O uso de software de Geometria Dinâmica como ferramenta didática na interface entre a Física e a Matemática, no campo da Óptica Geométrica

## O uso de software de Geometria Dinâmica como ferramenta didática na interface entre a Física e a Matemática, no campo da Óptica Geométrica

## Roberto Soares Da Cruz Hastenreiter , Jorge Ricardo Muniz Kwasinski , Rafael 1 2 Freitas Lopes 3

- 1 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro / Campus Rio de Janeiro / MPNEF- Unirio / email: roberto.cruz@ifrj.edu.br
- 2 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro / Campus Rio de Janeiro / email: jorge.kwasinski@ifrj.edu.br
- 3 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro/ Campus Rio de Janeiro/email: rafael.lopes@ifrj.edu.br

## Resumo

A matemática como elemento estruturante do pensamento científico tem sido ponto de reflexão de alguns pesquisadores da área de ensino de ciências (PIETROCOLLA, 2002). Nos PCN há um apelo à compreensão da matemática como um saber fazer assim como de um saber pensar, 'aprender Matemática no Ensino Médio, deve ser mais do que memorizar resultados dessa ciência, mas sim, adquirir conhecimento vinculado ao domínio de um saber fazer matemático e de um saber pensar matemático'(BRASIL, 1998). O presente projeto ressalta o potencial didático das Transformações Geométricas, aliadas às tecnologias disponíveis nos softwares em Geometria Dinâmica (GD), na abordagem de tópicos de Física e Matemática do ensino médio. Tal abordagem, privilegia aspectos intuitivos presentes nas ideias de translação, rotação, reflexão e homotetia. A fim de destacar o potencial didático supracitado, sugere-se algumas reflexões iniciais das quais pode-se destacar: a apresentação da geometria analítica atendo-se ao estudo da reta no plano como uma consequência do conceito de proporção via Teorema de Tales; o paralelismo de retas com a aplicação da translação; o uso da rotação como elemento motivador para a definição do produto escalar de vetores no plano; a caracterização e o cálculo aproximado do número irracional π , utilizando a Homotetia; esboço do gráfico da função seno de modo a chamar a atenção para aspectos dessa construção que são essenciais para sua confecção como a retificação da circunferência e o papel central do conceito de radiano neste contexto. Todas essas reflexões, embora aparentemente relacionadas apenas a conceitos matemáticos, podem indicar relações conceituais 'fortes' com a Física. Fundamentalmente, o presente projeto visa a construção de uma interface a partir da problematização das questões geométricas presentes nas análises da formação de imagens através dos espelhos 'ditos esféricos', visto que, apesar de sua nomenclatura, estes apresentam elementos e propriedades de uma parábola. A fim de tornar possível tal abordagem, propõe-se inicialmente o uso de um software de GD (GeoGebra). A partir da referida interface propõe-se a elaboração de diversas atividades visando contribuir com o repertório de trabalhos que buscam incluir novas tecnologias ao ensino de ciências e matemática.

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Palavras-chave : Transformações Geométricas, Geometria Dinâmica, Óptica Geométrica, Ensino de Física, Ensino de Matemática.

## Introdução

A Geometria e o Desenho geométrico, bases conceituais necessárias a um bom desenvolvimento das estratégias metodológicas que fazem uso das Transformações Geométricas, ainda enfrentam dificuldade para encontrar um espaço ao nível de sua relevância nos currículos escolares. A Geometria, embora tenha espaço nos currículos, quase sempre é abordada de forma inadequada, não mostrando todo seu potencial pedagógico (LIMA, 2003). Já o Desenho Geométrico, este é praticamente inexistente. Este cenário pode ser creditado ao reflexo das escolhas metodológicas adotadas no passado pelos organismos de gestão das políticas educacionais especificamente nos cursos de Licenciatura em Matemática. O resultado dessas políticas educacionais tem impactado negativamente o Ensino da Matemática, na medida em que os professores formados sob esta ótica encontram certa dificuldade no manuseio da Geometria e, consequentemente, não estimulam seus alunos em suas práticas docentes a fazerem uso dela:

- 'É patente a perplexidade em que ainda se debate, entre nós, o ensino da geometria. Menosprezada pela universidade, - que se rendeu ao fascínio da álgebra e da análise, - e, em consequência, ignorada pelos professores que ela forma, a geometria, na escola de 1o e 2o graus, ou tem apenas um registro cartorário, inócuo, nos programas de matemática, ou então é encenada mais ou menos como a montaram os Gregos, há dois milênios. Foi isto, justamente, que lançou o ensino da geometria num processo circular de desprestígio e abandono: o não se ter reformulado, - ao contrário da álgebra e da análise, - no sentido de reconhecer prevalência às estruturas sobre os entes, o que corresponderia, no caso, a estudar a geometria, cada geometria, como caracterizada por um espaço, tomado como conjunto de base, e um grupo de transformações deste espaço. ' (ATHAYDE, 1971)

A citação acima refere-se a uma realidade apontada há cerca de 40 anos. No entanto, sua crítica permanece atual na medida em que contrastamos a realidade vigente explicitada no levantamento de alguns exemplares de livros do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

## Marco Teórico e Revisão da Literatura

Diversos são os trabalhos que versam sobre o uso de novas tecnologias como ferramentas de ensino (FIOLHAIS e TRINDADE, 2003; HECKLER, 2007; VEIT e TEODORO, 2002). Para Giordan (2008) são seis as formas de uso de computadores em sala de aula, a saber, 'linguagem de programação', 'sistemas tutoriais', 'caixas de ferramentas', 'simulação e animação', comunicação mediada por computadores' e 'dinâmica de interações diante do computador'. Esta classificação é feita a partir de vasta revisão bibliográfica realizada pelo referido autor.

- O presente trabalho, apesar de não se 'encaixar' perfeitamente em nenhuma das categorias supracitadas, apresenta aspectos que podem ser extraídos

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de algumas das seis formas de uso de computadores em sala de aula. Mais importante que classificar a presente perspectiva, destaca-se a visão teórica do papel dessa tecnologia na relação ensino-aprendizagem da Física. Parte-se, portanto, da perspectiva de aprendizagem que entende que toda ação humana é mediada. Sobretudo, que essa mediação é feita por meio de instrumentos. Destacase que estes podem ser físicos ou mentais. No presente caso, a reflexão teórica discute o papel do computador como ferramenta mediadora. Particularmente no presente trabalho, apresenta-se o software de GD como elemento de mediação.

## Metodologia

Trata-se de um trabalho resultado do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica e Tecnológica (PIBICT) do Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ). O grupo de pesquisa é composto por três professores (os autores do presente trabalho) e três alunos do curso técnico integrado de nível médio do referido Instituto Federal.

- O projeto envolve uma sequência de atividades presenciais e semipresenciais, que conta com a participação efetiva dos professores pesquisadores, colaboradores e os alunos bolsistas.

Em um primeiro momento, foi feita uma reunião, que contou com a presença de todos os envolvidos e onde se apresentou em linhas gerais o projeto como um todo. Em um segundo momento foram delineadas as tarefas que deveriam ser efetuadas pelos alunos bolsistas, tarefas estas que incluíram inicialmente o estudo de um tutorial dos softwares Geogebra e Tabulae. Em seguida, já com domínio das ferramentas tecnológicas de apoio, foram propostas várias atividades divididas em blocos. Cada uma dessas atividades foi supervisionada pelos professores colaboradores. Elas foram em número suficiente para que se atingisse a meta desejada. Os dados obtidos, analisados pelo pesquisador, foram aqueles oriundos das atividades propostas. As avaliações dessas atividades são feitas mediante seminários apresentados e, assistidos por todos os envolvidos no projeto. Ao final da primeira parte do projeto (agosto de 2017), propõe-se a realização de workshops e oficinas oferecidas aos professores, alunos e a comunidade externa.

## Resultados

A relevância dos métodos geométricos destacada nesta perspectiva se dá ao privilegiar aspectos intuitivos presentes nas ideias de translação, rotação, reflexão e homotetia, que permeiam uma parcela expressiva dos conteúdos da matemática e da física no contexto do ensino médio. Acredita-se que uma boa base conceitual que atente para a importância das Transformações Geométricas apoiada na utilização dos instrumentos de Desenho e o estudo sistemático da Geometria podem contribuir para uma melhora no desempenho dos estudantes de todos os níveis de ensino. Afortunadamente, pode-se perceber atualmente uma política de resgate da representação gráfica, com a inserção de metodologias que fazem uso de tecnologias aplicadas ao ensino. Esta realidade pode ser percebida no trabalho recente de grupos de pesquisa em Ensino de Matemática que fazem uso de softwares em Geometria Dinâmica em suas práticas pedagógicas a exemplo do TABULAE e do GEOBEBRA. Com base nas reflexões acima, o presente projeto visa se apropriar das potencialidades de uma abordagem das construções geométricas a partir de softwares de GD. Para tal, sugere-se inicialmente a utilização desta

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ferramenta na abordagem de tópicos de Física que tenham certo 'apelo' à geometria, fundamentalmente associadas aos conceitos intuitivos de translação, rotação e homotetia. Destaca-se, portanto, algumas possibilidades iniciais de abordagem nessa interface entre a Física e Matemática, como: a óptica geométrica; o movimento circular; o movimento harmônico simples; o trabalho mecânico como resultado do produto escalar, com destaque para o primeiro item. Dentre os diversos tópicos da óptica geométrica presentes nas ementas dos cursos do ensino médio, destaca-se aqui o estudo dos espelhos 'esféricos'. Na verdade, pode-se partir da problematização presente na questão 'Espelhos esféricos ou parabólicos? '. Espelhos esféricos ou parabólicos são abordados no capítulo dedicado à óptica geométrica. Nos livros didáticos analisados, estes são, prioritariamente, chamados de espelhos esféricos. É então, a partir do 'contraste' entre os elementos de uma parábola como foco (f) e vértice (v), e o centro de curvatura (c), elemento associado à esfera, que se pretende discutir esse caráter 'híbrido' dos espelhos chamados esféricos. Utilizamos o tabulae, um software de Geometria Dinâmica, como ferramenta de construção geométrica que vai permitir, por um lado definir e visualizar o lugar geométrico denominado parábola, por outro lado compará-lo com os elementos de uma circunferência. Vale destacar que em diversos livros didáticos o espelho esférico é obtido a partir de uma calota esférica, e o perfil analisado é um arco de circunferência.

Partindo das propriedades da óptica geométrica, destaca-se que os raios incidentes e refletidos e a normal à superfície refletora estão contidos em um mesmo plano. O ângulo formado pelo raio luminoso e a reta normal ao espelho é dito ângulo de Incidência; do mesmo modo, o ângulo formado pelo raio refletor e a reta normal ao espelho é dito ângulo de reflexão. Nas leis da reflexão os ângulos de incidência e de reflexão são iguais.

A Figura 1 representa uma construção geométrica feita no referido software de GD, a partir do qual é possível destacar os elementos presentes nos perfis de espelhos esféricos habitualmente encontrados nos livros didáticos de Física de Ensino Médio.

Figura 1 - Perfil de um espelho esférico construído no TabulaeFonte: Elaborada pelo autor

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Destaca-se, sobretudo, que as potencialidades do Tabulae estão no seu caráter dinâmico, o que permite que a interação dos alunos ocorra de forma não sistemática. Em particular, esta interação possibilita a compreensão dos limites para que um espelho esférico obedeça as propriedades do 'espelho de Gauss'.

Na Figura 2, a parábola e a circunferência representam o perfil de um espelho esférico e um espelho parabólico, respectivamente, ambos côncavos. O ponto O é o centro da circunferência; o ponto F , o foco da parábola e a diretriz da parábola está indicada no desenho. Um raio incidente em P (da circunferência), paralelamente ao eixo da parábola, reflete-se no espelho esférico, determinando o ponto F' pertencente ao eixo da parábola. É importante notar que o ponto P não foi considerado pertencente a parábola. À medida em que o ponto P se movimenta, aproximando-se do vértice V , os perfis dos espelhos vão se tornando indistinguíveis. Como consequência, o ponto F' desloca-se no sentido do ponto F (foco da parábola), tendendo a coincidir com o mesmo. Com os recursos de softwares em GD, pode-se visualizar com boa resolução, a tendência do ponto F' estabilizar-se no entorno do ponto F, e isso ocorre para valores do ângulo de abertura do espelho próximos a 14 . Esta atividade permite ao 'usuário' entender o limite da aproximação o proposta nas condições de Gauss. O matemático alemão observou que os raios de luz deveriam incidir paralelos com pequena inclinação em relação ao eixo principal, assinalando que o ângulo de abertura do espelho tem que ser inferior a 14 , para o obter maior nitidez na formação das imagens.

Figura 2 - Perfil de uma circunferência superposta a uma Parábola construídos no Tabulae.Fonte: Elaborada pelo autor

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Ainda relativo à Figura 2, o exemplo dos espelhos esféricos/parabólicos aqui apresentado parece elucidar e confirmar as potencialidades didáticas do uso dessa ferramenta tecnológica na abordagem interdisciplinar entre os componentes curriculares de Física e Matemática. Destaca-se, no entanto, que o presente exemplo se limitou a discussão estática dos perfis geométricos da circunferência e da parábola. O grande diferencial está no caráter dinâmico e no caráter interativo da nova abordagem.

## Considerações Finais

Destaca-se o papel estratégico da utilização dos softwares de GD em apoio ao uso das Transformações Geométricas. Tais tecnologias, apropriadamente exploradas pelo professor, atuam como 'catalisadores' do processo Ensino Aprendizagem. Essas ferramentas eletrônicas se configuram, pois, em uma perspectiva de cunho construtivista notável, permitindo uma manipulação das figuras atuando complementarmente às ferramentas tradicionais de representação.

As questões acima levantadas endossam a ideia de que o uso dos softwares de GD se apresenta como uma ferramenta didática com forte potencial. Sobretudo, o presente projeto se justifica na medida em que as atividades desenvolvidas a partir do uso dos referidos softwares indicam a possibilidade de inovação na abordagem dos temas de Matemática assim como na interface desta com a Física. Destaca-se (evidenciam-se) aqui as características das construções exigidas nas atividades mediadas pelas ferramentas tecnológicas aqui apresentadas. Isso permite dar ao estudante a possibilidade de ser agente na construção dos conceitos envolvidos nas atividades.

Outras questões oriundas do presente trabalho apontam para a possibilidade de desenvolver, no educando, habilidades com ferramentas tecnológicas aplicadas ao Ensino da Matemática e da Física com vistas à uma abordagem alternativa (e ao mesmo tempo complementar) aos métodos tradicionais de Ensino. No presente caso, destacam-se as virtudes dos programas em Geometria Dinâmica que nada mais são do que réguas e compassos eletrônicos.

Em linhas gerais, destaca-se as possíveis aplicações do trabalho, com relação a ações de ensino, pesquisa e extensão:

- · Desenvolvimento de sequências didáticas que poderão ser utilizadas em cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática e Física;
- · Propostas de workshops e minicursos oferecidos a alunos, professores e a comunidade externa, relativos ao uso de softwares de GD em atividades que

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relacionem conteúdos de Física e Matemática;

- · Contribuição direta para a formação dos discentes bolsistas na apropriação das ferramentas tecnológicas, e sobretudo no aprofundamento dos conceitos matemáticos e físicos.

## Referências

ATHAYDE, Virgílio Pinheiro; Geometrografia II . Editora Ao Livro Técnico SA, 1971.

BELFORT, Elizabeth; Geometria Dinâmica: Aplicando Informática no Ensino. Editora Anais XII semana de matemática, Universidade Estadual de Maringá, pg 32, 2000.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática . Brasília: MEC, 1998.

FIOLHAIS, Carlos; TRINDADE, Jorge; Física no Computador: o Computador como uma Ferramenta no Ensino e na Aprendizagem das Ciências Físicas. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 25, n. 3, p. 259-272, 2003.

FRANCIELY, Amistraro; Funções Trigonométricas: senx, cosx e tgx. Estudo de proposições de abordagem no Ensino Médio . Editora Universidade federal de Santa Catarina, 2004.

GIORDAN, Marcelo; Computadores e Linguagens nas aulas de Ciências: uma perspectiva sociocultural para compreender a construção de significados . Editora Unijuí, 2008.

HECKLER, Valmir ET al.; Uso de simuladores, imagens e animações como ferramentas auxiliares no ensino/aprendizagem de óptica .Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 29, n. 2, p. 267-273, 2007.

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HOZUMI, Vânia Maria R H; O software TABULAE no CAp da UFRJ . Editora Revista da Pesquisa, Ensino e Extensão do CAp-UFRJ, 2009.

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PIETROCOLA, Mauricio; A Matemática como estruturante do pensamento físico . Cad. Cat. Ens. Fís., v.19, n.1: p.89-109, ago. 2002.

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