Dificuldades de aplicação e interpretação da equação de Bernoulli

## DIFICULDADES DE APLICAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

## Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos 1

1 UNIFESP - Diadema Departamento de Física, e-mail leosioufi@gmail.com

## Resumo

Este trabalho apresenta quatro dificuldades de interpretação e de aplicação da equação de Bernoulli: a validade para fluídos com vorticidade, a generalização para gases, a uniformidade da densidade de energia e a relação com a teoria cinética dos gases. A validade da equação de Bernoulli para fluídos com vorticidade é resolvida através das linhas de corrente. Na ausência de vorticidade, a pressão de estagnação é uniforme, mas quando há vorticidade, há uma pressão de estagnação específica para cada linha de corrente. A generalização da equação de Bernoulli para gases só é aplicável se a velocidade do gás é inferior à 30% da velocidade do som no meio, caso contrário, é necessário usar uma versão da equação de Bernoulli para fluídos compressíveis. A densidade de energia não é necessariamente uniforme, a equação de Bernoulli garante apenas a uniformidade da densidade de entalpia ao longo de cada linha de corrente. Enfim, a teoria cinética dos gases unida à equação de Bernoulli prevê que a validade da equação de Bernoulli com uma densidade de energia uniforme só pode ocorrer se os movimentos moleculares forem a sobreposição de um movimento ordenado com um aleatório assimétrico. Por outro lado, a sobreposição de um movimento molecular simétrico com um ordenado resulta em uma densidade de energia não uniforme.

Palavras-chave : equação de Bernoulli, Mecânica de Fluídos, teoria cinética dos gases, vorticidade, entalpia.

## Introdução

O estudo da Mecânica dos Fluídos no ensino superior aparece em cursos de Física, Matemática, Química, Biologia e em diversas Engenharias. Apesar de ser um ramo da Física, a Mecânica dos Fluídos é interdisciplinar. A complexidade das ferramentas matemáticas necessárias à compreensão da Mecânica dos Fluídos pode ser contornada parcialmente através da exploração de casos particulares bem significativos, como por exemplo, a hidrostática, o princípio de Bernoulli e o efeito Coanda. Este trabalho trata do princípio de Bernoulli.

De acordo com o princípio de Bernoulli, se um fluído incompressível tem fluxo estacionário, a viscosidade é nula e não há turbulência, a pressão P , a velocidade v , a altura h , a aceleração da gravidade é g e a densidade  se relacionam da forma (NAKAYAMA, 1999):

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A equação acima é denominada equação de Bernoulli. Os termos    gh e P são denominados respectivamente de pressão cinética, pressão potencial e

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pressão estática. O termo P0 é uma constante correspondente a cada linha de corrente chamada de pressão de estagnação. Em um ponto do fluído com velocidade e altura nulas, a pressão estática coincide com a pressão de estagnação.

Outra forma de apresentar a equação de Bernoulli é dada por:

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Onde A e B são dois pontos da mesma linha de corrente.

Há uma extensa literatura sobre problemas na interpretação e na aplicação da equação de Bernoulli. Por exemplo, há críticas sobre a própria derivação da equação de Bernoulli que aparece em materiais didáticos (MARCIOTTO, 2016). Bauman e Schwaneberg (1994) negam que a equação de Bernoulli implique na uniformidade da densidade de energia. Eastwell (2007) explana várias situações onde a viscosidade exerce um papel fundamental, o que invalida a aplicação da equação de Bernoulli e exige uma explicação através do efeito Coanda.

- O objetivo deste trabalho é a apresentação de problemas de interpretação e aplicação da equação de Bernoulli quando esta é apresentada sem o devido rigor e detalhamento.

A justificativa do presente trabalho é a necessidade do aperfeiçoamento do ensino da Mecânica de Fluídos em geral e da equação de Bernoulli em particular.

As seções deste trabalho seguem o seguinte roteiro: as duas próximas partes abordam a validade da equação de Bernoulli para fluídos com vorticidade e para gases. A quarta seção aborda a relação da equação de Bernoulli com as densidades de energia e entalpia. A quinta seção descreve as relações entre a equação de Bernoulli e a teoria cinética dos gases. Finalmente o trabalho é encerrado com a conclusão.

## Validade da equação de Bernoulli para fluídos com vorticidade.

Parte da literatura restringe a validade da equação de Bernoulli para fluídos sem vorticidade (MACDOUGH, 2009), enquanto alguns trabalhos não incluem tal restrição (NAKAYAMA, 1999). Tal divergência entre os trabalhos é aparente e pode ser resolvida com o uso de uma linguagem rigorosa.

Para um fluído sem vorticidade, a pressão de estagnação P0 é a mesma em todos os pontos do fluído. No entanto, se há vorticidade, há uma pressão de estagnação P0 para cada linha de corrente.

A equação de Bernoulli na forma (2) só pode ser aplicada para dois pontos da mesma linha de corrente, o que já foi enfatizado na introdução deste trabalho. Caso os dois pontos A e B pertençam a duas linhas de correntes distintas, a forma (2) da equação de Bernoulli não pode ser aplicada, o que é interpretado por Macdough (2009) como a não validade da equação de Bernoulli para fluídos com vorticidade.

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## Validade da equação de Bernoulli para gases.

A equação de Bernoulli só é válida para fluídos incompressíveis. Embora os gases não sejam fluídos incompressíveis, muitos exemplos de aplicação da equação de Bernoulli envolvem o ar, uma mistura gasosa. Em princípio, a equação de Bernoulli não poderia ser generalizada para gases, mas para pequenas variações de densidade, a compressão gasosa é desprezível.

Um tratamento rigoroso do fluxo estacionário de um gás sem viscosidade e nem turbulência exige a 'equação de Bernoulli para fluídos compressíveis' (SANTOS, 2018).

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Onde  0 é a densidade do gás em repouso.

Se as variações de densidade de um gás são da ordem de 5%, o fluído pode ser tratado como compressível. Na equação acima, para h=0 , as variações de densidade atingem 5% para uma velocidade de aproximadamente 30% da velocidade do som. Então, os gases podem ser tratados como fluídos incompressíveis para velocidades menores do que 30% da velocidade do som (ver página 223 da referência Nakayama (1999)).

A velocidade do som no ar no nível do mar é de aproximadamente 340m/s, então a equação de Bernoulli só é válida para ventos mais lentos do que 102m/s ou aproximadamente 367km/h. Os ventos típicos do cotidiano são inferiores à 61km/h. Entre 62km/h e 118km/h, a escala Beaufort classifica os ventos em ordem crescente de velocidade como ventania, ventania forte, tempestade e tempestade violenta. Acima de 118km/h surge a categoria furação (ESCALA... 2018). Então a equação de Bernoulli na forma (1) ou (2) pode ser aplicada para ventos cotidianos, ventanias e tempestades, inclusive a ventilação no interior de residências e tocas de animais. No entanto, furações mais rápidos do que 367km/h e ventos acima desta velocidade não obedecem a equação de Bernoulli.

A aplicação da equação de Bernoulli para asas de aviões é muito citada, mas errônea. Para as asas dos aviões, o problema não está na velocidade relativa do ar. A turbulência do movimento relativo do ar nas asas dos aviões (BABINSKY, 2003) e a viscosidade do ar para altas velocidades (EASTWOOD, 2007) invalidam a equação de Bernoulli. Além disso, a diferença de pressão nas partes superiores e inferiores das asas dos aviões depende do ângulo de cada asa com a horizontal (BABINSKY, 2003), o que não é previsto pela equação de Bernoulli.

## Relação da equação de Bernoulli com a entalpia e a energia

Bauman e Schwaneberg (1994) provaram que a equação de Bernoulli implica na uniformidade da densidade de entalpia ao longo de uma linha de corrente. Então a pressão de estagnação P0 na equação de Bernoulli na forma (1) representa a densidade de entalpia ao longo de uma linha de corrente.

A soma das densidades de energias cinética e potencial gravitacional resultam na densidade de energia mecânica. Se a pressão estática é interpretada

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como a densidade de energia térmica, a equação de Bernoulli seria uma representação da uniformidade da densidade de energia ao longo de uma linha de corrente. Neste caso, as densidades de entalpia e energia coincidiriam. No entanto, em um caso geral, a pressão não é a densidade de energia térmica e a densidade de energia total varia ao longo de uma linha de corrente.

A não uniformidade da densidade de energia não viola a lei da conservação da energia. Uma densidade de energia não uniforme significa que a energia está mais concentrada em alguns pontos do espaço do que em outros, o que não implica em nenhuma criação ou destruição de energia.

## A equação de Bernoulli e a teoria cinética dos gases

A equação de Bernoulli é escrita em termos de densidades de energia, o que encoraja os físicos a uma interpretação da relação em escala molecular. Existe uma teoria cinética para fluídos em movimento, incluindo efeitos de viscosidade e turbulência (TONG, 2012) e a equação de Bernoulli surge como um caso particular bastante simples desta situação geral. No entanto, a complexidade da teoria cinética dos fluídos não é adequada para cursos introdutórios de Física. Em contraste com a teoria cinética dos fluídos, os livros didáticos apresentam uma versão muito simplificada da teoria cinética dos gases onde o gás está em repouso no interior de uma caixa (SERWAY, 2011). O ensino da equação de Bernoulli à luz de uma teoria cinética dos gases exige um modelo mais simples do que a teoria cinética dos fluídos e mais complexo do que a descrição de partículas em uma caixa fechada.

Há derivações da equação de Bernoulli para o gás ideal baseados na teoria cinética dos gases sem viscosidade e sem a complexidade de uma teoria de fluídos em geral. Glover (1968) constrói um modelo onde um gás ideal monoatômico está inicialmente em repouso. A velocidade média das partículas é zero e a velocidade quadrática média é positiva e isotrópica. A pressão do gás em repouso corresponde à pressão de estagnação. O gás entra em movimento e a média da velocidade deixa de ser nula, o que implica em uma velocidade macroscópica no fluído. A velocidade da partícula torna-se a sobreposição de um movimento aleatório com um deslocamento ordenado. A energia cinética média das partículas é conservada antes e depois do movimento. Relacionando a pressão do gás em movimento com a velocidade quadrática média das componentes da velocidade ortogonais ao movimento, o autor chega à equação de Bernoulli.

Bauman e Schwaneberg (1994) tentaram derivar a equação de Bernoulli em escala molecular para gases ideais monoatômicos usando os mesmos argumentos de Glover (1968), mas eles mantiveram a isotropia das velocidades médias quadráticas do movimento aleatório. Os autores deste trabalho não conseguiram obter a equação de Bernoulli e justificaram-se apelando para a possibilidade da assimetria da distribuição aleatória das velocidades (BAUMAN, SCHWANEBERG, 1994).

As derivações da equação de Bernoulli para um gás inicialmente em repouso apresentam dois erros conceituais (SANTOS, 2018). Em primeiro lugar, se o gás estava inicialmente em repouso e depois entrou em movimento, o fluxo não é estacionário e a equação de Bernoulli é inválida. Além disso, tais derivações

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dependem que a densidade de energia térmica seja (3/2)P, o que não é verdade para gases ideais não monoatômicos.

Um modelo de teoria cinética para gases ideais em movimento foi desenvolvido sem nenhum tipo de imposição de uniformidade de energia ou fluído inicialmente em repouso (SANTOS, 2018). As únicas imposições deste novo modelo foram o princípio da equipartição de energia e a identificação da pressão estática como resultado das componentes ortogonais ao movimento do gás. O modelo inclui gases que não sejam monoatômicos. O resultado é a seguinte expressão para a densidade total de energia:

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Onde nf é o número de graus de liberdade da molécula. A pressão estática P é resultado da velocidade quadrática média nas direções ortogonais ao movimento. Já a pressão paralela Px corresponde à velocidade quadrática média do movimento aleatório paralelo ao movimento do fluído, ou seja, Px não inclui a velocidade ordenada do gás.

A densidade de energia pode ser escrita em função da pressão de estagnação usando a equação de Bernoulli como

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Se a pressão paralela é uniforme (Px=P0) e o gás é monoatômico (nf=3), a densidade de energia é uniforme e igual à 3P0/2. Neste caso, a derivação de Glover estaria correta e as densidades de energia e entalpia seriam uniformes. O problema deste modelo é que não existe um mecanismo que mantenha a pressão paralela uniforme uma vez que ela é resultado de um movimento aleatório. Para gases com moléculas de dois ou mais átomos, há mais de dois graus de liberdade (nf&gt;3), a densidade de energia deixa de ser uniforme e os resultados de Santos (2018) não coincidem com Glover (1968).

Em um caso geral, a densidade de energia não é uniforme na expressão (5) porque a densidade de energia aumenta com a pressão estática. Se a altura é fixa, a equação de Bernoulli implica que o aumento da velocidade provoca uma queda na pressão. Então, quanto maior a velocidade do gás, menor sua densidade de energia. Analogamente, quanto maior a altura, menor a densidade de energia. A expressão (5) mostra que a energia se concentra nos pontos mais lentos do gás e nas menores alturas.

Um movimento aleatório com todas as velocidades quadráticas médias iguais corresponde a uma pressão paralela igual à pressão estática (Px=P). A simetria do movimento aleatório para o gás em movimento é uma hipótese bem razoável que aparece na derivação de Bauman e Schwaneberg (1994). Como a densidade de energia (5) não é uniforme para Px=P, fica claro que Bauman e

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Schwaneberg (1994) jamais derivariam a equação de Bernoulli usando ao mesmo tempo a uniformidade da densidade de energia e um movimento aleatório simétrico. O resultados de Santos (2018) são consistentes com os de Bauman e Schwaneberg (1994) .

## Conclusão

A equação de Bernoulli só pode ser compreendida quando as restrições para sua validade são expostas. A aplicação da equação de Bernoulli não pode ser feita na presença de viscosidade, turbulência, variações na densidade e nas velocidades. Além disso, se a dependência da pressão de estagnação em relação às linhas de corrente não é mencionada, a equação de Bernoulli fica restrita à fluídos sem vorticidade.

Apesar do ar ser uma mistura de fluídos compressíveis, a equação de Bernoulli pode ser aplicada a problemas relacionados aos ventos no cotidiano. No entanto, a equação de Bernoulli não explica a diferença de pressão nas asas dos aviões devido a presença de turbulência, viscosidade e do ângulo das asas com o plano horizontal.

Tanto do ponto de vista da Mecânica dos Fluídos como pela Teoria Cinética dos Gases, a equação de Bernoulli não implica em uma uniformidade da densidade de energia.

## Referências

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