Medindo o Raio da Terra com o Experimento de Eratóstenes

## MEDINDO O RAIO DA TERRA COM O EXPERIMENTO DE ERATÓSTENES

Iasmin Costa da Silva 1 , Elcimar Pessoa Rocha 2 , Kleber da Luz Bastos 3

- 1 Instituto Federal Bahia, campus Salvador / Licencianda Física, costaiasmin2025@gmail.com
- 2 Instituto Federal da Bahia, campus Salvador / DEFIS-IFBA; elcimar@ifba.edu.br
- 3 Instituto Federal do Amazonas, campus Manaus Centro; kleber.bastos@ifam.edu.br

## Resumo

O experimento realizado por Eratóstenes tem mais de 2200 anos e ainda é (re)executado, refeito e revisitado, por estudantes professores e entusiastas da astronomia, dentre outros motivos pela simplicidade procedimental do experimento. Em tempos mais recentes, grande parte dos métodos usados para medir as sombras e posterior determinação do raio da Terra, se ancora na escolha de duas cidades de longitudes iguais ou muito próximas, sendo que em uma delas teremos de ter o Sol no Zênite, semelhante ao experimento original. Neste trabalho pretendemos mostrar um caminho para a realização do experimento de modo simplificado, porem tão efetivo quanto outros mais elaborados, fazendo uso de tecnologias simples e já adicionadas ao quotidiano da maioria dos brasileiros, e pessoas mundo a fora. Deste modo conseguimos medir com erros quase sempre inferiores a 1% a partir de qualquer cidade e a qualquer dia do ano. Com limitações apenas quanto ao tempo dos locais das medidas (por óbvio temos de ter céu aberto sem nuvens e ser dia) e horário (em geral horas próximas ao meio dia). Acreditamos que este texto pode fornecer excelente material para divulgação científica e apoio em aulas de ciências, física e astronomia, pois mostra procedimento simples e efetivo para reprodução do experimento clássico de medida do raio da Terra feita pelo Eratóstenes.

Palavras-chave: Medida do Raio da Terra; Experimento de Eratóstenes; Medida Astronômica;

## Introdução

Devido a descrença de alguns, em relação a esfericidade da Terra e com o aumento de movimentos terraplanistas e negacionistas, sempre há a necessidade de criarmos formas de levar a ciência de modo acessível para a população, seja na sala de aula, em atividades de extensão ou em ações de divulgação cientifica sempre pautada na alfabetização e letramento científico e no combate à anti-ciência e trazendo novas práticas educativas (Vilela; Selles, 2020). Com o experimento de Eratóstenes, podemos abordar, discutir, ensinar e aprender conceitos físicos e matemáticos durante a preparação e realização das medidas. Ao utilizarmos tecnologias no auxilio das medidas, podemos aproximar os participantes dos conceitos de ciência. Para a realização da atividade, apesar de poder ser feita de modo solo, é interessante que seja realizado por grupos em mais de uma cidade e de diferentes níveis de escolaridade. Visto que pode ser uma excelente atividade no âmbito da formação de professores. E o fato de propormos uma montagem simples e de baixo custo facilitando a reprodução aproxima o experimento o estudante do experimento e da ciência (Nogueira; Hernandes, 2021).

O procedimento de medida realizado por Eratóstenes usava o modelo descrito na figura 1. Dado que a Terra é esférica e com raio muito grande, o triangulo 1: formado

pelos raios de luz do Sol, gnômon e sombra projetada do gnômon no solo; e o triangulo 2: formado pelo prolongamento dos raios solares, raio da terra e distância entre as cidades são com boa aproximação semelhantes de modo que os ângulos 𝜃 apontados na figura podem ser tomados como iguais, de modo que obtemos a expressão abaixo, eq. (01), a qual usaremos para determinar o raio da Terra ( 𝑅𝑇 ).

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Temos que, na eq. (01) 𝑦 é a altura do gnômon, 𝐷 é a distância entre as cidades, 𝑠 é o comprimento da sombra projetada do gnômon e 𝑅𝑇 é o raio da Terra:

Figura 1: Nas imagens vemos que o triangulo interno a Terra e triangulo formado pelo gnômon/nível são semelhantes, em primeira aproximação.

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Da expressão eq. (01) vemos que são três as grandezas que precisamos medir para obtermos o raio da Terra: altura do gnômon, comprimento da sombra e distância entre as cidades. Na sequência mostraremos como realizar cada um dos passos.

## Procedimento de Medida do Raio da Terra

A montagem experimental consiste em escolher ao menos duas cidades sendo que em uma delas devemos saber dia e hora do zênite (momento em que o sol está a 90° , quando o sol está a "pino"), e na outra (ou nas demais) tenha pessoas disponíveis para realizar as medidas munidas de um gnômon (ou equivalente) e uma régua.

## O Zênite e a Distância entre as Cidades

A determinação do dia do zênite pode ser um tanto trabalhosa, uma forma de encontra-lo é pela expressão eq. (02) escrita abaixo, e pode ser consultada em mais detalhes em (Bedaque; Bretones, 2019).

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A expressão acima, determina o dia, 𝑑 , Juliano do zênite de uma dada latitude, 𝜃 , assim, utilizando-a podemos saber quais dias a cidades/localidade dos colaboradores estarão no zênite para o planejamento das medidas.

O fato é que por envolver ângulos e funções trigonométricas pode ser um empecilho para que determinado público participe do experimento ou possa reproduzir sozinho em casa. Para isso recomendamos que seja utilizado softwares offline ou online como os encontrado em sites como o https://rl.se/subsolarpoint, com o auxílio deste site (doravante site SP) poderemos encontrar a informação do dia e hora do zênite solar de forma rápida, abaixo, na figura 02, abaixo, mostramos como é o aspecto do referido site.

Figura 02: Aspecto da página inicial do site https://rl.se/sub-solar-point. Ao escolher uma localidade, o sistema retorna com dia e hora do zênite para a localidade escolhida.

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No site SP, escolhemos a localidade que estão os colaboradores e interessados em realizar o experimento. O site vai retornar com as datas onde temos zênite para as localidades escolhidas. Deste modo os participantes podem construir um calendário e se programar para as medidas. A outra medida que devemos conhecer é a distância entre a cidade que o sol estará no zênite e as demais cidades Para isso utilizamos o cálculo fornecido pelo Google Earth. Após escolhida as cidades, entramos no Google Earth e conseguimos a distância entre elas.

## O gnômon e a régua

Pouco antes do horário do zênite as equipes podem montar o gnômon para efetuar as medidas. Escolhemos utilizar um 'nível' de bolha, amplamente utilizado por pedreiros e profissionais correlatos. A escolha do nível como gnômon se dá pela facilidade de obtenção, tanto pelo fato de ser muito utilizado como de ser barato, mas

principalmente pelo fato do nível conter pelo menos dois níveis de bolha que vão servir para deixarmos o gnômon/nível exatamente perpendicular ao solo.

Na figura 3, vemos dois níveis, duas medidas feitas na mesma cidade em bairros diferentes, utilizados para compor os resultados. No nível da direita as condições estavam favoráveis e a medida foi fácil e clara, na outra como dia parcialmente nublado a sobra projetada dificultou a medida. Na Figura 4, temos frames/prints retirado de uma das lives feitas, essa a de 11 de março de 2024, com colaboradores em Salvador-BA, e em Manaus-AM, onde tínhamos Sol no Zênite. Perceba a sombra que aparece na primeira imagem, a mais à esquerda, esta sombra do celular que filma o procedimento mostra que tínhamos sol no momento da gravação, mas a garrafa que era usada como gnômon não tem sombra, mostrando que tínhamos zênite(!). Todo o procedimento de medida foi feito durante a live ao vivo.

Figura 3: Níveis utilizados como gnômon.

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Figura 4: Print de medida feita em m 11 de março de 2024, à direita em Salvador-BA, onde medimos a sombra e as duas da esquerda em Manaus-AM, onde tínhamos Sol no Zênite.

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## Descrição de uma das medidas

A exemplo descreveremos como foi feito o planejamento de uma das medidas realizadas foi feita no dia 20 de janeiro de 2024. Em dezembro planejamos uma série de medidas para o mês de janeiro. A equipe constava de três grupos que estariam em dois no Brasil: um em Salvador-BA e outro em Manaus-AM e o terceiro em Colônia do

Sacramento no Uruguai. Em nenhum desses locais teríamos zênite, porem após consulta vimos que no dia 20 de janeiro de 2024, duas localidades próximas a Corumbá-MS teriam zênite em janeiro na semana desejada, são elas: Urucum (20,09°S, -57,48°N) com zênite as 13h00min e Coimbra-MS (-19,93°S, -57,82°N), com zênite as 13h02min ambas no horário de Brasília. Deste modo mesmo sem equipe nesses locais, poderíamos fazer a medida. E as fizemos, obtendo o valor médio de 𝑅𝑇 = 6328,5 𝑘𝑚 , o que da um erro inferior a 1,0% . Para o valor médio fizemos a média das medidas em cada cidade nos dois horários. Em um dos locais estava nublado e não pudemos fazer medidas, nos outros dois conseguimos. Utilizamos como valor de referência o raio médio da Terra igual a 𝑅𝑇 ∗ = 6378 𝑘𝑚 , o que nos dá uma acurácia tal que a discrepância relativa foi de:

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Esse resultado é muito próximo ao encontrado pelo Eratóstenes,

## Considerações e Perspectivas

Consideramos que o procedimento descrito é um ótimo exemplo de como fazer o experimento de medida do raio da Terra ensinado por Eratóstenes. Quando feito em grupo é possível obter mais dados como exemplo na medida feita em março de 2024 em live Salvador/Manaus, como uma das localidades estava no zênite foi possível medir a sombra em Salvador - BA, e verificar a ausência de sombra em Manaus AM. Durante a live foi possível discutir o fenômeno e experimento, de modo que é a opção onde, na visão dos autores, é a que traz mais resultados por estar sendo feita em coletivo, com as visões de todos os participantes.

Mas, como vimos, há ainda a possibilidade da medida ser feita sem que ninguém esteja presente no local onde o Sol estará a 'pino', exatamente como feito pelo Eratóstenes. Em casos excepcionais, pode ser feito inclusive por uma única pessoa. Deste modo o procedimento aqui descrito é de aplicação e reprodução democrática, sendo fácil e simples tornando-o praticamente pronto para ser usado em turmas desde o fundamental até na formação de professores em cursos de graduação.

Como perspectivas, percebemos que o instante da medida pode ser negligenciado em alguns poucos minutos e o resultado ainda será satisfatório, assim como fazer a medida um dia antes do zênite ou depois. Em trabalhos futuros pretendemos estudar como esse erro varia.

## Agradecimentos

Gostaríamos de agradecer ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia (IFBA) e seu Programa Institucional de Bolsa de Iniciação Científica (PIBIC) que pelo Edital nº 03/2023/PRPGI/IFBA, permitiu que fossemos contemplados com bolsa do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) com o

projeto de pesquisa Medindo o Raio da Terra - Uma Abordagem Moderna do Experimento de Eratóstenes . Agradecemos, também ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Amazonas (IFAM) campus Manaus Centro, pela parceria e colaboração na realização de medidas essenciais aos resultados.

## Referências

BEDAQUE, Paulo; BRETONES, Paulo Sergio. O Sol está sempre a pino ao meio-dia? Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 42, p. e20190025, 2019.

NOGUEIRA, G. T.; HERNANDES, J. A. Laboratório de Física IV baseado em experimentos de baixo custo: relato de uma experiência de ensino remoto devido à pandemia de COVID-19. Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 43, 2021.

VILELA, M. L.; SELLES, S. E. É possível uma Educação em Ciências crítica em tempos de negacionismo científico? Caderno Brasileiro de Ensino de Física , v. 37, n. 3, p. 1722-1747, 2020.