A EVOLUÇÃO DA IDEIA DE UMA QUARTA DIMENSÃO

## A EVOLUÇÃO DA IDEIA DE UMA QUARTA DIMENSÃO

## Otávio Fossa de Almeida 1

1 Secretaria de Estado de Educação do Rio de Janeiro, fossadealmeida@gmail.com

## Resumo

O objetivo deste trabalho é dar suporte ao ensino da Física Relativista, principalmente nas Licenciaturas, e romper com a tendência comum a muitos professores de mitificar o fazer científico e de considerá-lo teleológico, demonstrando que a evolução do conceito de dimensionalidade do espaço foi um longo processo, resultado da necessidade: primeiro devido à Arquitetura e à Topografia, gerando os conceitos de comprimento, largura e profundidade na construção e na medida das formas geométricas, depois devido à Mecânica, em que o tempo é um termo indispensável para se estudar o movimento. Também, é identificado que o momento histórico iniciado em meados do século XIX foi bastante propício para a proliferação de ideias sobre dimensões superiores a três, algumas científicas, outras não, e que a soma desses fatores não só permitiu com que Minkowski pudesse demonstrar que o tempo era uma quarta dimensão válida, como também permitiu com que seu espaço-tempo ganhasse uma aceitação rápida dentro da comunidade científica.

Palavras-chave : Ensino de Física, História da Física, Relatividade Restrita

## Introdução

É bastante expressivo o aumento, nos últimos anos, da preocupação tanto em ensinar Física Moderna e Contemporânea - FMC no Ensino Médio, quanto em repensar o método de ensino adotado no Ensino Superior, principalmente nas Licenciaturas. Em relação a esta última, por exemplo, uma das vertentes mais promissoras é a abordagem geométrica proposta em 1908 por Hermann Minkowski para os fenômenos descritos pela Relatividade Especial (ou Restrita), que estuda, a partir dos chamados referenciais inerciais , o movimento de corpos com velocidades comparáveis à da luz. Em princípio, essa abordagem não parece novidade, mas é. A despeito de constar na maioria das ementas das disciplinas sobre o tema, o espaçotempo minkowskiano é tradicionalmente colocado de lado ou, no máximo, comentado superficialmente, principalmente porque os livros texto mais comuns não exploram essa geometria. Normalmente, os fenômenos relativistas são abordados de maneira puramente fenomenológica e a ideia de espaço-tempo se resume à sua apresentação algébrica com a introdução da notação de quadrivetor , que pode ser escrito na forma (ct; x; y; z) , em que c é uma constante numericamente igual ao valor da velocidade da luz no vácuo, t é o tempo e x , y e z são as três dimensões espaciais.

Os poucos professores, que se aventuram em trabalhar essa interpretação por vias explicitamente geométricas, adotando livros alternativos ou mesmo fazendo suas próprias notas de aula, esbarram em um problema histórico formidável e, via de regra, caem na tentação de considerar o 'surgimento' de uma quarta dimensão na Física como 'algo vindo do nada', ou 'uma façanha intangível do pensamento' do cientista, tornando-a quase uma revelação ou epifania. Nesse sentido, este singelo trabalho pretende romper com essa tendência de mitificar o fazer científico e de considerá-lo teleológico, que, infelizmente, ainda perdura no imaginário de alguns

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colegas, demonstrando que a evolução do conceito de quarta dimensão na Física é um processo longo e que o contexto social da virada do século XIX para o XX não só permitiu com que Minkowski se sentisse confortável em defender tal ideia, outrora tão absurda, como permitiu com que seu espaço-tempo ganhasse uma aceitação relativamente rápida dentro da comunidade científica.

## A formação do consenso geométrico de tridimensionalidade

Entender o surgimento do conceito de dimensionalidade do espaço requer, antes de tudo, uma compreensão de como os povos antigos entendiam o próprio espaço, o que não é trivial. Uma maneira relativamente confiável de identificar esse surgimento é usando a Paleografia, pois o surgimento de uma ideia está intimamente relacionado com o surgimento de uma palavra própria para expressá-la ou com a modificação semântica de outro termo. A disseminação dessa palavra ou sentença é capaz de indicar, com certa segurança, mas exigindo uma análise pouco precisa no tempo, como aquela ideia foi se incorporando à sociedade em questão, e como que, em algum momento, ela se tornou tão fundamental que pôde ser considerada intuitiva aos indivíduos. No entanto, esse estudo detalhado iria muito além do desejado neste presente trabalho, que visa apenas informar o processo de formação do consenso atual de que o Universo possui quatro dimensões. Para quem interessar, um dos melhores estudos sobre Paleografia grega é feito por Canart (1991).

O estudo histórico apresentado aqui se inicia na Grécia Clássica não só por uma relativa abundância de informações a respeito das discussões sobre Filosofia Natural, como também por estar inserida em uma linha histórica de argumentação , pois não se sabe ao certo como o conhecimento desenvolvido por outras culturas, como babilônicos e egípcios, influenciaram o pensamento moderno e contemporâneo. Dessa maneira, é possível afirmar que os conceitos de sentido (acima, abaixo, direita, esquerda, afrente e atrás), que são consequências da necessidade de orientação, e de direção (comprimento, largura e altura), que surgem das medidas das formas geométricas na Arquitetura e na Topografia, já eram bem conhecidos na antiguidade clássica grega (VALCARCE; DIAS, 2018), permitindo discussões mais sofisticadas sobre a natureza desses conceitos. Segundo Jammer (1993, p. 14), Platão defendia uma identidade entre o mundo dos corpos físicos e o mundo das formas geométricas, e os primeiros seriam apenas uma parte do espaço limitada por superfícies geométricas e preenchida pelo espaço vazio. Já Aristóteles associou o espaço ao conceito de lugar , que era definido como coincidente à borda do corpo (JAMMER, 1993, p.17), e foi além ao defender a existência do lugar natural dos corpos, que dependia da substância que os compunha.

Graças a essas considerações, no livro IV da Física , Aristóteles defendeu que os seis sentidos não dependiam de uma convenção humana, mas eram propriedades fixas da Natureza:

Essas são as partes ou espécies do lugar, acima, abaixo e o resto das seis direções. No entanto, estas direções (acima, abaixo, direita e esquerda) não são só em relação a nós, já que para nós uma coisa nem sempre está na mesma direção, mas muda conforme muda nossa posição, a mesma coisa pode estar a direita e a esquerda, abaixo e acima, afrente e atrás. Porém, na natureza, cada uma é distinta, independentemente de nossa posição... (ARISTÓTELES, 1995, p. 222-23)

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Logo em seguida, ele passou a discutir sobre o fato de que o lugar possuía as três direções pelas quais um corpo é medido, mas não podia ser também um corpo, pois isso implicaria que dois corpos ocupariam o mesmo lugar (ARISTÓTELES, 1995, p. 224). Já no Do Céu , Aristóteles foi bem veemente em descartar a possibilidade de mais do que três direções: '(...) A grandeza divisível numa direção é a linha, a divisível em duas é a superfície, a divisível em três, o corpo. Não há nenhuma grandeza que não esteja aí presente porque as dimensões não passam de três... (Aristóteles, 2014, p. 43)

Posteriormente, de alguma forma, a ideia de tridimensionalidade dos corpos e do próprio espaço foi sedimentada a partir das definições de comprimento, de largura e de profundidade nos Elementos atribuídos a Euclides, que é uma obra essencialmente didática: 'Linha é o que tem comprimento sem largura... Superfície é que tem comprimento e largura... Sólido é o que tem comprimento; largura e profundidade' (EUCLIDES,1944). Nesse contexto, o único registro levantado por Cajori (1926) de uma discussão sobre uma quarta dimensão na antiguidade foi feito por Ptolomeu, que, ao tentar demonstrar o postulado das paralelas de Euclides em seu tratado, hoje perdido, Das Dimensões , chegou à conclusão de que uma quarta dimensão era impossível. É claro que o leitor deve ficar atento ao fato de que a definição de cronologia usada anteriormente é pouco precisa. Mesmo que se possa garantir que um determinado texto foi originalmente escrito por determinado autor em um determinado período, era comum a inclusão, a supressão e a alteração de informações segundo a conveniência dos copistas, pois normalmente faziam cópias para si mesmos, o que podia alterar significativamente a obra a cada nova reprodução. Também, no caso de textos perdidos, muitas referências feitas a outros autores eram duvidosas ou até mesmo errôneas. Assim, como atualmente só dispomos de cópias com datação muito posterior aos originais, é mais prudente pensar nessas obras como fruto de um coletivo e considerar que o consenso sobre a tridimensionalidade do espaço segue a ordem de antiguidade dessas cópias.

Uma vez erigido tal consenso, ele foi transmitido aos filósofos medievais e modernos, que o receberam como uma verdade incontestável. Segundo Cajori (1926), Nicole Oresme, por volta do século XIV, talvez tenha sido o primeiro a usar o termo 'quarta dimensão' em um tratado manuscrito em que buscava uma representação gráfica das formas aristotélicas. Essa obra, nunca impressa e com acesso muito restrito, é o Tractatus de figuratione potentiarum et mensurarum difformitatum , em que Oresme estendeu seus diagramas, originalmente obtidos pela interseção de duas linhas perpendiculares, a sólidos, que surgiam do acréscimo de uma terceira linha perpendicular à superfície formada pelas outras duas. Ao especular sobre a possibilidade de estender esse processo a uma quarta linha perpendicular ao sólido, Oresme negou-a no final do nono capítulo da parte II: 'porque não é possível dar uma 4ª dimensão, como apareceu na primeira parte do capítulo 4' (ORESME apud WIELEITNER, 1914, p. 226).

Essa impossibilidade 'natural' foi reforçada nos séculos seguintes. Em 1545, Cardano, estabeleceu uma relação entre as equações do primeiro grau e as medidas das linhas (comprimentos), as do segundo grau e as medidas das superfícies (áreas) e as do terceiro e as medidas dos sólidos (volumes), e apresentou sua conclusão de que somente um tolo poderia ir além dessas três medidas, pois a Natureza não permitia (CARDANO, 1968, p. 9). Da mesma forma, em 1685, John Wallis, em seu Treatise on Algebra , escreveu:

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Uma linha desenhada com uma linha fará um plano ou superfície; esta desenhada com uma linha, fará um sólido. Mas se este sólido for desenhado com uma linha, ou esse plano com um plano, o que faremos? Um plano-plano? Isso é um monstro na Natureza, e menos possível que uma quimera ou centauro. Por comprimento, largura e espessura compreendemos todo o espaço. Nem pode nossa fantasia imaginar como poderia haver uma quarta dimensão além dessas três. (WALLIS, 1685, apud CAJORI, 1926)

Nesse contexto, Pascal, em seu trabalho intitulado Traité des Trilignes rectangles et de leurs onglets , foi bastante inovador e chegou a cogitar o uso de uma quarta dimensão como artifício matemático na construção de sólidos, mas o fez de forma comedida, não só para não manchar sua reputação, como também para testar se o método era bem recebido por seus pares. Nesse trabalho ele afirmou: 'Foi bastante advertido nesta carta que a quarta dimensão não é um ponto contra a geometria pura...' (LAHURE, 1858, p. 562), mas passou, logo em seguida, a uma demonstração das mesmas figuras sem a necessidade de uma quarta dimensão. De fato, a ideia proposta por Pascal não vingou, mas ele também não sofreu qualquer tipo de sanção por conta disso.

Finalmente, no final do período moderno, Immanuel Kant defendeu que a tridimensionalidade do espaço tinha uma razão transcendental, ou seja, estava fora do domínio da Natureza. Segundo Jammer (1993, p. 133-134), foi em seu De mundi sensibilis atque intelligibilis forma et principiis que Kant passou a considerar os conceitos de espaço e tempo absolutos como meros esquemas mentais. No entanto, por mais que ele tenha percebido que esse conceito era baseado na interpretação que fazemos da Natureza, a origem dessa interpretação não era considerada uma construção social, passada de geração a geração pelo ensino, tanto formal, quanto informal, mas tinha uma causa quase mística. Na Crítica da razão pura , Kant escreveu:

- (...) Mas tal intuição deve estar em nós a priori, isto é, antes de qualquer percepção de um objeto; e, por isso, intuição pura, não empírica. De fato, as proposições geométricas são todas apodíticas, isto é, coerentes com a consciência de sua necessidade; por exemplo, o espaço tem apenas três dimensões; mas tais proposições não podem ser julgamentos empíricos ou experimentais, nem derivam delas... (KANT, 1956, p. 69)

## Especulações sobre o tempo como quarta dimensão

As especulações iniciais sobre o tempo ser uma quarta dimensão provavelmente surgiram no século XVIII como consequência do uso de diagramas do movimento, em que o tempo aparece como um quarto eixo imprescindível. Assim, a primeira referência direta a essa ideia foi feita por Jean d'Alembert em seu verbete Dimension na Encyclopédie :

- (...) Um homem de espírito de meu conhecimento crê, no entanto, que a duração se parece com uma quarta dimensão, e que o produto dos tempos pela solidez seria de qualquer maneira um produto de quatro dimensões; essa ideia pode ser contestada, mas tem, penso eu, algum mérito quando a consideramos como uma novidade. (DIDEROT; D'ALEMBERT, 1754, p. 1010)

Segundo van Oss (1983), há elementos suficientes para se concluir que o 'homem de espírito' citado acima seja o próprio d'Alembert, que tinha o hábito de citar a si mesmo de forma vaga e em terceira pessoa.

Posteriormente, a possibilidade do tempo como quarta dimensão foi mais uma vez defendida por Lagrange:

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Agora vou considerar a teoria das funções com respeito à mecânica. Aqui as funções se relacionam essencialmente ao tempo, que sempre designaremos por ; e como a t posição de um ponto no espaço depende de três coordenadas retangulares x , y , z , essas coordenadas, nos problemas da mecânica, devem ser funções de t . Então podemos considerar a mecânica como uma geometria a quatro dimensões, e a mecânica analítica como uma extensão da geometria analítica. (LAGRANGE, 1797, p. 223).

Contudo, ainda não era claro como o tempo poderia se unir matematicamente ao espaço, já que possuem unidades de medida distintas. Mesmo que o produto entre velocidade e tempo resulte em uma distância, essa distância representa o movimento do corpo sobre as três dimensões espaciais conhecidas e não uma quarta dimensão de distância.

Em 1833, por outro lado, Hamilton mostrou, ao analisar a possibilidade de operar sobre potências de pares ordenados, que os números complexos podiam ser escritos como um par de números reais e que eles podiam ser usados para estudar grandezas em um plano (HAMILTON, 1837, p. 417-18). Assim, nos anos seguintes, ele tentou estender operações algébricas como multiplicação, divisão, etc. a trios ordenados, que ele chamou de tripletos , propondo um novo imaginário j , simultaneamente perpendicular ao i e à parte real. No entanto, encontrar uma regra para multiplicar os tripletos não foi trivial, pois sempre aparecia um incômodo termo cruzado ij , a qual Hamilton não conseguia dar significado tridimensional e que impedia que a álgebra satisfizesse todas as operações, não só a soma e a subtração. Esse problema só foi resolvido em 1843 (GRAVES, 1885, p. 435) quando ele percebeu que esse termo cruzado podia ser associado a um terceiro imaginário k ortogonal à parte real e aos outros dois imaginários, o que resultava finalmente em uma álgebra fechada. Assim, os tripletos foram substituídos por quartetos que receberam o nome de quatérnions , que deriva do latim e significa 'conjunto de quatro' (GRAVES, 1889, p. 635). O trabalho de Hamilton foi tão marcante e se disseminou tão rápido que, em poucos meses, outras generalizações de números complexos, como os octônions e os sedênions, já estavam sendo estudadas, principalmente por Arthur Cayley. Segundo Graves (1885, p. 447), a ideia de Hamilton também se espalhou pela Europa continental, onde influenciou trabalhos, inclusive, de August Ferdinand Möbius, e chegou aos EUA.

Hamilton, em 1844, já conhecia a ideia de que 'a Ciência da Mecânica era uma Geometria de quatro dimensões' (GRAVES, 1885, p. 476) e que a parte imaginária descrevia bem as três dimensões do espaço, o que o fez chegar, mais tarde, à seguinte conclusão:

- (...) Diz-se que o tempo tem apenas uma dimensão e o espaço tem três dimensões . O primeiro é uma progressão unidimensional , o segundo tridimensional . O quatérnion matemático partilha ambos elementos; em linguagem técnica pode-se dizer 'tempo mais espaço' ou 'espaço mais tempo': e nesse sentido tem ou, pelo menos, envolve uma referência a quatro dimensões .' (GRAVES, 1889, p. 635).

No entanto, apesar de seu aparente sucesso entre os matemáticos, a notação quaterniônica ainda era recebida com cautela entre os físicos e engenheiros da época, entre outros motivos, porque a associação do termo real dos quatérnions ao tempo não era totalmente compreendida. Dessa maneira, o desenvolvimento do Cálculo Vetorial por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside na década de 1880, que permitia a independência entre os produtos vetoriais e escalares e, ainda, era completamente tridimensional, levou a uma onda de discussões acaloradas entre 1891 e 1894, principalmente em artigos publicados pela revista Nature (BORK,

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1966). Essa discussão levou à dominância da notação vetorial, que pode ser considerada mais simples e eficiente que a álgebra quaterniônica, sendo usada e ensinada sem grandes alterações até os dias de hoje.

## A popularização da quarta dimensão a partir de meados do século XIX

Mesmo que os quatérnions tenham sido recebidos com cautela entre os físicos da segunda metade do século XIX e tenham sido, posteriormente, substituídos pela notação vetorial, a ideia de uma quarta dimensão se espalhou como rastilho de pólvora à margem da comunidade acadêmica e ganhou uma grande popularidade, sobretudo no mundo anglófono. Essa popularidade se intensificou conforme circulavam notícias de outros trabalhos matemáticos, como as geometrias não-euclidianas de Bernhard Riemann, válidas em n -dimensões, e as álgebras de William Kingdon Clifford, que englobaram todos os tipos de número, como os reais, os complexos, os quatérnions, etc. Nesses meios instruídos, mas não acadêmicos, a consideração de que o tempo era a quarta dimensão não fez tanto sucesso, mas essa possibilidade não foi totalmente excluída e sua maior representação foi o romance de ficção científica intitulado The Time Machine , de 1895, escrito por Herbert George Wells, que, logo no início da obra, escreveu:

Filby ficou pensativo. "Claramente", prosseguiu o Viajante do Tempo, "qualquer corpo real deve ter extensão em quatro direções: deve ter Comprimento, Largura, Espessura e -- Duração. Mas através de uma enfermidade natural da carne, que eu explicarei a você em um momento, nos inclinamos a ignorar este fato. Existem realmente quatro dimensões, três que chamamos de três planos do espaço e uma quarta, o tempo. (WELLS, 2005, p. 4)

A grande atenção do público instruído nesse período, contudo, era sobre a possibilidade de uma quarta dimensão espacial, que talvez fosse mais instigante . Isso estimulou uma série de especulações, algumas mais científicas, outras nem tanto. Nesse sentido, as primeiras projeções tridimensionais de figuras tetradimensionais foram feitas por Stringham (1880) em seu artigo para o American Journal of Mathematics , que depois apareceram também nas obras de Hinton, que transitou entre o científico e o transcendental, principalmente em seu livro The Fourth Dimension , de 1904 (HINTON, 2004). A possibilidade de outras dimensões, não só de uma quarta, também foi explorada 1884 no romance Flatland , escrito por Abbott, que era um professor da educação básica. Neste livro, o autor apresenta a possibilidade de uma quarta dimensão espacial quando o personagem principal, o Um Quadrado , discute com o senhor Esfera sobre a possibilidade de um mundo tetradimensional (ABBOTT, 2006, p. 104).

Talvez a situação mais emblemática desse período, amplamente referida em artigos sobre o tema discutido aqui, tenha sido a atuação de Johann Karl Friedrich Zöllner, que, a despeito de sua posição de homem da ciência, defendeu arduamente a existência de fenômenos espiritualistas. No entanto, mesmo com o fracasso de seus experimentos, Zöllner se convenceu que os supostos espíritos tinham um corpo em quatro dimensões, o que suscitou um artigo em 1881 na revista mística The Theosophist , que diz:

Ele - Zöllner - há muito supôs que, além de comprimento, largura e espessura, poderia haver uma quarta dimensão do espaço, e que, se assim fosse isso implicaria num outro mundo de existência, distinto do nosso mundo tridimensional, com seus próprios habitantes munidos de leis e condições tetradimensionais, como estamos com as nossas de três dimensões. (TRANSCENDENTAL..., 1881)

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## Considerações finais

Neste trabalho, foi demonstrado brevemente que a discussão sobre uma possível quarta dimensão para o Universo estava bastante em voga nos anos que antecederam o desenvolvimento da Relatividade Especial e que não era novidade associar o tempo a uma quarta dimensão. É claro que o objetivo almejado aqui não foi realmente tratar sobre a gênese da teoria em si, e o leitor deve consultar o artigo de Santos (2009) para um estudo mais profundo, porém, é importante ressaltar que os fenômenos da Relatividade Especial são descritos usando os chamados referenciais inerciais, explicam o movimento de corpos com velocidades comparáveis à da luz e obedecem à definição de distância, s , dada por: s² = x² + y² + z² - c²t² . Nesse caso, o tempo não pode ser dissociado do espaço, e foi Henri Poincaré o primeiro a identificar essa distância, ainda em 1905, sugerindo que as transformações apresentadas por Hendrix Lorentz um ano antes podiam ser relacionadas a rotações em um espaço tetradimensional (SANTOS, 2009). Todavia, foi Minkowski quem explicitou de forma clara a origem geométrica dos fenômenos relativistas e foi além, criando a representação gráfica do espaço-tempo que hoje chamamos de diagramas de Minkowski , que foram apresentados pela primeira vez em 1908 (SANTOS, 2009).

Nesse contexto, ao contrário das tentativas feitas nos séculos XVIII e XIX, o termo ct permitiu, finalmente, que o tempo não só pudesse ser escrito em unidades espaciais, como também não pudesse ser confundido com nenhuma das outras três direções do espaço, configurando efetivamente uma quarta dimensão para o Universo. Por conta disso, o espaço-tempo minkowskiano se difundiu rapidamente, e em menos de 2 anos já tinha sido reproduzido em três revistas e traduzido para o francês e para o italiano (SANTOS, 2009). No entanto, segundo Santos (2009), Einstein chegou a considerar o trabalho de Minkowski como uma erudição supérflua e que os fenômenos relativistas podiam ser entendidos usando uma matemática mais elementar, mas acabou mudando de ideia, e em 1916 reconheceu a importância das ideias minkowskianas na construção da Relatividade Geral.

## Referências

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