O PAPEL DA MATEMÁTICA NA ELABORAÇÃO E NO ENSINO DO CONHECIMENTO FÍSICO

## PROPOSTA DE SESSÃO COORDENADA: O PAPEL DA MATEMÁTICA NA ELABORAÇÃO E NO ENSINO DO CONHECIMENTO FÍSICO.

Nos últimos anos, pesquisas provenientes de diferentes quadros teóricos vêm associando a aprendizagem de conceitos científicos com a aquisição de diferentes habilidades linguísticas (Mortimer, 2000; Sutton, 1992, Lemke, 1997), em que a proposição aprender ciências é aprender a falar ciências , apresentada por Jay Lemke (1997), tornou-se emblemática destas correntes. Dentro desta perspectiva se torna relevante que diferentes formas de pensamento características das ciências possam se estruturar nas falas dos alunos.

Quando tratamos mais especificamente o caso da Física e seu Ensino, podemos questionar se há especificidades na forma deste conhecimento se apresentar linguisticamente. Pietrocola (2002), destaca a importância assumida pela matemática como linguagem das ciências naturais. Em particular na Física, propõe que a matemática desempenha função operacional no lidar com os fenômenos, mas também função estruturadora do pensamento físico. O autor aponta que embora professores e alunos reconheçam a física como uma ciência matematizada, a prática pedagógica acaba limitando o papel da matemática à sua dimensão operacional, sem tomá-la como um mecanismo interpretativo para os fenômenos físicos. Dentro desta perspectiva, podemos questionar por quais caminhos o pensamento passa para que seja possível a estruturação matemática dos fenômenos físicos. O objetivo desta sessão coordenada é explorar diferentes facetas desta questão, visto a possibilidade de diferentes enfoques.

Em seu trabalho, Ivã Gurgel e Mauricio Pietrocola exploram uma proposta elaborada por Jerome Bruner que estabelece duas formas de pensamento: o narrativo e o lógico-matemático. Partindo desta premissa, os autores apontam para a presença desta dualidade do entendimento estudando historicamente o início da eletrodinâmica. De forma complementar ao trabalho anterior, Sônia Krapas estuda, do ponto de vista histórico e em livros didáticos, a relação entre construção de modelos e matematização, tomando o caso da luz como onda e, posteriomente, como onda eletromagnética como tema de estudo. Finalmente, Ricardo Karam e Mauricio Pietrocola estudam os processos de matematização em aulas de eletromagnetismo. Através de um estudo longitudinal, os autores demonstram como habilidades matemáticas estruturantes aparecem ao longo das aulas de Física. Consideramos que os trabalhos anteriormente citados trazem contribuições originais ao debate sobre as relações entre Física e Matemática. Os mesmos ainda se complementam de forma interessante, tratando do assunto desde perspectivas de enfoque teórico até o terceiro trabalho que é compromissado com situações reais de sala de aula. Por fim, vale notar que os autores tomaram temas físicos próximos, todos no contexto da teoria eletromagnética, o que facilita o debate conjunto e a proposição de ideias coletivas.

LEMKE, J.L. (1997) Aprender a Hablar Ciencia: Lenguaje, aprendizaje y valores. Barcelona: Paidós, 1997.

MORTIMER, E. F. (2000) Linguagem e Formação de Conceitos no Ensino de Ciências. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2006.

SUTTON, C. (1992) Words, Science and Learning. Buckingham: Open University Press, 1995.

## O PAPEL DO PENSAMENTO NARRATIVO E DO PENSAMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO NO DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO: UMA ANÁLISE EPISTEMOLÓGICA ATRAVÉS DO INICIO DA ELETRODINÂMICA.

## THE ROLE OF NARRATIVE THOUGHT AND LOGICALMATHEMATICAL THOUGHT ON SCIENTIFIC DEVELOPMENT: AN EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS THROUGH ELETRODYNAMIC BEGINS

## Ivã Gurgel , Mauricio Pietrocola 1 2

1

Instituto de Física - USP, gurgel@usp.br

2 Faculdade de Educação - USP, mpietro@usp.br

## Justificativa e objetivos

Estudos em Ensino de Física vêm, há bastante tempo, buscando caracterizar as diferentes formas de pensamento necessárias ao desenvolvimento do conhecimento. Nesta direção, trabalhos sobre o estabelecimento de relações causais, construção de modelos e outras formas de pensamento típicas das ciências foram elaborados ao longo das últimas décadas. Na literatura atual, autores vêm propondo o uso de narrativas, principalmente na forma de histórias escritas, como um recurso importante ao Ensino de Ciências (Klassen, 2010). Contudo, poucos esforços foram feitos para delimitar o papel do pensamento narrativo na elaboração do próprio conhecimento científico. Isso faz com que as propostas elaboradas nesta perspectiva se articulem pouco com os problemas específicos da aprendizagem em Física, visto as características epistemológicas do conhecimento que buscamos ensinar.

Dada esta problemática, neste trabalho buscaremos discutir o papel do pensamento narrativo na elaboração da ciência. Em especial, será analisado sua relação com o pensamento lógico-matemático, de forma a mostrar a complementariedade nestas formas de pensar. Para isso, são analisadas, em uma perspectiva histórico-epistemológica, as obras de André-Marie Ampère, com o intuito de demonstrar uma possível relação nestas formas de pensar no desenvolvimento da Física, neste caso, a eletrodinâmica.

## Marco Teórico

Jerome Bruner, autor conhecido no campo da Educação e Psicologia, se debruçou, em suas últimas obras, sobre a questão das narrativas como forma de pensamento. Em seu primeiro trabalho sobre o tema, Bruner faz uma distinção entre dois tipos básicos de pensamento, o lógico-científico e o narrativo (Bruner, 1986). Embora esta distinção não seja excludente, - o pensamento numa dada situação pode ser uma combinação de ambos -, o autor considera que também não podemos tentar reduzir o pensamento lógico ao narrativo. A partir disto ele comenta, de forma a justificar seu interesse presente, que embora a tradição filosófica tenha tratado em profundidade as características do pensamento lógico, as narrativas como formas de pensamento foram muito pouco tratadas (Bruner, 1986).

Para explicar este papel do pensamento narrativo, o autor retoma a distinção feita por Gottlob Frege entre sentido e referência. O primeiro é conotativo, isto é, é uma ampliação interpretativa do significado de algo. A segunda é denotativo, isto é, indica o objeto que dá significado ao signo. Assim, ele considera:

'O que queria dizer Frege (ele é ambíguo neste sentido)? Talvez o sentido procure dar uma forma à experiência ou mesmo achar a experiência à qual ele faz referência (...) Eu quero simplesmente dizer que a narrativa, mesmo a ficcional, dá forma ao que existe no mundo real e que lhe confere uma espécie de direito à realidade.' (Bruner, 2002, p.20-21, tradução livre, grifos nossos)

O autor estabelece que as narrativas são formas de criação do real. Para aceitarmos esse ponto, é preciso admitir que a realidade não é dada de forma evidente, em que o referente pode ser admitido como base da significação. A denotação no sentido fregeano contém alguma fragilidade. Mesmo sem recair no extremo do anti-realismo, é preciso admitir que nosso acesso à realidade é mediado por construções. Assim, a referência é uma indicação de que esse processo de construção teve algum sucesso. De acordo com Bruner, esse processo deve passar por etapas nas quais o pensamento narrativo se consolida.

Bruner não concebe seu trabalho pensando estritamente sobre o desenvolvimento do conhecimento científico. Para isso, caberá a nós analisar um caso em que estas formas de pensamento aparecem no desenvolvimento científico e precisar suas funções nesta elaboração.

## Metodologia e Análise de pesquisa

Para o estudo teórico foram utilizados os textos originais de Ampère que compõem suas primeiras contribuições à eletrodinâmica, na década de 20 do século XIX. Para a análise, foi utilizada uma metodologia baseada em teoria literária, de forma a tornar possível a compreensão da composição do texto. Esta metodologia, denominada Poética da Ciência , é descrita com precisão em Gurgel (2010).

Em setembro de 1820, Ampère toma conhecimento da experiência realizada por Hans C. Oersted, na qual o cientista dinamarquês demonstrou a influência de um fio condutor ligado a uma pilha sobre a agulha magnetizada de uma bússola. Com o conhecimento desta experiência, Ampère inicia uma fase de intensa pesquisa, que compreende o período de 18 de setembro de 1820 a 15 de janeiro de 1821. Neste período ele realiza nove leituras na Academia de Ciências.

No primeiro memoire lido por Ampère o autor já antecipa as conclusões que são demonstradas nas leituras seguintes, mesmo que não tenha ainda realizado a maior parte de suas experiências. Assim seu esforço inicial é focado na possibilidade de criarmos novas condições de pensarmos os fenômenos e seu objetivo é conceber e propor à comunidade científica da época a ideia de corrente elétrica. É importante destacar que no período, embora se concebesse a noção de movimentos de fluídos elétricos, não havia se estabelecido a noção de um movimento contínuo e regular de eletricidade.

Para propor sua visão, o autor passa pelas seguintes etapas, do ponto de vista de composição textual. Primeiramente, ele apresenta e nomeia a ideia de corrente elétrica, como se caracterizasse uma personagem, e afirma que esta

entidade participará de diferentes efeitos que até então eram considerados desconexos. A dimensão narrativa do texto aparece quando o autor cria uma espécie de enredo no qual os diferentes fenômenos ganham relação entre si. O que mais reforça sua dimensão narrativa é o papel central que a corrente elétrica adquire. Ela primeiro se apresenta em seu papel mais simples, como o movimento da eletricidade dentro do fio. Em seguida ela passa a ser a entidade que explica a produção do magnetismo pelos imãs. No final, a própria Terra passa a ser constituída de correntes elétricas.

A entidade criada pelo autor ganha uma identidade muito forte quando ela submetida a estes diferentes contextos. Isso dá uma grande validação à sua criação. Como eles não se desfiguram quando o contexto situacional muda, isso lhe permite um ganho de significado, que podemos chamar de unidade semântica, do ponto de vista linguístico. Este elemento somente é possível pelo formato narrativo, que se torna uma forma de organização do real, como propunha Bruner.

Em seus trabalho seguintes, Ampère irá buscar uma lei matemática para explicação dos fenômenos. Como ele havia estabelecido, do ponto de vista ontológico, a corrente elétrica como fundamento de sua teoria, ele estrutura sua lei em termos de interações entre correntes. Para isso, ele propõe a diferencial de uma corrente como base, finalizada quase um ano depois de seu primeiro memoire .

## Considerações Finais:

O estudo de caso anterior buscou mostrar que o pensamento narrativo e o pensamento matemático podem ocorrer no desenvolvimento da ciência. Nesta situação, o pensamento narrativo primeiramente serviu para dar sentido às experiências e identificar a entidade fundamental nos fenômenos. Esse passo foi condição para que Ampère estruturasse seu pensamento com uma análise matemática que colocou esta entidade como base de sua formulação.

Como proposta final, consideramos que o pensamento narrativo possa ser valorizado e trabalhado em aulas de ciências. Ele claramente não exclui o papel de formalização, mas valoriza a dualidade do entendimento.

## Referências

AMPERE, A. (1822) Recueil d'Observations Électro-Dynamiques. Paris: Academie des Sciences, 1822.

BRUNER, J. (1986) Realidade Mental, Mundos Possíveis . São Paulo: Artmed, 1998.

\_\_\_\_\_\_. (2002) Pourquoi Nous Racontons-nous des Histories?: Le Récit au Fondement de la Culture et Le L'identité Individuelle. Paris: Agora, 2002.

GURGEL, I. Elementos de uma Poética da Ciência: Fundamentos Teóricos e Implicações para o Ensino. São Paulo: FEUSP (tese), 2010.

KLASSEN, S. (2010) The Relation of Story Structure to a Model of Conceptual Change in Science Learning. In: Science & Education, n. 19, p. 305-317, 2010.

## MODELOS, MATEMÁTICA E FÍSICA NA HISTÓRIA DA CIÊNCIA E NO ENSINO: OS CASOS DA LUZ COMO ONDA E COMO ONDA ELETROMAGNÉTICA

## MODELS, MATHEMATICS AND PHYSICS IN HISTORY OF SCIENCE AND PHYSICS TEACHING: THE CASES OF LIGHT AS A WAVE AND AS AN ELECTROMAGNETIC WAVE

## Sonia Krapas1

1Universidade Federal Fluminense/Programa de Pós-Graduação em Educação, soniakrapas@gmail.com

## Justificativa e objetivos

Relações entre a matemática e a física se constituem num tema muito explorado tanto no âmbito da ciência como na filosofia da ciência. Quando se denuncia na resolução de problemas o operacionalismo matemático - ou, como quer Pozo (1998, p. 36), a simples aplicação mecânica de um algoritmo 'sobreaprendido' - e sua perpetuação pelos exames vestibulares, essa temática invade fortemente o terreno do ensino (Pietrocola, 2002; Ortega e Mattos, 2008). Entendendo que livros didáticos são representativos do ensino que se pratica na sala de aula, neste trabalho vamos neles analisar as relações entre a matemática e a física, focalizando dois conceitos correlatos - luz como onda e luz como onda eletromagnética -, tendo como referência trabalhos de Huygens e Maxwell.

## Marco Teórico

Em vários momentos da história, físicos - e matemáticos - se debruçaram sobre essa temática. Entre eles encontram-se Galileu, Maxwell, Heisenberg, Einstein, Poincaré. Freqüentemente a matemática é entendida como linguagem. Interessados em popularizar suas idéias, muitos deles discutem a possibilidade de tradução da linguagem matemática à linguagem natural (Heisenberg, 1990, p. 160; Einstein e Infeld, 1976, p. 33). Em oposição a esta última, algumas características da linguagem matemática são apontadas: lógica dedutiva, universalidade, precisão e rigor. Segundo (Poincaré, 1995, p. 91),

(...) para enunciá-las [as leis físicas] é preciso uma língua especial; a linguagem corrente é demasiado pobre, e aliás muito vaga para exprimir relações tão delicadas, tão ricas e tão precisas.

Relações entre a matemática e a empiria estão entre os aspectos mais abordados. Heisenberg (1990, p. 160), às voltas com as questões que a física moderna impunha, esclarece:

Em física teórica, tentamos entender grupo de fenômenos introduzindo símbolos matemáticos que podem ser correlacionados com os fatos, a saber, com os resultados de medições.

Analisando estas relações em Galileu, Paty (1995, p. 234), afirma que 'a matemática era concebida como um conhecimento que permitia uma leitura direta

da natureza, da qual precisamente era a língua'. A leitura é, pois, direta, sem mediação; matemática e natureza são o que conta. Há, no entanto, um terceiro elemento a ser considerado, o modelo físico. Mas o que se entende por modelo físico? Como se relaciona com a matemática? Para Pietrocola (2002), 'a matemática, enquanto linguagem, empresta sua própria estruturação ao pensamento científico para compor os modelos físicos sobre o mundo'.

Na elaboração de modelos físicos, além da linguagem matemática, há que se considerar ainda a linguagem natural, ambas entendidas como representações proposicionais, que são, segundo a perspectiva de Johnson-Laird, 'cadeias de símbolos relacionados por uma determinada sintaxe' (Greca e Moreira, 1998). Mas na composição de uma modelo físico tomam parte imagens e metáforas, que são representadas em linguagem pictórica.

## Metodologia e Análise de pesquisa

Elegemos para análise coleções amplamente utilizadas nas disciplinas básicas da universidade. A pergunta guia foi: há articulação entre essas linguagens na introdução dos conceitos de luz como onda e como onda eletromagnética? Para responder, tomamos contraponto trabalhos de Huygens e Maxwell.

Em seu Tratado sobre a luz , Huygens, concebendo a luz como uma onda mecânica longitudinal, cria um modelo para o éter que se assemelha ao que hoje é conhecido como berço de Newton - sucessão de esferas suspensas e enfileiras. Explorando esse modelo, ele chega a construções geométricas que dão conta de diversas propriedades da luz conhecidas à época, entre as quais estão a reflexão e a refração. Neste modelo, estão em estreita articulação a linguagem pictórica (há diversos desenhos no Tratado ), a linguagem matemática, representada pelas construções geométricas, e a linguagem natural, da qual o autor faz uso para explicar seu modelo.

Maxwell, em seu artigo On phyisical lines of force , concebe a luz como uma onda mecânica transversal que se propaga no éter. Seu modelo - dos vórtices moleculares - é mais sofisticado: trata-se de uma sucessão de vórtices que, ao mesmo tempo em que giram, se contraem, como se fosse uma 'gelatina elástica' (Einstein e Infeld, 1976, p. 98). Explorando esse modelo, ele prevê a corrente de deslocamento e chega a uma equação que lhe permite fazer uma primeira aproximação entre o eletromagnetismo e a óptica: a luz se propaga no mesmo éter que as ondas eletromagnéticas. Neste modelo, as linguagens pictórica (há um desenho para o modelo), matemática e natural (palavras usadas para explicar o modelo) também estão em estreita articulação.

Em trabalhos subseqüentes, ele aplica o formalismo lagrangiano ao eletromagnetismo e deduz as equações de onda para os campos E e B , evidência mais convincente daquela aproximação, o que o leva a concluir que a luz é uma onda eletromagnética. Nesses trabalhos não há qualquer resquício do modelo dos vórtices moleculares, o que não significa que ele tenha abandonado o modelo físico de mediação das ações eletromagnéticas pelo éter.

Considerado 'supérfluo' por Einstein em seu famoso trabalho de 1905, o éter foi gradativamente retirado dos livros didáticos. No caso da luz como onda, as construções geométricas de Huygens são descarnadas de seu modelo para o éter. Se admitirmos um modelo puramente proposicional (Krapas, Alves e Carvalho, 2000), pode-se dizer este é o caso, já que a linguagem pictórica desaparece.

No caso da luz como onda eletromagnética, permaneceu nos livros didáticos o formalismo matemático de Maxwell, mas não se retoma a discussão (que aparece em alguns tópicos do eletromagnetismo) da controvérsia histórica ação à distância versus ação mediada. Nem é dito que agora a mediação é feita não mais pelo éter, mas por outra entidade, o campo. Segundo Nersessian (1984, p. 134),

[...] o campo não é mais o estado de algum tipo de matéria, mas está ontologicamente em par com a matéria. Na teoria [da relatividade] especial, o campo não é somente indispensável para a descrição das ações eletromagnéticas, como com Maxwell e Lorentz, mas é também um elemento irredutível de descrição , da mesma forma que o conceito de matéria na mecânica newtoniana. Ele é independente da matéria e está livre para interagir com ela.

Aqui também, e pela mesma razão, se pode dizer que o modelo seria puramente proposicional. Parece que os livros didáticos, embora sob a égide da ação mediada, preferem adotar o preconizado por Ampère, partidário da ação à distância: 'encurtar ao máximo a distância entre o discurso matemático e os dados concretos que ele está destinado a informar e esclarecer' (Merleau-Ponty, apud Paty,1995, p. 234).

## Referências

EINSTEIN, Albert; INFELD, Leopold. A evolução da física. Rio de Janeiro: Zahar, 1976. 237p.

GRECA, Ileana Maria e MOREIRA, Marco Antonio. Modelos mentais e modelos físicos no ensino e na aprendizagem de Física. In: VI ENCONTRO DE PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA, 6, 1998, Florianópolis Atas do VI Encontro de Pesquisa em Ensino de Física . São Paulo: Sociedade Brasileira de Física, 1998. V. 1, p. 1-14.

HEISENBERG, Werner. Physics and Philosophy. London: Penguin Group, 1990. 201p.

KRAPAS, Sonia; ALVES, Fátima; CARVALHO, Luiz Raimundo de. Modelos mentais e a lei de Gauss. Investigações em Ensino de Ciências , Porto Alegre, v. 5, n. 1, p. 721, 2000.

ORTEGA, José Luís Nani Adum; MATTOS, Cristiano Rodrigues de. A questão da sintaxe e da semântica para a negociação de significados no ensino de física. In: ENCONTRO DE PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA, 11, Curitiba. Anais do XI Encontro de Pesquisa em Ensino de Física . São Paulo: Sociedade Brasileira de Física, 2008. V. 1, p. 1-12.

NERSESSIAN, Nancy J. Faraday to Einstein: constructing meaning in scientific theories. Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers, 1984. 197p.

PATY, Michel. A matéria roubada. São Paulo: EDUSP, 1995. 328p.

PIETROCOLA, Maurício. A matemática como estruturante do conhecimento físico . Caderno Brasileiro de Ensino de Física , Florianópolis, v. 19, n. 1, p. 93-114, 2002.

POINCARÉ, Henri. O valor da ciência. Rio de Janeiro: Contraponto, 1995. 180p.

POZO, Juan Ignacio. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998. 177p.

## ABORDAGEM DO CARÁTER ESTRUTURANTE DA MATEMÁTICA EM AULAS DE ELETROMAGNETISMO

## APPROACHING THE STRUCTURAL ROLE OF MATHEMATICS IN ELECTROMAGNETISM LECTURES

## Ricardo Karam 1 , Gesche Pospiech , Maurício Pietrocola 2 3

1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação/karam@usp.br

2 Technische Universität Dresden/Professur für Didaktik der Physik/gesche.pospiech@tu-dresden.de 3 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação/mpietro@usp.br

Palavras-chave: Relação entre matemática e física, ensino superior, habilidades estruturantes, ensino de eletromagnetismo.

## Introdução, objetivos e marco teórico

Não se pode evitar a sensação de que essas fórmulas matemáticas têm uma existência independente e inteligência própria, que são mais sábias do que nós, mais sábias até que seus descobridores, que delas retiramos mais do que originalmente nelas colocamos (Heinrich Hertz).

A relação de influência mútua entre matemática e física tem desempenhado uma função essencial para o desenvolvimento de ambas (Bochner, 1981; Gingras, 2001, entre muitos outros). Mas quais são as implicações dessa profunda relação para o ensino de física? Apesar da vasta literatura existente sobre o entendimento 'conceitual' dos estudantes, trabalhos que objetivam uma compreensão significativa do papel da matemática no ensino de física são muito menos comuns. Nesse sentido, Hestenes (2003, p. 104) defende que 'o grande desafio é considerar o papel da matemática como um importante tema de pesquisa em ensino de física'.

Uma visão relativamente comum sobre o tema considera o domínio de técnicas matemáticas como pré-requisito para o aprendizado de física. Entretanto, apesar de necessárias, já foi demonstrado que o domínio de tais habilidades está longe de ser uma garantia de sucesso (Hudson e McIntire, 1977). Pesquisas sobre maneiras com as quais estudantes utilizam matemática para resolver problemas de física (Tuminaro e Redish, 2007) identificaram a mera aplicação de fórmulas sem qualquer raciocínio físico como uma estratégia extremamente frequente. Outros trabalhos evidenciam as dificuldades apresentadas por estudantes quando estes precisam transferir conhecimento entre matemática e física (Rebello et al. , 2007). É plausível associar tais dificuldades a métodos de instrução, mas trabalhos que se dedicam a este tema na perspectiva do ensino são ainda menos frequentes.

Com o objetivo de contribuir para o preenchimento dessa lacuna, esta pesquisa se destina à análise do raciocínio matemático em aulas de física. Partimos da diferenciação entre habilidades técnicas - relacionadas ao domínio instrumental de técnicas matemáticas - e habilidades estruturantes - as quais estão associadas ao papel da matemática como estruturante do pensamento físico (Karam e Pietrocola, 2009), focando nossa atenção na identificação das últimas e no desenvolvimento das mesmas no contexto do ensino. Dessa forma, as questões de pesquisa a serem abordadas neste trabalho são: Quais as estratégias utilizadas por um experiente professor para ensinar a matematização de conceitos físicos com foco em seu caráter estruturante? Como se dá a interação entre as mesmas em uma escala temporal (aula e curso)?

## Metodologia e Análise de pesquisa

Para conduzir uma detalhada investigação do raciocínio matemático no ensino de física, realizamos um estudo de caso em nível universitário. Escolhemos analisar as aulas de um determinado professor de física da USP, uma vez que o mesmo é amplamente reconhecido por encorajar seus alunos a raciocinarem sobre o significado físico do formalismo matemático. Assim, partimos da hipótese de que sua abordagem priorizaria o caráter estruturante da matemática ao invés de seu aspecto meramente ferramental, a qual foi verificada após a análise dos dados.

Os dados consistem na gravação de 40 aulas (aproximadamente 60 horas de vídeo) de um curso de eletromagnetismo. Inicialmente, assistimos às aulas com foco nos momentos em que o pensamento matemático fez parte da exposição. A fim de identificar as habilidades estruturantes, concentramo-nos tanto na explicação de princípios fundamentais expressos matematicamente (por exemplo, cada uma das equações de Maxwell), como nos momentos de resolução de problemas.

Em seguida, selecionamos trechos específicos para uma análise mais refinada em relação às habilidades estruturantes identificadas. Utilizando o software videograph como ferramenta para análise de vídeos, os trechos selecionados foram divididos em intervalos de 20 segundos e categorizados. No quadro a seguir, apresentamos uma síntese das 6 categorias identificadas juntamente com exemplos extraídos das gravações.

Quadro 1: Descrição das habilidades estruturantes e exemplos extraídos da gravação das aulas.

## Conclusões e perspectivas

Essencialmente, a análise dos dados revela as seguintes estratégias utilizadas pelo professor: uso intenso de representações concretas, menção explícita a idealizações, compromisso com a interpretação física de expressões matemáticas, ênfase no uso de analogias formais e no raciocínio lógico-dedutivo, além de comentários de natureza filosófica sobre a relação entre física e matemática. Longe de recomendar as mesmas como uma receita, julgamos que os resultados fornecem indícios de alternativas adequadas para uma compreensão significativa do papel da matemática na física. Futuramente, pretendemos utilizar a mesma ferramenta de análise para comparar diversas aulas. Em princípio, vislumbramos a abordagem desse tema na formação de professores. Posteriormente, o desenvolvimento de atividades e materiais didáticos que visem o ensino e a aprendizagem do caráter estruturante da matemática em nível médio também é almejado.

## Referências

Bochner, S. (1981). The role of mathematics in the rise of science . Princeton University Press, Princeton - New Jersey.

Gingras, Y. (2001). What did mathematics do to physics? History of Science , 39, 383-416.

Hestenes, D. (2003). Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical language of physics. Am. J. Phys. 71 (2), 104-121.

Hudson, H. T.; McIntire, W. R. (1977). Correlation between mathematical skills and success in physics. Am. J. Phys. , 45 (5), 470-471.

Karam, R. A. S.; Pietrocola, M. (2009). Habilidades Técnicas Versus Habilidades Estruturantes: Resolução de Problemas e o Papel da Matemática como Estruturante do Pensamento Físico. ALEXANDRIA Revista de Educação em Ciência e Tecnologia , 2 (2), 181-205.

Rebello, N. S., Cui, L., Benett, A. G., Zollman, D. A., & Ozimek, D. J. (2007). Transfer of learning in problem solving in the context of mathematics and physics. In D. Jonassen (Ed.), Learning to solve complex scientific problems . New York: Lawrence Earlbaum Associates.

Tuminaro, J.; Redish, E. F. (2007). Elements of a cognitive model of physics problem solving: Epistemic games. Physical Review Special Topics - Physics Education Research , 3(2).