FAMILIARIZAÇÃO COM AS REGULARIDADES ESTATÍSTICAS COM O AUXÍLIO DE UM MODELO MECÂNICO AUTOMATIZADO

## FAMILIARIZAÇÃO COM AS REGULARIDADES ESTATÍSTICAS COM O AUXÍLIO DE UM MODELO MECÂNICO AUTOMATIZADO

Vinícius Santana Pedreira , Ébano Henrique da Silva Rizério , Ivanor Nunes de 1 2 Oliveira 3

- 1 Mestrando em Ensino de Física/UESB/MNPEF, viniciuspedreira8@gmail.com
- 2 Mestrando em Ensino de Física/UESB/MNPEF, ebanorizerio@gmail.com

## Resumo

Neste artigo, para o estudo das regularidades estatísticas, utiliza-se a distribuição normal ou de Gauss. Ela é modelada numa maquete experimental formada por duas máquinas de Galton conjugadas, modelo mecânico que reproduz o quadro de desvios casuais médios da posição de uma substância granulada despejada nela. A maquete é constituída pelos seguintes módulos: (1) Quadro retangular giratório, contendo duas máquinas de Galton ligadas entre si, movido por motor de passo; (2) Comporta de controle do fluxo de partículas entre as máquinas de Galton, movida por motor de passo; (3) Distribuidor unitário de partículas ligado a uma das máquinas e movido por motor de passo; (4) Duas caixas simétricas iguais (uma em cada extremidade do quadro giratório) com células de altura H; (5) Dois elevadores externos envolvendo as caixas, movidos por motores de passos, com placas paralelas, contendo sensores para registrar as alturas das colunas em cada célula. Assim, o modelo mecânico apresentado tem como objetivo principal a familiarização com as regularidades estatísticas. Nesse sentido, propõe-se a automatização das medições e da elaboração dos dados dos experimentos. Para realizar o controle da maquete, foi projetado um circuito eletrônico utilizando o microcontrolador ATmega8515, o qual é responsável por monitorar os sensores e manipular os motores de passos, além de se comunicar com o computador através da porta USB. O programa implementado para o microcontrolador faz a captura das alturas das colunas das células e permite a alternação das máquinas de Galton com o giro de meia volta do quadro. Através da porta USB, os dados são enviados para o computador, que deverá gerar os relatórios com a análise e elaboração dos resultados e gráficos obtidos.

Palavras-chave Ensino de Física, Máquina de Galton.

## 1. INTRODUÇÃO

No período de estabelecimento da teoria cinético-molecular dos gases, os físicos realizaram diversas experiências que confirmaram a validade da lei de distribuição das moléculas de um gás ideal em estado de equilíbrio segundo as velocidades e energias, encontrada por Maxwell em 1860. Pela sua importância e significado fundamental para a física molecular, elas se tornaram parte integrante do conteúdo dos livros didáticos de física. As experiências de Stern (1920) e Lammert (1929), por exemplo, são descritas corriqueiramente nos manuais de física geral.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Entretanto, verifica-se que o estudo dessas leis fundamentais tem encontrado, frequentemente, limitações no aspecto experimental e é realizado apenas na forma descritiva. Tais limitações têm sido atribuídas ao fato de que as instituições de ensino não possuem condições técnicas e financeiras para a realização dessas experiências, mesmo na variante demonstrativa. Verifica-se, além disso, que, nas experiências científicas, apesar do alto grau demonstrativo, não oferecem visibilidade para distinguir os movimentos das partículas que têm diferentes velocidades, pois não existe acesso para observação direta dentro do aparelho. Por isso, para o estudo das regularidades estatísticas, frequentemente, são utilizados modelos mecânicos que permitem a visualização das distribuições de Maxwell e de Gauss.

Neste trabalho, para o estudo das particularidades das regularidades estatísticas, utiliza-se a distribuição normal ou de Gauss. Tal aspecto tem a distribuição das moléculas de um gás ideal em equilíbrio pelas componentes das velocidades Ela é modelada numa maquete experimental automatizada formada por duas máquinas de Galton conjugadas, modelo mecânico que reproduz o quadro de desvios casuais médios da posição de uma substância granulada despejada nela.

## 2. RESUMO DA TEORIA

Neste artigo, são estudadas, experimentalmente, regularidades estatísticas que são observadas numa série de fenômenos, inclusive em muitos fenômenos que ocorrem a nível atômico-molecular. Entretanto, a característica mais importante de um sistema molecular é a função de distribuição de certa grandeza. Vamos examiná-la no exemplo da distribuição pelas velocidades e energias. Para este tipo de distribuição, são característicos dois aspectos:

- (I) a participação de um número grande, mas finito, de objetos do mesmo tipo;
- (II) o valor da velocidade das moléculas não pode ser determinado de forma única, pois ele depende de um número grande de fatores necessários e casuais.

Vamos tomar um sistema constituído por um grande número de partículas N que possuem velocidades diferentes e estudar somente a projeção destas velocidades em certa direção determinada, que vamos escolher como o eixo x.

Para tanto, por comodidade, vamos introduzir a 'densidade' de probabilidade no espaço vx, isto é, a probabilidade que corresponda ao intervalo unitário :

<!-- formula-not-decoded -->

Esta 'densidade de probabilidade' é uma grandeza discreta, pois a velocidade varia discretamente com o 'passo' Δ vx. Contudo, passando ao limite Δ vx → dv x → 0, pode-se obter a função contínua f(vx). Ela é chamada de função de distribuição e depende de vx. Consequentemente, o número de partículas dN com componentes x das velocidades que diferem de vx por um valor não maior que a grandeza infinitamente pequena dvx, é determinado através da função de distribuição na forma: dN = Nf(vx)dvx.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Para a distribuição das moléculas pelas velocidades num gás ideal em equilíbrio, Maxwell encontrou que a função de distribuição tem o aspecto:

<!-- formula-not-decoded -->

onde α e A são constantes. A constante α é determinada através da comparação dos valores médios obtidos, com a ajuda da distribuição (2), da equação de Clapeyron. Isto dá o resultado: onde m é a massa de uma molécula; K é a constante de Boltzman, T é a temperatura absoluta. A constante A é determinada através da condição de normatização. Como, teoricamente, são possíveis quaisquer valores da velocidade das moléculas que satisfazem a desigualdade -∞ ≤ v x ≤ ∞ , então

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Uma distribuição do tipo (2) chama-se normal. Ela foi investigada por Gauss no estudo dos erros aleatórios. Desta maneira, as componentes x das velocidades das moléculas dos gases estão distribuídas segundo a lei normal. Contudo, esta não é uma propriedade exclusiva das moléculas dos gases. Diferentes grandezas aleatórias, frequentemente, se encontram distribuídas segundo a lei normal. Esta distribuição possui determinados traços cuja familiarização é o objetivo deste trabalho.

A distribuição normal de Gauss, frequentemente, é escrita na forma:

<!-- formula-not-decoded -->

onde f(x)dx é a probabilidade de encontrar a grandeza aleatória no intervalo (x, x+dx).

Esta função de distribuição é simétrica em relação ao eixo dos y e atinge o máximo com x → 0 e rapidamente decresce com x →∞ . As distribuições normais diferem entre si pela grandeza h que se chama, às vezes, 'medida de precisão' (Guia para Expressão da Incerteza da Medição - GUM).

A comparação de (4) com (2) mostra que para a distribuição de velocidades , ou seja, é determinada pela temperatura do gás. Na figura 1 estão ilustradas três leis normais com diferentes h, sendo que . A área sob cada destas curvas segundo a condição de normatização é igual a 1. Daqui, inferese que com o aumento de h a curva torna-se mais alta e mais estreita.

Figura 01: Três leis normais com diferentes distribuições de velocidades.

<!-- image -->

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

A função de distribuição possui valor máximo com x → 0, igual a:

<!-- formula-not-decoded -->

A função de distribuição permite calcular o valor médio de diferentes funções de grandeza aleatória. Uma das características importantes de uma grandeza aleatória é sua dispersão. Ela representa o valor médio do quadrado da grandeza aleatória e é definida da seguinte maneira:

<!-- formula-not-decoded -->

Substituindo aqui a expressão de ) ( x f de (4), é fácil obter:

<!-- formula-not-decoded -->

A grandeza D = σ , chama-se valor médio quadrático de x e é igual a:

<!-- formula-not-decoded -->

Desta maneira, esta grandeza, análoga a h, caracteriza a largura da curva na figura 1. Expressando h através de σ , a função de distribuição pode ser reescrita, na forma:

<!-- formula-not-decoded -->

Comparando com (2), vemos que num gás: . m KT = σ

## 3. METODOLOGIA

## 3.1 Estudo experimental das particularidades das regularidades estatísticas

O estudo experimental das particularidades das regularidades estatísticas foi realizado utilizando-se a distribuição normal ou de Gauss. Para a sua modelação, foi projetada uma maquete experimental formada por duas máquinas de Galton conjugadas, em processo de automatização, cujo esquema está representado na figura 2. Ela é constituída por um quadro retangular 2, que pode girar em torno de dois eixos centrados fixados nas suas partes laterais médias, assentados em rolamentos num suporte metálico vertical fixado numa base metálica. O giro do quadro retangular é realizado com o auxílio de um motor de passo 1B ligado a um dos eixos e fixado no suporte metálico. No interior do quadro retangular, foram construídas duas máquinas de Galton ligadas entre si. A passagem retangular estreita de ligação das máquinas tem, na parte central, uma comporta que pode ser fechada com o auxílio de um motor de passo 1C. O quadro retangular é fechado por lâminas de acrílico transparente. A certa distância da comporta, foi perfurado um orifício central no acrílico onde está instalado um tubo ligado a um distribuidor unitário de partículas movido por um motor de passo. O quadro contém duas caixas

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

simétricas iguais, 4A e 4B, (uma em cada extremidade) com 13 divisões, com espaçamentos iguais e altura H.

Figura 02: Desenho esquemático da maquete experimental

<!-- image -->

Uma substância granular, de diâmetro médio de 2 mm, é despejada no funil quando o quadro retangular é girado de meia volta em relação à vertical, invertendose, assim, as posições relativas das extremidades do mesmo, desde a posição inferior até a posição superior, desfazendo-se, assim, a distribuição de Gauss realizada anteriormente. O fluxo estreito de partículas, que escoa pelo canal de ligação das duas máquinas de Galton, cai através da abertura, chocando-se contra uma série de grades horizontais constituídas de segmentos cilíndricos finos de aço perpendiculares ao canal de ligação, situados a uma distância de 7 mm um do outro. As grades foram fixadas nas lâminas de acrílico que cobrem o aro, uma sobre a outra, com um deslocamento de metade do período, de forma que os cilindros de cada grade seguinte se encontrem no centro do período da anterior.

Durante os choques das partículas com os segmentos cilíndricos, ocorrem desvios da direção vertical, para a direita ou para a esquerda, com igual probabilidade. Desta maneira, reproduz-se a lei de distribuição normal dos desvios aleatórios da vertical nos planos perpendiculares ao canal e às divisões retangulares da caixa (distribuição unidimensional).

Depois de passarem pelo canal e pelos centros dispersivos, os grãos são distribuídos pelas células da outra caixa do sistema que, no dado momento, se encontra na posição inferior.

- O processo se repete a cada meia volta de giro do sistema que, de acordo com o projeto de construção, torna possível a geração de duas distribuições de Gauss, com diferentes valores de h, onde , pois o número de centros dispersivos (segmentos cilíndricos) das duas máquinas de Galton conjugadas é diferente.

Cada uma das caixas planas possui uma escala nas paredes transparentes de acrílico, que permite a determinação da altura do nível dos grãos em cada uma das células. Entretanto, está em desenvolvimento a automatização da maquete e dos resultados dos experimentos, onde a leitura da altura do nível dos grãos em cada uma das células será feita de forma automatizada com o auxílio de um elevador externo com duas placas paralelas 3A e 3B que contém sensores instalados na direção dos centros de cada célula, respectivamente. Assim, durante o movimento das placas, os sensores registram as alturas de cada célula. O elevador é movido por um motor de passo 1A (de uma extremidade) e 1D (da outra

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

extremidade). Os resultados das medições são inseridos nas tabelas, e são utilizados na construção de cada gráfico da função de distribuição experimental dos grãos pelas células: . É óbvio que o nível dos grãos na enésima célula é proporcional ao número de grãos que caem nesta célula. O valor dos desvios xi é a distância entre a enésima célula e a célula central. Nesse caso, a unidade escolhida é o intervalo entre células, Δ x, igual à largura de uma célula. A largura de cada célula é igual a 20 mm.

## 3.2 Pequena quantidade de grãos. Distribuição dos grãos pelas células

A comporta instalada na passagem retangular de ligação entre as máquinas é fechada com o auxílio de um motor de passo 1C. Assim, com novo giro de meia volta da maquete para a posição vertical todos os grãos da distribuição de Gauss anterior são retidos. O distribuidor unitário de partículas movido por um motor de passo é acionado e libera 30 - 40 partículas que ao passarem pelo sistema de dispersão (grades) são distribuídas pelas células. Os resultados obtidos são inseridos numa tabela e com os dados obtidos constrói-se um gráfico análogo ao anterior:

## 3.3 Procedimentos necessários para a elaboração dos resultados dos experimentos

Para a representação gráfica da função de distribuição experimental , é preciso encontrar a expressão para o cálculo da função, tendo em conta a sua normatização, ou seja, que a área limitada por ela com o eixo das abscissas, seja igual a 1. A área coberta pelos grãos na enésima célula é igual a , onde é a largura da célula. Na tabela 01, no tópico 4 deste artigo, tem-se as medições de yi para cada uma das 13 células, tanto da máquina 1 quanto da máquina 2.

A área total coberta pelos grãos na máquina de Galton é igual a , que vamos representar por S. Então, o número relativo de grãos contidos na enésima célula, é dado pela seguinte expressão:

<!-- formula-not-decoded -->

onde é o número de grãos na célula e é o seu número total.

Daqui se conclui que:

<!-- formula-not-decoded -->

Logo, para calcular os valores de , é preciso calcular , e depois, para cada pela equação (7) e preencher uma tabela dos resultados do experimento, representada a seguir pela tabela 02 que permite a construção de um gráfico, representado na figura 03.

Para a série de dados experimentais inseridos em tabela, determina-se o grau de precisão h. Para isto, utilizando a relação (6).

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Antecipadamente, é preciso ter em conta que as ordenadas yi representam uma função de distribuição não normalizada. Para normalizá-la, calculamos:

<!-- formula-not-decoded -->

A partir da definição de D (dispersão) rescrita para o caso de uma distribuição discreta, obtemos: D = ∫ x f(x) dx = 2 Σ xi 2 yi / Σ yi.. Finalmente, da expressão (6), temos:

<!-- formula-not-decoded -->

Depois disso, constrói-se a curva teórica a partir da equação (4), com o grau de precisão h encontrado, mostrado na figura 04, que é inserida juntamente com o gráfico experimental, figura 03, para comparação - as duas curvas em cada figura correspondem às máquinas 1 e 2 da maquete experimental.

## 4. RESULTADOS E CONCLUSÃO

Tabela 01: Medições obtidas da maqueteTabela 02: Resultados das Funções que fornecem distribuições a partir do método experimental

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Figura 03: Gráfico comparativo das funções de distribuição experimental (equação 7) dos grãos pelas células nas Máquinas 1 e 2.

<!-- image -->

Figura 04: Gráficos teóricos das distribuições com os respectivos graus de precisão encontrados para máquinas 1 e 2 [expressão (4)]

<!-- image -->

## 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A construção da maquete didática foi fundamentada no estudo experimental da distribuição gaussiana, para obtenção de gráficos simétricos ou em torno da média, com importância particular para o estudo e o ensino da Física. A maquete experimental tem por objetivo permitir aos graduandos em Física da UESB medir e descrever a queda de partículas com obstáculos, verificando a formação de uma distribuição aproximadamente gaussiana (de acordo com o Teorema Central do Limite). Tal estudo, além do fato dos discentes serem incentivados a valorizar as técnicas, as experimentações e as descrições do que se passa em um sistema de muitas partículas, possibilita uma maior compreensão da aplicabilidade dos conceitos probabilísticos à Física, na descrição de fenômenos envolvendo sistemas com muitas partículas.

Vale ressaltar que a automatização da maquete permite realizar as medidas e a obtenção das distribuições das partículas em queda com obstáculos à distância, de qualquer ponto do planeta, via internet - essa última ainda em andamento.

## 6. REFERÊNCIAS

IVERONOVOI, V. I. Manual de Trabalhos de Laboratório de Mecânica e Física Molecular. Edições Ciência, Moscou, 1967. pág. 316-324.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

SIVUKIN, D. V. Curso de Física Geral. V. 2. Termodinâmica e Física Molecular. Moscou. Edições Literatura de Física, 2006. pág. 228-239.

SOLOUKIN, R.I. Métodos de Medições Físicas (Trabalhos de Laboratório de Física). Edições Ciência, Novossibirsky,1995. Pág. 6-14.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_