Uma série de capacitores nem sempre significa capacitores em série

## UMA SÉRIE DE CAPACITORES NEM SEMPRE SIGNIFICA CAPACITORES EM SÉRIE

## Guilherme de Berredo Peixoto 1

1 Departamento de Física/UFJF, gbpeixoto@hotmail.com

## Resumo

O presente trabalho relata o resultado da docência em equipe da disciplina Física III ministrada em quatro turmas presenciais e tem como base principal o trabalho da Ref. [1], em co-autoria com os professores J. A. Hernandes, B. Lesche e B .F. Rizzuti, todos do Departamento de Física da UFJF. Este trabalho, no momento submetido para publicação, é o principal fruto dessa experiência no ensino de Física III, e serve como uma indicação sugestiva de um certo padrão de procedimentos saudáveis a serem adotados em disciplinas problemáticas como essa. Vale mencionar aqui o imenso desafio que essa abordagem representa diante da expansão do ensino superior e diluição dos níveis médios de preparação discente. No trabalho propriamente dito, exploramos o problema de dois capacitores arbitrariamente carregados dispostos em série com um resistor. É um fato conhecido que se a carga inicial dos capacitores for zero, então eles se comportam como um único capacitor com capacitância dada por uma fórmula usual. Consideramos o caso em que as cargas iniciais não são nulas, de maneira que tanto a fórmula usual para a associação como a idéia de "capacitor equivalente" não possuem mais sentido. Assim, o que poderia ser considerado equivalente a dois capacitores arbitrários carregados em série? Neste trabalho, respondemos a esta pergunta e mostramos que a associação é equivalente a um capacitor ligado a uma fonte com voltagem constante. Essa estranha resposta abre a possibilidade para duas interpretações que parecem estar em contradição. Resolvemos o paradoxo que daí emerge mostrando a origem da aparente ambiguidade.

Palavras-chave : Circuitos elétricos, Associação de capacitores, Ensino de Física na universidade.

## 1. Introdução

Associação de capacitores é um assunto bem conhecido de circuitos elétricos, sendo abordado nos anos iniciais de qualquer curso universitário de conteúdo técnicocientífico. Todos os livros-textos de graduação (veja, por exemplo, a Ref. [2]) apresentam mais ou menos a mesma abordagem por meio da qual dois capacitores podem associar-se de duas maneiras distintas: em série ou em paralelo. Em cada um dos casos, obtém-se uma equação que fornece a 'capacitância equivalente' da associação. A idéia por trás é que a associação é equivalente a um simples capacitor, cuja capacitância recebe o nome de capacitância equivalente. O algoritmo para a obtenção da capacitância equivalente no caso da associação em série, conforme aprendemos nos livros-textos, pressupõe um carregamento inicial nulo para cada capacitor. O caso não-nulo está praticamente ausente dos livros-textos (há alguma menção, por exemplo, na Ref. [3]).

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É claro que a carga inicial não nula é o elemento que torna o problema diferente, quando o algoritmo usual para a capacitância equivalente a um arranjo em série perde completamente o sentido. Isso acontece porque tal arranjo não equivale a um capacitor sozinho. Então, dois capacitores em série, inicialmente carregados, equivalem a que tipo de coisa? Neste trabalho, respondemos a essa pergunta, concluindo que o arranjo é equivalente a um capacitor em série a uma fonte de corrente contínua de força eletromotriz constante.

Há na literatura algumas abordagens de capacitores com carga inicial diferente de zero [4], ou que estudam capacitores com três placas [5,6], que estão relacionadas ao mesmo problema. No entanto, nenhum trabalho responde explicitamente a essa questão. Além de trazer essa resposta na Seção 2, mostramos, na Seção 3, uma consequência bem interessante na forma de um paradoxo, esclarecendo-o prontamente na Seção 4.

## 2. Capacitores: nem em série, nem em paralelo

Consideremos um circuito constituído por dois capacitores de capacitâncias 𝐶1 e 𝐶2 e um resistor de resistência R , conforme a Figura 1. Num instante de tempo genérico , os capacitores possuem cargas t 𝑄1(𝑡) e 𝑄2(𝑡) . Convém observar que os livros-textos apresentam esse sistema com cargas iguais para cada capacitor, chamando-o de associação em série. Abordaremos então essa configuração mais genérica já considerada por James e Solheim [4]. Aqui, no entanto, concentraremos nossa atenção para a discussão qualitativa e a interpretação física.

A corrente elétrica é definida de acordo com I

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em compatibilidade com o sentido da corrente e as cargas nas placas indicadas na Figura 1. Observe que a definição de com o sentido dado pela seta na Figura 1 não I representa necessariamente o sentido do fluxo das cargas. As cargas 𝑄1(𝑡) e 𝑄2(𝑡) são funções do tempo que podem tomar valores positivos e negativos inclusive.

Figura 1 : Capacitores em série a um resistor.

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A aplicação da Lei das Malhas, no sentido horário (seta pontilhada), fornece a equação

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O circuito é composto por dois trechos condutores isolados entre si, de forma que a conservação da carga é realizada aqui por meio do vínculo 𝑄1 (𝑡) - 𝑄 2 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 , ou, simplesmente,

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onde Q é uma constante qualquer (podendo ser negativa), fixada pelas condições iniciais. Usando as equações (1) e (3) na equação (2), obtemos as equações diferenciais que descrevem a evolução temporal das cargas dos capacitores:

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onde 𝐶𝑆 = 𝐶1𝐶2/(𝐶1 +𝐶2) .

As equações (5) e (6) podem ser interpretadas da seguinte maneira. Elas descrevem o carregamento de um capacitor de capacitância 𝐶𝑆 , conectado a uma bateria ideal de força eletromotriz 𝑄/𝐶2 (e -𝑄/𝐶1 no outro caso). Embora os capacitores pareçam estar numa ordinária associação em série, eles comportam-se como se fossem um capacitor de capacitância 𝐶𝑆 submetido a uma voltagem constante. Essa interpretação fica muito clara se considerarmos o circuito ilustrado na Figura 2, que consiste em um capacitor de capacitância 𝐶𝑆 ligado em série a uma fonte de corrente contínua ideal de força eletromotriz 𝜀1 = 𝑄/𝐶1 . A aplicação da Lei das Malhas a esse circuito conduz à equação (5). Isso significa que essa interpretação é verdadeira e fisicamente válida: a associação dos dois capacitores equivale a um único capacitor em série a uma fonte de voltagem constante.

Figura 2 : Circuito descrito pela equação diferencial (5).

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Esse resultado é surpreendente porque, pela nossa intuição, é estranho que essa fonte entregue uma voltagem constante que não varie com o tempo.

## 3. O Paradoxo

As equações (5) e (6) são equações diferenciais não-homogêneas lineares de primeira ordem que constituem um ótimo exercício a nível de graduação. Suponha que as condições iniciais sejam 𝑄1 (0) = 𝑄 e 𝑄2 (0) = 0 . A solução da equação (5) é então dada por

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A solução acima, junto com o vínculo (3), resolve completamente o sistema sem nenhuma ambiguidade. A solução para 𝑄2(𝑡) é, portanto,

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Matematicamente, o sistema é perfeitamente inteligível. Todos os aspectos quantitativos podem ser explorados sem nenhuma dificuldade que não seja puramente técnica. A novidade digna de menção vem da interpretação física. Como já foi dito, o circuito da Figura 2 é descrito pela equação (5). De forma análoga, o circuito da Figura 3 é descrito pela equação (6). Repare na diferença entre esses dois circuitos: a voltagem constante da fonte ideal é 𝜀1 = 𝑄/𝐶1 num caso e 𝜀2 = 𝑄/𝐶2 no outro.

Figura 3 : Circuito descrito pela equação diferencial (6).

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Pelo que vimos até aqui, podemos resumir nossas conclusões dizendo que o efeito físico, sobre um resistor, causado por um capacitor de capacitância 𝐶𝑆 conectado em série a uma fonte ideal de voltagem constante 𝜀1 é o mesmo efeito físico causado por um capacitor de mesma capacitância conectado em série a uma fonte ideal de voltagem constante 𝜀2 sobre o mesmo resistor. Ora, então o circuito da Figura 2 é equivalente ao circuito da Figura 3, o que é um absurdo, pois a única diferença entre eles é uma diferença real de voltagem: 𝜀1 ≠ 𝜀2 . Este é o paradoxo.

Convém fazer aqui uma breve digressão sobre o uso do paradoxo como artifício pedagógico. O paradoxo é extremamente útil para o aprendizado porque, em primeiro lugar, ele pressupõe uma reflexão qualitativa acerca de um assunto, passando necessariamente por interpretações físicas. Em segundo lugar, o paradoxo força o estudante a pensar sobre o assunto específico fazendo um recuo, ou seja, levando em conta os aspectos mais gerais que o rodeiam, e assim pensar sobre outros aspectos da teoria não explicitamente relacionados e até sobre as bases e os fundamentos da própria teoria. Além disso, o paradoxo desperta no estudante uma espécie de desconforto misturado a uma admiração, elementos que alimentam um saudável interesse pelo assunto. Na próxima seção, mostrarei a solução do paradoxo, apesar de ser pedagogicamente mais interessante deixá-lo sem solução, mesmo porque, quando as pessoas ouvem a solução de um paradoxo, elas naturalmente reagem dizendo que o paradoxo era falso; que não era um problema verdadeiro, mas falso por se basear num jogo de palavras ou numa noção errada. Mas todo paradoxo é falso; tanto é assim que resolver um paradoxo significa precisamente mostrar qual é o engano, qual é o elemento que o torna 'falso'. Paradoxo vem do grego para -doxa , que significa 'contra a opinião', ou 'contra o senso comum'. Se o leitor quiser tentar resolver o paradoxo sozinho, não passe para a próxima seção.

## 4. Solução do paradoxo

A solução do paradoxo deve conter um exame cuidadoso dos seus termos, mostrando a inexistência de uma contradição real. Ambos os dispositivos, das Figuras 2 e 3, de fato geram a mesma corrente. Isso é possível porque as equações

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diferenciais correspondentes são realmente distintas e as condições iniciais também são distintas, na medida exata para que produzam a mesma corrente. Em outras palavras, os circuitos das Figuras 2 e 3 não são diferentes apenas porque entregam diferentes voltagens ( 𝜀1 ≠ 𝜀2 ), mas são diferentes também nas suas condições iniciais: 𝑄1(0) ≠ 𝑄2(0) , pois 𝑄1 (𝑡) = 𝑄 + 𝑄2 (𝑡) .

## 5. Conclusões

Neste trabalho, foi estudado o problema de uma associação de dois capacitores em série com diferentes cargas. Este arranjo difere da associação em série que normalmente é abordada nos livros-textos, em que os capacitores estão inicialmente descarregados. Nesse caso padrão, o conjunto é equivalente a um único capacitor de capacitância 𝐶1𝐶2/(𝐶1 +𝐶2) . No caso considerado nesse trabalho, essa equivalência é perdida e a pergunta natural que surge é: qual é a capacitância equivalente a esse arranjo? Qual é a fórmula que dá essa capacitância em termos das outras originais? Ou ainda, o arranjo é equivalente de fato a um único capacitor? Se não é, que tipo de dispositivo é equivalente? Respondemos a todas essas perguntas, mostrando que o dispositivo equivalente a essa associação incomum (que aparenta ser simples) é um capacitor de capacitância 𝐶1𝐶2/(𝐶1 +𝐶2) ligado em série a uma fonte ideal de voltagem constante. Essa interpretação é espantosa, pois, intuitivamente, somos levados a imaginar que essa fonte, sendo relacionada de algum modo a outro capacitor, deveria entregar uma voltagem que varia no tempo, pois tudo varia num processo de descarregamento. Além disso, a presença de uma fonte de voltagem constante também parece contrariar nossa intuição porque transmite uma idéia de energia ilimitada advinda de capacitores puros.

Vimos que essa impressão é meramente aparente, uma vez que as soluções descrevem as cargas em processo de decaimento de tal modo que, para 𝑡 → +∞ ,

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Repare que o fator 𝐶1/(𝐶1 +𝐶2) corresponde à porcentagem que o capacitor de capacitância 𝐶1 contribui para a capacitância equivalente no caso de uma associação em paralelo, e o mesmo é válido para o fator 𝐶2/(𝐶1 +𝐶2) em relação ao outro capacitor ( 𝐶2 ). Na prática, dependendo das capacitâncias e da resistência, um tempo até relativamente curto pode ser considerado como se fosse efetivamente um tempo infinito, de modo que, depois desse tempo, já não é mais possível medir nenhuma corrente, nem dissipação de energia.

## Referências

[1] DE BERREDO-PEIXOTO, G.; HERNANDES, J. A.; LESCHE, B.; RIZZUTI, B. F. When a series of capacitors is not just capacitors in series . Artigo submetido à publicação no periódico European Journal of Physics .

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[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentals of Physics, 10 th . ed. New York, NY, EUA: Wiley, 2014; SEARS, F.; ZEMANSKY, M. Física II: Eletromagnetismo , 12th. ed. San Francisco, CA, EUA: Pearson, 2008; TIPLER, P.; MOSCA, G. Physics for Scientists and Engineers . 6 th . ed. New York, NY, EUA: H. W. Freeman, 2007.

[3] SERWAY, R.; JEWETT, J. Physics for Scientists and Engineers . 9 th . ed. Cap. 26. Pacific Grove, Ca, EUA: Brooks/Cole, 2013.

[4] JAMES, M. C.; SOLHEIM, J. R. American Journal of Physics 83 : 621, 2015.

[5] CARLSON, G. T.; ILLMAN, B. L. American Journal of Physics 70 : 1122, 2002.

[6] ILLMAN, B. L.; CARLSON, G. T. The Physics Teacher 32 : 77, 1994.

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