DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA VELOCIDADE DO SOM PELA OBSERVAÇÃO DOS MODOS NORMAIS DE RESSONÂNCIA NUM TUBO DE AR

## DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA VELOCIDADE DO SOM PELA OBSERVAÇÃO DOS MODOS NORMAIS DE RESSONÂNCIA NUM TUBO DE AR

Niels Fontes Lima , João Henrique Santos da Silva 1 2

1 Instituto Federal da Bahia, Departamento de Física, Campus Salvador, nielsfl@ifba.edu.br 2 Instituto Federal da Bahia, Departamento de Física, Campus Salvador, joaohenriquesantosdasilva@gmail.com

## Resumo

Este trabalho apresenta um experimento didático muito simples e barato que proporciona uma clara demonstração do fenômeno da ressonância numa coluna de ar, usando um fone de ouvido e um microfone de computador comuns inseridos nos extremos de uma mangueira plástica de comprimento conhecido para obter a curva de ressonância da mangueira e assim determinar as frequências dos modos normais e a velocidade do som. A atividade tem sido explorada basicamente como uma demonstração qualitativa da formação dos modos normais na mangueira, sem a intenção de comparar a velocidade do som obtida com uma estimativa teórica acurada dependente da temperatura, mas aqui mostramos que o experimento também pode ser realizado com essa finalidade. Na metodologia aqui apresentada, a frequência fundamental é determinada com incerteza relativa da ordem de milésimos, qualificando-a para o levantamento experimental da relação entre velocidade do som e temperatura. Para isso é necessário desenvolver uma montagem mais adequada para o controle e a medição da temperatura, que deve ser objeto de trabalho futuro. O experimento é particularmente indicado para cursos EaD, para ser realizado em casa ou polos presenciais sem laboratórios específicos de física.

Palavras-chave : ensino de física, experimento didático, modos normais, velocidade do som.

## Introdução

- O uso de um computador de mesa ou notebook comuns com recursos simples de áudio e material complementar muito simples e barato, dotado do aplicativo editor de som adequado, permite a realização de alguns experimentos importantes envolvendo a física das oscilações, ondas e som. Em edição anterior deste Simpósio, um dos autores apresentou um experimento (LIMA, 2015) com ressonadores de Helmholtz de garrafas PET que permitia visualizar e tratar matematicamente a equação horária de um oscilador harmônico amortecido oscilando espontaneamente ou forçado periodicamente, com resultados qualitativos e quantitativos muito bons.
- O experimento apresentado aqui faz parte de uma série de experimentos didáticos que têm sido utilizados em disciplinas de física geral e experimental para cursos de engenharia e de licenciatura em física, usando basicamente os mesmos recursos simples, e é o análogo sonoro ao experimento de determinação dos modos

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

23 a 27 de janeiro de 2017

normais de vibração de uma corda elástica, que também pode ser executado em uma montagem simples e barata (LIMA, 2013).

A oscilação do ar dentro de um tubo pode ser descrita tanto em termos do deslocamento médio das moléculas em relação ao equilíbrio, como em termos da variação da pressão. Numa onda harmônica de som, o deslocamento e a pressão estão defasados em π/2 . Um tubo de ar com ambas extremidades fechadas comporta-se em relação ao deslocamento longitudinal dos elementos de ar da mesma forma que uma corda esticada fixa nas duas extremidades, tendo nas extremidades nós de deslocamento. Como as extremidades estão fechadas, a pressão pode aí variar livremente e portanto são anti-nós de pressão. Essas relações podem ser visualizadas no applet "Tubo de Kundt" (LIMA, 2001), que simula o movimento de elementos de ar em um tubo e permite a realização de um experimento simulado para determinar a velocidade do som em diferentes gases.

Figura 1 . Os três primeiros modos normais de vibração de uma coluna de ar fechada em ambas extremidades. Os gráficos representam a amplitude de oscilação, em termos de pressão e de deslocamento, ao longo do comprimento do tubo. Uma extremidade fechada é um nó de deslocamento e um anti-nó de pressão.

<!-- image -->

Um microfone colocado numa das extremidades do tubo poderá fornecer um registro da vibração do ar no tubo, pois mede variações de pressão. De fato, como nesse caso a posição do microfone é um ventre ou anti-nó de pressão, a pressão será medida onde possui máxima amplitude de variação.

Numa mangueira de comprimento L fechada em ambas extremidades ocorre ressonância para os comprimentos de onda

<!-- formula-not-decoded -->

onde n é um número inteiro maior que zero e conta o número de meias-ondas que cabem na corda (Figura 1).

A frequência de ressonância de cada modo é a razão entre a velocidade do som e o comprimento de onda do modo, c

<!-- formula-not-decoded -->

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

de forma que as frequências de ressonância são múltiplas inteiras da frequência fundamental f 1

<!-- formula-not-decoded -->

A frequência fundamental num experimento como este pode ser medida de duas formas, que em condições ideais são exatamente equivalentes: medindo a frequência de um modo e dividindo pelo número desse modo, ou determinando a diferença de frequência entre frequências de ressonância sucessivas. Em condições reais, esses métodos podem dar resultados diferentes, entre si e em relação ao esperado, pelo efeito da não linearidade da curva de resposta do sistema de áudio, como veremos, e queremos investigar esse efeito.

De qualquer forma, conhecidas a frequência fundamental e o comprimento da mangueira, a velocidade do som c pode então ser determinada experimentalmente como

<!-- formula-not-decoded -->

## Procedimento Experimental

O experimento usa um pedaço de mangueira plástica comum com um microfone de computador e um fone de ouvido comuns inseridos nas suas extremidades. Usando o programa editor de som é gerado um sinal sonoro de frequência variável, com taxa de variação constante e conhecida, que é reproduzido pelo fone de ouvido e excita a vibração da coluna de ar na mangueira. O microfone na outra extremidade fecha a mangueira e é um nó de deslocamento da vibração sonora, portanto um anti-nó de pressão, e registrará as maiores amplitudes para as frequências de ressonância.

O sinal gravado é visualizado no programa editor, mostrando claramente o fenômeno da ressonância, com a alternância de picos e vales de amplitude com a variação do tempo de gravação, portanto com a frequência.

Figura 2 . Curva de ressonância de uma mangueira de 1,00 m. A frequência varia uniformemente a 20 Hz/s, de 0 a 4800 Hz. Os máximos da amplitude do sinal gravado indicam as frequências de ressonância da mangueira.

<!-- image -->

A Figura 2 também mostra o principal problema com o método apresentado aqui: o fone de ouvido não reproduz da mesma forma as diferentes frequências e

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

isso resulta que a amplitude e a posição dos máximos do sinal gravado não são exatamente os que se esperaria se o sistema de áudio tivesse uma curva de resposta constante. Isso afeta a qualidade dos resultados, e por isso o experimento vem sendo usado de uma forma predominante qualitativa, mais interessado em mostrar a formação dos máximos e mínimos da amplitude do sinal sonoro, medindo a diferença de frequência entre os máximos para obter valores próximos ao que se espera para a velocidade do som, do que tentar comparar com o valor esperado à temperatura ambiente do laboratório. Neste trabalho mostramos que, apesar da distorção da curva de ressonância, o experimento pode obter resultados reprodutíveis e estatisticamente significativos que concordam com o esperado.

Nota-se que os fones de ouvido diferem muito entre si no efeito sobre a curva de ressonância, com diferenças notáveis e reprodutíveis até mesmo entre os elementos de alguns pares de fones. Isso pode ser visto comparando-se a Figura 3, obtida nas mesmas condições e com os mesmos microfone e mangueira, mas com o outro elemento do par de fones usados no experimento da Figura 2. Por outro lado, a troca de microfone não altera de nenhuma forma notável a curva de resposta, correspondendo à expectativa de uma curva de resposta essencialmente plana. É interessante, portanto que se escolha pares de fones cujos elementos não difiram notavelmente, já que isso é uma indicação da qualidade do produto.

Cada sistema fone de ouvido / microfone pode ser caracterizado por uma curva de resposta, a amplitude do sinal sonoro registrado pelo microfone em função da frequência que é proporcional à intensidade do som efetivamente gerado pelo fone e transmitido até o microfone, sem a interferência entre as ondas refletidas para trás e para frente na coluna de ar que causa a ressonância. Para isso podemos abolir a mangueira, colocando os elementos próximos entre si em condições de razoável isolamento acústico; ou então conectar os dois elementos por um pedaço muito curto de mangueira de forma que suas próprias frequências de ressonância sejam muito altas e não afetem a curva de resposta. Isso tem a vantagem adicional de evitar diferenças na relação entre as intensidades do som gerado e a do sinal gravado em cada experimento, que a menos de uma certa dissipação que depende do comprimento da mangueira deve ser a mesma.

Figura 3 . Curva de ressonância de uma mangueira de 1,00 m. Resultado obtido nas mesmas condições e usando os mesmos microfone e mangueira mas o outro elemento do par de fones do experimento da Figura 2.

<!-- image -->

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

A Figura 4 mostra a curva de resposta do sistema fone de ouvido e microfone utilizado no experimento da Figura 2, numa mangueira de comprimento igual a 3,5 cm. Comparando-se com a envoltória dos picos da Figura 2, nota-se uma diferença, não muito grande, apenas no final da curva, evidenciando o efeito do primeiro modo da mangueira curta.

A curva de ressonância experimental, a amplitude do sinal gravado pelo microfone em função da frequência, é o produto da curva de ressonância ideal máximos de mesma amplitude igualmente espaçados - pela curva de resposta do sistema. Como visto nas Figuras 2 e 3, a curva experimental tem os máximos deslocados em altura e posição.

Apesar disso, como os resultados colhidos em várias realizações do experimento com diferentes fones de ouvido tem mostrado, as curvas de resposta típicas das combinações testadas são tais que afetam a localização principalmente dos primeiros modos de vibração, com o efeito diminuindo com o aumento do modo. Além disso, com o aumento do número do modo, o efeito sobre a razão frequência / número do modo diminui ainda mais, e como veremos o experimento consegue bons resultados determinando por regressão linear a relação entre a frequência e o número do modo de ressonância.

Figura 4 . Curva de resposta da combinação microfone / fone de ouvido utilizados no experimento da Figura 2, conectados por um pedaço de mangueira de 3,5 cm. Como a mangueira é muito curta, as frequências de ressonância são muito altas e o efeito do primeiro modo só começa a ser percebido no final da curva de resposta.

<!-- image -->

Uma versão simplificada do experimento, na qual os alunos determinam as diferenças de frequência entre alguns máximos, também pode proporcionar resultados quantitativos bons, desde que sejam excluídos do tratamento dos dados os primeiros máximos. A média dessas diferenças dá valores da velocidade do som no ar em bom acordo qualitativo com o valor esperado à temperatura ambiente.

## Resultados

Os arquivos de som gravados nos experimentos são analisados no próprio programa editor para fornecer o instante de ocorrência de cada máximo de amplitude, gerando uma tabela tempo x modo. Para converter essa informação em frequência por número do modo precisamos, além da taxa de variação da frequência definida no sinal gerado pelo editor de som, de uma frequência de referência já que a determinação do instante inicial da rampa de frequência na gravação é muito

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

difícil. Para isso mede-se com os recursos do editor, por contagem de ciclos, a frequência de um pico de referência, ajustando-se o coeficiente linear da relação frequência x tempo de forma a que a frequência do pico seja a determinada experimentalmente.

A Figura 5 mostra o gráfico de frequência de ressonância dividida pelo número do modo em função do número do modo dos dados obtidos do experimento mostrado na Figura 2. Essa grandeza tende claramente a um valor constante com o aumento do número do modo, que é a frequência fundamental do tubo de ar da mangueira. Como se vê, só os primeiros modos de vibração são significativamente afetados pela não-linearidade da curva de resposta do fone de ouvido / microfone. Os resultados obtidos no experimento da Figura 3 são ligeiramente diferentes, com a posição dos picos diferentemente afetada pelos diferentes fones, mas ainda assim coincidem dentro da incerteza experimental com os da Figura 2.

Figura 5 . Frequência dos máximos dividida pelo número do modo em função do número do modo. Dados do experimento da Figura 2.

<!-- image -->

A frequência fundamental pode ser determinada ajustando-se uma reta passante na origem aos dados de frequência em função do número do modo. Os resultados obtidos assim têm uma qualidade estatística muito boa, com a incerteza relativa do coeficiente angular da reta na ordem dos milésimos. A Figura 6 mostra esse gráfico com a linha de tendência que, como se vê, ajusta-se notavelmente bem aos dados.

Figura 6. Frequência dos máximos em função do número modo. Dados do experimento da Figura 2. A incerteza do coeficiente angular da reta é 0,20 Hz.

<!-- image -->

Para caracterizarmos a reprodutibilidade bem como a acurácia do experimento, compararemos resultados obtidos com diferentes elementos de um par

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

de fones, e com o mesmo elemento a diferentes temperaturas, com diferentes condições de controle. Não se trata, aqui, de um experimento voltado a explorar a relação entre a velocidade do ar e a temperatura, mas sim de avaliar o próprio experimento. Como veremos, o método aqui proposto é bastante adequado para um experimento desse tipo, sendo necessário apenas um maior controle da temperatura.

Vamos a seguir apresentar e discutir os resultados dos experimentos mostrados nas Figuras 2 e 3, que foram obtidos em condições de temperatura ambiente não controlada com os diferentes elementos de um mesmo par de fones, e em outras quatro determinações com temperatura controlada: duas frias, uma ambiente e uma quente, todas usando mesmo fone da Figura 2.

A temperatura foi medida nesses quatro casos usando dois termômetros, dispostos como indicado na Figura 7. O conjunto é envolto em toalhas de forma a evitar variações da indicação dos termômetros por correntes de ar e colocado sobre uma bandeja plástica. Para as determinações da velocidade do som a temperaturas mais frias ou mais quentes que a ambiente, as toalhas são encharcadas com água gelada ou quente.

Figura 7 . Montagem usada no experimento, mostrando a mangueira com microfone e fone de ouvido inseridos com termômetros fixados um bem próximo à extremidade do fone e outro no meio da mangueira.

<!-- image -->

O controle da temperatura com essa montagem simples foi muito bom nos três primeiros casos, para os quais a diferença de temperatura entre os dois termômetros foi menor ou igual a 0,2 °C e a variação da temperatura durante o experimento menor ou igual a 0,4 °C. Não foi bom, entretanto, para a determinação quente, que registrou diferença de temperaturas de 4 °C entre os termômetros e variação de 12 °C durante o tempo do experimento. De qualquer forma, apresentamos o resultado dessa determinação, que ainda assim parece bem aceitável.

A Tabela 1 apresenta os dados correspondentes a cada realização do experimento e os resultados obtidos para frequência fundamental e para a velocidade do som, com respectivas imprecisões. Note que, na determinação da imprecisão da velocidade do som, o fator preponderante é a medida do comprimento da mangueira (neste caso, igual a 0,01 m), já que a imprecisão relativa do coeficiente angular é uma ordem de grandeza menor.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Para comparar o experimento com a teoria, calculamos e mostramos na última coluna da Tabela 1 a temperatura equivalente à velocidade experimentalmente determinada, a partir da expressão

<!-- formula-not-decoded -->

dada em graus Celsius em função da velocidade em metros por segundo. É como usar o experimento como um termômetro e comparar essa medição de temperatura com o valor medido com os termômetros.

Tabela 1 . Dados e resultados experimentais. Temperatura de cada determinação e frequência fundamental obtida da constante angular da reta ajustada. O valor da velocidade do som é calculado a partir do comprimento da mangueira, 0,98 m.

A Tabela 1 indica um acerto muito bom entre as temperaturas equivalentes e as temperaturas medidas com termômetro, qualificando o método para um experimento voltado à relação entre velocidade do som e temperatura, para ar ou outros gases. A imprecisão na determinação da frequência fundamental é relativamente pequena, sendo a imprecisão do comprimento a principal fonte da imprecisão da velocidade e da temperatura equivalente.

## Conclusão

O método aqui mostrado permite uma clara demonstração dos modos normais de vibração numa coluna de ar, permitindo ainda a determinação acurada da velocidade do som, consistindo em um experimento fácil, simples e barato que pode ser realizado em casa ou em polos de apoio presencial sem recursos específicos de laboratório didático de física. Com o desenvolvimento de uma metodologia para um controle mais adequado da temperatura, pode ser utilizado para uma investigação experimental quantitativa da relação entre velocidade do som e temperatura.

## Referências

LIMA, N. F. Applet 'Tubo de Kundt' . Salvador: Cefet-Ba, 2001. Disponível em: &lt;www.ifba.edu.br/fisica/nfl/fge2/praticas/Kundt\_arquivos/tuboDeKundt.html&gt;. Acesso em 1 de nov. 2016.

LIMA, Niels Fontes. Experimentos com oscilações harmônicas amortecidas e ressonância em um ressonador de Helmholtz. In: Simpósio Nacional de Ensino de Física - SNEF, 21., 2015, Uberlândia. Anais ... São Paulo: SBF, 2015. Disp. em

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

&lt;http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xxi/sys/resumos/T0691-2.pdf&gt;. Acesso em 1 de nov. 2016.

LIMA, Niels Fontes. Experimentos simples com a física de ondas e som: modos normais de vibração de uma corda esticada. In: Congresso Norte Nordeste de Pesquisa e Inovação - CONNEPI, 8.,2013, Salvador. Anais... Salvador: IFBA, 2013. Disp.&lt;

http://ocs.connepi.ifba.edu.br/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/

7494/submission/director/7494-16484-1-DR.pdf&gt;. Acesso em 1 de nov. 2016.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_