Técnicas de determinação do centro de massa em corpos com forma não regular: uma abordagem prática na mecânica clássica

## Técnica de Determinação do Centro de Massa em Corpos com Forma Não Regular: Uma Abordagem Prática na Mecânica Clássica

Autor: *Vinicius Paglione de Aviz¹, Claúdio Ferreira Tobias², Aldrey Gabriel Costa Silva³, Breno Batista Nonato da Silva⁴, Benedito Lobato⁵

¹Universidade do Estado do Pará/ viniciuspaglione1@hotmail.com

²Universidade do Estado do Pará/ claudio.tobiascft@gmail.com

3 Universidade do Estado do Pará/ aldreygabriel@hotmail.com

⁴Universidade do Estado do Pará/ Breninszzz@gmail.com

5 Universidade do Estado do Pará/ beneditolobato@gmail.com

Palavras-chave: Centro de massa, corpos extensos, mecânica clássica Resumo expandido

A partir de estudos da mecânica de corpos extensos, de constituição uniforme (densidade de massa constante) ou não, é indispensável a descrição de um centro de massa, que consiste em considerar a quantidade total de matéria do mesmo em um único ponto hipotético.

Este trabalho teve como objetivo determinar o centro de massa de um corpo de dimensões não uniformes, ou seja, que não é possível fazer uma aproximação geométrica simples. Taylor (2005, p.367) no início do capitulo 10, destaca as propriedades principais do centro de massa, sendo de extrema importância para determinar o momento linear e angular de um corpo, junto, até mesmo, dos cálculos para energia mecânica do corpo.

Para a realização do trabalho, foram feitas medidas em uma rampa de lançamento horizontal (Fig.01) cuja densidade consideramos constante, porém o objeto é um prisma, ou seja, possui faces iguais, contudo em planos diferentes. Sendo assim, fez-se medidas do objeto dividido em três partes: (Fig.02)

Figura 1 Rampa

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Utilizando lápis e régua, transcrevemos a borda da rampa no papel. Dividimos a rampa em três corpos: dois retângulos e um corpo curvilíneo. Traçamos um eixo no vértice da figura curvilínea e inserimos pontos ao longo da curva. Com a régua, alinhamos esses pontos aos eixos, obtendo as coordenadas da curva. Calculamos o centro de massa dos corpos retangulares e, em seguida, do corpo curvilíneo. Para calcular a distribuição de massa, realizamos uma integral da função da curva.

Com os dados coletados, inserimos os pontos na ferramenta 'LibreOffice cálc. 5' e plotamos o gráfico com base nesses pontos de dispersão, usando a análise de regressão e a linha de tendência do gráfico, colocamos a função 'mostrar equação do gráfico' foi então disponibilizado a equação, aonde poderíamos realizar os cálculos necessários para encontrar o centro de massa.

Halliday (2011, p.218-220) demonstra as equações necessárias para calcular o centro de massa de um corpo:

Com a utilização das medidas do ponto inicial até os pontos finais da função e da equação da função, foi possível resolver as integrais para encontrar os pontos de o centro de massa do corpo não regular.

Integral da distribuição de massa no corpo.

Os cálculos utilizados foram obtidos através de medidas com régua e a equação proporcionada pelo LibreOffice, tendo a seguinte resolução passo a passo:

- 1- Desenhar a figura no papel
- 2- Obter sua equação F(x) e sua inversa F(y)
- 3- Delimitou-se uma região do objeto restrita de altura (dy) e largura (dx)
- 4- Resolvermos a integral do centro de massa para a taxa de variação para x e depois para y, se baseando na integral de centro de massa.

Figura 2: Desenho da curva transcrita

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Com isso, vale ressaltar que foi realizada uma divisão em três corpos, e que os eixos traçados do corpo curvilíneo estão deslocados. Para o ponto (2.25,2.0) tais coordenadas estão relacionadas a largura do retângulo à esquerda do corpo curvilíneo e altura do retângulo abaixo do corpo. Sendo assim, foram valores do deslocamento aos resultados do par ordenado do centro de massa tendo o Ponto P3(2.25+4.56,2.0+3.1) = (6.81,5.1).

Calculado o ponto de centro de massa do corpo curvilíneo, calculamos então o centro de massa dos retângulos, P1(1.125,6) e P2(12.65,1), sendo (P1) o ponto de centro de massa do retângulo ao lado do corpo curvilíneo, e (P2) o do retângulo abaixo do mesmo.

Com os três pontos conhecidos, realizou-se uma média ponderada dos valores de cada coordenada e suas respectivas áreas, para encontrar o centro de massa do corpo inteiro:

Então o ponto do centro de massa da rampa é P = (7.72,3.9). Além disso não foi possível equilibrar a rampa na ponta de um prego, entretanto conseguimos equilibrar na ponta do dedo, comprovando a metodologia aplicada.

Resultados mostram que equilibrar a rampa na ponta de um prego requer maior precisão na análise de dados, pois como são dados manuais, estes são mais suscetíveis a erros. Isso pode ser aprimorado aumentando o número de pontos, afiando a ponta do lápis e utilizando uma régua mais fina para alinhar os pontos aos eixos. Assim, seria possível colocar a rampa sobre a ponte de um prego.

Desta forma, um professor pode utilizar essa metodologia, ensinando junto disso as aplicações do centro massa e suas propriedades como destaca Taylor (2005).

## Referências

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos da Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

TAYLOR, John R. Classical Mechanics. 1st ed. San Francisco: University Science Books, 2005.

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