Uma introdução ao estudo do pêndulo simples

## UMA INTRODU,ÌO AO ESTUDO DO PæNDULO SIMPLES

## Mara DesidŽrio Quirino , Vitorvani Soares 1 2

- 1 Instituto de F'sica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, maradquirino@gmail.com
- 2 Instituto de F'sica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, vsoares@if.ufrj.br

## Resumo

Como parte de um conjunto de atividades para a discuss‹o do movimento harm™nico e suas caracter'sticas, para serem realizadas em um laborat-rio did‡tico, apresentamos neste trabalho um procedimento para a caracterizaGLYPH<141>‹o do per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o de um pGLYPH<144>ndulo simples. A partir da observaGLYPH<141>‹o das oscilaGLYPH<141>›es livres que ele realiza e da an‡lise dos resultados obtidos durante a atividade, estabelecemos uma express‹o algŽbrica que relaciona o per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o do pGLYPH<144>ndulo simples tanto com a amplitude inicial do seu movimento quanto com o comprimento do fio que o sustenta. Privilegiamos a abordagem experimental neste estudo do movimento oscilat-rio do pGLYPH<144>ndulo simples de maneira que o estudante possa desenvolver suas competGLYPH<144>ncias e habilidades na observaGLYPH<141>‹o de um fen™meno, na an‡lise dos seus resultados e obter uma conclus‹o, conforme as orientaGLYPH<141>›es da ciGLYPH<144>ncia contempor%nea. Esperamos, desse modo, despertar no aluno a sua percepGLYPH<141>‹o e a sua capacidade em desenvolver um projeto ou uma atividade cient'fica.

Palavras-chave : Ensino de F'sica, movimento harm™nico, oscilaGLYPH<141>‹o

## IntroduGLYPH<141>‹o

O estudo do movimento do pGLYPH<144>ndulo simples Ž um dos problemas mais populares em livros de mec%nica e seu impacto na ciGLYPH<144>ncia, na cultura e na educaGLYPH<141>‹o Ž apresentado, por exemplo, em Baker e Blackburn (2005) e Matthews (2005). Este estudo est‡ associado, na sua forma mais simples, ˆ observaGLYPH<141>‹o do isocronismo das oscilaGLYPH<141>›es para pequenos arcos de trajet-ria. As condiGLYPH<141>›es desse comportamento s‹o aproximadamente satisfeitas por um corpo de dimens›es pequenas comparadas com as dimens›es do fio que o mantŽm suspenso, massa bem maior que a do fio, e para pequenos deslocamentos do corpo em relaGLYPH<141>‹o ˆ sua posiGLYPH<141>‹o de equil'brio. Muito menos popular nos livros texto e em aulas introdut-rias de f'sica Ž a discuss‹o do pGLYPH<144>ndulo simples quando a segunda condiGLYPH<141>‹o n‹o Ž satisfeita. Na atividade discutida neste artigo, procuramos atender a esta situaGLYPH<141>‹o: identificamos com os alunos as principais carater'sticas f'sicas do pGLYPH<144>ndulo simples, a partir somente da construGLYPH<141>‹o e observaGLYPH<141>‹o do seu movimento, seguida de uma an‡lise dos resultados experimentais obtidos sobre o comportamento do seu per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o em funGLYPH<141>‹o de diferentes %ngulos de afastamento da sua posiGLYPH<141>‹o de equil'brio. Empregamos somente a an‡lise algŽbrica da representaGLYPH<141>‹o gr‡fica destes resultados, sem utilizar nenhuma informaGLYPH<141>‹o a priori dos modelos f'sicos envolvidos neste problema; desta forma, estabelecemos a express‹o algŽbrica que relaciona o per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o do pGLYPH<144>ndulo tanto com a amplitude do seu movimento quanto com o comprimento do fio que o mantŽm suspenso.

Apresentamos, nesta atividade, o funcionamento do pGLYPH<144>ndulo simples e as observaGLYPH<141>›es pertinentes para seu entendimento em uma linguagem voltada para

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alunos do Ensino MŽdio, em acordo com as orientaGLYPH<141>›es da Lei de Diretrizes e Bases (BRASIL, 1996) e os Par%metros Curriculares Nacionais (PCNs) (BRASIL, 1998; BRASIL, 2002a; BRASIL, 2002b; BRASIL, 2006). Adotamos uma abordagem mais pr‡tica no desenvolvimento do experimento com o aluno, de maneira a desenvolver suas competGLYPH<144>ncias e habilidades em relaGLYPH<141>‹o ao conteœdo discutido em sala e relacion‡-las ao seu dia a dia. TambŽm procuramos transmitir para ele que os Òmodelos explicativos n‹o s‹o œnicos nem finaisÓ, como sinalizam as orientaGLYPH<141>›es dos PCNs de F'sica quanto ao estudo das CiGLYPH<144>ncias F'sicas no Ensino MŽdio (BRASIL, 2002b). Como outras observaGLYPH<141>›es fundamentais em ciGLYPH<144>ncia, ao construir com os alunos a representaGLYPH<141>‹o do movimento do pGLYPH<144>ndulo simples procuramos mostrar que o modelo matem‡tico Ž uma aproximaGLYPH<141>‹o da realidade. A atividade proposta tambŽm Ž conduzida como uma pr‡tica cientifica moderna: constitu'da pela observaGLYPH<141>‹o de um fen™meno, pela sua an‡lise e uma conclus‹o. Para uma discuss‹o detalhada do nosso procedimento o artigo est‡ organizado da seguinte maneira: na seGLYPH<141>‹o seguinte discutimos o experimento do pGLYPH<144>ndulo simples, como o realizamos e os resultados obtidos; e, na ultima seGLYPH<141>‹o, apresentamos as consideraGLYPH<141>›es finais deste trabalho.

## O experimento e seus resultados

Nesta seGLYPH<141>‹o, apresentamos a montagem do experimento do pGLYPH<144>ndulo simples, como a realizamos e os resultados obtidos. Definimos os conceitos de pGLYPH<144>ndulo simples, amplitude, frequGLYPH<144>ncia e per'odo. Discutimos tambŽm as aproximaGLYPH<141>›es do movimento do pGLYPH<144>ndulo para o caso de oscilaGLYPH<141>›es de pequena e grande amplitude.

Neste trabalho foram utilizados:

- ∞ Uma esfera de massa m (o corpo oscilante);
- ∞ uma haste fixa presa ˆ parede;
- ∞ um fio longo de comprimento L arbitr‡rio (preso ˆ haste por uma de suas extremidades enquanto a outra sustenta a massa oscilante);
- ∞ um transferidor (para medir os %ngulos de partida);
- ∞ uma trena (para medir o comprimento do fio);
- ∞ uma balanGLYPH<141>a de precis‹o (para medir a massa);
- ∞ um cron™metro (para a determinaGLYPH<141>‹o da duraGLYPH<141>‹o da oscilaGLYPH<141>‹o);

Inicialmente, medimos a massa m na balanGLYPH<141>a de precis‹o (a dependGLYPH<144>ncia do per'odo com a massa oscilante Ž verificada em outra atividade e n‹o ser‡ analisada no presente artigo). Primeiramente, atamos a massa m ˆ uma extremidade do fio longo; Em seguida, suspendemos a massa m pelo fio que desliza pela haste fixa ˆ parede atŽ alcanGLYPH<141>ar o comprimento L desejado, medido pela trena; o fio Ž ent‹o mantido em sua posiGLYPH<141>‹o por um parafuso. A figura 1a mostra o pGLYPH<144>ndulo simples assim constru'do: consideramos o fio inextens'vel, as dimens›es do fio s‹o muito maiores do que as do objeto que ele mantŽm suspenso e a massa do fio Ž muito menor do que a do objeto, como pode ser observado na figura.

Posicionamos, em seguida, o zero do transferidor ao longo do fio, com o seu centro na haste fixa; deste modo, estabelecemos os diferentes %ngulos de partida para o nosso pGLYPH<144>ndulo simples. Este Ž um bom momento para discutir a orientaGLYPH<141>‹o

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angular com os alunos. Deslocamos, ent‹o, o objeto da sua posiGLYPH<141>‹o de equil'brio e o elevamos atŽ uma determinada posiGLYPH<141>‹o inicial, mantendo sempre o fio esticado. Com %ngulo de partida agora definido (a amplitude θ 0 ), permitimos que a massa m oscile livremente.

Para a determinaGLYPH<141>‹o do per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o correspondente para a realizaGLYPH<141>‹o da oscilaGLYPH<141>‹o, procedemos da seguinte maneira: Ao alcanGLYPH<141>ar a sua posiGLYPH<141>‹o de equil'brio, sobre a vertical, no vale da trajet-ria, acionamos o cron™metro e contamos cinco passagens sobre esta posiGLYPH<141>‹o, no mesmo sentido (a frequGLYPH<144>ncia f da oscilaGLYPH<141>‹o). Desligamos o cron™metro e anotamos a duraGLYPH<141>‹o desse movimento ( Δ t ). Realizamos este mesmo procedimento para cada %ngulo de partida previamente estabelecido. Por definiGLYPH<141>‹o, o per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o T de um oscilador Ž o intervalo de tempo que o objeto oscilante precisa para passar pela sua posiGLYPH<141>‹o de equil'brio com a velocidade no mesmo sentido. Em nosso caso, como a frequGLYPH<144>ncia de oscilaGLYPH<141>‹o corresponde a f = 5/ Δ t , o per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o T do nosso pGLYPH<144>ndulo corresponde a T = Δ t /5 . Deste modo, ao observar a oscilaGLYPH<141>‹o do objeto durante cinco per'odos de oscilaGLYPH<141>‹o minimizamos a incerteza na determinaGLYPH<141>‹o deste par%metro f'sico. Assim, garantimos uma melhor precis‹o na medida do per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o.

Foram realizadas medidas do per'odo de oscilaGLYPH<141>‹o T (s) em funGLYPH<141>‹o do %ngulo inicial de oscilaGLYPH<141>‹o θ 0 (°) para um pGLYPH<144>ndulo simples com os seguintes comprimentos L = 1,00(1); 1,25(1); 1,51(1); e 2,00(1) m (as incertezas das medidas est‹o indicadas entre parGLYPH<144>nteses). Aproveitamos a atividade para discutir o processo das medidas angulares tanto em graus quanto em radianos. Os resultados do experimento est‹o representados no gr‡fico da figura 1b. Nas subseGLYPH<141>›es seguintes analisamos o comportamento do per'odo com o comprimento do fio e com a variaGLYPH<141>‹o angular.

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Figura 1: (a) Montagem experimental do nosso pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples; (b) Per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o em funGLYPH&lt;141&gt;‹o do %ngulo inicial de partida, para diferentes comprimentos do fio de suspens‹o de valores, de baixo para cima, correspondentes a L = 1,00(1); 1,25(1); 1,51(1); e 2,00(1) m.

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## O comportamento do per'odo para pequenos %ngulos de partida

Observamos da figura 1b que, para %ngulos iniciais θ 0 menores que 20¡, o per'odo Ž, para prop-sitos pr‡ticos, um par%metro independente do %ngulo inicial e igual a T 0 = 2,04(2); 2,30(2); 2,50(3) e 2,86(3) s, respectivamente, para os comprimentos L = 1,00(1); 1,25(1); 1,51(1); e 2,00(1) m; enquanto que para %ngulos iniciais θ 0 maiores que 20° o per'odo varia com a variaGLYPH&lt;141&gt;‹o do %ngulo de partida.

Os resultados do experimento realizado nos mostram que os per'odos de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para %ngulos pequenos, T 0 , menores que 20¡, em mŽdia, s‹o independentes do %ngulo de partida e aumentam conforme aumentamos o comprimento L do fio, como indicado na figura 2a.

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Figura 2: (a) Per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 vs. comprimento L do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples deslocado da sua posiGLYPH&lt;141&gt;‹o de equil'brio, para pequenos %ngulos de partida; (b) comportamento hiperb-lico entre a raz‹o T 0 / L e o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 ; (c) const%ncia da raz‹o T 0 2 / L e o comprimento L do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo; (d) per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 vs. comprimento L do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo.

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Aparentemente, este per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o vs. o comprimento do fio se comporta linearmente. Entretanto, este Ž um resultado n‹o aceit‡vel porque, para a abscissa nula a ordenada n‹o Ž nula, o que implica em uma oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o sem o fio de suspens‹o. De fato, este comportamento exige a realizaGLYPH&lt;141&gt;‹o de medidas para comprimentos L menores que 1,00 m, o que implica em violar a definiGLYPH&lt;141&gt;‹o do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples. Entretanto, as medidas que j‡ possu'mos nos permite fazer a seguinte an‡lise: ao aumentarmos o comprimento do fio, o per'odo aumenta, mas n‹o na mesma proporGLYPH&lt;141&gt;‹o. Isto sugere que, para cada comprimento do fio, a variaGLYPH&lt;141&gt;‹o do per'odo Ž menor para uma mesma variaGLYPH&lt;141&gt;‹o do comprimento do fio. Esta propriedade pode ser melhor analisada estudando-se o comportamento da raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o e o comprimento do fio, T /L 0 , vs. o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 , como indicado na figura 2b.

Da figura 2b, observamos tambŽm que a raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o e o comprimento do fio, T /L 0 , diminui conforme o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 aumenta. Mais ainda, uma relaGLYPH&lt;141&gt;‹o linear entre esses par%metros tambŽm n‹o Ž aceit‡vel, pois novamente ter'amos uma raz‹o diferente de zero para per'odo nulo. A partir do gr‡fico da figura, podemos notar que, ao traGLYPH&lt;141&gt;armos uma curva suave sobre as medidas, obtemos uma curva que sugere uma hipŽrbole: a ‡rea sob a curva para pares de valores da raz‹o T /L 0 e do per'odo T 0 correspondente definem ‡reas iguais. Testamos esta hip-tese com a construGLYPH&lt;141&gt;‹o do gr‡fico da raz‹o entre o quadrado do per'odo e o comprimento do fio, T 0 2 /L , vs. o comprimento do fio, como representado na figura 2c.

Da figura 2c, observamos que este comportamento pode ser representado por uma reta de coeficiente angular nulo e coeficiente linear T 0 2 / L ≈ a , onde a ≈ 4,2(1) s 2 /m , uma constante com dimens‹o de inverso de aceleraGLYPH&lt;141&gt;‹o. Comparando este valor com o inverso do valor da aceleraGLYPH&lt;141&gt;‹o gravitacional g ≈ 9,78 m/s 2 obtemos a ≈ 41(2) g .

Deste modo, a partir da an‡lise dos gr‡ficos representados nas figuras 2a, 2b e 2c, podemos estabelecer a seguinte relaGLYPH&lt;141&gt;‹o algŽbrica entre os par%metros f'sicos envolvidos na an‡lise do problema:

<!-- formula-not-decoded -->

Conclu'mos, assim, que o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 varia com a raiz quadrada do comprimento L do fio do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo, como indicado na figura 2d. Esta Ž uma oportunidade na atividade para discutir as propriedades geomŽtricas dos polin™mios e, em particular, as caracter'sticas da par‡bola. Deve-se observar tambŽm a ÒcoincidGLYPH&lt;144&gt;nciaÓ entre a constante adimensional experimental 6,40(2) ≈ 2 π indicada na equação (1) e a trajet-ria do corpo oscilante sobre um arco de circunferGLYPH&lt;144&gt;ncia. Mais surpreendente ainda Ž perceber que o pGLYPH&lt;144&gt;ndulo de L = 1 m corresponde ao per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 = 2,04 s , Portanto, meia oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o deste pendulo tem duraGLYPH&lt;141&gt;‹o de 1.02 s e difere do segundo de referGLYPH&lt;144&gt;ncia por somente 2%, apesar das definiGLYPH&lt;141&gt;›es do metro e do segundo n‹o estarem relacionadas formalmente uma com a outra. Esta inesperada relaGLYPH&lt;141&gt;‹o entre estas unidades Ž discutida por Agnoli e DÕAgostini (2005).

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## O comportamento do per'odo para qualquer %ngulo inicial

Observamos, da figura 1b, que o per'odo da oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o, T , varia com o %ngulo inicial de deslocamento da posiGLYPH&lt;141&gt;‹o de equil'brio, θ 0 . Podemos investigar, a partir desta figura, se as curvas apresentadas n‹o diferem uma das outras que por um fator de escala. Este comportamento est‡ ilustrado na figura 3.

Figura 3: Raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para qualquer %ngulo inicial e o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para %ngulos pequenos, T/T 0 , vs. %ngulo inicial de partida do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples, para pGLYPH&lt;144&gt;ndulos simples para comprimentos L = 1,00(1); 1,25(1); 1,51(1); e 2,00(1) m. As diferentes curvas da figura 1b se colapsam em uma œnica curva.

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.

Observamos da figura 3 um idGLYPH&lt;144&gt;ntico aumento n‹o linear de todos os per'odos relativos, T/T 0 , com o aumento do %ngulo inicial de deslocamento, θ 0 , independente do comprimento considerado do fio. ƒ surpreendente constatar que mesmo para deslocamentos de 50¼ a variaGLYPH&lt;141&gt;‹o no per'odo corresponde somente a menos de 7% do valor do per'odo para pequenos %ngulos.

Ao deslocamos a massa do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo para %ngulos opostos aos %ngulos previamente adotados (%ngulos negativos) observamos que o pGLYPH&lt;144&gt;ndulo apresenta per'odos de comportamento idGLYPH&lt;144&gt;ntico ao comportamento precedente, o que significa que os menores per'odos de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o que podem ser observados s‹o aqueles para pequenos %ngulos, indicando que a curva representada na figura 3 deve ser um polin™mio de grau n &gt;1 , com um valor m'nimo em θ 0 = 0 .

Para determinarmos uma poss'vel relaGLYPH&lt;141&gt;‹o para a raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para qualquer %ngulo inicial e o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para %ngulos pequenos, T T / 0 , com o %ngulo inicial θ 0 (°), aproveitamos a discuss‹o prŽvia sobre par‡bolas e constru'mos um novo gr‡fico, representando agora a raz‹o entre os per'odos em funGLYPH&lt;141&gt;‹o do quadrado do %ngulo inicial, como ilustrado na figura 4.

Os gr‡ficos da figura 4 nos revelam que raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para qualquer %ngulo inicial e o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para %ngulos pequenos, T T / 0 , vs. quadrado do %ngulo inicial de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o, θ 0 2 (rad 2 ), apresenta uma relaGLYPH&lt;141&gt;‹o linear. Desse modo, podemos concluir que

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<!-- formula-not-decoded -->

onde, a partir do gr‡fico, o coeficiente linear α corresponde a α ≈ 0,98(2) ≈ 1,0 e o coeficiente angular β corresponde a β ≈ 62/1000 ≈ 1/16 .

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Figura 4: (a) Raz‹o entre o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para qualquer %ngulo inicial e o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o para %ngulos pequenos, T/T 0 , vs. quadrado do %ngulo inicial de um pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples, em radianos. (b) AmpliaGLYPH&lt;141&gt;‹o do comportamento linear entre os par%metros.

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.

Portanto, ao substituir estes resultados e a equaGLYPH&lt;141&gt;‹o (1) em (2), obtemos a express‹o procurada que envolve todos os par%metros f'sicos do problema:

<!-- formula-not-decoded -->

Conclu'mos, assim, que o per'odo de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o T 0 varia com a raiz quadrada do comprimento L do fio do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo e varia com o quadrado do angulo inicial de partida do seu movimento de oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o. A representaGLYPH&lt;141&gt;‹o dos %ngulos em radianos, na figura 4, permite que o coeficiente angular β corresponda numericamente ao valor geralmente indicado na literatura (BAKER,2005).

## ConsideraGLYPH&lt;141&gt;›es finais

Descrevemos no presente trabalho um material did‡tico para a discuss‹o do movimento do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples. Este material pode ser inserido no curr'culo do Ensino MŽdio como um conteœdo de f'sica com GLYPH&lt;144&gt;nfase na atividade investigativa experimental e te-rica. Procuramos fazer com que o estudante seja parte integrante do processo de construGLYPH&lt;141&gt;‹o do seu conhecimento, e permitir que ele desenvolva a sua potencialidade como pesquisador ao realizar as atividades propostas nesse trabalho.

TambŽm seguimos, neste trabalho, as orientaGLYPH&lt;141&gt;›es dos Par%metros Curriculares Nacionais do Ensino MŽdio (PCNÐEM) em relaGLYPH&lt;141&gt;‹o ao emprego de par%metros geomŽtricos e algŽbricos no exerc'cio de abstraGLYPH&lt;141&gt;›es matem‡ticas necess‡rias para a fixaGLYPH&lt;141&gt;‹o dos conceitos f'sicos envolvidos na descriGLYPH&lt;141&gt;‹o das

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caracter'sticas do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples, de maneira que o aluno possa explorar estas mesmas tŽcnicas em outros problemas f'sicos.

Uma discuss‹o mais detalhada do material aqui discutido est‡ dispon'vel em Quirino (2014). Como sugest‹o para outras atividades, sugerimos as abordagem do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo f'sico apresentada por Carvalho (2012). Um estudo da oscilaGLYPH&lt;141&gt;‹o do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo variando a sua massa Ž apresentado em Jardim (2017). Em Baker e Blackburn (2005) e Matthews (2005) encontramos uma lista bibliogr‡fica bastante œtil para uma discuss‹o mais ampla dos aspectos f'sicos e hist-ricos do pGLYPH&lt;144&gt;ndulo simples.

## ReferGLYPH&lt;144&gt;ncias

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