionantemente, os resultados são exatos: 𝐸 = -𝑅𝑦 e 𝑎 = 𝑎0 . Nesse ponto, Feynman admite ter trapaceado e prossegue a afirmar que os cálculos mostram que a forma correta de explicar a estabilidade dos átomos e objetos.

Eisberg (1985) segue um roteiro similar ao do Feynman ao abordar o mesmo problema, no Exemplo 7-4 do seu livro de Física Quântica de Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. Fazendo essencialmente as mesmas suposições, e afirma que as ideias simples apresentadas fornecem uma resposta bastante satisfatória à questão sobre a estabilidade do estado fundamental do átomo.

## O alerta do Lieb e sua extensão

Em contraposição a abordagens como aquelas descritas na subseção anterior, Lieb discutiu em 1976 a estabilidade da matéria num artigo publicado na Review of Modern Physics (Lieb, 1976). Ele aponta a aplicação convencional e inadequada do princípio da incerteza de Heisenberg no contexto de estabilidade atômica, explicando que mesmo que o princípio garanta o aumento do valor esperado da energia cinética com o confinamento da partícula, isso não é suficiente para impedir o colapso total do sistema. A diferença crucial na abordagem de Lieb está na consideração de uma subfamília específica de densidades de probabilidade que violam a condição ⟨1/𝑟⟩ ∼ 1/𝛥𝑟 . Em cada distribuição o elétron pode ser achado com probabilidade 0,5 numa bola de raio 𝑅 centrada no núcleo e com probabilidade 0,5 numa casca esférica fina de raio 𝐿 . O parâmetro 𝑅 é ajustável enquanto 𝐿 permanece fixo. Então, demonstra que a função tradicionalmente considerada para o valor esperado de energia não está limitada inferiormente e, portanto, não é possível obter o nível de energia fundamental por minimização desta função.

Para estender as ideias de Lieb, consideramos uma subfamília alternativa de distribuições de probabilidade da forma

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com parâmetro ajustável 𝑎 e 𝑓(𝑎, 𝑟) dada pela Eq. (13). Consequentemente, temos

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e

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de modo que para 𝑎 ≪ 𝑎0 o produto

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pode assumir valores arbitrariamente grandes. Isto viola claramente a hipótese tradicional ⟨1/𝑟⟩ ∼ 1/𝛥𝑟 . Além disso, temos 𝛥𝑟 → 0 e

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quando 𝑎 → 0 . Assim verificamos que as relações de incerteza não negam a existência de estados eletrônicos arbitrariamente confinados perto do núcleo e não garantem a existência de um nível fundamental de energia.

## Conclusão

Analisamos a aplicabilidade das relações de incerteza de Heisenberg para estimar o nível de energia fundamental do átomo de hidrogênio. Físicos notáveis como Feynman (2010) e Eisberg (1985) têm apresentado aplicações inconsistentes, enquanto Lieb (1976) destacou a inconsistência em seu artigo sobre a estabilidade da matéria. Infelizmente, uma série de livros didáticos subsequentes sobre física moderna e mecânica quântica não a notaram. O presente trabalho destaca e amplia as ideias de Lieb.

A análise de falhas na aplicação do princípio da incerteza de Heisenberg ao átomo de hidrogênio ressalta a importância de um ensino que equilibre o conceito físico e formalismo matemático. O desafio, então, está em promover uma compreensão profunda que vá além da simplificação excessiva, especialmente no contexto educacional. O rigor matemático deve ser preservado para garantir que as implicações das relações de incerteza sejam corretamente interpretadas e aplicadas, oferecendo uma visão mais clara e precisa dos fenômenos quânticos.

- O ensino de mecânica quântica, devido à sua complexidade matemática, apresenta diversos desafios tanto para professores quanto para estudantes, no ensino médio e superior. Para explicar um fenômeno físico, é essencial o uso da matemática para fundamentar a discussão teórica e experimental. Nesse contexto, são feitas simplificações matemáticas para facilitar a compreensão dos conceitos físicos sem torná-los mais complexos. No entanto, há um limite para o grau de simplificação que pode ser aplicado.

Um estudo realizado por Lima et al. (2015) sobre livros didáticos de mecânica quântica no ensino médio aprovados no PNLDEM 2015, revela que os erros encontrados nesses livros são os mesmos observados no ensino superior. Entre os diversos aspectos apontados, como a reprodução de conteúdo sem crítica, a abordagem histórica limitada e a visão positivista, a crítica à simplificação matemática nos livros didáticos também se aplica ao ensino superior. Embora os cursos de graduação incluam uma matemática avançada, a forma como os conceitos são apresentados pode ainda ser excessivamente simplificada, o que não prepara adequadamente os alunos de graduação, resultando em professores que, por sua vez, não conseguem apresentar de forma clara os temas mais complexos aos seus alunos do ensino médio.

- O ensino da mecânica quântica, como discutido no artigo de Klimets (2004), enfrenta o desafio de equilibrar simplicidade matemática e precisão conceitual, um trade-off destacado por Niels Bohr. Ele enfatizou que a criação de uma imagem física

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do mundo pode exigir a negligência de detalhes, facilitando a compreensão inicial, mas potencialmente levando a uma visão superficial. O princípio da incerteza de Heisenberg exemplifica essa tensão: simplificações podem ajudar na introdução do conceito, mas a complexidade da mecânica quântica demanda rigor para evitar malentendidos. Portanto, é essencial que o ensino encontre um equilíbrio que respeite a complexidade dos fenômenos quânticos e a matemática que os descreve.

## Agradecimentos

À FAPESP (2023/15045-1), pelo apoio financeiro, e ao Professor Roger Lewis da University of Wollongong, Austrália, por discussões sobre o trabalho.

## Referências

BOHM, D. Quantum Theory . 1. ed. New York: Dover Publications, inc., 2012.

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