Modelagem computacional no ensino médio: o caso do oscilador harmônico amortecido

## Modelagem computacional no ensino médio: o caso do oscilador harmônico amortecido

## Isaac Younes Rabello 1 , Gabriel Massi 2 , Miguel Guimarães 3 , Fábio dos Santos 4

1 CEFET/RJ/COTEL-PT/isaac.rabello@cefet-rj.br

2 CEFET/RJ/COTEL-PT/gabriel.massi@cefet-rj.br

3 CEFET/RJ/COTEL-PT/miguel.guimaraes@aluno.cefet-rj.br

4 CEFET/RJ/COTEL-PT/fabio.pereira@cefet-rj.br

Palavras-chave : Python; Modelagem computacional; Oscilador Harmônico

## Resumo expandido

A Física é uma Ciência muito dinâmica. Atualmente, é impossível mensurar com precisão o impacto que a revolução científica-tecnológica provocou na vida cotidiana. Enquanto as expectativas de integração das últimas descobertas da Física em cursos introdutórios estão crescendo, a Física ensinada nas escolas vai até a Física do século XIX, e a baixa carga horária semanal impede que tópicos mais contemporâneos sejam introduzidos, sendo impossível retirar temas fundamentais, como por exemplo, leis de Newton e Termodinâmica, para abrir espaço para outros mais contemporâneos como Nanotecnologia, Ondas Gravitacionais e Computação Quântica.

Atualmente existem inúmeras tentativas de melhorar a aprendizagem do estudante através do uso de ferramentas modernas, como simulações computacionais usando softwares voltados para o ensino ou simplesmente construindo códigos em diferentes linguagens de programação (PLANINSIC et al. , 2019). Os resultados que serão expostos no presente trabalho são consequência da utilização da modelagem computacional, usada para introduzir tópicos mais avançados de Física à estudantes de ensino médio. O modelo desenvolvido e apresentado neste trabalho tem a vantagem de não exigir do estudante conhecimentos matemáticos avançados, em geral vistos apenas no ensino superior, para aprender temas de maior complexidade. Para este fim, utilizamos a linguagem de programação Python, por ser uma linguagem moderna, simples e de fácil uso para estudantes de ensino médio. Além disso, percebeu-se que muitos dos recursos do Python facilitam tanto o ensino quanto a aprendizagem (por exemplo, uma sintaxe simples e flexível, feedback imediato e módulos fáceis de usar) (DOWNEY, 2016), (GRANDELL et al. , 2006), (HABERMAN, 2006).

É importante destacar que todos os resultados aqui apresentados foram desenvolvidos pelos estudantes envolvidos no projeto de iniciação científica vinculados ao Curso Técnico em Telecomunicações Integrado ao Ensino Médio do CEFET/RJ campus Petrópolis. Para essa primeira abordagem escolhemos como sistema físico o oscilador harmônico simples com amortecimento, sistema este que somente é introduzido ao estudante em cursos superiores de Física e Engenharia.

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19 a 30 de julho de 2021 - Online

Este sistema foi escolhido porque além de ser de simples análise, do ponto de vista físico, possui uma dinâmica bastante rica e pode ser estendido para sistemas com maior complexidade, uma vez que as equações de movimento aqui obtidas são encontradas em uma grande variedade de problemas em Física. Não é exagero dizer que o estudo do movimento harmônico simples é um dos alicerces da Física, pois uma parcela significativa de problemas mais complexos, tanto em Física como em Engenharia, podem ser reduzidos ao modelo do oscilador harmônico, como exemplo podemos citar: vibrações mecânicas, vibrações de membranas, vibrações sonoras em um gás contido em um recipiente fechado, oscilações elétricas em linhas de transmissão, circuitos elétricos, vibrações normais de moléculas. A introdução de temas de maior complexidade para estudantes de ensino médio se torna mais eficiente quando se utiliza de métodos computacionais modernos.

O sistema proposto consiste em um bloco de massa M, conectado a uma mola ideal de constante elástica k sobre uma superfície horizontal (ALONSO; FINN, 1981), (MACHADO, 2019), (THORNTON; MARION, 2014). O sistema é então tirado da posição de equilíbrio e passa a oscilar com uma determinada frequência, estando sujeito a uma força restauradora e a uma força de atrito dependente da velocidade com constante de amortecimento 𝛾 (𝛾 > 0) , como pode ser observado na figura (01).

Figura 01: Oscilador massa-mola com amortecimento.

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A partir do princípio fundamental da dinâmica, é fácil escrever a equação de movimento do sistema:

<!-- formula-not-decoded -->

A equação (1) pode ainda ser escrita como:

<!-- formula-not-decoded -->

Onde,

<!-- formula-not-decoded -->

Aqui 𝜔0 é a frequência natural do sistema na ausência de atrito e 𝛽 é o fator de amortecimento. Com o intuito de obter uma solução para o sistema analisado, é apropriado fazer uma mudança de variável na equação (2), e teremos como resultado a seguinte equação característica (MACHADO, 2019):

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<!-- formula-not-decoded -->

A solução da equação (4), que é uma equação do 2º grau, será:

<!-- formula-not-decoded -->

Dependendo do termo dentro da raiz quadrada, o amortecimento pode ser de três tipos: subcrítico ( 𝜔0 &gt; 𝛽 2 ) 2 ; supercrítico ( 𝜔0 &lt; 𝛽 2 2 ); crítico (𝜔0 2 = 𝛽 2 ) . Neste trabalho consideramos somente o caso do amortecimento subcrítico, com isso a equação (1) apresenta a seguinte solução:

<!-- formula-not-decoded -->

Dessa forma, a velocidade do oscilador é dada por:

<!-- formula-not-decoded -->

Nas equações (6) e (7), 𝜔 = √𝜔0 2 -𝛽 2 é a frequência angular do oscilador amortecido, 𝑋𝑚 é a amplitude de oscilação, e 𝜙 é a constante de fase. Construímos um código em Python para ver a evolução temporal da posição e velocidade do oscilador com amortecimento subcrítico e comparamos com o caso da oscilação livre, mostrada nas figuras (02) e (03).

Figura 02: Evolução temporal da posição e da amplitude.

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Figura 03: Evolução temporal da velocidade.

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Os resultados mostrados nas figuras (02) e (03), foram feitos usando um código em Python assumindo os seguintes valores para os parâmetros do sistema: 𝑋𝑚 = 1 𝑐𝑚; 𝜔0 = 1,0 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠 -1 ; 𝛽 = 0,2 𝑠 -1 ; 𝜙 = 𝜋 2 . Analisando os gráficos, percebemos que a amplitude máxima do oscilador diminui com o tempo, isso acontece por causa do fator de amortecimento 𝑒 -𝛽𝑡 , onde 𝛽 &gt; 0 e o envoltório da curva do deslocamento X(t) é fornecido por:

<!-- formula-not-decoded -->

O código em Python desenvolvido pelos estudantes é mostrado na figura (04). Como é possível perceber, o código possui uma sintaxe bastante simples e transparente. Por esse motivo acreditamos que pode ser uma ótima opção para o ensino de Física não só em nível superior, mas principalmente a partir do ensino médio. Um aspecto importante a ser destacado aqui, é que o uso de simulações computacionais em Física já é bastante conhecido. No entanto, apenas no âmbito da pesquisa científica. Ao introduzir essa nova ferramenta de análise desde os níveis mais básicos do ensino, pode-se fazer com que os estudantes tenham maior interesse pela Física e possibilitaria introduzir tópicos mais modernos, gerando a expectativa de despertar nos estudantes uma curiosidade que pode ajudar a transformá-los em futuros pesquisadores, não só em Física, mas em todas as áreas do conhecimento.

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Figura 04: Código em Python desenvolvido para o trabalho.

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## Referências

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J.. Física: Um curso universitário : volume I mecânica. [S.L]: Edgard Blucher Ltda., 1981.

CAMPARI, Enrico Gianfranco et al . Physics Laboratory at Home During the COVID19 Pandemic. The Physics Teacher. [S.L], p. 68-71. dez. 2020.

DOWNEY, Allen B.. Pense em Python : pense com um cientista da computação. 2. ed. [S.L]: Novatec, 2016.

GRANDELL, Linda et al . Why Complicate Things? Introducing Programming in High School Using Python. Proceedings Of Ace 2006. Hobart, Tasmania, Austrália, p. 01-09. mar. 2006.

HABERMAN, Bruria. Teaching Computing in Secondary Schools in a Dynamic World: Challenges and Directions. In: Mittermeir R.T. (Eds) Informatics Education - The Bridge Between Using And Understanding Computers. Issep 2006. Lecture Notes In Computer Science. Berlin, p. 94-103. nov. 2006.

MACHADO, Kleber Daum. Equações Diferenciais Aplicadas : volume 1. Ponta Grossa: Toda Palavra, 2019.

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PLANINSIC, Gorazd et al . Framework for using modern devices in introductory physics courses. European Journal Of Physics. [S.L], p. 065702-065715. out. 2019.

THORNTON, Stephen T.; MARION, Jerry B.. Dinâmica clássica de partículas e sistemas . [S.L]: Cengage Learning, 2014.

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