SIMULAÇÕES DE MOVIMENTO BALÍSTICO COM RESISTÊNCIA DO AR

## SIMULAÇÕES DE MOVIMENTO BALÍSTICO COM RESISTÊNCIA DO AR

## Rafael Zacarias Palierini 1 , Eliane de Fátima Chinaglia 2 , Sueli Hatsumi Masunaga 3

1 Centro Universitário FEI, rafael.palierini.contato@gmail.com 2 Centro Universitário FEI, echinaglia@fei.edu.br 3 Centro Universitário FEI, smasunaga@fei.edu.br

Palavras-chave : Engenharia, Python, Simulação

## Resumo expandido

Nos últimos anos, uma mudança no ensino em engenharia vem sendo trabalhada baseada no desenvolvimento de competências, onde o protagonismo do aluno no seu aprendizado é mais valorizado [1-3]. Para tanto, a elaboração de atividades e a disponibilidade de ambientes e condições que incentivem o desenvolvimento das habilidades e conteúdos desejados é fundamental. Neste sentido, é importante que a correlação dos conteúdos vistos nas aulas de teoria e laboratório seja desenvolvida pelos alunos de forma mais sistemática. Da mesma forma, o desenvolvimento de simulações que complementem ou estejam diretamente interligadas ao conteúdo teórico possibilita que o aluno se torne mais ativo, devido à necessidade da busca pela compreensão da simulação para compará-la com os dados experimentais, tornando a aprendizagem mais dinâmica, além de estimular a utilização de linguagens de programação em disciplinas de física.

Nos estudos de movimento balístico, a existência da resistência do ar, em geral, é pouco ou nunca abordada nos cursos iniciais de física devido à complexidade matemática envolvida. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar um programa de simulação de movimento balístico, em que uma condição mais realística desse movimento é considerada. Neste software o movimento pode ser simulado em três condições distintas: sem resistência do ar, com uma força viscosa proporcional somente à velocidade ( 𝐹 ⃗ 𝑣 = 𝑏. 𝑣 ⃗ ) [4] ou força viscosa proporcional à velocidade e à velocidade ao quadrado ( 𝐹 ⃗ 𝑣 = 𝑏. 𝑣 ⃗ + 𝑐. |𝑣|𝑣 ⃗ ) [5-6]. Além de realizar a simulação, o software permite a importação de dados experimentais, possibilitando a sua modelagem pela simulação, e exportação dos resultados da simulação.

- O desenvolvimento do programa foi feito em Python, utilizando bibliotecas matplotlib , numpy , os , sys , time e tkinter pré-instaladas pelo Anaconda [7-13]. A principal biblioteca é o tkinter , responsável por permitir a criação da interface gráfica que será utilizada pelos alunos.
- A interface gráfica da simulação é apresentada na figura 1, onde podemos observar todas as grandezas cinemáticas que podem ser simuladas, além dos parâmetros de entrada da simulação (ângulo de lançamento 𝜃 e velocidade inicial 𝑣𝑜 )

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

19 a 30 de julho de 2021 - Online

e os que serão simulados (parâmetros de atrito do ar: 𝛽 = 𝑏 𝑚 , 𝛾 = 𝑐 𝑚 ). O cálculo dessas grandezas cinemáticas foi realizado de forma analítica para o caso de 𝐹 𝑣 ∝ 𝑣 [4] e usando o método numérico de Runge-Kutta de 4ª ordem para 𝐹 𝑣 ∝ 𝑣, 𝑣 2 [14]. O software possibilita ainda o cálculo de 𝛽 e 𝛾 a partir dos valores tabelados da viscosidade do meio ( 𝜂 ), densidade volumétrica do meio ( 𝜌 ), coeficiente de arraste ( 𝐶 ) e das características do objeto (massa: 𝑚 e raio: 𝑟 ).

Figura 1: Interface gráfica da simulação do movimento balístico.

<!-- image -->

A proposta é que o aluno avalie o efeito da resistência do ar no movimento balístico de várias esferas, de massas e diâmetros diferentes. Assim, o primeiro passo é a gravação dos dados experimentais e posterior análise do movimento utilizando o Tracker [15]. As figuras 2(a) e 2(b) apresentam os dados experimentais referentes à trajetória de uma esfera de isopor e de uma bola de basquete, respectivamente. A partir dos dados obtidos pelo Tracker , podemos obter a altura máxima atingida, o alcance, o ângulo de lançamento 𝜃 e a velocidade inicial 𝑣𝑜 . Analisando a trajetória mostrada na figura 2(a), o aluno pode notar claramente a influência da resistência do ar no movimento da esfera de isopor já que essa trajetória não corresponde a uma parábola. Para a bola de basquete, a trajetória mostrada na figura 2(b) é uma parábola e, portanto, o efeito da resistência do ar não é evidente.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

<!-- image -->

Figura 2: Trajetórias obtidas pelo Tracker (a) da esfera de isopor e (b) da bola de basquete.

<!-- image -->

Em seguida, os dados experimentais são inseridos no programa de simulação e realizada sua comparação com a trajetória calculada, para a obtenção dos parâmetros de amortecimento 𝛽 e 𝛾 que ajustem a simulação aos dados experimentais. Os resultados podem ser observados nas figuras 3(a) e 3(b). De acordo com a simulação da esfera de isopor (figura 3(a)), o valor de 𝛽 obtido foi o mesmo esperado de acordo com a Lei de Stokes: 𝛽 = 0,00972 𝑠 -1 . Já o valor de 𝛾 obtido para que a simulação se ajuste aos dados experimentais foi 𝛾 = 0,400𝑚 -1 , menor que o valor esperado. Esse resultado possibilita a avaliação experimental do coeficiente de arraste para essa situação: 𝐶 = 0,41 . No caso da bola de basquete (figura 3(b)), foi possível realizar a simulação sem considerar a resistência do ar.

<!-- image -->

Figura 3: Resultados da simulação (linha contínua) (a) da esfera de isopor e (b) da bola de basquete comparados com os dados experimentais obtidos pelo Tracker (pontos).

<!-- image -->

Portanto, a utilização do software de simulação, juntamente com dados experimentais, possibilita que o aluno ajuste e analise conceitualmente os parâmetros necessários para a correta correspondência entre dados experimentais e teóricos. Além disso, como o programa é um código aberto, alunos que tem interesse em programação podem aprender e contribuir. Desta forma, o uso da simulação como ferramenta de ensino de física, pode proporcionar uma aprendizagem mais efetiva ao aluno, devido à sua participação ativa no processo de ensino e aprendizagem.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

## Referências

[1] MEI/CNI, ABENGE. Diretrizes para o Curso de Engenharia, 2018 . Disponível em: &lt;http://www.abenge.org.br/documentos/PropostaDCNABENGEMEI\_CNI.pdf&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[2] RUGARCIA, A. et al. The Future of Engineering Education: Part 1. A vision for a new century . Chemical Engineering Education, v. 34, p. 16-25, dez. 2000.

- [3] WANKAT, Phillip C.; BULLARD, Lisa G. The Future of Engineering Education - Revisited . Chemical Engineering Education, v. 50, p. 19-28, jan. 2016.

[4] FREIRE, Wilson Hugo C. et al. Lançamento oblíquo com resistência do ar: Uma análise qualitativa . Revista Brasileira de Ensino de Física, SciELO, v. 30, 2016. Disponível em:

&lt;http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci\_arttext&amp;pid=S180611172008000300013&amp;nrm=iso&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[5] LONG, Lyle N.; WEISS, Howard. The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer for Mathematicians . The American Mathematical Monthly, 106:2, 127-135, 23 abr. 2018. Disponível em: &lt;https://doi.org/10.1080/00029890.1999.12005019&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[6] AZHIKANNICKAL, Elizabeth. Sports, Smartphones and Simulation as an Engaging Method to Teach Projectile Motion Incorporating Air Resistance . The Physics Teacher, American Association of Physics Teachers, v. 57, mai. 2019. Disponível em: &lt;https://doi.org/10.1119/1.5098919&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021

[7] ANACONDA, Inc. Anaconda Navigator - Anaconda documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em:

&lt;https://docs.anaconda.com/anaconda/navigator/#:~:text=Anaconda%20Navigator %20is%20a%20desktop,in%20a%20local%20Anaconda%20Repository.&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[8] MATPLOTLIB. Matplotlib: Python plotting - Matplotlib 3.3.0 documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://matplotlib.org/&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[9] NUMPY. NumPy Documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://numpy.org/doc/#&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[10] PYTHON. os - Miscellaneous operating system interfaces - Python 3.9.2rc1 documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://docs.python.org/3/library/os.html&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[11] PYTHON. sys - System specific parameters and functions - Python 3.9.2rc1 documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://docs.python.org/3/library/sys.html&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[12] PYTHON. time - Time access and conversions - Python 3.9.2rc1 documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://docs.python.org/3/library/time.html&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[13] PYTHON. tkinter - Python interface to Tcl/Tk - Python 3.9.2rc1 documentation . [S.l.: s.n.]. Disponível em: &lt;https://docs.python.org/3/library/tkinter.html&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

[14] MOLER, Cleve. Classical Runge-Kutta, ODE4 . Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. 28 de jul. 2016. (9m37s). Disponível em: &lt;https://www.youtube.com/watch?v=Mva9UIz\_wwA&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

[15] PHYSICS, Open Source. Tracker - Video Analysis and Modeling Tool . [S.l.]: OpenSource Physics. Disponível em: &lt;https://physlets.org/tracker/&gt;. Acesso em: 17 jan. 2021.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_