Relações entre conhecimento conceitual, domínio de técnicas matemáticas e visões do papel da Matemática na Física e na resolução de problemas sobre a Primeira Lei da Termodinâmica

Relações entre conhecimento conceitual, domínio de técnicas matemáticas e visões do papel da Matemática na Física e na resolução de problemas sobre a Primeira Lei da Termodinâmica

Relationships among conceptual knowledge, domain of mathematical techniques and visions of the Mathematics in the Physics and in the resolution of problems on the First Law of the Thermodynamics

Ana Raquel Pereira de Ataíde 1 , Ileana Maria Greca 2

1 Universidade Estadual da Paraíba/Depto . de Física/arpataide@uepb.edu.br

2 Universidad de Burgos/Depto. de Física/ilegreca@hotmail.com

## Resumo

Diferentes pesquisadores em Ensino de Física nos últimos anos têm destacado a importância da compreensão conceitual e sua ligação com a formalização matemática de conceitos, dado que a matemática constitui-se no "esqueleto" que sustenta o "corpo" da física, porém são escassas as pesquisas em resolução de problemas que discutam como os estudantes entendem as equações matemáticas e qual o seu papel na aprendizagem de conceitos físicos. Este trabalho é um recorte de uma pesquisa mais ampla, que tem como objetivo investigar qual o papel da matemática na compreensão de conceitos físicos e mais especificamente dos conceitos envolvidos na primeira lei da Termodinâmica. Os dados obtidos neste estudo descritivo - o qual foi realizado com uma turma de 12 estudantes do último ano (sétimo período) do curso de Licenciatura em Física da Universidade Estadual da Paraíba, matriculados na componente curricular Termodinâmica - parecem mostrar a importância da compreensão não apenas dos conceitos ou das técnicas matemáticas isoladamente, mas sim da formalização matemática ligada à construção dos conceitos para que a aprendizagem ocorra de maneira efetiva. Isto se manifesta de forma mais evidente nas atividades avaliativas, que por excelência na física, constitui-se predominantemente em resolução de problemas. Outro ponto que emerge deste estudo é que pareceria existir uma relação entre a aprendizagem de conceitos físicos e a resolução de problemas com a visão que os estudantes têm do papel da matemática na física. Na obtenção dos dados foram utilizadas a observação não participante, um questionário com perguntas diretas, atividades avaliativas regulares da disciplina e entrevistas individuais.

Palavras -chave: Resolução de problemas, Compreensão conceitual, Formalização matemática , Termodinâmica .

## Abstract

In the last years, physics teaching researchers have stressed the relation between the conceptual comprehension and the mathematical formalism in the learning of physics. For these researchers, mathematics occupies the place of the

internal structure in the body of the physical science. Nevertheless, few studies in problem solving argue how students understand mathematical equations and what is their role in the learning of physical concepts. This work is part of a broad research which investigate the role of mathematics in the comprehension of physical concepts related to the First Law of Thermodynamics. The data of this descriptive study deal with 12 students of the last year of a degree course in Physics of State University of Paraiba which are studying Thermodynamics. The data was gathered by nonparticipate observation, a questionnaire with straight questions, regularly discipline's evaluation and individual interviews. The analysis show that an effective learning requires a link between the mathematical formalism and the construction of concepts, and not only the isolated comprehension of concepts and/ or the knowledge of mathematical techniques. This link seems to be more evident in problem solving, the preferred evaluation activity in physics classroom. Another important point from this study is that it seems to exist a relation between the learning of physical concepts and problem solving and how students understand the role of mathematics in physics theories.

Keywords: Problem solving, Conceptual understanding, Mathematical modeling, Thermodynamics

## Introdução

No ensino de física, em qualquer nível, não é raro ouvir estudantes e professores reclamando das dificuldades na aprendizagem, dentre estas a que talvez tenha um maior apelo é a referente à relação entre a física e a matemática, ou seja, que os estudantes não aprendem física devido aos seus frágeis conhecimentos de matemática (Silva e Pietrocola, 2003). Embora o problema seja explícito sua solução torna-se complexa devido à falta de clareza quanto às características desta relação.

Nos níveis mais avançados do ensino, a necessidade de descrever os fenômenos físicos segundo uma determinada teoria ou mesmo resolver problemas referentes a ela requerem tanto a compreensão da teoria quanto sua formulaçao matemática. Ou seja, os estudantes deveriam ser capazes de identificar as propriedades físicas que servem para descrever os fenômenos e relacioná-las com as variáveis quantitativas que as representam (Hestenes, 2003). Este processo se denomina "modelização". Possivelmente a complexidade deste processo leva os estudantes à aprendizagem mecânica de conceitos e algoritmos (Greca e Moreira, 2001), fato que aparece de forma marcante na resolução de problemas, sobretudo quando é necessario um tratamento matemático um pouco mais sofisticado daquele à que estao habituados. De modo geral, as dificuldades enfrentadas na RP acabam levando a uma resistência dos estudantes frente a essa atividade.

Lucero et al (2006) indicam que uma possivel forma de superaçao destas dificuldades é o exercicio de análises qualitativas tanto do problema quanto das expressoes matemáticas envolvidas. Esta análise exige a leitura e a compreensão do problema, necessita de um profundo estudo conceitual da situação proposta que permita ter uma idéia detalhada da situação, levando em conta as variáveis, suas relações e desta forma escolher estratégias de resolução fundamentadas para explicar os resultados a serem obtidos. Com isso se evitaria a busca aleatoria por parte do aluno de fórmulas adequadas para vincular os dados apresentados,

buscando apenas um resultado numérico sem nenhum significado físico (Lucero et al, 2006).

Quanto ao uso dos modelos matemáticos pela física, para os estudantes as equações matemáticas das leis físicas representam apenas relações abstratas entre as variáveis, não tentam compreende-las a luz dos conceitos, nem tentam pensar no que elas estão significando. Dessa forma na RP é importante um tratamento qualitativo das expressões matemáticas envolvidas no fenômeno em estudo. Para Lucero et al (2006) compreender o significado da fórmula demonstra a compreensão do modelo explicativo do fenômeno, resultando assim em uma aprendizagem mais significativa, diferenciada do mero uso e manipulação algébrica de fórmulas e dados numéricos.

Embora a importância da " interpretação física" das expressões matemáticas - como indica Redish (2005) o idioma da matemática que usamos em física nao é igual ao utilizado pelos matemáticos -- para a resolução de problemas e, por tanto, para a aprendizagem de conceitos físicos, dado que esta atividade é uma parte integral da maior parte das aulas de física, pouco tem sido pesquisado sobre isto (Tuminaro e Redish, 2009). Por isso o foco de nossa pesquisa é a análise de como os estudantes entendem as equações matemáticas e seu papel na aprendizagem de conceitos físicos. O trabalho que apresentamos é um primeiro estudo neste sentido.

## O Papel da Matemática na Física

Ao longo da história, matemáticos e físicos apresentaram idéias divergentes sobre o papel da matemática no desenvolvimento da física. O filósofo francês Michel Paty (1995), destaca três formas da matemática se apresentar e de ser utilizada na construção do conhecimento físico. Essas formas são: a visão analógica, característica herdada da escolástica, a visão da matemática como língua que traduz o real, ou seja , o objeto de estudo da física, que podemos identificar nos escritos de Galileu, e a matemática como uma linguagem que está ligada intrinsecamente na construção do pensamento físico, característica que aparece no SXVIII com a elaboração explícita de conceitos físicos pensados matematicamente e que alcança seu ápice no SXX com o desenvolvimento da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica.

Na busca de esclarecimentos sobre a forma como ocorre a relação entre a física e a matemática e suas implicações no ensino desta disciplina, em 2001, Pinheiro, Pinho-Alves e Pietrocola, propõem a noção de matemática como estruturante do conhecimento físico, como "esqueleto" que sustenta o "corpo" da física.

A matemática fornece um conjunto de estruturas dedutivas, por meio das quais se expressam as leis empíricas ou os princípios teóricos da Física (...)ela é uma forma de linguagem e ferramenta, por meio da qual são estruturadas as relações entre os elementos constituintes de uma teoria (Pinheiro, Pinho-Alves e Pietrocola, 2001, p. 40 grifo nosso).

Tratando a matemática como uma linguagem, e desta forma trazendo a tona seu caráter interpretativo, pode-se diferenciar o saber científico do saber do senso comum, uma vez que a linguagem utilizada é uma importante forma de diferenciação entre estes dois saberes, pois a ciência normalmente vale-se da matemática como forma de expressar seu pensamento. Embora a matemática apresente, como toda linguagem, tanto características interpretativas como descritivas, Pietrocola afirma:

...sua maior importância está no papel estruturante que ela pode desempenhar quando do processo de produção de objetos que irão se constituir nas interpretações do mundo físico (Pietrocola, M;. 2002, p. 100,).

Neste sentido, a matemática enquanto linguagem empresta sua estruturação ao pensamento científico para compor os modelos físicos sobre o mundo, e sua escolha enquanto estruturadora da ciência reside, entre outras coisas, nas suas características de precisão, universalidade e lógica dedutiva (ibid). Esta posição corresponde com a terceira das visões apresentadas por Michel Paty, pois o sentido de linguagem adotado por Pietrocola nao é o de tradução, mas sim como integrante da própria construção do conhecimento que ela expressa. Silva e Pietrocola (2003) mostram uma análise do desenvolvimento da teoria eletromagnética, na qual a matematização apresenta-se não como uma mera tradução da teoria para a linguagem matemática, mas como uma etapa integrante do processo de construção da teoria. Para tanto expõem como Thomson e Maxwell utilizaram a linguagem matemática como elemento estruturante da teoria eletromagnética e não como descrição de aspectos empíricos. Dessa forma, trazem a tona um exemplo da utilização da matemática como estruturante do pensamento físico na construção de uma teoria física.

Assim, por se constituir na linguagem do conhecimento físico, a matemática deve assumir um papel tão importante no ensino de física, quanto tem no processo de construção deste conhecimento. No entanto, os professores de física, ao manifestar que o maior problema para a aprendizagem de sua disciplina são os frágeis conhecimentos matemáticos que os estudantes possuem, mostram um posicionamento epistemológico ingênuo, onde a matemática apresenta-se apenas como uma ferramenta a ser utilizada pela física na resolução de seus problemas e esta visão se propaga entre os estudantes deixando neles a impressão de que conhecendo a expressão matemática e a forma como resolvê-la consegue-se sair muito bem em física. Esta posição ingênua apresenta características de duas das visões explicitadas por Paty, da visão analógica e da matemática como tradutora dos fenômenos físicos, sendo essa última mais evidente. Estas visões podem se constituir em obstáculos pedagógicos (Pietrocola, 2002) para a aprendizagem dos conceitos físicos, uma vez que ao se propagar entre os estudantes deixa neles a impressão de que conhecendo a expressão matemática e a forma como resolvê-la consegue -se sair muito bem em física. O que resulta numa preocupação dos estudantes apenas com conhecer a equação e como resolve-la, sem ter como objetivo a compreensão dos conceitos. A visão ingênua é alimentada também pelos livros didáticos, uma vez que estes raramente apresentam uma exposição de conteúdo e atividades problemas que fujam deste instrumentalismo da matemática já consolidado no ensino de física. Portanto, é possivel que o "instrumentalismo" que se observa em muitos estudantes durante a resolução de problemas não seja devido unicamente às dificuldades cognitivas que o processo de modelização exige, mas também a uma visão epistemológica.

## O estudo

Com o intuito de compreender a influência da relação entre a física e a matemática no ensino e na aprendizagem de conceitos físicos, escolhemos a primeira lei da termodinámica, tal como apresentada a estudantes do sétimo semestre da licenciatura em Física. Fizemos esta escolha por varias razões.

- 1 -As pesquisas sobre os conceitos envolvidos na primeira lei mostram que estudantes universitários apresentam sérias dificuldades com eles, em parte devido a conceitos com uma conotação diferente no uso cotidiano, o que levam a uma confusão quando da necessidade de uma formalização científica (Contignola et al, 2002; Coelho, 2009 e Bordogna et al, 2001).
- 2 -A formalização dada à primeira lei neste estagio da formação exige utilizar um tratamento matemático para modelar e resolver problemas, diferente daquele usado nas físicas gerais .
- 3 -Envolve os conceitos de diferencial e de derivadas parcias e totais, que são chaves na compreensão de qualquer área da física do continuo.
- 4 -Estudantes avançados da licenciatura de física poderiam mostrar visões definidas sobre a relação entre a matemática e a física.
- O estudo, que tem um carácter descritivo, foi realizado com uma turma de 12 estudantes do último ano (sétimo período) do curso de Licenciatura em Física da Universidade Estadual da Paraíba, matriculados na componente curricular Termodinâmica.

Como objetos de pesquisa elegemos quatro tipos de materiais distintos:

- · As anotações realizadas durante o acompanhamento das aulas da componente curricular, focadas nas dificuldades apresentadas e perguntas realizadas pelos estudantes ao professor durante a exposição do conteúdo e a resolução de problemas.
- · Um questionário, com perguntas diretas, acerca das dificuldades que estavam tendo na aprendizagem da disciplina e especificamente na RP, e da visão que estes estudantes, egressantes do curso de licenciatura em física têm do papel da matemática na resolução dos problemas de f física.
- · Duas atividades avaliativas por estudante, compostas por perguntas teóricas e problemas, propostas pelo professor aos estudantes referentes à primeira unidade didática, que integra o estudo introdutório à termodinâmica, temperatura, sistemas termodinâmicos, calor e primeira lei da termodinâmica.
- · Entrevista individual com os estudantes, com o objetivo de esclarecer as dificuldades que detectamos na resolução dos problemas e sobre as estratégias utilizadas para resolvê-los, bem como a visão que têm de algumas estruturas e símbolos matemáticos importantes na compreensão de conceitos de Termodinâmica.

## Resultados

## 1 -- Análise dos diferentes materiais

## A) Respostas às atividades avaliativas

De modo geral, os estudantes não se saíram bem nas atividades, tendo apenas três deles conseguido um rendimento superior a 60%. Da observação das respostas dadas aos problemas propostos nas atividades identificamos algumas características que indicam as estratégias utilizadas na resolução de problemas.

Somente os três estudantes que obtiveram maior sucesso na atividade tiveram a preocupação de estruturar a resolução do problema, ou seja, identificar

variáveis, relacionar as informações apresentadas no problema, bem como no processo de resolução , descrever cada passo dado neste sentido. Quando indagados durante a entrevista a cerca das estratégias utilizadas nas resoluções justificaram que para eles era necessária uma organização, pois isso facilitava a compreensão do que se desejava obter ao final do processo.

" ... a equação matemática é importante, mas nem sempre pensamos no problema como um todo e queremos resolver usando apenas uma determinada equação, se não nos preocuparmos em identificar se ela atende as situações específicas expostas no problema podemos nos sair mal..." (E6)

Os demais estudantes procuram colocar as fórmulas que poderiam ser utilizadas para resolver o problema e testaram-nas até encontrar uma que lhes permitisse obter o resultado desejado, o que conseguiram em algumas ocasiões. Este fato parece indicar uma forte tendência a utilizar a matemática apenas como uma ferramenta útil para a resolução de problemas sem se preocupar em relacionála com os conceitos físicos envolvidos, como podemos perceber na fala de E10.

" ... para mim é mais fácil partir da fórmula matemática e depois encaixar os valores que foram dados no problema..., quando não estão todos presentes tento com todas as fórmulas expostas até encontrar..."

Quanto às respostas dadas as questões teóricas observamos que apenas um estudante respondeu corretamente todas as questões, oito estudantes responderam parcialmente as questões e três estudantes não responderam corretamente ou as deixaram sem respostas. Estas questões versavam sobre a definição de variáveis microscópicas e macroscópicas e as relações existentes entre estas variáveis, o conceito de energia interna e a definição da primeira lei da termodinâmica.

## B) Respostas aos questionários

De modo geral, 16,7 % dos entrevistados, afirmaram não terem dificuldades, no entanto, 83,3% assumem apresentar algum tipo de dificuldade, e estas foram divididas em tres categorias:

Dificuldades com a matemática: aplicações de fórmulas, construção e interpretação de gráficos, ou seja, dificuldade na aplicação da matemática pura, 50% dos estudantes afirmam ter problemas na aplicação dos cálculos matemáticos:

"Quando considero o tratamento, como eu poderia aprender determinado conteúdo de física que esteja com um tratamento matemático que nem estudei ainda?". (E1)

- "...tenho muita dificuldades com algumas ferramentas da matemática, como a integral e as derivadas e dessa forma não consigo resolver os proroblemas" (E2)

Dificuldades com o conceitual (Teoria): 30% dos entrevistados (afirmam apresentarem dificuldades em compreender a parte conceitual do conhecimento físico e sua relação com a quantificação do fenômeno, com é o caso de E4:

"Tenho dificuldade de fazer a ponte em entre a parte conceitual e as fórmulas matemáticas".

Dificuldades na junção entre o conceitual e a matemática: esta categoria representa a dificuldade dos alunos na interpretação e compreensão do problema

proposto, em onde usar determinado ferramental matemático e em como utilizar o mesmo. Esta categoria representa a dificuldade de 20% dos estudantes

"As vezes tenho dificuldade na aplicação das formulas, fico muitas vezes sem saber em que situação usar cada uma delas". (E5)

"Na parte de entender o que as questões estão pedindo".(E6)

Na observação destas respostas percebemos claramente que a maior parte dos estudantes apresenta dificuldades com a matemática. Em relação à segunda parte da pergunta, quando indagamos se as dificuldades interferem na aprendizagem de física, e em que grau ocorre essa interferência, todos os estudantes, mesmo os que afirmam não ter dificuldades, consideram que elas interferem diretamente na aprendizagem, alguns deles são mais contundentes e afirmam ter certo tipo de bloqueio quando solicitados a resolver problemas e culpam a matemática por essa reação.

## C)- Entrevistas: em busca de esclarecimentos

Na entrevista, tentamos esclarecer alguns pontos - tanto conceituais como procedimentais - que apareceram na análise das atividades avaliativas e na observação de sala de aula.

- · O estudante entende o que são variáveis microscópicas e macroscópicas? Compreende as relações existentes entre estas variáveis?

Durante a entrevista nove estudantes mostraram que entende os dois tipos de variáveis, no entanto embora apresentem esta visão geral do que sejam tais variáveis, eles não compreendem as relações existentes entre elas. Dois estudantes não compreendem o que são variáveis microscópicas e macroscópicas e apenas um dos estudantes entrevistados além de responder adequadamente o que representam estas variáveis explicou como estas se relacionam.

- · O estudante compreende o que é Temperatura, Calor e Energia Interna?

O conceito de temperatura, embora básico no estudo da termodinâmica continua constituindo -se em um dos mais confusos para grande parte dos estudantes. Assim, cinco estudantes definem temperatura como uma grandeza que indica o grau de vibração molecular, três estudantes a associam a energia cinética interna do sistema, dois estudantes afirmam que a temperatura é definida como a medida da energia interna do sistema e dois estudantes ligam o conceito de temperatura com calor. Quando indagados acerca do conceito de calor, dois estudantes associam o calor à diferença de temperatura só que desvinculada de trocas para se chegar a um equilíbrio térmico, enquanto que dez estudantes conceituam calor como energia em trânsito, dentro deste universo, quatro afirmam que esse trânsito ocorre em um único sentido, dois estudantes consideram que ele pode ocorrer em sentido duplo e quatro estudantes não trataram do sentido que ocorre esse trânsito. Em relação à energia interna, dez estudantes mostraram a partir de suas respostas que compreendem bem o conceito e dois apresentam respostas que indicam um entendimento parcial do conceito. No entanto, apesar da grande maioria mostrar um entendimento, estes afirmam não saber relacioná-la com outras grandezas macroscópicas.

- · O estudante entende o que representa o sinal de igualdade (=) na equação da primeira lei da termodinâmica?

Três estudantes, durante a entrevista afirmaram que utilizam a equação sem a preocupação de entender seus componentes, pois uma vez que representa matematicamente uma lei é por que já está provada. A estes estudantes atribuímos um não entendimento da representação do sinal de igualdade. Os nove restantes apresentaram respostas que conduzem ao significado de conservação de energia, e que o sinal de igualdade serve para formalizar essa conservação. Embora este resultado sejeja significativo a maior parte destes estudantes (oito), afirmam não perceberem claramente como ocorrem às relações entre grandezas macroscópicas e microscópicas, o que se constitui em uma incoerência já que a equação da primeira lei da termodinâmica expressa uma relação deste tipo. Quanto a esta posição dos estudantes percebemos uma dificuldade em relacionar não só as grandezas microscópicas e macroscópicas, mas de identificar, como afirma Contignola, a representação da igualdade como uma fronteira entre o sistema estudado (Eint) e os sistemas que agem sobre ele (Q + W).

## · O estudante entende a idéia de diferencial?

Nas observações em sala de aula e na análise das atividades percebemos a grande dificuldade quando do entendimento das diferenciais e estas dificuldades tornaram -se mais evidentes na utilização de derivadas parciais e totais. Nas entrevistas detectamos que apenas cinco estudantes entendem a idéia de diferencial, os sete estudantes restantes afirmam apenas saberem as técnicas , fazendo uso destas apenas como um instrumento na resolução de problemas.

" ... não entendo qual a diferença entre o uso de diferenciais total e parcial e também não sei quando utilizar uma ou outra..."

- · O estudante aplica adequadamente os conceitos matemáticos na resolução dos problemas?

Para tentar responder esta pergunta, partimos da resolução feita pelos estudantes nas atividades avaliativas e pedimos que explicassem como as tinham resolvido. Percebemos que quatro estudantes aplicam adequadamente os conceitos matemáticos nas resoluções de problemas, e oito estudantes não fazem uma aplicação adequada embora alguns deles conseguem resolver os problemas pois, como eles mesmos afirmaram, "decoram os passos da resolução", demonstrando que percebem este conceitual matemático como uma técnica que uma vez dominada serve como instrumento para resolver os problemas. Destacamos que um dos estudantes que na resposta anterior foi classificado como um estudante que entende a idéia de diferencial, quando passa a ter a necessidade de aplicá-lo não consegue fazê-lo adequadamente.

## · Como o estudante utiliza a matemática na resolução dos problemas?

Este último questionamento aparece como uma tentativa de perceber como os estudantes vêem a função da matemática e como a utilizam na resolução de problemas de Física . Identificamos sete estudantes que a percebem como um instrumento útil na resolução de problemas, quatro estudantes a vêem como um elemento facilitador na resolução e apenas um estudante percebe a matemática como um elemento que dificulta o processo. No entanto, como vimos nas respostas aos questionários, as dificuldades na compreensão do tratamento matemático ou na sua relação com os conceitos f físicos foram as dificuldades mais destacadas.

## 2 -- Categorização

A partir destes resultados categorizamos os estudantes de duas maneiras:

- a) Categorização em relação à característica mais marcante nas estratégias utilizadas na resoluçao de problemas:
- · Operacionalidade matemática (OM) - Estudante que utiliza a matemática como uma técnica e que tende a resolver os problemas por tentativa e erro.
- · Conceitualização (C) - Estudantes que privilegiam a conceituação e tentam , nem sempre com êxito, f fazer uma ligação dos conceitos com a matemática a ser utilizada na resolução dos problemas .
- · Raciocínio matemático (RM) - Estudante que utiliza um raciocínio matemático coerente com a situação exposta na resolução dos problemas, embora não trabalhem muito adequadamente com as técnicas.
- b) Categorização em relação à visão dos estudantes sobre o papel da matemática na aprendizagem de uma teoria física, adaptando a classificação proposta por Karam (2008)
- · Ferramenta: a matemática é utilizada como instrumento facilitador ao físico dos cálculos numéricos.
- " A matemática é um instrumento abstrato necessário para a comprovação dos conceitos físicos. A matemática é uma ferramenta fundamental"l". (E7)
- " O cálculo inicialmente foi criado por Newton para resolver problemas físicos. Dessa forma, a matemática é utilizada como objeto usado para facilitar a resolução dos problemas propostos." (E8)
- · Linguagem: a matemática é um tradutor do pensamento físico para o mundo , uma mera manifestação da física, com a função de representá-la de forma entendível.
- " A matemática, na física, desempenha o papel de uma linguagem que é utilizada para modelar e descrever os fenômenos físicos". (E1)
- " A matemática é fundamental, mas não é tudo na física, ela serve para traduziila em números" (E(E2)
- · Estrutura: a matemática configura-se como estruturante do próprio pensamento físico:
- "a matemática tem uma função fundamental na física, ela é a base estrutural, é como o esqueleto do nosso corpo" (E5)

Na Tabela 1 aparecem resumidas estas categorizações .

Da tabela pode-se observar que três estudantes (E4, E5, E6) possuem os conhecimentos matemáticos necessários para esta área de estudo e apresentam idéias bastante claras quanto aos conceitos físicos, conseguindo fazer a ligação entre estas idéias e a formalização matemática. Estes estudantes, caracterizados na categoria raciocínio matemático , apresentam também suas idéias atreladas à visão de uma relação estreita entre a física e a matemática onde a segunda assume um papel de estrutura para a primeira, ainda que não tenham muita clareza na percepção das relações entre estas duas áreas de conhecimento. Estes estudantes foram os que apresentaram menores dificuldades na aprendizagem e melhor desempenho.

Em contraposição, os estudantes com menores rendimentos nesta área (E7, E8, E9, E10, E11, e E12), dominam as "técnicas" matemáticas, mas não possuem uma compreensão adequada dos conceitos físicos, nem da relação existente entre a matemática e a construção destes. Sua característica principal na resolução de problemas é a operacionalidade matemática , i. é., usam como estratégia de resolução a tentativa e erro -- colocação das equações e por tentativa ver a que melhor se adapta no processo de resolução. Estes alunos até conseguem resolver alguns problemas, mas, ao parecer, de forma aleatória. O interessante é que todos estes alunos possuem uma visão da matemática como ferramenta para o estudo da física; parecem não encontrar uma relação estreita entre a física e a matemática, tendo para eles esta segunda, uma função de instrumento em favor da primeira, o que ficou explícito nas respostas diretas durante a entrevista. É possível que esta visão, da matemática como ferramenta, provavelmente construída durante o contato com a física em sua formação, e muitas vezes reforçada por professores e manuais didáticos, seja um elemento de obstrução da aprendizagem.

Os três estudantes restantes - E1, E2, E3- tiveram um desempenho regular, dominam as técnicas matemáticas, mas, embora pareceram mostrar durante a entrevista uma forte ligação com a conceituação, entendendo conceituação como

uma grande valorização da teoria, sua compreensão dos conceitos físicos é regular, deixando, em geral, em segundo plano a matematização o que parece se configurar também como dificuldade na aprendizagem. Ao parecer, isolar conceitos físicos de sua matematização foi um obstáculo para um melhor desempenho nas atividades . Para dois deles , a matemática funciona como uma tradução dos fenômenos físicos, no entanto, embora atribuindo a ela essa função, ela difere da linguagem destacada anteriormente como a visão trazida por Galileu .

## Considerações finais

Aparentemente , o entendimento da Primeira lei da Termodinâmica, uma equação simples, envolvendo conceitos básicos da Termodinâmica, deveria ser uma tarefa relativamente singela para estudantes avançados do curso de Licenciatura em Física. No entanto, pelo que temos podido observar e pelo que relata à literatura sobre o assunto, torna-se complexa na sua aplicação e essa complexidade pode ser atribuída à falta de compreensão dos estudantes do seu significado e as relações e implicações que sua formalização matemática representa.

No nosso estudo, os conceitos apresentados pelos estudantes, de modo geral, não satisfazem plenamente a conceituação científica, embora já tivessem contato com eles na instrução formal, desde o ensino médio e dominassem as técnicas matemáticas . As dificuldades expostas, que também emergiram da observação das atividades avaliativas e que foram confirmadas nas entrevistas centraram -se na não compreensão dos problemas, sobretudo em relação ao uso adequado das equações e modelos matemáticos relacionando-os com a situação física exposta no problema a ser resolvido, reafirmando a tese de Karam e Pietrocola (2009) que as habilidades técnicas não são suficientes para saber resolver os problemas.

Portanto, nem o domínio das técnicas matemáticas nem o conhecimento "verbal" de conceitos pareceram garantir para a maioria destes estudantes uma aprendizagem efetiva das leis físicas, o que deveria se manifestar na atividade de avaliação por excelência no ensino de física que é a resolução de problemas . Ao parecer, olhando para os estudantes melhor sucedidos, é importante a compreensão não apenas dos conceitos ou da matemática isoladamente, mas sim da formalização matemática ligada à construção dos conceitos para que a aprendizagem ocorra de maneira mais efetiva.

Outro ponto que emerge deste estudo é que pareceria existir uma relação entre a aprendizagem de conceitos físicos e a resolução de problemas com a visão que os estudantes têm do papel da matemática na física. Embora estas visões ou a influência delas na aprendizagem de física não se constitua em um tema muito discutido no ensino, ao parecer elas podem influenciar na forma como os estudantes encaram a aprendizagem em física e especificamente a atividade de resolver problemas, levando muitas vezes a bloqueios nesta atividade, e configurando-se dessa forma em um obstáculo a ser superado para que ocorra uma aprendizagem apropriada desta ciência.

Estes primeiros dados apresentados neste trabalho servirão de base para os trabalhos futuros, que subsidiarão a pesquisa central que tem como objetivo analisar como os estudantes entendem as equações matemáticas e qual o papel da matemática na RP de física.

## Referências

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