ENSINO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS, ASTRONÔMICOS E ASPECTOS SOCIAIS A PARTIR DA OBRA ''FLATLAND: A ROMANCE OF MANY DIMENSIONS"

## Ensino De Conceitos Geométricos, Astronômicos E Aspectos Sociais A Partir Da Obra 'Flatland: A Romance Of Many Dimensions'

## Alailton Damião Oliveira Santos 1 , Mirco Ragni 2 , Marildo Geraldete Pereira 3

- 1 Universidade Estadual de Feira de Santana/Departamento de Física/Mestrado Profissional em Astronomia/Colégio Estadual Professor Plínio Carneiro, alailtondtito@hotmail.com
- 2 Universidade Estadual de Feira de Santana/Departamento de Física/Mestrado Profissional em Astronomia, mirco@uefs.br
- 3 Universidade Estadual de Feira de Santana/Departamento de Física/Mestrado Profissional em Astronomia, marildogp@gmail.com

## Resumo

O ensino de muitos conceitos de Geometria está sendo deixado de lado ou tem recebido tratamento superficial na escolarização básica no Brasil. As causas podem estar relacionadas com a falta de preparo dos professores, de tempo ou mesmo com o desconhecimento da importância do desenvolvimento do pensamento geométrico nos estudantes. O presente trabalho busca investigar as possibilidades de abordagem de conceitos geométricos e de aspectos sociais presentes no livro 'Flatland: a romance of many dimensions', de Edwin A. Abbott. Busca-se também abordar o problema da não detecção da matéria escura a partir da hipótese que esta poderia estar em outras dimensões inacessíveis à luz. A concepção de um mundo totalmente plano criado pelo autor para satirizar preconceitos existentes na sociedade vitoriana pode ser um meio oportuno para se abordar diversos conceitos que vão desde o reconhecimento das formas geométricas básicas, percepção do espaço, estudo das dimensões espaciais até a investigação a respeito da visualização das dimensões superiores. Tendo em vista as carências geralmente apresentadas pelos jovens em relação a esses conteúdos, acreditamos que uma abordagem diferenciada dos mesmos durante a escolarização básica pode contribuir para uma melhor compreensão destes aspectos.

Palavras-chave : dimensões espaciais, ensino de geometria, dimensões superiores.

## Introdução

Assim como descrito na famosa 'Alegoria da Caverna' ou Mito da Caverna, escrito pelo filósofo grego Platão, a percepção do mundo está associada às experiências vivenciais de cada indivíduo. A interação do homem com o espaço é feita através dos sentidos e a partir disso busca seu entendimento, passando a atribuir significados.

A descrição racional do mundo e o entendimento dos fenômenos há muito tempo move a humanidade. Ao longo de sua história, na busca da compreensão do espaço em que vive, o homem passou a utilizar-se de formas geométricas e relacioná-las com os objetos a sua volta, numa espécie de descrição geométrica da natureza.

A compreensão de que vivemos em um espaço tridimensional, no qual geralmente podemos inferir a altura, o comprimento e a profundidade dos objetos, não impede levantar a possibilidade de existência de outras dimensões espaciais

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superiores, que seriam inacessíveis a nós, pois estaríamos presos a um espaço de apenas três dimensões.

Esses aspectos e outros ligados a questões sociais podem ser abordados a partir do livro Flatland: A Romance of Many Dimensions, escrito pelo inglês Edwin Abbott em 1884. A edição brasileira com o título: 'Planolândia: um romance de muitas dimensões' só foi feita mais de cem anos depois, como cita Alessandro Greco no prefácio à edição brasileira. A obra trata-se de um romance na qual o autor aparece incorporado em um personagem que vive em um mundo de duas dimensões - Planolândia - e faz uso das regras do referido mundo para satirizar os muitos preconceitos existentes na sociedade Vitoriana.

A obra é dividida em duas partes. Na primeira delas o autor apresenta o mundo plano, no qual todos os habitantes e objetos são formas geométricas bidimensionais e são diferentes, essencialmente, pelo seu número de lados. O autor, incorporado ao personagem 'A Square' ou Quadrado, descreve detalhadamente o clima, as casas, como é feita a localização e os métodos de reconhecimento de uns aos outros.

Na segunda parte o autor descreve uma visão que o personagem Quadrado - tem do mundo unidimensional e em seguida a experiência que o mesmo teve de conhecer o mundo tridimensional. Mesmo com as restrições, o personagem tenta, inutilmente, explicar a habitantes de Planolândia a existência de mundos com dimensões superiores. Alguns aspectos como o anseio despertado no personagem por novas descobertas e a incapacidade de se demonstrar as direções nas quais baseiam novas dimensões são levantados pelo autor.

Os habitantes de Planolândia e suas respectivas classes sociais são descritas a partir do número de lados e à perfeição de suas formas. Na classe mais baixa estão as mulheres, estas são apenas linhas retas e possuem capacidade intelectual bastante limitada. Por possuírem tal formato, são obrigadas entoar um canto de paz sempre que se movimentarem, reduzindo assim a possibilidade perfurar um outro ser que possa estar distraído.

Os soldados e os trabalhadores de classes mais baixas são triângulos isósceles que possuem um dos ângulos muito agudo, sendo também muito perigosos. A classe média por sua vez é composta pelos triângulos equiláteros. Figuras de quatro ou cinco lados (quadrados ou pentágonos) pertencem a classe dos profissionais e cavalheiros.

Seguindo dessa maneira, quanto mais ângulos um cidadão de Planolândia possuir, tanto mais alta será a classe a qual pertence, até receber o título de polígono. Finalmente, ao possuir um número muito grande de lados, de forma que já não se pode distinguir de um círculo, inclui-se na mais alta classe, a ordem circular.

O autor, ao atribuir à mulher a mais simples das formas geométricas existentes em Planolândia, satiriza como a figura feminina era vista na sociedade Vitoriana. Percebe-se que, historicamente, a mulher foi vista durante muito tempo apenas como genitora do lar, incapaz de contribuir socialmente com seu intelecto.

Em Planolândia a progressão de uma classe para outra se dá através de uma lei da natureza a qual determina que uma criança do sexo masculino sempre terá um lado a mais que seu pai, elevando a cada geração uma categoria entre as classes. A diferença entre as classes sociais é evidenciada pelo autor pois esta lei só é válida para as classes mais altas, dessa forma um filho de um triângulo isóscele

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também será um isóscele, não podendo assim um descendente das classes mais baixas chegar às classes mais nobres.

Outro aspecto que pode ser explorado está associado ao fato do autor descrever as classes sociais utilizando diversas formas geométricas. Dessa forma, conhecer os personagens de Planolândia possibilita o reconhecimento das formas geométricas e a discussão das características de cada categoria. Segundo as orientações presente na Base Nacional Comum Curricular (BNCC) para o ensino fundamental,

- '[...] o estudo da posição e deslocamentos no espaço e o das formas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais pode desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamento é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes. ' (Brasil, 2017, p. 227).

Assim, o aluno deve reconhecer propriedades das diferentes formas geométricas e relacionar as concepções planas e espaciais.

Sobre o ensino de Geometria, Pavanello (2004), salienta que na maioria das escolas, acaba sendo deixado de lado pelos professores, ou então é feito de forma superficial. Para a autora, dentre os principais motivos apresentados, estão a falta de domínio no conteúdo por parte de muitos professores, a falta de tempo para explorar os assuntos ou mesmo o desconhecimento da importância do desenvolvimento do pensamento geométrico nos estudantes. Dessa forma, na maioria das vezes, o conteúdo não é apresentado para os estudantes.

Nas experiências vivenciadas pelo personagem principal em Planolândia, descrita na segunda parte da obra, grande parte delas refere-se à limitação de um ser que vive em determinada dimensão conceber uma dimensão superior. Esse aspecto permite levantar o seguinte questionamento: não seria a matéria escura, um personagem cósmico pertencente a uma dimensão superior e por isso não detectável por nós, seres do espaço tridimensional? Essa seria uma possível explicação lógica para o fato da matéria escura não ser verificada.

- A ideia de partículas não detectáveis serem entidades pertencentes a dimensões extras surge a partir da teoria proposta por Theodor Kaluza e Oskar Klein na década de 1920.

Segundo a teoria de Kaluza-Klein, além das três dimensões espaciais e uma temporal, existe outra, a quarta dimensão espacial. Essa nova dimensão seria como um tubo longo e flexível com diâmetro da ordem do comprimento de Planck, cerca 10-35m (CHERMAN, 2004). Supõe-se que a luz não viaje em tal dimensão de forma que nossa percepção atual não nos permite observar uma partícula de matéria escura nessa dimensão, justificando assim sua invisibilidade.

- O estudo do comportamento e da composição das galáxias e as divergências encontradas ao relacionar a velocidade de rotação das galáxias com a massa dinâmica estimada do aglomerado de Coma levaram o astrônomo suíço Fritz Zwicky na década 1930 a propor a existência de uma matéria que influencia gravitacionalmente essas galáxias, porém não pode ser percebida pois não emite nenhuma forma de radiação, sendo chamada de matéria escura.

Supostamente a matéria escura é composta de partículas que perturbam o campo gravitacional e contribuem para a definição da intensidade do mesmo. Porém, tais partículas não contêm propriedades eletromagnéticas, não interagindo

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assim com a matéria conhecida nem entre si, apenas interagem gravitacionalmente. Hoje, sabe-se que a maior parte da gravidade do universo é advinda da matéria escura.

Quanto a energia escura, sua existência foi sugeria para explicar a constatação da aceleração cósmica em 1998, quando se mediu o afastamento entre galáxias próximas e distantes da Terra, obtendo assim a taxa de expansão do universo em momentos diferentes da sua história (Damineli e Steiner, 2010).

A energia escura não possui gravidade, seu efeito é o contrário ao da gravidade, expandindo o espaço e fazendo com que galáxias se afastem de forma acelerada. Infere-se que essa energia sempre existiu no universo e é descrita pela constante cosmológica, de forma que quanto maior o espaço, maior é a quantidade de energia escura.

Outra relação possível de fazer com a obra diz respeito a forma como a expansão acelerada do universo foi observada, verificando-se o efeito doppler para a luz, fenômeno conhecido como redshift. O efeito doppler em ondas sonoras é utilizado pelo autor ao tratar da comunicação em um mundo de uma dimensão.

Segundo Damineli e Steiner (2010), a determinação da natureza da matéria e da energia escuras é uma das questões mais relevantes da cosmologia atualmente. Assim, acredita-se que tanto os aspectos sociais quanto os científicos abordados nesse trabalho são atuais, sendo a obra Flatland um meio potencialmente capaz de promover suas abordagens na escolarização básica.

## Desenvolvimento

Neste trabalho apresentaremos alguns materiais que estão sendo desenvolvidos em uma investigação no âmbito do Mestrado Profissional em Astronomia, da Universidade Estadual de Feira de Santana. Os materiais desenvolvidos estão sendo testados com estudantes do Ensino Médio.

Uma maquete contendo personagens e cenários de Planolândia (Figura 01) foi confeccionada utilizando, basicamente, um pedaço retangular de madeirite (41cm por 43cm). As formas dos personagens foram retiradas filme 'Flatland (Planilandia)', disponível no endereço: https://www.youtube.com/watch?v=OgiO32MDq3k&t=123s, impressas em papel ofício e colados em cartolina. Como alternativa para a construção da maquete pode ser utilizado isopor ou mesmo papelão.

Figura 01: Maquete de Planolândia

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No início são abordadas as formas geométricas planas a partir da apresentação de Planolândia. Uma noção a ser despertada leva o aluno a imaginar um mundo em duas dimensões. Tal como sugere a obra, é feito o experimento que consiste em colocar uma moeda no centro de uma mesa e, gradativamente, abaixarse até que os olhos estejam exatamente na borda da mesa, desse modo a moeda não mais parecerá um círculo e sim um segmento de reta. O experimento, ao ser repetido utilizando formas geométricas diferentes, produz os mesmos resultados.

A apresentação dos personagens sugere o conhecimento de diversas figuras planas, assim para cada personagem descreve-se suas características geométricas, seguido da identificação dos mesmo pelos estudantes. Para essa atividade utiliza-se uma maquete com cenários e personagens de Planolândia. Como salienta Sena e Dorneles (2013, p. 142), para os Parâmetros Curriculares Nacionais,

'[...] o aluno deve ser capaz de classificar, compor, decompor e resolver situações problemas que envolvam figuras e sólidos geométricos; utilizar os instrumentos adequados para medição, tanto de lados quanto de ângulos; interpretar deslocamento no plano cartesiano; reconhecer as propriedades dos triângulos e quadriláteros; utilizar as fórmulas para o cálculo de área perímetro (planos) e volume (sólidos); seccionar as figuras e analisar. '

Ao fazer a diferenciação entre as formas são discutidas as diferenças entre as classes sociais bem como as de gênero. Esse momento é oportuno para se fazer um paralelo com as divisões sociais e de gênero ainda presentes na sociedade. Em especial discute-se historicamente o papel da mulher na sociedade e na ciência, evidenciando contribuições e ressaltando a igualdade entre os gêneros.

Foi desenvolvido também, a partir de caixa de papelão, óculos com uma fenda muito fina (Figura 02) para a visualização de diversos sólidos.

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Figura 02: Óculos com fenda

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A imagem da esquerda mostra como é a visão obtida no óculos. Percebe-se que há dois traços escuros na fenda, porém nada além disso, em termos do quê gera tais traços pode ser afirmado. Já na figura da direita é revelado quais sólidos geraram os traços, pois estavam após a fenda. Devido a fenda muito fina, mesmo colocando formas diferentes, o estudante visualiza apenas traços, como seria a visão em Planolândia. Essas atividades permitem que o estudante utilize a imaginação, possibilitando a compreensão da natureza de Planolândia.

As características do espaço tridimensional e as formas espaciais são abordadas a partir do episódio no qual o personagem principal é levado a conhecer Espaçolândia. Com ajuda de projetores de slides busca-se desenvolver o seguinte raciocínio: os registros do movimento em linha reta de um ponto, que é

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adimensional, gera um segmento de reta, unidimensional. Movendo o segmento de reta de forma perpendicular à sua extensão temos a formação de um plano, portanto bidimensional. Aplicando o mesmo pensamento para um quadrado, movendo-se em paralelo a si mesmo, forma-se um cubo com três dimensões. Estas reflexões possibilitam o desenvolvimento da imaginação, fazendo com que o estudante parta de situações concretas até chegar a pensamentos mais abstratos.

- O entendimento de como percebemos o mundo é feito a partir da abordagem da visão estereoscópica que o ser humano possui. São feitos experimentos simples de paralaxe e de percepção da profundidade. Este último desafia o estudante a passar uma linha por um furo de uma missanga com um dos olhos fechados.
- O efeito de perspectiva e de comparação são abordados através da utilização da chamada 'sala de Ames'. Esta sala foi inventada pelo oftalmologista Norte Americano Adalbert Ames Jr., em 1946. Uma reprodução em escala menor foi feita imprimindo-se o molde disponível no endereço eletrônico: https://manualdomundo.com.br/wp-content/uploads/PDF-Sala-de-Ames-SITE.pdf e colando-o em papelão.

Figura 03: Sala de Ames feita de papelão

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A sala de Ames possui uma parede com uma aresta maior que fica mais distante, e outra com uma aresta menor, porém localizada mais próxima ao ponto de observação. Tal configuração permite que, ao olhar de um ponto específico, um objeto colocado próximo da aresta menor parecerá maior, enquanto que na outra aresta, o efeito será contrário.

Figura 04: Visão da sala de Ames com comparações diferentes

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Sabe-se que a noção de profundidade é desenvolvida a partir junção das imagens formadas em cada retina, pois devido a separação existente entre os olhos humanos, cada olho vê imagem diferentes e é a interpretação delas feita pelo cérebro que permite a percepção da terceira dimensão ou profundidade.

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Partindo-se da ideia que cada olho percebe os objetos em duas dimensões, ao apresentar um objeto diferente para cada olho, através de óculos de realidade virtual, tem-se que a soma das dimensões observadas são quatro, além da dimensão temporal. Espera-se que a sensação seja de estranheza, visto que o cérebro continuará a fazer seu papel de formar imagens compreensíveis, dentro da realidade cotidiana.

## Resultados obtidos

As primeiras utilizações dos materiais desenvolvidos foram feitas com alunos do terceiro ano do Nível Médio do Colégio Estadual Professor Plínio Carneiro, localizado no município de Barrocas-Bahia. Os estudantes escolhidos estavam estudando conteúdos de Geometria como cálculo áreas e volumes na disciplina de Matemática. Dessa forma, as atividades desenvolvidas ajudaram a complementar a abordagem dada na mesma.

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Figura 05: Estudante utilizando óculos com fenda

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Sabe-se que a disposição para aprender é um dos aspectos essenciais no processo de ensino-aprendizagem. Tal aspecto pode ser facilitado quando o estudante é posto em posição de desafio, através da apresentação de conceitos por meio de experiências sensoriais, podendo assim despertar o seu interesse.

Durante o desafio de passar uma linha pelo furo de uma missanga apenas com um olho aberto (Figura 06), percebeu-se que os estudantes ficaram surpresos com a dificuldade encontrada, resultado da perda da visão estereoscópica e, consequentemente, da percepção de profundidade.

Figura 06: Estudantes realizando o desafio da missanga

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Figura 07: Estudante utilizando a sala de Ames

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Outro aspecto a ser enfatizado diz respeito a dificuldade dos estudantes em expressar o que estavam vendo no óculos de realidade virtual no qual foi colocado uma imagem da letra 'X' para o olho esquerdo e da letra 'Z' para o olho direito.

Figura 08: Estudante utilizando óculos de realidade virtual

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Alguns deles levantaram a hipótese de sobreposição das letras e expressões do tipo 'Tô ficando doido já!' e 'Isso é coisa de maluco' foram comuns. Um dos estudantes fechou um dos olhos e descobriu que para cada olho aparecia uma letra diferente. Percebe-se que é possível envolver os estudantes com estas atividades, mesmo algumas exigindo certo grau de abstração.

## Considerações finais

O ensino de geometria durante a escolarização básica encontra, dentre outros desafios, o de transpor o alto grau de abstração e uso de muitas relações matemáticas prontas. Estes aspectos muitas vezes fazem com que os estudantes se sintam desmotivados. Além disso, pouco se discute sobre como o ser humano percebe o espaço em que vive.

Com este trabalho busca-se então, apresentar a geometria a partir do contexto presente na obra - Flatland - e desenvolver materiais que facilite tanto seu estudo quanto de aspectos sociais e conceitos de Astronomia.

Destaca-se que o presente trabalho se encontra em sua fase inicial na qual algumas atividades pontuais estão sendo aplicadas no intuito de perceber como os estudantes respondem a certos testes.

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Ao promover atividades dessa natureza observa-se que os estudantes participam de forma ativa e, por ser um ambiente que apresenta novidades, a curiosidade é constante e questionamentos surgem a todo momento de forma espontânea.

- O desafio agora é adicionar à sequência roteiros e questionários bem como outras atividades que possibilitem um estudo detalhado das formas geométricas e das dimensões espaciais. Além disso pretende-se desenvolver, utilizando o livro flatland, pesquisas e reflexões sobre o papel da mulher na sociedade vitoriana e na ciência, contrastando com os dias atuais. Por fim será feira a avaliação do potencial pedagógico dos recursos e materiais desenvolvidos.

## Referências

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CHERMAN, A. Sobre os ombros de Gigantes: Uma História da Física . Editora Zahar. 2004. Disponível em: &lt; https://books.google.com.br/books?id=xbk2AAAAQBAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=pt-

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O Fascínio do universo / organizadores Augusto Damineli, João Steiner. -- São Paulo: Odysseus Editora, 2010.

PAVANELLO, R. M. Por que ensinar/aprender geometria. 2004. Trabalho apresentado no VII Encontro Paulista de Educação Matemática, São Paulo, 2004.

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