Fractais em sala de aula: investigando dimensões fracionadas em padrões de speckle com materiais de baixo custo

## FRACTAIS EM SALA DE AULA: INVESTIGANDO DIMENSÕES FRACIONADAS EM PADRÕES DE SPECKLE COM MATERIAIS DE BAIXO CUSTO

## R. Lopes 1 , P. V. S. Souza 2 e W. F. Balthazar 3

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Volta Redonda. Rua Antônio Barreiros, 212, Aterrado, Volta Redonda, RJ - Brasil, renatalopes.if@gmail.com

2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Volta Redonda. Rua Antônio Barreiros, 212, Aterrado, Volta Redonda, RJ - Brasil e Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física. Av. Litorânea, s/n, Boa Viagem, Niterói, RJ - Brasil, paulo.victor@ifrj.edu.br

3 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Volta Redonda. Rua Antônio Barreiros, 212, Aterrado, Volta Redonda, RJ - Brasil e Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física. Av. Litorânea, s/n, Boa Viagem, Niterói, RJ - Brasil, wagner.balthazar@ifrj.edu.br

## Resumo

Fractais são objetos em que cada parte é semelhante ao objeto como um todo. Isso significa que os padrões da figura inteira são repetidos em cada parte, só que numa escala de tamanho menor. Estes padrões são encontrados em muitos lugares na natureza. Por exemplo, flocos de neve, folhas de samambaia, brócolis romanescos, galhos de árvore, raios em uma tempestade, bacias hidrográficas, etc. Por esta razão, verifica-se o interessa científico na geometria fractal nas mais diversas áreas, como por exemplo, mineralogia, ecologia, economia, biologia, etc. Por sua beleza, complexidade e aplicação, o tema é de interesse para as áreas de física e matemática. Neste trabalho, apresentamos uma definição sucinta do que são fractais, revisamos algumas propostas recentes para o ensino da geometria fractal tanto no âmbito da matemática como da física. Finalmente, apresentamos uma abordagem inteiramente nova, ainda em desenvolvimento, para o tema, baseada em um método recentemente proposto para caracterizar a rugosidade de uma superfície por meio de padrões de speckle, que em geral, apresenta dimensão fractal. Trata-se de uma abordagem experimental, acessível e factível, facilmente ajustável à realidade de uma escola pública uma vez que se utiliza de materiais de baixo custo e softwares livres e exige pouco tempo para sua aplicação.

Palavras-chave : fractais, speckle, ensino de física, ensino de matemática.

## Introdução - o que são fractais?

Durante muito tempo a geometria tradicional foi a única ferramenta utilizada para descrever as formas geométricas dos objetos que nos cercam. Porém, em muitas situações seus postulados se mostraram insuficientes. Com uma simples observação da natureza é possível perceber figuras de extrema beleza, impossíveis de serem descritas pela geometria de Euclides - como, por exemplo, uma nuvem, uma árvore ou uma montanha. A essas formas damos o nome de fractais [MANDELBROT 1975; FALCONER 1990].

- O Termo fractal foi utilizado pela primeira vez em 1975 pelo matemático francês Benoit Mandelbrot, para descrever formas geométricas que apresentavam

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certas características em comum. A palavra vem do latim 'fractus' que significa fragmentado, irregular. Os fractais são objetos gerados através de operações matemáticas recursivas, ou seja, resultam das repetições de um mesmo processo matemático, o que lhes confere complexidade infinita. Como consequência, criam-se estruturas autossimilares: mantêm essencialmente o mesmo aspecto em diferentes escalas, sendo cada parte uma cópia aproximada do todo. Veja dois exemplos nas figuras 1a e 1b.

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Figura 1: Exemplos de fractais na natureza. Em (a) a geometria fractal dos galhos de uma árvore. Em (b) a geometria fractal dos raios de uma tempestade no Capitólio. [DE ASSIS, 2008]

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Além da independência da escala, os fractais também são caracterizados pela sua dimensão. Estes apresentam dimensões diferentes dos objetos Euclidianos - como ponto, reto ou plano - expressos por um número fracionário.

Recentemente, alguns ramos de conhecimento começaram a explorar as formas fractais. Na medicina, por exemplo, a diferenciação entre células sadias e doentes pode ser feita através de análises de seus padrões de crescimento. O exame desses diferentes padrões é feito utilizando ferramentas da geometria fractal. Com as mesmas ferramentas, é possível medir a tortuosidade da borda em que alguns tumores se encontram. Essa medição ajuda no diagnóstico de alguns tipos de câncer bucal, o que é de grande valia para o tratamento quando detectado precocemente [SEDIVY 1999].

Na geografia, a caracterização de falhas sísmicas - e como conseqüência os terremotos -, bem como a distribuição demográfica e de afluentes de um rio é feita através do estudo de suas estruturas fractais. Essas formas estão muito presentes também na arte e arquitetura, por sua beleza inquestionável. Na computação gráfica, por exemplo, essa geometria é muito utilizada na geração de cenários naturais bem fiéis [MARTINS 2006].

Devido à sua potencialidade, tem despertado cada vez mais interesse, uma vez que auxilia os estudos de objetos vistos anteriormente como 'monstros da matemática', evidenciando assim sua importância para ensino de física e matemática.

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Neste texto, apresentamos uma abordagem inteiramente nova para o tema, baseada em um método recentemente proposto para caracteriza o grau de rugosidade de uma superfície por meio de padrões de speckle .

Este texto está organizado como se segue: inicialmente, discutimos a importância do tema para o ensino de física e matemática. Descrevemos algumas propostas notáveis presentes na literatura. Em seguida, apresentamos nossa proposta. Finalmente, apresentamos alguns comentários relevantes e apresentamos algumas perspectivas para nossa pesquisa.

## A geometria fractal em sala de aula

Os Parâmetros Curriculares Nacionais norteiam as equipes escolares na execução de seus trabalhos. Entre as competências indicadas nesse conjunto, está o ensino multidisciplinar, isto é, a capacidade de articular os diversos conteúdos de ensino, visando uma melhoria da educação.

Ao se referir ao ensino de exatas, por um lado, despertar o interesse dos alunos é um desafio. O ensino de matemática e física, tradicionalmente, é voltado, em sua maioria, para aplicações de fórmulas, de maneira formal e sistemática.

Por outro lado, enxergamos no estudo da geometria fractal uma enorme potencialidade para o ensino de matemática e física. De fato, trata-se de um tema interdisciplinar, que pode ser estudado a partir de uma perspectiva teórica, computacional ou experimental. Além disso, é importante no que se refere à aproximação que os fractais apresentam da natureza, ampliando a noção geométrica e espacial da realidade. Assim, são justificáveis as iniciativas de levar o estudo da geometria fractal para sala de aula. O trecho a seguir apresenta de forma clara tal perspectiva:

'Tendo em vista as práticas tradicionalmente adotadas na escola média brasileira, o que está sendo proposto depende de mudanças de atitude na organização de novas práticas. Por isso, além da proposição de temas estruturadores para o trabalho de cada disciplina, procura-se esboçar algumas sugestões de diferentes formas e estratégias de se conduzir o aprendizado.' [BRASIL 2002].

Concordemente, a seguir, apresentamos uma breve revisão de alguns dos estudos recentes dedicados ao tema.

No âmbito da matemática e da geometria, parece haver alguns elementos em comum às abordagens presentes. Inicia-se o processo introduzindo o conceito de fractal, e apresentando as figuras fractais mais famosas. Em alguns casos, propõe-se que os próprios alunos construam tais estruturas - com processos relativamente simples. Com essa experiência é possível trabalhar e reforçar os conceitos de área, volume, potenciação, progressões, geometria plana e ampliação do conceito de dimensão - apresentando a dimensão fracionária de Hausdorff. Exemplos desses trabalhos, entre outros, são apresentado nas referências: [ALVES 2008, DO NASCIMENTO 2012, FILHO 2015]. É através dessas dinâmicas e

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exposições que os alunos são conduzidos às percepções até então escondidas por conceitos essencialmente euclidianos

No âmbito da física, é comum a proposição de estudos experimentais da geometria fractal [JESUS 2005, AMAKU 2014]. Por exemplo, na referência [GOMES 1987] propõe-se um procedimento experimento para estimar a dimensão fractal de bolinhas de papel.

Na próxima seção, apresentamos nossa abordagem e o experimento que é o seu cerne. Mostramos como isso pode ser feito com materiais de baixo custo e como a proposta pode ser levada à sala de aula.

## Investigando fractais em padrões de speckle

O estudo de superfícies de diversos materiais tem sido de grande interesse para o desenvolvimento de novas tecnologias [BANA 2006, SCHMÃHLINGA 2006]. Se estivermos interessados na rugosidade de uma determinada superfície, um estudo bem completo seria levantar detalhadamente o seu relevo. Para tal tarefa, várias técnicas têm sido desenvolvidas [WHITEHOUSE 1994], com destaque para a técnica óptica que, além de seu grande sucesso, é de simples aplicação, pois se baseia basicamente em espalhamento da luz [BENETT 1989]. Neste trabalho, vamos utilizar o esquema experimental que se configura conforme figura 2, onde um feixe laser incide numa amostra de um determinado material.

Figura 2 : Esquema experimental. FN significa filtro neutro. E significa espelho plano refletor. CCD significa charge-coupled device (dispositivo de carga acoplada).

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Na figura 2, vemos que após a incidência do laser na superfície do material, um padrão speckle (do inglês: salpico) [LU 2006] é gerado. A imagem do padrão speckle é capturada pela câmera. A imagem capturada pode ser vista em destaque na figura 3. É claro que quanto mais rugosa for a superfície, maior número e intensidade de salpicos que serão observados. Se tivéssemos uma peça com superfície polida, a figura estaria sem salpicos de luz, pois o feixe laser sofreria reflexão.

Uma das técnicas utilizadas para associar o padrão speckle com a rugosidade da superfície do material é medir a dimensão fractal do padrão speckle [CORREA 2013, NEMATI 2016]. Dessa forma, a imagem é utilizada para medir de forma indireta a topografia do material.

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Figura 3 : Padrão de speckle gerado por meio do procedimento descrito acima

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A técnica utilizada para medição da dimensão fractal é a contagem de caixas [LIEBOVITCH 1989], que pode ser facilmente realizada por meio de um pacote, o FRACLAC , para um software livre, o ImageJ [KARPEREIN 2007].

O inteiro procedimento experimental pode ser realizado com materiais de baixo custo, o que torna a proposta atraente, em especial para realidade da escola pública. Ademais, apenas softwares livres são usados na análise das imagens. Estimamos que o inteiro procedimento possa ser realizado em apenas duas aulas de cinquenta minutos.

Esta proposta, ainda em desenvolvimento, deve somar-se a outras, já apresentadas anteriormente, onde a geometria fractal aparece naturalmente a partir de um experimento. Esperamos que a inteira proposta possibilite que os alunos se confrontem naturalmente com a geometria fractal, desenvolvam competências e o dominem técnicas experimentais e computacionais de ampla aplicação.

## Comentários finais

Neste texto, caracterizamos fractais e apresentamos segundo as quais acreditamos que devam ser inseridos nos currículos da escola média. Também apresentamos uma breve revisão de iniciativas recentes para levar o tema para sala de aula.

Finalmente, apresentamos uma abordagem inteiramente nova, ainda em desenvolvimento, para o tema, baseada em um método recentemente proposto para caracterizar a rugosidade de uma superfície por meio de padrões de speckle, que em geral, apresenta dimensão fractal.

Trata-se de uma abordagem experimental, acessível e factível, facilmente ajustável à realidade de uma escola pública uma vez que se utiliza de materiais de baixo custo e softwares livres e exige pouco tempo para sua aplicação.

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Esperamos concluir o desenvolvimento da inteira proposta de intervenção nos próximos meses para, em seguida, aplicá-la em larga escala e analisar os dividendos de sua aplicação na formação dos alunos.

## Referências

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