A lei da refração luminosa: A equivalência entre as formulações de Ptolomeu e Snell-Descartes

## A lei da refração luminosa: A equivalência entre as formulações de Ptolomeu e Snell-Descartes

## Bruno Laert Gomes 1 , Marcos Martinho 2 , Vitorvani Soares 3

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UFRJ, brunolaertgomes@yahoo.com.br 2 IFRJ, marcos.martinho@ifrj.edu.br 3 UFRJ, vsoares@if.ufrj.br

Palavras-chave : Óptica, Refração, Lei de Ptolomeu

## Resumo expandido

A lei da refração de Ptolomeu, estabelecida no século 2 de nossa era, apresenta uma relação entre a posição angular de um objeto e o quadrado da posição angular de sua imagem [1,2]. A lei de Snell-Descartes, descoberta quinze séculos mais tarde, relaciona a posição angular do objeto com o arco seno da razão entre o seno da posição angular da sua imagem e o índice de refração do meio considerado [3]. Os trabalhos [4,5,6] reconstroem o experimento de Ptolomeu como alternativa didática para o ensino da refração, e discutem a metodologia e os resultados encontrados por ele. Neste trabalho, apresentamos uma atividade que: (i) envolve a análise gráfica das medidas realizadas por Ptolomeu ao estabelecer a sua lei; (ii) permite compreender como evoluímos da lei formulada originalmente por Ptolomeu à lei de Snell; e (iii) porque foram necessários quinze séculos para a sua realização.

Iniciamos a atividade com a análise gráfica das medidas angulares obtidas por Ptolomeu para o dioptro ar-água (Tabela 1), com o auxílio do seu goniômetro denominado Baptistir .

Figura 1 : Adaptação do Baptistir de Ptolomeu [4,5].

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Da Tabela 1, observamos que a posição da imagem e do objeto se alteram, mas não na mesma proporção (Figura 2a).

Tabela 1: Dados de Ptolomeu para o dioptro ar-água: posição angular da imagem ( i), t posição angular do objeto ( o) t

Ptolomeu percebeu que a diferença entre duas medidas consecutivas das respectivas posições é praticamente linear, o que corresponde a analisar o comportamento da razão entre as duas posições em função de uma delas (Figura 2b).

Figura 2: ( a) Não linearidade da posição angular do objeto vs. posição angular da imagem; (b) Razão entre as posições angulares do objeto e da imagem vs. posição angular da imagem.

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Construímos a Figura 2b e concluímos, em acordo com Ptolomeu, que a posição angular do objeto corresponde a uma função quadrática da posição angular da sua imagem:

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onde 𝑎 = 33/40 e 𝑏 = 1/400 . Portanto, a equação (1), determina a posição do objeto conhecendo-se a posição da sua imagem. Este comportamento, conhecido como a lei de Ptolomeu para a refração, representou um excelente resultado para a sua época. Lembramos que somente a Geometria e a Aritmética eram as ferramentas disponíveis para Ptolomeu.

Apesar do acordo com a experiência na região considerada (Figura3), a equação (1) indica erroneamente as posições do objeto para imagens formadas simetricamente em relação à normal à interface do dioptro (linha contínua na figura).

Figura 3: Posição observada do objeto (linha continua) e a posição do objeto prevista por (1) (linha tracejada) vs. posição angular da imagem.

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Para resolver essa questão, propomos uma extensão da análise de Ptolomeu, e consideramos os ângulos complementares e suplementares das posições angulares do objeto e de suas respectivas imagens. Neste resumo, apresentamos apenas os resultados finais.

Dispormos graficamente os suplementares dos ângulos do objeto com o ângulo da imagem e dos suplementares dos ângulos da imagem com o ângulo do objeto (Figura 4), e verificamos que as curvas geradas são aproximadas a uma função linear. Para os complementares esse ajuste fica menos evidente. Da figura, determinamos a equação

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onde 𝑎 ⪅ 33/40 , similar ao fator 𝑎 ≈ 33/40 , da equação (1). A diferença entre eles é d e 0.4% . Podemos solucionar esta equação do segundo grau para t o e a solução obtida determina a posição do objeto em função da posição da sua imagem. Preferimos, entretanto, usar o método gráfico para estabelecer esta relação.

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Figura 4: Razão entre [1 - (𝑡 ' /180 ∘ ) 7 ]/𝑡 " e [1 - (𝑡 " /180 ∘ ) 7 ]/𝑡 ' vs. a posição angular da imagem, 𝑡 " (linha continua). A linha tracejada indica uma razão constante de valor 𝑎 ⪅ 33/40 .

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## Definimos a parábola

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## e a hipérbole

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e traçamos as duas curvas (Figura 5).

Figura 5 : Interseção das curvas (4) e (5). A projeção, no eixo das abscissas, define o valor procurado da posição angular do objeto, 𝑡 ' , que satisfaz a equação (3).

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A interseção da parábola (3), e das hipérboles (4), para as posições angulares da imagem 𝑡 " = 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° e 80°, define a posição 𝑡 ' do objeto (Figura 6).

Figura 6 : Posição angular do objeto, 𝑡 ' , vs. a posição angular da imagem, 𝑡 " : medidas experimentais (linha continua), as previsões da lei de Ptolomeu, equação (2) (linha tracejada mais discrepante), e as previsões da equação (3) (linha tracejada menos discrepante).

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Apesar de notáveis, com o aperfeiçoamento das observações astronômicas, nos séculos 16 e 17, as previsões das equações (1) e (3) se mostram discrepantes; o desenvolvimento da Trigonometria e do Cálculo Diferencial e Integral vai oferecer condições para a formulação de uma lei de refração mais acurada. Consideramos, inicialmente, a expansão em série da função

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desenvolvida por Newton [7], onde 𝑢 corresponde ao comprimento angular, em radianos. Esta função é um polinômio 𝑃(𝑢) de raízes iguais a 0, ±𝜋, ±2𝜋, ⋯ :

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ou, ainda,

Como

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temos B = 1. Logo,

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Igualamos os coeficientes de 𝑢 7 das duas séries em (10) e obtemos

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ou, ainda,

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resultado estabelecido por Euler [8]. Portanto, ao transformar as medidas angulares de Ptolomeu de graus para radianos, obtemos

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e, em primeira aproximação, os polinômios da equação (3) podem ser substituídos pelas expressões

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Finalmente, reescrevemos a equação (3) na forma

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ou, ainda,

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e a posição angular do objeto fica determinada se conhecemos as posições angulares da sua imagem com auxílio de uma tabela de senos.

Este trabalho se destina a professores interessados em trabalhar problemas físicos com uso de técnicas gráficas e contexto histórico.

## Referências

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- [1] SMITH, A. M. Ptolemy's theory of visual perception: an English translation of the Optics with introduction and commentary. Philadelphia: Transactions of the American Philosophical Society, 1996.
- [2] COHEN, M.; DRABKIN, I. A source book in Greek science. Harvard University Press, 1958. (Source books in the history of the sciences). Disponível em: &lt;http://books.google.com.br/ books?id=EVX7ZAFCWg0C&gt;. Acesso em: 9 de março de 2021.
- [3] DESCARTES, R. Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Indianapolis: Hackett Publishing, 2001.
- [4] MARTINHO, M. P. d. C. O experimento de Ptolomeu: uma introdução ao estudo da refração luminosa. 65 f. Mestrado Profissional em Ensino de Física - Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2013. Disponível em: &lt;https://www.if.ufrj.br/ pef/producao academica/dissertacoes.html&gt;. Acesso em: 9 de março de 2021.
- [5] MARTINHO, M. P.; SOARES, V. Determinação do índice de refração dos materiais pelo método de Ptolomeu. Revista Brasileira de Ensino de Física, SciELO Brasil, v. 39, n. 3, p. e3603, 2017.
- [6] MARTINHO, M. P.; SOARES, V. O estudo da refração e a lei angular. Física na Escola, v. 17, n. 1, p. 53-55, 2019.
- [7] DUNHAM, W. The calculus gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2018.
- [8] DUNHAM, W. Euler: The master of us all. Washington, DC: American Mathematical Soc., 2020. (The Dolciani Mathematical Expositions, v. 22).

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