Entropia de Shannon Aplicada à Segurança da Informação: Uma Abordagem Didática para o Ensino Médio

## ENTROPIA DE SHANNON APLICADA À SEGURANÇA DA INFORMAÇÃO: UMA ABORDAGEM DIDÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

Arthur Novaes santos 1 , Jefferson Adriany Ribeiro da Cunha 2

1 Universidade Federal de Goiás, Instituto de Física, arthur\_santos@discente.ufg.br

2 Universidade Federal de Goiás, Instituto de Física, adriany@ufg.br

## Resumo

Este trabalho aborda o uso da entropia de Shannon e suas aplicações na prática de ensino de física para o ensino médio por meio da fomentação de uma nova compreensão de entropia além da convencional. Com objetivo de aproximar os alunos com a física, é apresentado um tema de física moderna muito relevante para o aprendizado sobre a teoria da informação e segurança de dados pessoais. Além da contextualização sobre o engenheiro Claude Shannon, a entropia de Shannon é uma importante equação matemática com diversos usos e aplicações tecnológicas como na correção de plágio e na inteligência artificial. Para fins de didática, foram elaboradas demonstrações de códigos de segurança às informações privadas com letras minúsculas, números e letras maiúsculas, assim como a combinação entre elas. Conforme o aumento dos elementos na composição das senhas, a complexidade das frases também aumenta proporcionalmente, provado pelo cálculo da entropia de Shannon, o que dificulta o acesso de intrusos e quebra desses códigos de segurança.

Palavras-chave : Entropia de Shannon, Teoria da Informação, Física Moderna e Contemporânea

## Introdução

Como preconiza as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+) (BRASIL, 2002), o ensino de física deve necessariamente abordar temas de física moderna e contemporânea. Reforçando o PCN+, a Lei N o 13.415/2017, que institui a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2018), considera os conteúdos de física moderna e contemporâneas, temas imprescindíveis para a formação dos estudantes. Diante destas exigências e observando a crescente utilização de Inteligências Artificiais Generativas (IAG) na produção de conhecimento no ensino de física (NETTO, 2024), a compreensão da entropia de Shannon e sua utilização na teoria da informação e seu desdobramento nas IAGS se faz urgente.

A importância dos conceitos da Teoria da Informação (TI) para ensino de física, tem início com a necessidade de apresentar novos assuntos e conteúdos similares no campo da entropia aos que já são lecionados em sala de aula. É evidente que, a física atualmente está interligada a diversas outras áreas do conhecimento, por isso, é pertinente demonstrar de maneira didática e dinâmica a relação e importância da Física com a teoria da informação. Um exemplo claro dessa relação é o prêmio Nobel de 2024 que evidencia a padronização das informações no aprendizado de máquinas, no qual o Físico e Biólogo laureado John Hopfield uniu brilhantemente ambas áreas do conhecimento (NOBEL, 2024).

Desde a antiguidade, as pessoas utilizam códigos e cifras para garantir a segurança de suas informações confidenciais de uma parcela que não pode ter

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acesso aos seus bens, segredos e propriedades. Com o avanço das tecnologias, essa realidade não mudou, a complexidade e autenticação dos códigos devem ser diretamente proporcionais às necessidades do indivíduo para que não sofra um ataque ao seu sistema de dados e tenha informações particulares expostas (COVER, 2006).

Na Termodinâmica, a entropia é um ente físico estudado desde a sua concepção no século XIX por Rudolf Clausius. Clausius definiu a entropia como uma medida de energia indisponível para realizar trabalho em um sistema. Após a elaboração da segunda lei da termodinâmica, que descreve que a entropia total de um sistema termodinâmico isolado tende a aumentar com o tempo, no século XX, a mecânica estatística desenvolvida por Boltzmann contribui mais para o conceito de entropia. A entropia então, foi relacionada ao número de microestados, ou seja, seu número de configurações ligados a medida ao grau de liberdade de um sistema. Por fim, o conceito de entropia possui diversas interpretações, assim como apresentado por Clausius, pela segunda lei da termodinâmica e por Boltzmann, em resumo, ela é um número de configuração de quantas maneiras possíveis um sistema formado por átomos ou moléculas, podem se distribuir em níveis energéticos quantizados. Se imaginar um copo quebrado é perceptível ver que ele é mais provável quebrar do que se recompor. (ÇENGEL, 2013).

Claude Elwood Shannon foi um importante Matemático e Engenheiro Elétrico americano que interpretou e associou a entropia a uma fonte de informação e publicou em 1948, um artigo científico intitulado de 'Teoria Matemática da Comunicação" (TMC). O foco principal de seu trabalho é encontrar uma maneira mais eficaz de se codificar uma mensagem que um indivíduo deseja transmitir. Nesse artigo, Shannon formulou uma medida de incerteza em uma mensagem e ficou conhecida como a entropia de Shannon ou Entropia da Informação (SHANNON, 1948).

A ideia da entropia de Shannon é medir a incerteza de um sistema por meio de parâmetros de probabilidade. A probabilidade estuda a chance de um determinado evento ocorrer em um sistema, ela está diretamente conectada com o conceito de incerteza, que é um conceito que reflete na falta do conhecimento exato sobre o resultado de um evento ou característica de um sistema. A prova desses conceitos atrelados a entropia de Shannon pode ser feita por um exemplo simples. A palavra ARARAQUARA possui diversas letras repetidas, o padrão de ocorrência da letra A na palavra é 5/10, da letra R é 3/10, das letras Q e U são 1/10. Shannon considerou que a informação de um sistema pode ser vista como forma de organização, e sua entropia, seu grau de desordem, uma forma de desorganização. Assim, a entropia de Shannon pode ser escrita como:

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Na equação (1) 𝐻 é descrito como a função distribuição de probabilidade e quantidade de informação, i são os valores que a soma vai atribuir desde o valor inicial ao valor final, 1 é o primeiro valor da soma e n é o termo final da soma que compõe a variável X, no caso do exemplo da palavra ARARAQUARA, é sua quantidade de entropia aplicada ao sistema considerado, 𝑋 é a variável aleatória, no exemplo da palavra, a variável é o objeto de estudo que contém as letras formadoras da informação, e por fim 𝑝(𝑥 𝑖 ) é a probabilidade de ocorrência do evento 𝑥 𝑖 , onde mais

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uma vez, no evento da palavra ARARAQUARA, é a probabilidade de ocorrer cada letra. Aplicando a fórmula de Shannon ao exemplo fica:

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É comumente utilizado o número 2 para a base do logaritmo para representar a resposta em números binários, ou seja, em Bits, que é a unidade fundamental da informação na computação e ele somente pode atribuir dois valores, 0 ou 1. Utilizar bits de informação facilita a aplicação da entropia de Shannon por reduzir os possíveis resultados. Uma exemplificação direta é adivinhar o nome de uma pessoa realizando somente perguntas de sim ou não, ou seja, só a duas possíveis respostas. A maioria das aplicações da entropia de Shannon em sistemas de comunicação digital utiliza da codificação binária por causa da comparação e interpretação dos resultados, assim como nas aplicações de senhas.

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A informação tal qual definida por Shannon, é uma quantidade objetiva real, assim como a massa e a energia são na Física. Portanto, o uso da expressão acima é necessário para medir a quantidade de informação. As aplicações da função de entropia de Shannon são relevantes em diversas áreas, como na teoria de informação quântica que é usada para quantificar a incerteza de sistemas quânticos, na linguística para identificar padrões linguísticos e complexidade de textos, entre outros (JAMES, 2009).

- O objetivo geral deste trabalho é desenvolver um método didático que relacione a função da entropia com a criação de códigos de acesso a informações privadas, além de conectar uma interpretação diferente sobre a entropia ensinada em sala de aula. Sem a aplicação do uso da entropia de Shanon na teoria da informação aplicada as chaves de segurança, a privacidade está sujeita a ataques e por isso a complexidade e a aleatoriedade de senhas é importante para a preservação de dados de um sistema. O objetivo específico é elaborar senhas de acesso e categorizar os níveis de complexidade por resultados através do cálculo da entropia da informação e criar uma dinâmica de aprendizado voltado para o ensino médio.

## Desenvolvimento das Atividades

A atividade fundamental da criação de códigos de segurança é uma proposta que solidifica uma base mais interessante para o ensino de física, tal qual o aprendizado de temas modernos e abrangentes como a entropia. Isto é muito importante dada a natureza dos conceitos e os desafios das aplicações em física.

- O código de acesso à alguma informação é composto por vários parâmetros como por exemplo letras, números, símbolos, além de seguir requisitos mínimos para que a senha tenha praticidade e uma complexidade adequada para o uso. A Equação de Shannon faz uma média da informação que um indivíduo criou ao formatar sua

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senha com uma somatória de todas as classes envolvidas no problema em questão. A partir desse cálculo é possível representar a entropia de uma letra do alfabeto.

Para determinar a entropia de uma letra do alfabeto, é preciso dividir igualmente as partes do alfabeto até chegar o momento em que apareça somente a letra escolhida. Se considerar todas as letras com eventos igualmente prováveis de ocorrência, a probabilidade de escolher uma letra para formar uma frase é 1/26, já a entropia associada à média de cada letra é dada por:

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A unidade de entropia da informação é dada em bits de informação, pois representa a quantidade de bits necessários para representar a respectiva sequência de letras que formam determinada palavra. A entropia de Shannon das letras maiúsculas é igual a entropia das letras minúsculas por conter a mesma quantidade no alfabeto. Já a entropia dos números é dada pela entropia dos algarismos naturais seguindo a sequência de números de 0 a 9:

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A mudança da função de distribuição H para a função G é por conta de uma convenção matemática para diferenciação dos cálculos, sendo H para identificar que a função é de alfabeto e G é uma função de número.

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## Resultados Obtidos

Com entropias calculadas foi possível combinar letras e números para formação de senhas muito fracas, fracas, fortes e muito fortes que podem ser utilizadas como senhas de acesso à informação privada e exclusiva. A escolha da quantidade de letras minúsculas, números e letras maiúsculas são importantes para demonstração de resultados e promover a didática da entropia.

Quadro 01: Tipos de senhas simplesQuadro 02: Tipos de senhas complexas

Quadro 03: Entropia de senhas simples

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Quadro 04: Entropia de senhas complexas

A obtenção de senhas fracas a partir dos exemplos do quadro 1 tem variedade na entropia de Shannon, com destaque para as senhas formadas somente por números justamente pelo tamanho do espaço amostral de 10 algarismos naturais.

Por uma série de escolhas, as senhas se tornam mais difíceis e únicas dentre todas as óbvias e existentes. Quanto maior a entropia, maior a quantidade de Bits de informação, logo, maior a configuração binária (0 ou 1) da senha.

## Conclusão

A necessidade didática de fomentar nos alunos do ensino médio, com conteúdos modernos e atuais nos diversos campos da física, se demonstra relevante para ampliação de conhecimentos e disseminação de material científico para a sociedade, assim como, incentivar os alunos a seguir na ciência mostrando-lhes que a Física em si não está somente nos livros, e sim, conectada a várias outras áreas do conhecimento. A aplicação da entropia de Shannon em senhas, demonstrou que um conceito abrangente da física pode ser trabalhado de maneira expositiva e utilizado no ensino de física, também no cotidiano. A evolução da complexidade, ou seja, o aumento dos valores em cada situação posta nas senhas, a entropia de Shannon foi provada a partir dos exemplos de senhas fracas, com valores menores de entropia,

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médias, com valores intermediários e fortes especificamente pela quantidade valores em bits de informação saída do código de acesso. Com avanços tecnológicos e de pesquisa no campo da Física e da teoria da informação, assim como foi vista na citação do prêmio Nobel, é nítido a importância de entender o tema tratado para que os alunos possam utilizar e conectar o tema de entropia, não só em termodinâmica, assim como também aplicações na estatística e teoria da informação. Esse conceito de entropia na elaboração de novas senhas e aperfeiçoamento das existentes pode garantir sua segurança de dados e conhecimento fundamental de entropia de Shannon.

## Referências

BRASIL. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN+. Ministério da Educação: Brasília, 2002.

COVER, Thomas M.; THOMAS, Joy A. Elements of Information Theory. 2. ed. Hoboken, NJ: WileyInterscience, 2006.

JAMES, Ioan. Claude Elwood Shannon 30 April 1916 - 24 February 2001. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. V. 55, p. 257-265, 2009.

SHANNON, EWOOD, Claude. A Mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal. 27(3), 379-423, 1948.

PRÊMIO Nobel de Física 2024. Nobel Prize, 2024. Disponível em: https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2024/popular-information/. Acesso em: 14 de nov. ce 2024.

ÇENGEL, Yunus A.; BOLES, Michael A. Termodinâmica. [7. Ed]. Rio de Janeiro: LTC, 2013. p. 347 348.

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