OSCILADOR HARMÔNICO VIA MECÂNICA MATRICIAL DE HEISENBERG: UMA PROPOSTA PARA A GRADUAÇÃO

## OSCILADOR HARMÔNICO VIA MECÂNICA MATRICIAL DE HEISENBERG: UMA PROPOSTA PARA A GRADUAÇÃO

Aline Costalonga Gama 1 , Célio Marques , Gilmar de Souza Dias , Thiago Luiz 2 3 Antonacci Oakes 4 , Mauricio G. das Virgens , Helder Chaves Sánchez 5 6

1,2,3,4 Instituto Federal do Espírito Santo - campus Vitória - agama@ifes.edu.br ; celiofisica@gmail.com ; gilmar@ifes.edu.br ; thiagooakes379@gmail.com

5 Instituto Federal do Espírito Santo - campus Guarapari - mauriciogv@yahoo.com.br 6 Faculdade do Centro Leste (UCL) - helderch@hotmail.com

## Resumo

Um dos modelos mais simples de um sistema Físico, que se regenera no tempo após uma perturbação imposta, é o Oscilador Harmônico (OH). Através da Mecânica Clássica Newtoniana conseguimos descrever as oscilações periódicas desse sistema. Na Mecânica Quântica (MQ), também é preponderante o papel do OH na descrição microscópica da natureza. De fato, nos estados coerentes que explicam os lasers, na análise das vibrações moleculares e cristalinas nos sólidos, dentre muitas outras, comparece o OH como um modelo útil para se aprofundar a compreensão da Física subjacente ao sistema. É comum, nos currículos dos cursos de Física, adotar na abordagem da MQ, a deÞnição de operadores e a consequente solução da equação de autovalores, expresso em termos da conhecida Equação de Schrödinger, e, desse caminho de investigar o OH, em todos os contextos em que esse aparece. Neste trabalho, pretendemos resgatar uma forma mais primitiva de abordagem do OH, apresentando as ideias centrais embutidas na Mecânica Quântica Matricial, formulada sem o enfoque da Equação de Schrödinger. O objetivo é expor aos professores e estudantes de graduação da área, um pequeno guia das ideias centrais que levaram ao desenvolvimento da Teoria Quântica Matricial formulada por Werner Karl Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan no início do Século XX. Exibimos uma coletânea de resultados já relatados na literatura (CARUSO; OGURI, 2016; COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977; DIRAC, 1982) porém organizados do modo a dar um sentido mais intuitivo aos desenvolvimentos que formaram a base da MQ. Traçamos um caminho lógico para a formulação matricial da MQ e para as relações de comutação. Finalizamos apresentado a quantização do Oscilador Harmônico através de uma abordagem puramente matricial.

Palavras-chave : Ensino de Física; Mecânica Matricial; Oscilador Harmônico.

## Introdução

Registros históricos mostram que os altos-fornos siderúrgicos são utilizados pela humanidade desde o Século IV a.C. Entretanto, foi com a Revolução Industrial na Europa do Século XVIII, que os fornos siderúrgicos abriram os caminhos não somente para industrialização do mundo, como também para o entendimento interação entre a luz e a matéria. De fato, um dos desafios enfrentados à época, dizia respeito à compreensão da chamada curva espectral dos objetos incandescentes, cujas medições primeiras, foram realizadas separando-se à luz emitida pelo ferro-gusa e medindo-se a potência irradiada para cada comprimento de onda. Esta curva apresentava-se diferentemente do que se esperava pela aplicação das Equações de Maxwell à radiação emitida do interior dos fornos. O modo como a energia da radiação eletromagnética se distribuía para as diferentes

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23 a 27 de janeiro de 2017

frequências observadas pela decomposição da luz se tornou um dos problemas mais desa adores da Física do Século XIX. Þ

Muito da Teoria Quântica atual, se desenvolveu através de relações empíricas coletadas ao longo dos anos de 1820 a 1900 com o intuito puro e simples de se compreender a emissão de radiação por ligas derretidas nos fornos siderúrgicos ou através de descargas elétricas em lâmpadas de determinados gases em estudo, como por exemplo o hidrogênio. Uma dessas relações é conhecida como Série de Balmer Esta relação empírica associa o comprimento de onda emitido pelos átomos de Hidrogênio, quando excitados por descargas elétricas, com os números inteiros e é dada por:

A partir dessa expressão, percebeu-se uma 'coincidência' matemática que Þ cou conhecida como Princípio de Combinação de Rydberg-Ritz. Este Princípio estabelece que duas frequências relativas a duas transições m → n e n → k é equivalente à uma transição direta m → k.

Lembrando que a frequência da radiação emitida pode ser escrita , é fato que:

Em outubro de 1911 foi realizado o Primeiro Conselho Solvay de Física, organizado com o objetivo de discutir as ideias de quantização. Um dos participantes da conferência foi Ernest Rutherford que, após retornar do evento, discutiu as ideias levantadas durante o Conselho com Niels Bohr (MARTINS; ROSA, 2014, p.109). A partir dessas informações, Bohr iniciou sua pesquisa sobre a explicação quântica do espectro do hidrogênio e, utilizando uma condição de quantização para o movimento dos elétrons em órbitas estáveis, propõe que:

A relação expressa em (3) também obedece ao Princípio da Combinação de Rydberg-Ritz.

## A ação como uma área no Espaço de Fase e a intuição de Heisenberg

É conhecido que podemos expressar o período de um movimento sujeito a um potencial V(x), realizando uma manipulação algébrica sobre a expressão da conservação da energia.

De fato, dado que:

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Então,

Temos que:

Se o potencial V(x) é tal que a partícula fica 'ligada', isto é, apresenta um movimento periódico, o período T pode ser escrito por:

Por outro lado, da Mecânica Clássica, sabemos que no espaço de fase 1 podemos escrever uma área S, dada pela expressão:

Onde a integral fechada é sobre uma curva neste plano cartesiano, denominado espaço de fase.

Considere agora que esta área S é função da Energia E e do potencial V(x). Com efeito:

Logo,

Derivando a Equação (10) em relação à energia E do sistema, reobtemos uma expressão idêntica à do período T obtida da conservação da energia.

De fato,

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23 a 27 de janeiro de 2017

Essa igualdade notável, obtida entre um gradiente em relação à energia no espaço de fase e uma expressão para o período do movimento obtida da conservação da energia, levou Heisenberg a notar que:

<!-- formula-not-decoded -->

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A equação apresentada em (12), se vista como um quociente de Newton, pode ser escrita como sendo:

Observe que se fizermos , e , a expressão (13) é, essencialmente, a expressão proposta por Bohr (Equação 3).

Veja que os valores de Em podem ser arranjados numa matriz diagonal que seriam os autovalores do Hamiltoniano. Definindo H como a matriz das energias, temos:

Podemos, a partir da matriz H, construir a matriz das frequências ( ).

É importante salientar que os formam uma matriz antissimétrica, pois eles vêm das diferenças entre elementos na diagonal da matriz H. Esta visualização simples, será muito útil nas seções seguintes. Ressalte-se novamente que os satisfazem o Princípio da Combinação de Rydberg-Ritz.

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## A posição e a velocidade no sentido da formulação matricial.

O próximo passo será dado no sentido da interpretação matricial da posição , assim como da velocidade, .

De fato, a semelhança entre as expressões (13) e (3) revela que a formulação em termos matriciais, permite pensar as raias espectrais emitidas pelo sistema, como sendo atribuídas às transições de energia no átomo e as diferenças de energia implicadas nestas transições podem ser organizadas numa forma matricial, de modo que, , e , isto é, todas as variáveis importantes para descrição do sistema físico em questão, possam ser organizadas através de elementos em matrizes que representam as grandezas físicas que descrevam o sistema quântico dado.

- O único requerimento imposto é que o Princípio da Combinação de RydbergRitz seja respeitado dentro de toda a formulação, de modo a ter um norteador lógico dentro da proposta.
- O passo mais ousado de Heisenberg foi estabelecer então que a matriz das posições X(t), poderia ser expandida em Série de Fourier com as frequências coletadas da matriz expressa em (15). Assim a matriz poderia ser construída com os elementos dado por:

Como o potencial V(x) depende de x, é imperativo saber operar . Em particular , pois para o Oscilador Harmônico o potencial V(x) é diretamente proposicional a esse fator.

O elemento pode ser obtido se fizermos:

Já vimos que:

Logo, se agora fizermos

e

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teremos identificado a posição do sistema, respeitando o Princípio da Combinação de Rydberg-Ritz e a formulação matricial. Os elementos m,n associados às linhas m e coluna n, variam no tempo conforme a frequência correspondente àquela posição na matriz que nos dá a posição.

De fato, as energias Em e En representam os elementos da matriz diagonal da energia E do sistema, daí portanto, os são elementos de uma matriz antissimétrica como já discutimos na seção precedente.

Neste ponto da discussão, já temos elementos para aprofundarmos ainda mais nas ideias centrais que nortearam Heisenberg, Jordan e Bohr na proposta de construir uma teoria para os fenômenos quânticos através de uma formulação inteiramente matricial, sem em nenhum momento falar em função de onda, ou impor à doc , relações de comutação.

Contudo, agora temos uma questão interessante no que diz respeito à expressarmos funções destas variáveis matriciais, como por exemplo o potencial V(x). Em geral, no potencial V (x) comparecem potências de x e agora, portanto, temos que dar um sentido para isto. Parte deste trabalho já foi feito acima quando obtivemos !

Para estudarmos o Oscilador Harmônico por exemplo, estaremos interessados em um potencial do tipo:

Um outro resultado necessário para se construir a teoria, consiste em se obter a matriz velocidade

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Na próxima seção faremos a identificação desse operador velocidade matricial e veremos emergir naturalmente a relação de comutação entre X e H, como é sabido desde a Mecânica Clássica, porém com a presença do , o qual de Þ ne que estamos dentro de uma descrição de processos onde a área no espaço de fase é quantizada pelo elemento área mínima, .

## As relações de comutação e sua origem natural dentro da formulação matricial

Lembrando que a Equação 16 mostra que matriz das posições, X, pode ser construída com os dado por:

Podemos então obter:

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Da expressão acima, podemos estabelecer que:

A qual é identificada com

É possível generalizar a Equação (22) para um operador O qualquer, de um sistema físico, uma vez que as quantidades físicas mensuráveis (observáveis) podem ser funções das coordenadas. Dentre elas situam-se as que comutam com H que não mudam com o tempo (estacionárias), e as que não comutam com a matriz H que podem ter evolução no tempo.

## Obtendo os níveis de energia do Oscilador Harmônico através da formulação Matricial

Da formulação apresentada, a quantização do Oscilador Harmônico ocorre de forma simples.

Para o OH, sabemos que:

Onde representa a frequência do OH.

Sabemos que, da Equação (20) que:

Derivando a Equação acima, obtemos:

Substituindo (24) em (23), temos

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Dado isso, vemos que os níveis de energia do OH são igualmente espaçados e existe um valor mínimo de energia diferente de zero.

Fonte: http://fsicaitapetininga.yolasite.com/resources/Aul\_OHS\_b.pdf. Acesso:10 set. 2016

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Figura 1 : Ilustração dos níveis de energia do Oscilador Harmônico

## Conclusões

Organizamos as ideias centrais que levaram a MQ Matricial e as utilizamos para melhor compreender a origem das relações de comutação. Através de uma abordagem puramente matricial, obtemos os níveis de energia do Oscilador Harmônico. Apontamos que essa abordagem foi planejada e um ensaio de sua aplicação foi realizado em um Seminário no Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Espírito Santo (Ifes) campus Vitória com a presença de professores e estudantes. Inferimos a compreensão dos presentes sobre a temática exposta através dos questionamentos levantados ao final da apresentação. Pretendemos aplicá-la à estudantes dos cursos de Engenharia Elétrica, Engenharia Metalúrgica e Engenharia Sanitária e Ambiental do Ifes campus Vitória. Nesse contexto, esse trabalho terá continuidade com a investigação da compreensão dos alunos sobre a temática exposta e avaliação da proposta aqui apresentada.

## Referências

CARUSO, F.; OGURI, V. Física Moderna : Origens clássicas e fundamentos quânticos. LTC, 2 ed., 2016.

COHEN-TANOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics , John Willey, Nova York, v.1, 1977.

DIRAC, P.A.M. Principles of Quantum Mechanics , Oxford University Press, 1982.

MARTINS, R. de A; ROSA, P. S. História da Teoria Quântica : a dualidade onda-partícula, de Einstein a De Broglie. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2014.

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