EXEMPLIFICAÇÃO DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA ESTRUTURAÇÃO INTEGRADA DO PENSAMENTO FÍSICO E MATEMÁTICO: DA PROBLEMATIZAÇÃO À CONTEXTUALIZAÇÃO

## EXEMPLIFICAÇÃO DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA ESTRUTURAÇÃO INTEGRADA DO PENSAMENTO FÍSICO E MATEMÁTICO: DA PROBLEMATIZAÇÃO À CONTEXTUALIZAÇÃO

Nelson Leite Cardoso 1

1 Universidade do Estado do Pará/Departamento de Ciências Naturais/nlcardoso.5@gmail.com

## Resumo

Propõe-se uma sequência didática composta por situações e cenários da Física baseada no princípio de que o desenvolvimento da habilidade estruturante do pensamento e do saber matemático possibilitará igualmente a estruturação do pensamento físico. Utiliza-se uma sequência de três situações problematizadoras relativamente comuns ao uso de livros ou em laboratórios didáticos como exemplo para o desenvolvimento de problematização, modelização e contextualização. Tais processos mediados pela ação conjunta de grupos de alunos com o professor permite a promoção de processos cognitivos tanto intrasubjetivos como intersubjetivos. Tais processos são motivados a partir de provocações do professor através de questões reflexivas que visam desenvolver a habilidade estruturante do pensamento a partir da identificação e interpretação dos significados dos elementos que compõem uma situação ou cenário físico, destacando a funcionalidade do formalismo matemático presente e suas relações de causalidade e comportamento físico. Portanto, essa proposta parte do princípio central que o desenvolvimento de problematização, modelização e contextualização, mediadas pela 'ação motora' de provocações reflexivas pode promover a integração do conhecimento técnico da matemática com a construção do pensamento físico presente em cada situação-problema. Tal construção vem a ser a condição fundamental para o desenvolvimento da análise crítica e (re)construção gradativa dos significados dos elementos que irão compor posteriormente a formalização do princípio físico que se quer estudar.

Palavras-chave : Problematização. Modelização. Aprendizagem Significativa. Ensino de Física

## Introdução:

É possível promover aprendizagem ou pôr em prática um processo educativo a partir da proposição de problemas? Os problemas disponíveis nos livros didáticos servem apenas para aplicar, sedimentar ou até aprofundar os conhecimentos já adquiridos no estudo dos conteúdos presentes nas Unidades que antecipam os problemas?

Sem dúvida, tanto os exercícios como os problemas propostos presentes em geral no final de cada unidade de ensino têm, em princípio, a função citada acima: aplicar, sedimentar ou aprofundar conhecimentos , mas a intenção aqui é de ressaltar a importância da utilização de problematização como alternativa motivadora e provocativa para dar início ao processo de aquisição consciente de conhecimento. O destaque relativo à provocação é proposital, pois trata-se de instigar o aluno para o aprender de forma não passiva, de desafiá-lo a por em teste suas concepções prévias, de despertar potencialidades e desenvolver habilidades, como da observação, análise, raciocínio e elaboração do pensamento de forma criativa e estruturada.

Perrenoud destaca que um dos desafios do professor é justamente organizar e dirigir situações de aprendizagem. Para isso, reconhecer as

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representações dos alunos, os obstáculos à aprendizagem, a elaboração de sequências didáticas e o conhecimento dos conteúdos a ser ensinados são atribuições fundamentais. Para o autor, as situações de aprendizagem deverão ser significativas, problematizadoras e contextualizadas. (PERRENOUD, 2000 apud RICARDO in CARVALHO, 2010, p. 41).

Sabe-se que a construção de significados remete a uma sequência de (re)elaborações, interações com conhecimentos prévios e, principalmente de reconhecimento dos ' papéis ' ou ' funções ' de cada elemento da situação problematizada. Partindo desse princípio discutem-se algumas possibilidades de como o professor pode provocar a reflexão e análise por parte do aluno no momento da resolução de um problema visando a estruturação do pensamento físico a partir da interpretação funcional das ferramentas matemáticas. Vale destacar que, apesar do termo ' ferramentas ' ao referir-se ao conteúdo matemático, se quer enfatizar que a interpretação remete à compreensão dos significados da linguagem matemática, ou seja, da construção ou utilização consciente do formalismo matemático.

Pietrocola (2010) ao discutir a resolução de problemas e a utilização do saber estruturante como forma de promoção da aprendizagem significativa apresenta duas formas de aprendizagem de conteúdo Físico a partir da exploração do formalismo matemático. Estas duas formas estão ligadas a domínio de saberes definidos como habilidade técnica e habilidade estruturante . Esta última está relacionada ao 'uso organizacional da matemática em domínios externos a ela' (PIETROCOLA in CARVALHO, 2010, p.91, grifo do autor), como por exemplo, em situações ou cenários da Física. A habilidade técnica diz respeito à capacidade de usar o formalismo matemático adequadamente em situações estritamente matemáticas. Contudo, o domínio da habilidade técnica não garante que o aluno seja também capaz de utilização do saber estruturante. Isto é, o aluno até pode saber como resolver situações próprias da matemática que exigem processos mecânicos e abstratos, mas não sabe interpretar este conteúdo a partir de uma situação concreta (como uma situação física) ou aplicar este conhecimento nesta situação. Isto denuncia que domínio da habilidade técnica é caracterizado (provavelmente) como uma aprendizagem mecânica ou sem significado, ou ainda, sem atributo de validade. Ora então neste caso se justifica a concepção de que o uso de situações problemas (concretas ou de contextualização) tais como as situações ou cenários da Física, deve contribuir para o desenvolvimento da habilidade estruturante do pensamento (e, portanto, do saber) matemático, o que por sua vez, possibilitará igualmente a estruturação do pensamento físico.

Se a matemática é a linguagem que permite ao cientista estruturar seu pensamento para apreender o mundo, o ensino da ciência deve propiciar meios para que os estudantes adquiram esta habilidade. Não parece que um mero domínio operacional dos conteúdos matemáticos seja capaz de permitir a incorporação de tal habilidade. Nessa direção de muito pouco ou de quase nada, interessa a vivência isolada do aluno no contexto próprio da Matemática, sem um esforço específico de introduzi-lo na 'arte' da estruturação do pensamento através da Matemática. (PIETROCOLA, 2002, p. 105-106).

Assim, o devido encaminhamento de situações problematizadoras vem facilitar a promoção da aprendizagem significativa dos conceitos centrais tanto da matemática como da Física.

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Propõe-se, então, uma sequência didática com um conjunto de três situações, as quais são exploradas através de provocações e reflexões que poderiam ser encaminhadas pelo professor ao longo do desenvolvimento de toda a atividade. Tais provocações têm função de identificar e discutir os significados ou papeis de cada elemento, resultado ou procedimento adotado.

## Desenvolvimento da Sequência didática:

A problematização proposta na sequência didática é constituída de 3 (três) situações provocativas, todas relacionadas ao tema 'comportamento elástico de uma mola'. Cada situação proposta mostra-se como uma oportunidade de construir novas hierarquias conceituais que facilitarão a construção da estrutura matemática, iniciando com a identificação de cada dado, sua função e/ou significado e relações pertinentes, justificadas pelas referências ou argumentação matemática, até atingir o nível da aplicação e construção de significado do princípio físico presente na situação final (última situação proposta). A ideia é que na medida em que cada situação passa a ser solucionada é desenvolvido um conjunto de argumentos que servirão como referenciais prévios para a situação seguinte.

Todas as situações utilizadas foram propositadamente retiradas ou adaptadas de fontes disponíveis a um professor (livros ou revistas de ensino), pois constam de um problema, um desafio e uma atividade experimental. O que se quer destacar é a dinâmica que o professor pode desenvolver no sentido de fazer valer os princípios e idéias já defendidas antes. A primeira situação visa inferir sobre uma suposta relação entre os dados apresentados pela figura. O objetivo é de prever como hipótese -a existência de uma regularidade entre as variações de deformações e a diferença entre os pesos (ou massas) dos corpos apresentados.

Na segunda situação - baseada na técnica de problema - já se avalia a capacidade de aplicação do princípio matemático considerado na situação anterior, como forma de encaminhamento de solução. Embora a reduzida quantidade de dados seja um fator limitante para a confirmação do princípio matemático estabelecido, a estrutura do pensamento matemático é suficiente para a aplicação nesta situação e estimar uma resposta para a mesma. Contudo, seu limite de validade não fica definido, necessitando de um número maior de amostragem (dados e verificações).

Finalmente, a terceira situação (uma atividade experimental) é composta de uma sequencia de provocações, informações de referências (premissas) que auxiliam para a idealização do contexto físico. Os procedimentos experimentais são intercalados por reflexões a fim de compor um conjunto de argumentos e conhecimentos de razoável detalhamento para permitir estabelecer uma lógica matemática coerente e confirmar a validade da estrutura matemática estabelecida desde a primeira situação. O diferencial nesta situação é que o fornecimento de informações relacionadas às propriedades e características físicas que compõem o cenário pode ser integrado à estrutura matemática desenvolvida, permitindo a construção do pensamento físico a partir do significado matemático.

A exploração da sequência didática é feita com base em 10(dez) perguntas que visam o desenvolvimento de habilidades para identificação da estrutura matemática presente na situação, pois conforme já foi citado antes, tal identificação é condição fundamental para a estruturação do pensamento físico. A sequência das questões é apresentada logo após a apresentação das situações.

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Sequência didática para estudo do comportamento elástico de uma mola:

SITUAÇÃO 1 : 1 A figura ao lado mostra três massas a serem suspensas em uma mola: uma massa de 11g, uma massa de 24g e uma massa desconhecida de W g.

- (a) O que indicará o ponteiro na escala se não houver massa na mola?
- (b) Ache W.

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SITUAÇÃO 2 2 : Considere os seguintes materiais: uma régua milimetrada; uma mola ; um corpo (A) de massa conhecida (mA= 50g) e um corpo (B) de massa desconhecida (mB). Calcule o peso do corpo B.

SITUAÇÃO 3: Atividade experimental ' Comportamento elástico de molas helicoidais'

## Provocações Iniciais:

- I. Como traduzir matematicamente o regime (comportamento) elástico de uma mola que passa a ser deformada por massas conhecidas?
- II. Qual(quais) princípio(s) físico(s) dá(dão) suporte teórico ou explica(m) o comportamento da mola durante o processo de deformação e restauração?

## Premissas Iniciais:

- ‚ Sempre que um objeto fica submetido a uma força de compressão ou de tração, ele sofre uma deformação. Quando esta força cessar sua ação e o corpo retornar a sua forma inicial (restauração das medidas iniciais do corpo), dizemos que o corpo comporta-se de forma elástica. Ou seja, que sofreu uma deformação elástica.

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- ‚ Tal comportamento não ocorre de forma indefinida. Isto é, nem toda deformação terá a restauração das condições iniciais garantidas. Isso implica dizer que a capacidade do corpo de restaurar sua forma inicial possui limite, que depende da intensidade da força deformadora e das características do corpo. Após este limite, costuma-se dizer que o corpo inicia o regime plástico, onde a deformação tende a se tornar, gradativamente, permanente!

## Desenvolvimento:

- ‚ Promover deformações sucessivas em uma mola, a partir da acoplagem de massas conhecidas. Inicie verificando o comprimento inicial da mola enquanto está suspensa por um suporte e livre de qualquer esforço ou peso (ação de força externa). Pode-se utilizar a extremidade livre da mola como marco de referência para a leitura do comprimento da mola antes e após as deformações.
- ‚ Pendure uma massa aferida na extremidade livre e verifique o 'novo' comprimento da mola, que surge devido a deformação sofrida pela mola. Calcule essa deformação.
- ‚ Acrescente ao sistema mais uma massa conhecida. Proceda como anteriormente para calcular a nova deformação.
- ‚ Repita o processo anterior até a acoplagem de (no máximo) 04 (quatro) massas aferidas.
- ‚ Construa uma tabela para registrar os dados obtidos relativos aos pesos totais recebidos pela mola e as respectivas deformações sofridas pela mesma.

## Novas Provocações:

- 1. Considerando a sequência numérica de valores para os pesos e a sequência numérica para as deformações, avalie as possíveis relações matemáticas entre essas sequências numéricas e os seus pares ordenados. Sugestão: Para uma avaliação qualitativa razoável considere a aproximação e/ou arredondamentos dos resultados obtidos a partir das relações e comparações entre os valores das sequências numéricas.
- 2. Identifique e represente vetorialmente as forças que atuam no corpo pendurado pela mola quando o sistema (massa - mola) está em equilíbrio. Por falar nisso, após a mola receber um determinado peso e no momento em que adquire o repouso, como expressar matematicamente o estado de equilíbrio obtido pela mola?

## Novos procedimentos:

- ‚ Trocar a mola usada por outra e repetir todo o processo anterior.
- ‚ Proceda comparações entre as observações e resultados obtidos pelas duas molas.

## Novas Provocações:

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- 3. Que significado você atribuiria ao valor obtido pela razão entre cada valor de força (peso) aplicada à mola e o respectivo par ordenado de deformação sofrida pela mola?
- ‚ Com base nos dados obtidos pelas tabelas, construa o gráfico para cada mola que relacione a Força Peso (força deformadora) versus a deformação da mola. Compare os gráficos obtidos.
- 4. Qual o significado físico para o valor da inclinação de cada um dos gráficos?

## Questões para pesquisa e aprofundamento:

- 5. Compare os resultados obtidos nas questões 3 e 4. Discuta que relações estes resultados podem ter com as características físicas ou propriedades das molas?
- 6. A Lei de Hooke é o princípio físico que traduz o comportamento elástico de uma mola e é representada pela expressão F = - K . x , onde F representa a força elástica da mola e x a respectiva deformação desta mola. Identifique o significado físico da constante K . Como você justificaria, fisicamente , a presença do sinal negativo na expressão?
- 7. Cite ou descreva situações reais que podem ser explicadas pelo princípio físico estudado (ainda que se considerem aproximações). Pesquise.

## Questionamentos para encaminhamento das Situações propostas:

Apresenta-se a seguir um conjunto de 9 (nove) questões reflexivas para o professor provocar/facilitar a estruturação do pensamento físico-matemático presente nas situações provocadas . 3

Estas questões são, antes de tudo, norteadoras da ação do professor. Através destas o professor pode direcionar o seu plano de ação para o envolvimento gradativo dos alunos no desafio da construção do conhecimento e seus respectivos significados. A inserção das questões pode ser feita de forma gradativa a fim de provocar reflexões e manter o aluno engajado no processo de forma ativa e consciente.

Vale ressaltar que o professor deve antes analisar e avaliar quais as expectativas de respostas para cada questão, verificando os resultados esperados da integração das situações propostas. Na medida que as respostas forem sendo expressas pelos grupos - inicialmente na forma escrita como resultado das interações intragrupos; e depois pelas falas e discussões intergrupos - o professor pode avaliar e proceder os destaques para a tomada de consciência pelo grande grupo das consistências e inconsistências das explicações e significados expostos, assim como dos modelos mentais construídos.

Questão 1: Identifique os dados apresentados no problema? Quais os significados destes dados?

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Questão 2: Dentre os dados identificados verifique a funcionalidade matemática de cada um deles; isto é, se podem ser entendidos como uma variável do problema, como constante ou simples incógnita?

Questão 3: Em cada situação-problema proposta, quais as relações de dependência entre as grandezas/variáveis? Identifique as regularidades ('coisas' que mudam ou variam de forma regular ou repetitiva).

Questão 4: Cite hipóteses para a solução da situação.

- Questão 5: Elabore um 'plano' para o encaminhamento da resolução do problema.

Questão 6 : Como avaliar a fidedignidade ou consistência do resultado?

Questão 7: Quais as condições para que o sistema que compõe a situaçãoproblema possa existir ou funcionar com regularidade?

Questão 8: Quais as possíveis fontes de erros?

Questão 9: Relate/cite alguma situação física (prática, real ou concreta) que possa (mesmo com aproximações) ser representada ou simulada pelo modelo ou contexto explorado na questão?

## Conclusão:

Nessa sequência didática três situações foram propostas com níveis de extensão e aprofundamento diferentes, ao longo das quais as estruturas matemáticas elaboradas no início passam a ser formalizadas gradativamente. Da mesma forma a estruturação do pensamento físico toma 'corpo' quando se integram os princípios físicos à interpretação das grandezas físicas presentes nos cenários apresentados e traduzindo seus comportamentos de forma coerente com a estrutura matemática. Todo este conjunto de procedimentos vem assegurar o uso construtivo de uma razoável gama de informações a fim de não apenas por em prática regras ou técnicas de resolução de problemas, mas de promover aprendizagem significativa a partir de elaborações e reestruturações do pensamento e, portanto, da estrutura cognitiva do indivíduo.

Finalmente, entende-se que procurar interpretar uma situação real a partir do aprendizado construído ao longo de uma sequência didática é por em prática não só conhecimentos adquiridos, mas também habilidades que são desenvolvidas e que facilitarão a identificação, descrição, análise e interpretação da situação-problema. Em princípio, o aluno estará mais bem capacitado para proceder ao reconhecimento de características de situações concretas. Como defende Ricardo (2010, p.29-51) a contextualização se dará no momento em que se retorna ao contexto de realidade que motivou a proposição da situação-problema, mas agora com um 'novo olhar', com capacidade ampliada de compreensão e de ação no processo de (re)construção de conhecimento. A contextualização sucede a problematização e a teorização ou modelização. No caso do contexto utilizado nas situações propostas nesta sequência didática são diversos os casos nos quais alguma problematização pode ser criada: balanças de mola, amortecedores, recursos alternativos para práticas esportivas, etc. Para cada caso, um universo de condições de utilização e aplicação dos princípios físicos e das estruturas matemáticas podem ser elencados.

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