UMA APRESENTAÇÃO DE SIMULAÇÕES, UTILIZANDO O SOFTWARE MODELLUS, PARA A CRIAÇÃO DE ÓRBITAS EM UM SISTEMA VINCULADO MASSA-MOLA

## UMA APRESENTAÇÃO DE SIMULAÇÕES, UTILIZANDO O SOFTWARE MODELLUS, PARA A CRIAÇÃO DE ÓRBITAS DO SISTEMA MASSA-MOLA

Leonardo Sampaio Motta 1 , Rafael de Sousa Dutra 2 , Leandro Pereira , André da 3 Silva Ramos de Faria 4 , Márcio Velloso da Silveira 5 Antônio Carlos Fontes Santos 6

- 1 Colégio Brigadeiro Newton Braga, Diretoria de Ensino da Aeronáutica, Rio de Janeiro, RJ, Brazil 2,3 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brazil 4,5,6 Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, RJ, Brazil

## Resumo

Investigamos, neste estudo, a viabilidade da construção de curvas, utilizando simulações realizadas com o software livre Modellus que emergem de forma natural como trajetórias em um sistema massa-mola. Esse sistema realiza um movimento ao longo de um eixo que está em rotação circular uniforme, com um controle preciso da velocidade angular. O software Modellus nos permite criar simulações para demonstrar visualmente como o surgimento dessas curvas está diretamente relacionado às condições iniciais estabelecidas no problema e simular trajetórias que possuem uma realidade física garantida pela compressão e elongação da mola. Além disso, apresentamos uma análise detalhada sobre a realidade física de órbitas mais complexas, com múltiplos pontos de retorno, levando em consideração os efeitos atrativos e repulsivos do campo de força central, que são promovidos pela força elástica presente no sistema. Com isso, buscamos fornecer uma compreensão mais aprofundada sobre como essas trajetórias se desenvolvem e quais fatores influenciam seu comportamento.

Palavras-chave : referenciais não inerciais, software livre Modellus, modelagem.

## Introdução

Durante os cursos iniciais de graduação, nas ciências exatas e da terra, abordamos, na física introdutória, as transformações de Galileu, ao considerarmos uma translação relativa uniforme entre os dois referenciais, os chamados referenciais inerciais. Ao considerar uma translação não uniforme entre referenciais, em que um deles, por exemplo, é inercial, ocorre uma aceleração relativa que viola o princípio da relatividade de Galileu. Como resultado, as leis da mecânica aplicadas no referencial acelerado deixam de ser invariantes sob essas transformadas. Como as leis da mecânica deixam de ser válidas em referenciais acelerados, também conhecidos como referenciais não inerciais, sendo estes abordados de forma mais aprofundada, em cursos intermediários de mecânica, onde muitas vezes restringimos essa situação ao conceito de inércia ou força fictícia, apresentado como uma extensão das leis de Newton para lidar com esses problemas, em muitos casos, de forma mais confortável.

Apresentamos a análise, de um problema, no qual um colar está sujeito a um potencial de mola radial, seja atrativo ou repulsivo, e se move ao longo de uma haste (através de um eixo) que gira em movimento circular uniforme (MCU), no

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20 a 24 de janeiro de 2025 - Niterói - RJ

referencial do laboratório; considerado aqui como inercial, com uma velocidade angular controlada ω, conforme ilustrado na figura 01. É importante destacar que o atrito de deslizamento e a resistência do ar são desconsiderados neste estudo.

Figura 01: Colar ligado para se mover ao longo de um eixo passante e sujeito à força elástica de uma mola.

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O vínculo adicional, causado pela presença do eixo facilita a solução do problema, permitindo que o movimento radial no referencial não inercial rotativo seja obtido. Esse vínculo introduz uma força de contato normal adicional exercida pelo eixo sobre o colar, resultando na não conservação do momento angular do colar durante seu movimento em relação ao referencial do laboratório. Assim, o movimento do colar pode ser descrito como a combinação de um movimento radial, sobreposto ao movimento circular da haste (movimento de arraste). Como resultado, as órbitas podem ser abertas ou fechadas, conforme será demonstrado ao longo do trabalho.

## O modelo teórico

Considere uma partícula de massa m , representando o colar, fixada na extremidade de uma mola ideal com comprimento natural L0 e constante elástica k . Essa partícula é forçada a se mover ao longo de um eixo radial que gira em um plano horizontal com uma velocidade angular ω em relação ao sistema de coordenadas do laboratório (x, y, z) , conforme ilustrado na figura 1. Devido à conexão estabelecida pela presença do eixo passante, o comprimento da mola em um dado instante é descrito pela coordenada radial r no referencial do laboratório (x, y, z) e pela coordenada x' no referencial rotativo não inercial (x', y', z') , que está associado ao eixo giratório, onde ambos coincidem ( x'=r ). Mostraremos que uma abordagem direta para descrever o movimento da partícula consiste em primeiro determinar o comportamento temporal da coordenada radial no referencial rotativo não inercial e finalmente, o movimento resultante da partícula no referencial do laboratório é obtido pela combinação do movimento radial no referencial rotativo, regido pela força elástica, com o movimento restrito imposto pelo movimento circular uniforme (MCU).

## Análise do movimento no referencial não inercial

Na rotação, nos referenciais não inerciais, ( x', y', z' ) a segunda lei de Newton precisa ser reinterpretada em termos de aceleração relativa 𝑎 ⃗ ᇱ e da força resultante 𝐹ோ ሬ ሬ ሬ ⃗ ሬ ᇱ

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(incorporando também as forças fictícias) que atuam sobre a partícula naquele referencial, sendo agora 𝐹ோ ሬ ሬ ሬ ⃗ ሬ ᇱ = 𝑚𝑎 ⃗ ᇱ .

Desconsiderando a presença de quaisquer forças dissipativas em nossa análise, da rotação no referencial não inercial, temos:

- - Ao longo da direção z' , a força peso é equilibrada pela componente vertical 𝑁 ሬ ⃗ ሬ ௭ᇱ da força de contato normal exercida pelo eixo passante, fazendo com que a partícula mantenha seu movimento no plano (x,y) ;
- - Ao longo da direção y' , perpendicular à velocidade radial 𝑣 ⃗' ௥ , a força fictícia de Coriollis 𝐹 ⃗ ௖௢௥ = - 2 𝑚 𝜔 ⃗ 𝑥 𝑣 ⃗' ሬ ሬ ௥ [1] é equilibrada pela componente horizontal 𝑁 ሬ ⃗ ሬ ௬ᇱ = - 𝐹 ⃗ ௖௢௥ , de modo que a força resultante nessa direção é zero. A componente 𝑁 ሬ ⃗ ሬ ௬ᇱ é responsável pela variação do momento angular da partícula no referencial do laboratório.

Portanto, no plano x'y' , o movimento da partícula é restrito ao longo da direção x' , que coincide com a coordenada radial no referencial do laboratório. Nesse caso, a r partícula está sujeita a uma força radial resultante que decorre da força elástica 𝐹௘௟ = -𝑘 (𝑟 - 𝐿଴) e da força fictícia centrífuga 𝐹௖௙ = 𝑚𝜔 ଶ 𝑟 , levando à componente radial da força resultante no referencial rotativo não inercial 𝐹' ௥ = 𝑚𝜔 ଶ 𝑟 - 𝑘 (𝑟 - 𝐿 ଴ ) .

Aplicando a segunda lei de Newton adaptada ao referencial rotativo não inercial, 𝐹'ோ ሬ ሬ ሬ ⃗ = 𝑚 𝑎 ⃗' , obtemos que a aceleração radial 𝑎 ⃗ ' ௥ da partícula, ao longo do eixo passante, é proporcional ao comprimento da mola, dado pela coordenada radial , r com um termo constante adicional (típico de um movimento harmônico simples com a origem deslocada da posição de equilíbrio).

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Na figura 02, é representada esquematicamente a vista superior da figura 01:

Figura 02: Representação esquemática da vista superior da figura 1 em que a partícula tem movimento ligado ao longo de um eixo passante que gira em MCU com velocidade angular ω, sujeito à força elástica de uma mola representada pela seta roxa.

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Onde 𝜔଴ = ඥ𝑘/𝑚 é a frequência angular natural das oscilações associadas ao sistema massa-mola livre. Na situação em que 𝜔 &lt; 𝜔଴ , 𝜔௥ = ඥ𝜔 ଴ ଶ - 𝜔 ଶ representa a frequência angular das oscilações radiais. O sinal negativo na equação 1 indica que a aceleração se opõe aos deslocamentos radiais, em relação à posição de equilíbrio, sempre por meio das forças restauradoras, devido à mola e à força centrífuga.

Dois outros movimentos possíveis para este sistema ocorrem quando:

- -𝜔 = 𝜔଴ . Neste caso, 𝜔௥ = 0 e a partícula está sujeita a uma aceleração radial constante 𝑎' ௥ = 𝜔଴𝐿଴ ଶ , resultando em um movimento uniformemente acelerado da partícula afastando-se do eixo passante.
- -𝜔 &gt; 𝜔଴ , , causando uma aceleração que favorece deslocamentos radiais, não mais restauradores, uma vez que ( 𝜔଴ - 𝜔 ଶ ଶ ) &lt; 0 . Nesse caso, a coordenada radial aumenta exponencialmente ao longo do tempo 𝑟(𝑡) = 𝐶𝑒 ఉ௧ +𝐷𝑒 ିఉ௧ - 𝜔଴ 𝐿଴/𝛽 ଶ ଶ .

## Análise do movimento no referencial do laboratório

No referencial do laboratório, conforme ilustrado na figura 2, o movimento radial no referencial rotativo é combinado com o movimento circular uniforme, através das projeções da coordenada radial: 𝑥(𝑡) = 𝑟(𝑡) cos(𝜔𝑡 + 𝛿) e 𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡) sen(𝜔𝑡 + 𝛿) .

Na situação em que a partícula realiza um movimento harmônico na direção radial, com 𝜔 &lt; 𝜔଴ , podem ocorrer órbitas abertas ou fechadas. Quando a partícula realiza várias oscilações radiais durante várias revoluções completas, as órbitas são fechadas. Para que isso aconteça, a razão entre as frequências angulares do movimento circular uniforme ω e das oscilações radiais 𝜔௥ deve ser um número racional 𝛼 = 𝑝/𝑞 , onde p e q são inteiros, ou seja, ఠ ఠೝ = 𝛼 .

O cenário de órbitas abertas ocorre quando a razão entre as frequências angulares do movimento circular uniforme e do movimento radial é um número incomensurável α, ou seja, um número irracional. Esse tipo de órbita é restrito ao domínio teórico. Em um experimento real, todas as frequências serão medidas com precisão, e portanto, com um número finito de casas decimais. É possível aproximar-se cada vez mais da condição de órbitas abertas à medida que as medições se tornam mais precisas, mas, em algum momento, por mais longo que seja, a órbita acabará se fechando.

Em [2] o desenvolvimento teórico e a construção das trajetórias descritas pelas curvas polares clássicas: rosetas, limaçons e espirais logarítmicas, é colocado de maneira elegante e as simulações através do software Modellus ilustram bem as trajetórias, definidas pelas condições iniciais, uma vez que para gerar essas trajetórias descritas por curvas polares, basta substituir 𝜔/𝜔௥ = 𝛼 em 𝑟(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔௥ 𝑡 + 𝜑) + 𝜔 ଴ 𝐿 ଴ /𝜔 ௥ ଶ ଶ , tomando φ=0 e identificando θ=ωt como o ângulo polar descrito pelo eixo passante, conforme ilustrado na figura 2, obtemos 𝑟(𝜃) = 𝐴 cos ቀ ఏ ఈ ቁ + 𝐿 ଴ (1 + 𝛼 ଶ ) , que representa, em coordenadas polares, a equação

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para a trajetória da partícula no referencial do laboratório, sendo essa, a equação da representação geral de rosetas e limaçons.

- -Quando α=1 , obtemos que a trajetória seguida pela partícula é um caminho descrito por r 𝑟(𝜃) = 𝐴 cos(𝜃) + 2𝐿଴ . Dependendo dos valores assumidos pela

amplitude A e pelo comprimento inicial da mola 𝐿଴ , é possível gerar alguns dos tipos existentes de limaçons.

- - Quando α=1/n, com n pertencente aos números naturais, a partícula descreverá uma roseta com n ou 2n folhas, respectivamente, dependendo se n é ímpar ou par, com a origem deslocada de ଶ௅బ ൫ଵା௡ మ ൯ , e descrita por

௡ మ

- 𝑟(𝜃) = 𝐴 cos(𝑛𝜃) + 2𝐿଴ (1 + 𝑛 ଶ )/𝑛 ଶ .
- - Para a situação física em que 𝜔 &gt; 𝜔଴ , obtemos a espiral logarítmica [3]. Nesse caso, a coordenada radial cresce exponencialmente, e uma parametrização, tomando D=0 , é do tipo 𝑟(𝜃) = 𝐴𝑒 ఏ/ఈ +𝐿଴(𝛼 ଶ -1)
- - E por último usando 𝛽 = ඥ 𝜔 ଶ - 𝜔 ଴ ଶ e 𝜔/𝛽 = 𝛼 . E quando C = 1 e α=1, obtemos a espiral logarítmica descrita por 𝑟(𝜃)𝑒 ఏ . Vale ressaltar que a espiral logarítmica é uma curva que aparece em diferentes contextos na natureza [4-6], descrevendo a forma dos braços de galáxias e ciclones tropicais, a forma das teias de aranha e conchas de moluscos, bem como as trajetórias seguidas por gaviões para atacar suas presas.

## Simulações em Modellus além das curvas polares clássicas

Usando o software livre Modellus , nesta seção discutimos como algumas trajetórias do sistema massa-mola rotativo esquematizado na figura 2, por meio do ajuste apropriado das condições iniciais do sistema. Em todas as simulações, mantivemos os seguintes parâmetros fixos: m =1 kg ,  o = 1 rad/s e f = δ = 0 rad , lembrando que os ângulos de fase e f δ estão relacionados às condições iniciais do sistema.

Sabemos que a obtenção da equação da trajetória do sistema massa-mola em coordenadas polares, sob a condição de órbitas periódicas quando 𝜔 &lt; 𝜔଴ . Na solução periódica, o parâmetro 𝛼 = 𝜔/𝜔௥ = 𝑝/𝑞 aparece no argumento, considerado até agora como um número inteiro n = 1 ou um número racional do tipo 1/n , permitindo a geração de curvas polares clássicas de limaçon e rosácea.

Essa discussão pode ser expandida assumindo que o parâmetro α pode agora assumir valores expressos pela razão de quaisquer dois inteiros p e q , nesse caso, as órbitas permanecem fechadas com a partícula realizando q oscilações durante p voltas ao redor do eixo polar, desde que a fração p/q seja irredutível. O número inteiro q também define o número de pontos de retorno (pontos de máxima separação e pontos de mínima separação) ao longo da direção radial e o número inteiro p define o número de voltas necessárias para que a órbita se feche.

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## Simetrias

Durante a evolução, o sistema executa q oscilações radiais durante p voltas, com α=p/q , e a Eq. 8 pode ser escrita como:

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sendo α = p/q uma fração irredutível, as seguintes simetrias são estabelecidas:

- - O ângulo polar total 2πp descrito pelo sistema, até que a trajetória se feche, define o período 𝑇 = 2𝜋𝑝/𝜔 do movimento, de modo que a simetria 𝑟(𝜃) = 𝑟(𝜃 + 2𝜋𝑝) deve ser respeitada, como pode ser facilmente verificado, para todo q inteiro.
- - Pode-se ver que as trajetórias descritas pela equação D1 são todas simétricas em relação ao eixo polar θ=0 (x axis), já que 𝑟(𝜃) = 𝑟(-𝜃) , para todos os inteiros q e p .

Na Figura 03, mostramos situações em que α assume os valores 5/8 e 5/9 , para uma mola com comprimento L0=1 m e amplitude A=0,5 m . Em ambas as situações, notamos que os pontos de mínima separação têm curvatura para fora (curvatura convexa), ou seja, com a componente da aceleração centrípeta nesses pontos com sinal positivo (ver apêndice B). Nesses pontos, a mola está sendo comprimida e fornecendo uma força elástica que aponta para fora da origem, como ilustrado na Figura 03-(a), o que justifica a orientação da aceleração. Por sua vez, ao passar pelo ponto de máxima separação com a curvatura para dentro (curvatura côncava), a componente da aceleração centrípeta tem um sinal negativo, justificado pelo fato de que a mola está sendo esticada e fornecendo uma força elástica também apontando para dentro da origem, como mostrado na Figura 03-(b). Nos pontos de retorno, a componente da força normal no plano xy assume um valor nulo, uma vez que a velocidade radial e, consequentemente, a força fictícia de Coriollis assumem valores nulos.

Figura 03: Órbitas fechadas. (a) α=5/8. (b) α=5/9. A seta verde indica o vetor posição, a seta azul indica a força elástica da mola e a seta vermelha indica a componente da força normal no plano xy exercida pelo eixo de rotação no colar.

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A ocorrência de órbitas com pontos de retorno que possuem curvaturas convexas às vezes aparece na literatura de maneira acidental e controversa, inclusive ilustrando

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a capa do famoso livro sobre mecânica clássica do autor Goldstein [7], em várias edições, e gerando várias menções sobre esse episódio [8-9], na discussão do problema das órbitas circulares radialmente perturbadas na presença de uma força central. Nessas discussões, a força central tende sempre a ser atraente por natureza e os resultados das perturbações de órbitas circulares tendem a gerar trajetórias errôneas e artificiais, com pontos de retorno que possuem curvaturas convexas, contrastando com o fato de que o potencial central é sempre atraente. Uma maneira de aliviar essa concepção errônea é considerar distúrbios que geram oscilações harmônicas na direção radial com uma amplitude muito pequena, quando comparada ao raio inicial do movimento circular [10]. Por sua vez, as órbitas consideradas na Fig. 3 têm uma realidade física, uma vez que a força central considerada neste trabalho pode ser tanto atraente (mola esticada) quanto repulsiva (mola comprimida), permitindo, nesse caso, justificar fisicamente as curvaturas côncavas e convexas nos pontos de retorno. Do ponto de vista matemático, vale mencionar que a curva descrita na figura 3-(a) possui simetria de paridade (simetria de reflexão), tanto em relação ao eixo x quanto ao eixo y , contrastando com a simetria de reflexão da curva na Figura 3-(b). Ambas apenas em relação ao eixo x . A simetria de paridade é quebrada em relação ao eixo y sempre que o número q de oscilações radiais, até que a curva se feche, sendo ímpar [2].

Como discutido anteriormente, a condição necessária para órbitas fechadas é que as frequências 𝜔௥ e 𝜔 estejam relacionadas por um número racional. Em uma situação mais artificial, na qual a razão entre essas frequências é dada por números irracionais, as órbitas deixam de ser fechadas e tornam-se abertas, como ilustrado na Figura 4:

Figura 04: Órbitas abertas. (a) 𝛼 = ට 5 ൗ 8 . (b) 𝛼 = ට 5 ൗ 9 . A seta verde indica o vetor posição, a seta azul indica a força elástica da mola e a seta vermelha indica a componente da força normal no plano

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xy exercida pelo eixo de rotação no colar.

Do ponto de vista prático, a frequência angular de rotação ω do eixo de rotação é determinada experimentalmente com uma precisão finita e um número limitado de casas decimais, o mesmo se aplica à frequência 𝜔଴ das oscilações naturais do

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sistema massa-mola. Consequentemente, o parâmetro α\alphaα também será determinado com precisão finita usando a equação 𝜔 = ఈ ඥ(ଵାఈ మ ) 𝜔଴ , geralmente

levando a parâmetros com um número finito de casas decimais, de modo que o parâmetro α sempre será expresso por um número racional e, consequentemente, as órbitas sempre serão fechadas.

## Considerações finais

Apresentamos nesse trabalho, um modelo mecânico que descreve um colar preso a uma mola, com liberdade para se mover radialmente ao longo de um eixo que gira a uma velocidade angular constante. Demonstramos que o movimento no referencial rotativo não inercial é precisamente descrito por uma equação de movimento harmônico com um termo não homogêneo. A partir das soluções dessa equação, utilizamos o software Modellus para gerar órbitas fechadas, com pontos de retorno que possuem curvaturas convexas e destacando a limitação prática das órbitas abertas, que podem estar associadas ao tempo necessário para que essas órbitas se fechem. Mostrando que essas curvaturas têm uma base física real, justificada pelo caráter atrativo e repulsivo da força elástica da mola.

## Referências

- [1] NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1) . Editora Blucher, 2013.
- [2] MOTTA, Leonardo ; DUTRA, Rafael de Sousa ; PEREIRA, Leandro de Oliveira ; FARIA, André da Silva Ramos de ; VELLOSO, MARCIO ; SANTOS, Antonio C F . A mechanical model for polar curves. European Journal of Physics , v. 45, p. 045002, 2024.
- [3] SILVA, Felipe Olavo. Espiral logarítmica: da natureza para a sala de aula . 2015. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro.
- [4] LOU, Yu-Qing; FAN, Zuhui. Stationary models for fast and slow logarithmic spiral patterns in disc galaxies. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , v. 329, n. 4, p. L62-L66, 2002.
- [5] COSTA, Nathália Helena Teixeira; NUNES, André Becker. Synoptic comparison between two cases of subtropical cyclones in the South coast of Brazil. Revista Ibero-Americana de Ciências Ambientais , v. 12, n. 7, p. 175-183, 2021.
- [6] BARTLETT, Christopher. Nautilus spirals and the meta-golden ratio chi. Nexus Network Journal , v. 21, n. 3, p. 641-656, 2019.

[7] GOLDSTEIN, Herbert; POOLE, Charles; SAFKO, John. Classical mechanics. 2002.

- [8] TIERSTEN, Martin. Errors in Goldstein's Classical Mechanics. American Journal of Physics , v. 71, n. 2, p. 103, 2003.
- [9] AGUIAR, Carlos Eduardo; BARONI, Douglas; FARINA, C. A órbita da Lua vista do Sol. Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 31, p. 4301-4306, 2009.
- [10] FARINA, Carlos. On the Lissajous figures for orbits. Am. J. Phys , v. 53, n. 9, p. 9, 1985.

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