ESTUDO DO MOVIMENTO DE PARTÍCULAS: (RE)SIGNIFICANDO SISTEMAS LINEARES PARA ALUNOS DE FÍSICA

## ESTUDO DO MOVIMENTO DE PARTÍCULAS: (RE)SIGNIFICANDO SISTEMAS LINEARES PARA ALUNOS DE FÍSICA

## Larissa Nolding Nicolau , Manuella Correa e Silva , Frederico Alan de Oliveira 1 2 Cruz 3

- 1 UFRRJ/Curso de Licenciatura em Física/PET Física, larissanolding@yahoo.com.br
- 2 UFRRJ/Curso de Licenciatura em Física/PET Física, manuellacorrea13@gmail.com

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- UFRRJ/Departamento de Física/PET Física, frederico@ufrrj.br

## Resumo

A análise das funções horárias do movimento é uma etapa fundamental durante a discussão da cinemática nas disciplinas de física básica ministradas para os cursos de ciência exatas da totalidade de instituições de ensino superior do país. Em geral, nos cursos introdutórios de física, os alunos têm, muitas vezes, um primeiro contato com as funções horárias que descrevem o movimento uniforme e o movimento uniformemente variado. No estudo dessas equações é muito comum, nos livros didáticos, a presença de problemas onde se pede ao leitor determinar a posição e o instante de encontro de dois objetos que possuem suas posições descritas por funções horárias. Tal problema é de simples solução ao se utilizarem duas funções, porém esta ação se torna complicada para o caso de se determinar a posição e do instante de encontro de n móveis. Isso ocorre, pois os procedimentos matemáticos necessários para a obtenção deste tipo solução são fornecidos em disciplinas de Álgebra Linear, que em geral, estão em períodos mais avançados nos cursos de física. Dentro dessa perspectiva, neste trabalho, apresentamos uma proposta de abordagem de sistemas lineares na resolução matemática para o problema da determinação da posição e do instante de encontro de n corpos. Esta atividade foi realizada com alunos recém-ingressantes do curso de Licenciatura em Física da UFRRJ durante aulas ministradas pelos bolsistas do PET/FÍSICA, onde se mostrou a importância das disciplinas de matemática na grade curricular do curso de Física.

Palavras-chave : física, movimento, álgebra linear

## Introdução

A análise das funções horárias do movimento é uma etapa fundamental durante a discussão do movimento das disciplinas de física básica ministradas para os cursos de ciências exatas nas instituições de ensino superior do país. Em geral, essas funções são obtidas a partir de um conjunto de manipulações algébricas, onde são consideradas condições de alteração ou não da velocidade ao longo do tempo.

Essas funções são obtidas a partir da chamada equação de movimento, que leva em conta todas as forças aplicadas sobre o corpo durante a sua observação:

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onde FR é a força resultante e Fi representa as n forças aplicadas.

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Em geral, as funções horárias com que os alunos têm contato nesses cursos introdutórios são as que descrevem os movimentos uniformes, no qual o corpo possui velocidade constante e diferente de zero, e o movimento uniformemente variado, onde a velocidade do corpo varia linearmente devido a uma aceleração constante e diferente de zero.

Nessas condições, as funções que descrevem a posição e a velocidade de uma partícula em movimento unidimensional uniforme são (CUTNELL &amp; JOHNSON, 2006):

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e

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Enquanto as equações que regem o movimento unidimensional uniformemente variado são (CUTNELL &amp; JOHNSON, 2006):

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e

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para os dois movimentos s0 é a posição inicial e v0 é a velocidade inicial de observação da partícula, a representa a aceleração, o instante de tempo. Sendo a t posição medida em metros (m), o tempo em segundos (s), a velocidade em metros por segundo (m/s) e a aceleração em metros por segundo ao quadrado (m/s²).

Em ambas as situações o movimento está livre de forças dissipativas, sejam elas devido ao contato do móvel com a superfície, caso do atrito de Coulomb, ou com a região na qual ele está se movimentando, que é dado pelo atrito de Newton ou Stokes (ALONSO &amp; FINN, 1972).

No estudo dessas equações é muito comum, nos livros didáticos, a presença de problemas onde é pedido ao leitor determinar a posição e o instante de encontro de dois objetos que possuem suas posições descritas por funções horárias da posição.

Figura 01: Exemplo de problema encontrado em um livro didático (SAMPAIO, 2005).

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Apesar de o problema ser de simples solução, no caso de n funções, ocorrerá uma complexidade na determinação da posição e instante de encontro e dessa forma é incomum que sejam apresentados problemas com mais de duas funções horárias nos livros didáticos. Isso ocorre, pois os artifícios matemáticos necessários para a obtenção da solução em casos mais complexos são fornecidos em disciplinas de Álgebra Linear, que em geral, estão em períodos mais avançados.

No caso de equações lineares o método mais comum para se obter a solução é por meio de escalonamento de uma matriz que contém todas as equações da situação de interesse. Enquanto que, para equações não lineares as soluções são um pouco mais complexas, como é o caso de problemas físicos que envolvem variáveis quadráticas (STEINBRUCH &amp; WINTERLE, 1987; RUGGIERO &amp; LOPES, 1996).

- O que acontece é que quando o aluno tem contato com o tema, ele quase sempre não possui situações problemas que esteja relacionado à sua disciplina e assim ele não percebe as potencialidades dos métodos apresentados. Não existe a integração dos conteúdos para produzir uma significação da ferramenta com os problemas que este aluno, e futuro profissional, terá ao longo da sua carreira.
- O que se percebe é que na maioria das vezes existe pouca ou quase nenhuma interação entre as disciplinas que compõem as grades curriculares, onde se espera que a soma das disciplinas produzam um resultado final expressivo no que diz respeito à formação dos alunos. Sendo assim, é fundamental que o ensino dos conteúdos ligados à matemática possam propiciar aos alunos a habilidade de estruturar seu pensamento no intuito de resolver os problemas que surgem (PIETROCOLA, 2002).

Dentro dessa perspectiva, nesse trabalho apresentamos uma proposta de resolução de equações lineares, com o objetivo de apresentar aos alunos as possibilidades do método e assim mostrar a importância das disciplinas de matemática na grade curricular do curso de Física.

## Metodologia

A proposta de utilização de sistemas lineares para a determinação da posição de encontro entre três ou mais móveis, que tem suas funções horárias do movimento como explicitado na equação (1), teve como ponto partida as aulas de apoio apresentadas pelo Programa de Educação Tutorial da Física (PET Física), da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, aos alunos recém-ingressantes do curso de Licenciatura em Física. Esses alunos são em geral provenientes das regiões vizinhas à universidade, que são conhecidas pelo atraso nas questões educacionais e sociais de forma geral (MACHADO et al, 2013).

Essas aulas abordam temas que fazem parte do currículo escolar de matemática do ensino médio e também conceitos inicias de limite, derivada e integral. Além de fornecer uma revisão ou até mesmo o primeiro contato com alguns conceitos matemáticos importantes para o prosseguimento do curso de Física, a proposta tem com função importante a integração entre os alunos recém-integrados e os veteranos.

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Para mostrar a importância do uso de matrizes, por exemplo, o passo fundamental é que o aluno seja capaz de visualizar o problema que está sendo proposto e que na maioria das vezes o contato é realizado a partir de textos pouco claros em relação ao que será avaliado. Sendo assim, o primeiro passo foi utilizar softwares que permitissem aos alunos perceber que existem situações onde três ou mais objetos em movimento poderiam se encontrar em certo ponto de suas trajetórias em um mesmo instante e assim contribuir para a aprendizagem dos alunos, por unir a motivação, a visualização do problema e a prática algébrica.

Figura 02: Aprendizagem como resultado da superposição da motivação, visualização e prática (Acervo do autor).

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A busca por métodos de ensino alternativos e interdisciplinares vem aumentando gradativamente, tendo como intuito facilitar o processo de aprendizagem e desenvolvimento cognitivo do aluno. Alguns destes métodos podem ser através de softwares, jogos virtuais, entre outros meios computacionais, que possibilitam o entendimento de determinados conceitos. Um exemplo dos vários aplicativos existentes é o GeoGebra, que se caracteriza por ser uma ferramenta que permite a visualização de vários problemas pela introdução de funções matemáticas (ORLANDI et al, 2012).

No caso de problemas com sete, dez ou mais equações de movimento a possibilidade de entendimento pode ser facilitada pela utilização de imagens, visto que nem sempre é possível para os alunos abstraírem em situações tão complexas.

Uma vez que o problema seja compreendido o passo seguinte é mostrar aos alunos a possibilidade de solução, por meio de um método eficaz e prático. Nesse caso, a ideia é rearranjar as equações de movimento em um sistema de equações lineares para mostrar a aplicabilidade do método. Assim, em nossa atividade, foram utilizadas funções horárias do movimento, onde inicialmente foram introduzidas em um software, para mostrar a representação gráfica e depois elas foram organizadas na forma matricial como mostrado a seguir:

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onde soi e vi representam as posições e velocidades de cada uma das equações de movimento. Com a matriz construída partiu-se para obter a solução, isto é, determinando os valores s e t que representam a posição e instante de encontro para as três partículas, comparando o resultado obtido com a representação gráfica apresentada no software utilizado.

## Resultados e discussão

Para a visualização do problema foi utilizado o software GeoGebra, que permite estudos de matemática dinâmica para todos os níveis de educação (IGI, 2016), e muito utilizado em propostas de ensino de matemática e física (FANTI, 2010; LUIZ et al, 2014).

Foram apresentados aos alunos, que acompanham as aulas de reforço, duas condições com esse software , uma delas onde três móveis poderiam se encontrar na mesma posição em determinado instante e a outra onde isso não ocorreria.

Dentro da proposta do trabalho, para os conjuntos de funções horárias do movimento:

- · Sistema A (sistema com solução possível) - Duas funções descrevem partículas em movimento progressivo e outra o movimento retrógrado.

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onde é possível identificar os parâmetros de interesse: s01 = 3 m, s02 = 12 m, s03 = 0 m, v1 = 2 m/s, v2 = -1 m/s, v3 = 3 m/s.

Figura 03: Animação no GeoGebra mostrando que existe solução possível .

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- · Sistema B (sistema sem solução possível) - Tal qual no caso anterior, funções descrevem partículas em movimento progressivo e outra o movimento retrógrado.

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onde é possível identificar: s01 = 5 m, s02 = 0 m, s03 = -2 m, v1 = 1 m/s, v2 = 1 m/s, v3 = 1 m/s.

Figura 04: Representação gráfica no GeoGebra mostrando que existe solução possível .

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Em ambos os casos as matrizes resultantes terão mais equações que incógnitas, nesse caso ao se fazer o escalonamento necessariamente uma das linhas da matriz 3 × 2 será zerada (RODRIGUES, 2006).

Para o sistema A temos que a matriz ficou na forma:

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e após o escalonamento da matriz o resultado obtido é da forma:

que permite obter como solução s = 9 m e t = 3 s.

Para o sistema B temos que a matriz ficou na forma:

e após o escalonamento resultou em:

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mostrando que o sistema não possui solução, visto que a posição terá dois valores possíveis.

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Em ambos os casos mesmo que se permutem as linhas, o resultado encontrado será sempre o mesmo, isso ocorre porque no caso do Sistema A temos que a primeira função horária do movimento (s1) é uma combinação linear das duas últimas (s2 e s3).

No caso do Sistema B não é possível determinar uma solução justamente porque as funções horárias do movimento não serem combinações lineares umas das outras (EIGM, 2010).

Apesar de o problema levar em conta apenas três equações e o resultado poder ser obtido de forma simples com um pouco de álgebra, a metodologia pode ser utilizada para mostrar aos alunos que numa situação problema com a existência de n funções a maneira mais indicada seria pela resolução de matrizes.

A escolha das três funções, em cada caso (sistemas A e B), serviu para mostrar aos alunos que, mesmo que os sistemas possuam as mesmas características iniciais, a solução nem sempre permitirá que eles se encontrem na mesma posição e no mesmo instante.

Em relação à reação dos alunos, percebemos que houve, inicialmente, certa dificuldade para compreender o método de escalonamento, e notação matricial, apesar de já terem contato com matrizes no ensino básico. No entanto, mesmo com esta dificuldade, a turma compreendeu a importância da utilização do método, visto que, ao abrir a discussão com relação a uma possível aplicação, ou seja, uma nova proposta de um problema físico, os alunos interagiram e citaram exemplos como: aplicação em dilatação linear e volumétrica de sólidos.

A utilização do GeoGebra, segundo os alunos, proporcionou além da possibilidade de interação com o problema, sanar dúvidas com relação à representação e interpretação gráfica. Isso mostra que nem sempre essa representação dos problemas é esclarecedora para os alunos, mostrando a importância desse tipo de recurso em sala de aula.

No geral, foi observado que os estudantes passaram a ter uma visão abrangente acerca da utilidade da Álgebra Linear, que até então, era considerada por eles, apenas como mais uma disciplina na grade curricular do curso.

## Conclusões

Percebemos que é possível propor problemas com diversas características que proporcione um maior interesse, pelos alunos, sobre os diversos temas de matemática presentes no curso de Física. Ficou claro que a contextualização dos problemas torna o conteúdo mais interessante para os alunos e assim facilitando a assimilação do que está sendo apresentado.

Por sua vez, isto trouxe uma discussão entre os alunos do PET Física de uma possível aplicação, das várias tecnologias existentes, para serem utilizadas nas aulas que serão ministradas aos recém-ingressantes no curso de física da UFRRJ, proporcionando assim um ambiente favorável para o entendimento dos diversos temas abordados e que serão fundamentais para o desenvolvimento desses alunos ao longo do curso.

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## Financiamento

O presente trabalho foi realizado com recursos do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e com apoio do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação - Brasil.

## Referências

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física: Um Curso Universitário Mecânica. v. 1. 2º ed., São Paulo: Edgard Blucher, 1972.

CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física - Volume 2 . 6º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

EIGM - EQUIPE DO INSTITUTO GOIÂNO DE MATEMÁTICA. Combinação Linear , 2010. Disponível em:&lt;http://goo.gl/5RTVVD&gt;, Acesso em: 29 ago. 2016.

FANTI, Ermínia Lourdes Campello. Utilizando o software geogebra no ensino de certos conteudos matemáticos. In: V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática , 2010.

IGI - International GeoGebra Institute. What is GeoGebra? , 2016. Disponível em: &lt;http://goo.gl/I99Y9d&gt;, Acesso em: 03 set. 2016.

LUIZ, Fábio Ferreira; SOUZA, Luiz Eduardo Silva; Domingues, Paulo Henrique Porcheto. Confeccionando applet's em Física. Uma abordagem do Geogebra acerca das Leis de Newton. In: II Encontro de Pesquisa em Ensino das Ciências e Matemática: questões atuais , v. 1, n. 1, p. 20-22, 2014.

MACHADO, Natália Alves; OLIVEIRA, Bruno Randal; CRUZ, Frederico Alan de Oliveira. Licenciados em Física: Onde estão os concluintes da UFRRJ? In: XX Simpósio Nacional de Ensino de Física . São Paulo: SBF, 2013.

PIETROCOLA, Maurício. A matemática como estruturante do conhecimento físico. Caderno Catarinense de Ensino de Física, v. 19, n. 1, p. 89-109, 2002.

RODRIGUES, Paulo César Parga. Álgebra Linear Aplicada . Seropédica: EdUFRRJ, 2006.

RUGGIERO, Marcia A. Gomes; Vera Lucia da Rocha. Cálculo Numérico Aspectos teóricos e computacionais . 2º ed. São Paulo: Editora Makron, 1996.

SAMPAIO, José Luiz. Física: volume único . 2ª ed. São Paulo: Atual, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear . 2º Ed. São Paulo: Editora Pearson Education, 1987.

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