O Tabuleiro de Galton: uso de uma simulação online para ensino de probabilidade e física moderna no ensino superior.

## O TABULEIRO DE GALTON:

## USO DE UMA SIMULAÇÃO ONLINE PARA ENSINO DE PROBABILIDADE E FÍSICA MODERNA NO ENSINO SUPERIOR

Lucas Felipe de Souza¹, Márcio Lúcio Rodrigues², Caroline Inês Lisevski ³

- 1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Registro, lucas.felipe@aluno.ifsp.edu.br
- 2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Registro, marcio.rodrigues@ifsp.edu.br
- 3 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Pirituba, caroline.lisevski@ifsp.edu.br

Palavras-chave : Tabuleiro de Galton; física quântica; probabilidade.

## Resumo

Os fenômenos da física quântica seguem premissas contraintuitivas, fora do senso comum. A dualidade onda-partícula e o princípio da incerteza, são exemplos de tais fenômenos. Por essa razão o uso didático de exemplos interpretativos auxilia o aluno a construir tais conceitos, a teoria pode se mostrar maçante e pouco produtiva. Os equipamentos experimentais de física moderna destinados para o ensino podem ser inviáveis em muitas situações, principalmente devido ao alto custo.

A falta de equipamentos para o ensino de laboratório de física moderna, e o atual momento de isolamento social, demonstram a relevância desta pesquisa, a qual visa preparar um roteiro de aula utilizando a simulação de um Tabuleiro de Galton, usando a plataforma online Phet (VEILLETTE, 2019). A utilização da simulação em celulares e computadores permite o uso da ferramenta tanto em ensino remoto, como presencial.

A proposta desta pesquisa é utilizar o tabuleiro para explicar a incerteza na medição do experimento de dupla fenda, utilizando a simulação como ferramenta didática. O experimento de dupla fenda consiste em um emissor de radiação ou partículas, que são disparadas contra uma barreira com duas pequenas fendas paralelas, com tamanho suficiente apenas para que uma partícula ou fóton de radiação por vez passem por cada uma. Após a primeira barreira há uma segunda, com um detector para determinar onde a partícula ou radiação irá chegar. No experimento de dupla fenda, é observado um fenômeno de interferência, devido a função de onda de probabilidade associada a equação de Schrödinger (GRIFFITHS, 2011).

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Figura 1: Experimento de dupla fenda (Feynman, 2004, p. 180).

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No experimento representado na Figura 1, corpos de escala muito reduzida demonstram interferência, o que sugere que uma função ondulatória de probabilidade pode ser associada ao movimento da partícula. Quando há apenas uma fenda aberta, uma curva de distribuição normal 𝑃1 e 𝑃2 é observada, formadas pela detecção das partículas que passam pela fenda aberta. Quanto maior a área sob as curvas representadas, mais partículas podem ser encontradas naquela região. Quando as duas estão abertas, observa-se o padrão de interferência 𝑃12 da função ondulatória, devido a função de onda individual de cada partícula, suas amplitudes se somam em determinados pontos, e se anular em outros. Ocorre então um padrão de faixas paralelas no detector, alternando em áreas onde podem ser encontradas partículas, ou não.

Caso seja feita uma observação para determinar por qual das fendas a partícula passou, o padrão de interferência desaparece, e é observada uma distribuição normal, como na Figura 2:

Figura 2: Experimento de dupla fenda sem padrão de interferência (FEYNMAN, 2004, p. 185).

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No Tabuleiro de Galton, uma esfera segue uma trajetória aleatória através de um percurso, e ao atingir um pino, o caminho tem igual probabilidade de se alterar para a esquerda ou direita, seguindo assim por cada pino. A trajetória de uma ou várias esferas pode ser calculada por uma distribuição binomial de probabilidade, mas com muitas esferas o cálculo se faz extenso. Contudo, como o caminho de cada esfera é independente, ou seja, não interfere com as outras, e possui a mesma média e desvio em cada uma, é possível aproximar as distribuições acumuladas através de uma distribuição normal.

Figura 3: Representação de um Tabuleiro de Galton (MUTALIK, 2019).

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A Figura 3 representa o funcionamento de um tabuleiro de Galton. A aproximação de uma distribuição binomial para uma normal condiz com o Teorema do Limite Central (PITMAN, 1993). Esse diz que variáveis estatisticamente independentes, com variâncias semelhantes, se somam para produzir uma nova variável tendendo a distribuição normal ou gaussiana, como no tabuleiro (LIMA JUNIOR, 2011). As trajetórias de partículas no experimento de dupla fenda, e a distribuição normal no dispositivo podem ser analisados a partir de uma função de densidade de probabilidade (VELOSO, 2011). É possível determinar a trajetória provável de uma partícula, também através de cálculos de probabilidade e estatística.

Uma comparação pode ser feita entre o experimento da dupla fenda e o Tabuleiro de Galton. Os fenômenos quânticos são de escala tão reduzida que se pode ter apenas certo grau de certeza de suas propriedades, como posição e velocidade. A trajetória de uma partícula segue um caminho incerto, mas que pode ser previsto através da probabilidade. No tabuleiro não é possível determinar com precisão a trajetória de cada esfera, mas as distribuições probabilísticas também fornecem uma estimativa de seu percurso.

A dualidade onda-partícula dos corpos quânticos, explicitada no experimento de dupla fenda, reflete o princípio da incerteza da mecânica quântica postulado por Heisenberg. Devido ao tamanho de uma partícula, como o elétron por exemplo, a tentativa de observar sua posição irá alterar sua trajetória, como uma bola de bilhar atingindo outra, e mudando seu movimento (BRENNAN, 2003). Por essa razão o padrão de interferência desaparece quando tenta se detectar por qual fenda a

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partícula passou. Uma alusão pode ser feita com um Tabuleiro de Galton, imaginando um aparato tão pequeno, que para determinar quando a esfera cai no dispositivo, seja necessário um detector que altera a trajetória delas.

Figura 4: simulação de um Tabuleiro de Galton (VEILLETTE, 2019).

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A Figura 4 mostra uma simulação de um tabuleiro de Galton feita na plataforma Phet. Hipoteticamente, um dispositivo para observar quando as esferas caem é colocado no topo dele. Supondo uma escala semelhante entre as esferas e o dispositivo de observação, a trajetória é alterada, e o padrão de distribuição é deslocado, saindo do centro do tabuleiro. A tentativa de observar o fenômeno altera o experimento e o resultado, exatamente como ocorre em experimentos de escala muito reduzida.

O Tabuleiro de Galton pode então ser utilizada como ferramenta didática para auxiliar um aluno de graduação a compreender a natureza estatística de medições de sistemas subatômicos, e que a incerteza presente em tais fenômenos, não implica erro experimental. Por ser uma ferramenta visual, de acesso gratuito, e permitir um aprendizado intuitivo de conceitos probabilísticos, o simulador pode oferecer apoio no ensino de probabilidade e física quântica. A pesquisa segue em andamento para criação do roteiro didático.

## Referências

BRENNAN, Richard P. Gigantes da física: uma história da física moderna através de oito biografias. ed. rev. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2003.

FEYNMAN, Richard P. Física em seis lições . Rio de Janeiro: Ediouro, 2004. GRIFFITHS, David J . Mecânica quântica. 2 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011

MUTALIK, Pradeep. How randomness can arise from determinism. Quanta magazine. New York, oct 2019. Disponível em:

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&lt;https://www.quantamagazine.org/how-randomness-can-arise-from-determinism20191014/#&gt;. Acesso em: 25 ago. 2020.

LIMA JUNIOR, Paulo. SILVEIRA, Fernando Lang da. Discutindo os conceitos de erro e incerteza a partir da tábua de Galton com estudantes de graduação: uma contribuição para a incorporação de novas abordagens da metrologia ao ensino de física superior. Cad. Bras. Ens. Fís. UFSC, Florianópolis, SC, v. 28, n. 2, p. 400-422, ago. 2011.

PITMAN, Jim. Probability. New York: Springer-Verlag, 1993

VELOSO, Felipe A. Algumas relações entre a mecânica quântica e o cálculo de probabilidade. 2011. Dissertação (Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária, área de concentração em Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de Mestre). Universidade Federal de Lavras, Minas Gerais, 2011.

VEILLETTE, M.; BARNETT, D.; MALLEY, C.; RAMOS-MACIAS, G.; McGARRY, A.; DUBSON, M. Plinko Probability. In: Phet Interactive Simulactions. University of Colorado Boulder, 2019. Disponível em:

&lt;https://phet.colorado.edu/en/simulation/plinko-probability&gt;. Acesso em: 13 mar.

2021.

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