A VIA DUPLA NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O CASO DA MÁQUINA DE ATWOOD COM 4 CORPOS.

## A VIA DUPLA NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O CASO DA MÁQUINA DE ATWOOD COM 4 CORPOS.

## Paulo de F. Borges , Ricardo Lopes Coelho 1 2

1 Universidade Federal Fluminense, Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências da Natureza, paulo.borges@cefet-rj.br 2 Universidade de Lisboa e Centro Universitário de História das Ciências e da Tecnologia, Faculdade de Ciências, rjcoelho@fc.ul.pt

## Resumo

Nosso objetivo é fornecer aos estudantes de física e engenharia dois caminhos formal e conceitual - para resolução de problemas. No presente trabalho, o mesmo problema - a máquina de Atwood composta com quatro corpos - é abordado através destes dois caminhos. A abordagem formal enfoca a obtenção das equações de movimento usando a segunda lei de Newton, as restrições geométricas ou vínculos e um software de computação algébrica. A abordagem conceitual consiste em uma transferência de conhecimento da máquina de Atwood convencional para o estudo da máquina composta. Isto é mais intuitivo, mais fácil de reter na memória e de comunicar a outras pessoas. Um exemplo numérico mostrará que as duas abordagens levam ao mesmo resultado.

palavras-chave: Máquina de Atwood; solução de problemas; física conceitual; habilidades formais.

## Introdução

Com o passar do tempo, a física se tornou mais e mais matemática. Ideias intuitivas utilizadas nas estratégias de resolução de problemas dos séculos 18 e 19 foram substituídas por equações em livros de texto contemporâneos [GARBER, 1999; LOPES COELHO, 2013; MATHEWS, GAULD & STINNER, 2005]. A confiança no conhecimento sobre os fenômenos foi, pelo menos parcialmente, transferida para equações. Consequentemente, usar as equações adequadamente tornou-se suficiente para resolver os problemas corretamente. Como uma implicação educacional, aprender física hoje é acima de tudo aprender como se usam equações. De acordo com Ha, Lee & Kalman, a maioria dos cursos de nível superior de ciência consistem em transmitir conhecimento abstrato, descontextualizado, com um modelo (unicamente numérico) e um procedimento para resolução de problemas [HA, LEE & KALMAN, 1987]. Essa ênfase no formalismo causa dificuldades para novatos e não físicos, já que a abordagem natural dos fenômenos é por meio de conceitos e não de equações [CROUCH & HELLER, 2014; SABELLA & LANG, 2004]. Além disso, é exigido de estudantes de pós-graduação tanto nos países europeus (Declaração de Bolonha) quanto no resto do mundo, que eles sejam capazes de comunicar com especialistas e não especialistas de forma inteligível. A comunicação com audiências de não especialistas requer um domínio conceitual das ferramentas matemáticas e físicas usadas pelo estudante/especialista. Esse objetivo pode ser alcançado, se os estudantes receberem meios e treinamento em uma fase anterior da vida escolar. Consequentemente, se a Declaração de Bolonha e as políticas de formação profissional de outros países, inclusive o Brasil, devem ser tomadas a sério, uma abordagem conceitual é necessária até mesmo para estudantes de física e engenharia. Por outro lado, os estudantes de física e

engenharia precisam desenvolver suas habilidades matemáticas, o que justifica a abordagem usual, formal, dos problemas. Além disso, no século 21, carreiras relacionadas à educação pós-secundária exigem uma base sólida em ciência, tecnologia, engenharia, e matemática (STEM). O domínio da matemática, ciência e tecnologia não é mais apenas para futuros cientistas e engenheiros, mas é essencial para todos os estudantes. Para satisfazer tanto necessidades formais quanto conceituais, abordaremos o mesmo problema de forma conceitual e de maneira formal. (Esta abordagem de dois caminhos também pode nos ajudar a medir as habilidades analíticas e de resolução de problemas apresentadas pelos estudantes [USA DEPARTMENT OF EDUCATION, 2010].) O problema é a máquina de Atwood composta com quatro corpos. A razão para começar com a máquina de Atwood composta é que existem estratégias de resolução não padrão propostas nas últimas três décadas. [CRAWFORD, 1987; GONZALEZ, 1998; NEWBURGH, PEIDLE & RUECKNER, 2004; JAFARI, 2011; LOPES COELHO, SILVA & BORGES, 2015; LOPES COELHO, BORGES & KARAM, 2016] e que podem ser úteis para o estudante e o professor. Nós começaremos com a abordagem conceitual seguida por um exemplo numérico, que servirá como controle para ambas as abordagens. A seguir, o problema é tratado formalmente.

## Abordagem conceitual

A abordagem conceitual pode ser apresentada como uma transferência de conhecimento da máquina Atwood para a máquina composta de Atwood. Assim, começamos com a estratégia de solução mais comum para o problema da máquina Atwood para destacar os aspectos que serão utilizados. O observador inercial aplica a segunda lei de Newton aos corpos m1 e m2 (Fig.1 esquerda):

Figura 1 - Máquina de Atwood simples (esquerda) e composta (direita).

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A polia e a corda são consideradas ideais ou seja suas massas são muito menores que as outras massas na máquina e não há atrito entre as partes. Assim temos T1 = T2 = T e -a1 = a2 = a . As equações (1) e (2) são reescritas como:

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Se em vez desses corpos ( m1 e m2 ), temos máquinas de Atwood A e B (Fig.1 direita), também precisamos determinar os pesos dessas máquinas. Esses pesos são as tensões totais das máquinas. Podias metê-los aqui. [LOPES COELHO, SILVA &amp; BORGES, 2015; LOPES COELHO, BORGES &amp; KARAM, 2016]. Assim, obtemos:

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Onde P A e P representam, respectivamente, o peso total das polias B A e B após o início do movimento. Desde que nós temos os pesos e a aceleração local, podemos prever a aceleração de ambas as máquinas quando conectadas com a polia C :

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Onde m12 = T12/g e m34 = T34/g. Assim, no referencial não inercial, que se move solidariamente com as polias A e B , a aceleração local é ou . As acelerações de uma máquina de Atwood nestes sistemas de referência são (eq. 5):

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Onde representa as acelerações descendentes e ascendentes dos corpos i e j em seus referenciais não-inerciais. Se quisermos saber as acelerações dos corpos no referencial inercial, temos apenas para adicionar ou subtrair às acelerações anteriores.

com solução,

## Exemplo numérico

Os corpos na polia A (Fig.1 direita) têm as massas 0.2 kg e 0.3 kg e na polia B , 0.1 kg e 0.4 kg. Os pesos das máquinas A e B , antes de serem conectados com a polia fixa, são:

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Portanto, a aceleração devido à polia principal é (eq. 9):

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Devido a este movimento, as acelerações de queda livre nos referenciais A e B são g -aA = 7.84ms -2 e g + aA = 11.76ms -2 , respectivamente. As acelerações das máquinas de Atwood simples são então a* 12 = (0.1/ 0.5).7.84 = 1.568ms -2 e a* 34 = (0.3/0.5).11.76 = 7.056 ms -2 . De um ponto de vista inercial, temos:

As tensões podem ser calculadas usando essas acelerações na segunda lei de Newton, equações (1) e (2) reescritas para cada corpo na máquina composta:

A soma das acelerações obtidas é zero e todas as cordas são submetidas à mesma tensão, as polias móveis ao dobro desta tensão e a polia fixa ao quádruplo desta tensão.

## Abordagem formal

Vamos aplicar a segunda lei de Newton, ∑ ⃗ ⃗ e sua equivalente para o movimento de rotação ∑ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , para calcular forças e acelerações em nosso sistema (Fig. 2 direita). Não há necessidade de mencionar nenhum referencial não inercial. No entanto, os cálculos são longos e tediosos motivando-nos a incluir ferramentas de computação algébrica nesta tarefa. Primeiramente, nós estabelecemos as restrições (vínculos) devido à geometria das cordas usadas para

sustentar polias e massas. Usando as leis de movimento de translação e de rotação, temos um conjunto de dez equações e dezesseis incógnitas. Outro conjunto de equações pode ser obtido usando relações simples construídas a partir das restrições geométricas e das definições de aceleração rotacional e momento de inércia. Nossos cálculos foram realizados com Pacote LinearAlgebra em ambiente MAPLE.

Figura 2 - Vínculos geométricos.

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As relações de vínculo são as seguintes:

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Onde yB e yA são respectivamente as coordenadas das polias A e B (móveis), medidas em relação ao nível de referência que passa pelo centro da polia C (fixa). As acelerações das massas e polias podem ser calculadas através da segunda derivada em relação ao tempo das relações de vínculo. Polias maciças nos obrigaram a considerar suas acelerações tangenciais. No entanto, como no caso ideal, estas acelerações são determinadas pela aceleração dos corpos em queda na Máquina Atwood. Essas acelerações tangenciais são diferentes de zero, mesmo no caso ideal. Elas são consideradas irrelevantes se considerarmos essas massas muito menores que as massas dos corpos pendurados na máquina. Portanto,

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onde o sobrescrito t significa aceleração tangencial das polias. Além disso,

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que considerando a equação (15) acima, em que aB = -aA, reduz nossas variáveis para aA, a3 e a1. O novo sistema de equações de movimento conduz a uma equação matricial M . A = C construída a partir dos coeficientes das equações deste sistema. Cada coluna considera uma variável na ordem definida pelo vetor das tensões e acelerações A = (T1; T2; T3; T4; TA; TB; T; a3; a1; aA). O vetor de constantes C tem as mesmas componentes do vetor L na decomposição PLU :

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Assim, a matriz de coeficientes é:

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As soluções deste problema, quando trabalhamos a decomposição PLU em MAPLE, software de computação algébrica, e consideramos as massas das polias muito menores que as outras massas no sistema, fornecem para as acelerações e as tensões aplicadas T1 = T2 = T3 = T4=T0, TA = TB = 2T0, T = 4T0 e a1+a2+a3+a4 = 0. Usando para as massas dos corpos os mesmos valores numéricos da seção (3) e g=9.8ms -2 , obtemos: a1 = 0.392ms -2 , a2 = 3.528ms -2 , a3 = -9.016ms -2 , a4 = 5.096ms -2 , a A = 1.96ms -2 e a B = -1.96ms -2 para as acelerações. As forças têm os seguintes valores iguais: T1 = T2 = T3 = T4=T0 = 1.8816N, TA = TB = 2T0 = 3.7632N e T = 4T0 = 7.5264N. Estes valores estão de acordo com aqueles determinados na seção anterior. O problema de quatro corpos também foi resolvido utilizando-se Equações de Lagrange [FOWLES &amp; CASSIDAY, 2004]. Nós obtivemos os mesmos resultados.

## Observações Finais

A abordagem formal nos leva a um sistema de dez equações e dezesseis incógnitas. Definições comuns de momento de inércia e aceleração angular nos permitem eliminar algumas incógnitas mas para obter um sistema solúvel, algumas restrições geométricas devem ser levadas em conta (eq.17-20). O sistema transformado reúne dez equações e dez incógnitas, mas é complicado resolver sistemas como este usando papel e lápis. Esta é a razão para usar o software

MAPLE e seu Pacote LinearAlgebra . Os resultados numéricos obtidos estão de acordo com os obtidos na abordagem conceitual. A abordagem conceitual representa um modo econômico de pensar no sentido de Mach [MACH, 1902]. O estudante passa de um caso bem conhecido (a máquina padrão de Atwood) para o desconhecido (máquina de Atwood composta) mantendo o modelo da resolução de problemas. No lugar dos corpos m1 e m2, temos agora máquinas de Atwood A e B . Portanto, em vez dos pesos desses corpos, consideramos agora os pesos das máquinas. (Em ambos os casos, os pesos são determinados antes que os corpos e/ou máquinas sejam colocados em movimento.) A aceleração local g é substituída pela aceleração local nos sistemas não-inerciais, porque agora as máquinas de Atwood se movem em sistemas de referência onde a aceleração local é g±a. A abordagem dupla (formal e conceitual) do problema mostra sua potencialidade em responder às necessidades educacionais da ciência contemporânea [HOLBROOK &amp; RANNIKMAE, 2007; TANG, 2010; MATEI, 2015].

## Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPERJ (Fundação para o apoio à pesquisa do Rio de Janeiro) seu apoio a este trabalho estabelecido no processo número APV110.005 / 2013.

## Referências:

[1] GARBER, E, The Language of Physics: The Calculus and the Development of Theoretical Physics in Europe , (Boston, Birkhauser, 1999).

- [2] MATHEWS, M. R., GAULD, C. F., &amp; STINNER, A., EDS. The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical and Educational Perspectives. (Netherlands: Springer, 2005).
- [3] HA, S., LEE, G. &amp; KALMAN, C ., Workshop on friction: Understanding and addressing students' difficulties in learning science through a hermeneutical perspective. Science &amp; Education 22, 1424(2012).
- [4] CROUCH, C. H. &amp; HELLER, K., Introductory Physics in biological context: An approach to improve introductory Physics for life science students . Am. J. Phys. 82(5)378-386(2014).
- [5] SABELLA, M. &amp; LANG, M., Research and education at the crossroads of Biology and Physics. Am. J. Phys. 82(5)365-366 (2014).
- [6] U.S. DEPARTMENT OF EDUCATION. A Blueprint for Reform: The Reauthorization of the Elementary and Secondary Education Act, March 2010 , To read the full text visit &lt;www2.ed.gov/policy/elsec/leg/blueprint&gt; (accessed on October 20th, 2017).
- [7] CRAWFORD, F.S., Diagonalization of a compound Atwood machine . Am. J. Phys. 55, 514- 516(1987).
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[9] NEWBURGH, R., PEIDLE, J. &amp; RUECKNER, W., When equal masses don't balance. Phys Edu 39, 289-93(2004).

[10] JAFARI MATEHKOLAEE, M., Introduction of Atwood's machines as Series and Parallel networks. Lat. Am. J. Phys. Educ. 5, 338-343(2011).

[11] LOPES COELHO, R. Could HPS improve problem solving? Science &amp; Education DOI: 10.1007/s11191-012-9521-1(2012).

[12] LOPES COELHO, R., SILVA, P. A. S. &amp; BORGES, P. F., On the Poggendorff experiment. Phys. Edu. 50(6) 667-672(2015).

[13] LOPES COELHO, R., BORGES, P. F. &amp; KARAM, R., Atwood and Poggendorff: an insightful analogy. Eur. J. Phys. 37, 065003. doi:10.1088/01430807/37/6/065003(2016).

[14] FOWLES, G. R. &amp; CASSIDAY, G. L., Analytical Mechanics, 7 th Ed. New York. (Brookes and Cole International Edition, 2004).

[15] MACH, E. The science of mechanics: A critical and historical account of its development. 6 th ed. (Illinois: The Open Court Pub. Co. 1974).

[16] HOLBROOK, J. &amp; RANNIKMAE, M., The Nature of Science Education for enhancing Scientific Literacy . Int. J. Sci. Edu. 29 (11): 1347362(2007).

[17] TANG, Q., Current challenges in basic science education (ed. Paris: UNESCO - Education Sector, 2010).

[18] MATEI, L., Future of Higher Education. Bologna Process Researchers Conference - Conference report. (Bucharest: Editorial Board: Pricopie, R. et alli, 2015).