Oscilador Harmônico com Massa Variável e a Segunda Lei de Newton

## OSCILADOR HARMÔNICO COM MASSA VARIÁVEL E A SEGUNDA LEI DE NEWTON

## THE HARMONIC OSCILATOR OF VARIABLE MASS AND THE SECOND LAW OF NEWTON

## Julio S Espinoza Ortiz 1,2 , Eberth Correa 3

1 Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas/LAFEX/RJ, jsespino.phys@gmail.com

2 Universidade Federal de Goiás /Departamento de Física/Catalão-GO

3 Universidade Federal do Triângulo Mineiro/Instituto de Ciências Tecnológicas e Exatas/Uberaba, eberthcorrea@gmail.com

## Justificativa e Objetivo

O oscilador harmônico simples (OHS) é um dos sistemas mais empregados na modelagem da Física [1-2]. Devido a sua simplicidade e fácil descrição pelas equações de Newton na mecânica clássica, tal sistema descreve perfeitamente o balanço energético entre energia potencial elástica e energia cinética. Na mecânica quântica é o principal protagonista das hipóteses de quantização com resultados empíricos fantásticos. Como sistema mecânico é um excelente sistema para o estudo e a modelagem para movimentos periódicos.

Dentre as diferentes formas de OHS estamos interessados no oscilador harmônico pendurado por uma mola no qual a força peso está diretamente associada com a posição de equilíbrio em repouso. Além disso, queremos fazer com que o sistema perca massa através do escoamento de um material granular (areia). O esquema experimental é mostrado na Figura 1 onde são representados, à esquerda, a montagem do aparato experimental para medir o escoamento de massa, assim como a montagem experimental requerida para realizar as medidas de posição, à direita. Partiremos de um modelo teórico pré-estabelecido no estudo desse sistema [3] para descrevermos meticulosamente os dados experimentais obtidos. O estudo de sistemas com a variação de certos parâmetros constitui-se um bom aprofundamento no que tange as famosas leis que mudaram o mundo no século XVII, as leis de Newton. Mostraremos que o movimento resultante será composto por dois modos normais: um de translação e outro de oscilação através da segunda lei de Newton.

## Marco Teórico

Como no problema de perda de massa em um foguete [5], nosso ponto de partida será a variação de momento após a pequena porção de massa Δ m deixar a garrafa. Definindo como a velocidade relativa da porção de massa Δ m com relação à garrafa. Portanto, se considerarmos um certo instante de tempo e um pequeno intervalo de tempo t Δ t imediatamente posterior, podemos escrever, no limite Δ → t 0 , . Onde o segundo termo dessa equação é responsável pelo impulso devido à ejeção da massa, como o recuo de uma arma ao ser disparada. Contudo, devido à ejeção se dar apenas pela força da gravidade e, além disso, considerando-se o efeito da granularidade da areia,

podemos afirmar que a pequena quantidade de impulso assim a pequena porção de massa deixa a garrafa é desprezível em relação à grande quantidade de momento da garrafa. Consequentemente, a segunda lei de Newton para a garrafa pode ser escrita como: . Onde b é a resistência do ar, k a constante da mola e , como na figura a baixo.

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Figura 1: Diferentes esquemas de montagem do aparato experimental utilizado para medir o escoamento de massa e de posição, à esquerda e à direita da figura, respectivamente.

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## Metodologia e Análise da Pesquisa

Para a aquisição de medidas utilizamos os sensores disponíveis pela CIDEPE. Um sensor de força, um sensor de posição e a interface com o computador chamado Lab100. A primeira aquisição se refere ao escoamento de massa montado segundo o lado esquerdo na Figura 1. Para isso foram utilizadas duas tampas de uma garrafa plástica média com área de seção transversal regular, com orifício circular de diâmetros 5,20 mm e 7,73 mm. Na garrafa para efeitos de medidas da posição, foi transpassado perpendicularmente à linha de centro de massa um arame grosso para se pendurar dois suportes de pequenas massas de 10 g que, além de adicionar massa própria, servem de superfície refletora para o sensor de posição, como mostrado à direita da mesma figura.

Figura 2: O escoamento da massa em função do tempo para as tampas com furos de diâmetro menor (5,20 mm) e diâmetro maior (7,73 mm), respectivamente.

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Figura 3: Variação temporal da posição da garrafa para o escoamento partindo-se do repouso, na posição de equilíbrio, para as tampas com os mesmos furos à esquerda.

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Figura 5: O movimento puramente oscilatório da garrafa, onde foi subtraído o modo de translação do ponto de equilíbrio (Figura 4); para a garrafa com tampa menor e maior, respectivamente.

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Figura 4: A posição da garrafa em função do tempo para o movimento com escoamento partindo-se do repouso, fora da posição de equilíbrio. A figura superior refere-se à tampa menor e a inferior à tampa maior.

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## Conclusões

Neste trabalho realizamos inúmeras medidas experimentais a fim de confirmar várias previsões teóricas e experimentais disponíveis na literatura [3,4]. Para analisar o escoamento granular utilizamos a fórmula empírica de Yersel [4] para orifícios circulares, verificado a partir das medidas com o sensor de força. Em seguida, partindo-se do repouso e de uma posição fora do equilíbrio inicial medimos as oscilações do sistema com massa variável. Visando descrever o movimento da garrafa, nossa análise tem como ponto de partida a segunda lei de Newton. Verificam-se dois tipos de movimento presentes: O movimento de translação do ponto de equilíbrio e o movimento puramente oscilatório, constitui um movimento composto por dois modos normais. Concluímos então que o oscilador com massa variável é um bom sistema para se trabalhar as equações de Newton na sua plenitude.

## Referências

[1] B.E. Palladino e P. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 21 , 490 (1999).

[2] A.C. Bertuola, M.S. Hussein e M.P. Pato, Revista Brasileira de Ensino de Física 27 , 327 (2005).

- [3] J. Flores, G. Solovey e S. Gil, Am. J. Phys. 71 (7), 721 (2003).
- [4] M. Yersel, Phys. Teach. 38 , 290 (2000).

[5] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, 'Fundamentals of Physics' 8th edition (2010).