Simulação computacional do interferômetro de Mach-Zehnder

## SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO INTERFERÔMETRO DE MACH-ZEHNDER

## Raphael Guimarães Pontes 1 , Carlos Eduardo Aguiar 2

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IF-UFRJ, raphael\_rnv@hotmail.com 2 IF-UFRJ, carlos@if.ufrj.br

## Resumo

O interferômetro de Mach-Zehnder é um instrumento ótico com o qual é possível discutir de maneira particularmente simples as características ondulatórias e corpusculares da luz. Neste trabalho apresentaremos uma simulação computacional, desenvolvida por nós, desse interferômetro. A simulação permite ilustrar experimentos de interferência e de 'qual-caminho' com o interferômetro virtual, mostrando-os de maneira a facilitar a compreensão da dualidade onda-partícula por estudantes de cursos introdutórios de física. O programa de simulação foi escrito em HTML5 e, ao contrário de simulações computacionais semelhantes, pode ser executado via internet ou localmente em praticamente qualquer computador que possua um navegador moderno. Isso inclui a maioria dos tablets e smartphones, o que aumenta consideravelmente as possibilidades de uso instrucional da simulação. Apresentaremos também uma proposta de roteiro para utilização didática do interferômetro virtual na escola média, focada na fenomenologia da dualidade onda-partícula. Embora desenvolvido para o ensino médio, o programa de simulação pode ser usado em cursos universitários de física básica e em cursos de licenciatura. Aplicações preliminares do interferômetro e roteiro em salas de aula serão descritas.

Palavras-chave : interferômetro de Mach-Zehnder, dualidade onda-partícula, simulação computacional, html5.

## 1. Introdução

A dualidade onda-partícula em sistemas microscópicos é um dos aspectos mais intrigantes da física quântica. Em cursos introdutórios que abordam temas de física moderna, a dualidade onda-partícula é geralmente apresentada com base no efeito fotoelétrico e na difração de elétrons. Uma forma alternativa e potencialmente mais simples de discutir essa dualidade é a partir de experimentos realizados com um interferômetro de Mach-Zehnder (MARSHMAN, 2016). Como não é fácil realizar esses experimentos fora de um laboratório de ótica quântica, em ambientes escolares o interferômetro de Mach-Zehnder costuma ser apresentado por meio de aplicativos computacionais que simulam seu funcionamento (MÜLLER, 2002; PEREIRA, 2009; KOHNLE, 2014). Entretanto, a maior parte dessas simulações enfrenta problemas de compatibilidade com os sistemas operacionais de dispositivos móveis como tablets e smartphones , o que restringe sua utilização a salas de aula equipadas com desktops e sistemas de projeção.

Para superar essa limitação nós desenvolvemos um programa de simulação do interferômetro de Mach-Zehnder baseado em HTML5/JavaScript. Com isso a simulação pode ser executada em qualquer plataforma compatível com um navegador de internet moderno, o que inclui a maioria dos computadores tradicionais e a quase totalidade dos tablets e smartphones . Neste trabalho apresentamos nossa simulação do interferômetro de Mach-Zehnder (Seção 2) e propomos um roteiro para discussão da dualidade onda-partícula baseado nessa

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23 a 27 de janeiro de 2017

simulação (Seção 3). Também apresentamos uma aplicação preliminar desse roteiro e primeiras impressões qualitativas sobre sua eficácia (Seção 4). Mais detalhes sobre a física (clássica e quântica) do interferômetro de Mach-Zehnder e sobre o desenvolvimento do programa e roteiro didático estão em (PONTES, 2016). A simulação que desenvolvemos pode ser executada a partir da URL http://www.if.ufrj.br/~carlos/trablicen/raphael/imz/.

## 2. O interferômetro de Mach-Zehnder e sua simulação

O arranjo básico do interferômetro de Mach-Zehnder faz uso de uma fonte emissora de luz, dois semiespelhos (espelhos semitransparentes), dois espelhos e dois detectores (ou simples anteparos), onde é possível registrar a incidência de luz. Podemos ver um exemplo desta montagem na Figura 1. O feixe vindo da fonte incide sobre o primeiro semiespelho, SE1, onde é dividido em dois feixes secundários, 1 e 2. Esses feixes são dirigidos pelos espelhos E1 e E2 na direção do segundo semiespelho, SE2, onde são recombinados em dois outros feixes. Essa recombinação pode dar origem a interferência construtiva ou destrutiva entre as ondas superpostas, e as intensidades luminosas resultantes são registradas nos detectores D1 e D2.

Figura 1: O interferômetro de Mach-Zehnder. SE1 e SE2 são semiespelhos, E1 e E2 são espelhos, e D1 e D2 são fotodetectores.

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Consideraremos que os espelhos são perfeitamente refletores e que os semiespelhos refletem 50% da intensidade incidente, transmitindo os 50% restantes. É sempre possível 'balancear' o interferômetro de modo que a diferença entre os caminhos óticos nos dois braços seja um múltiplo do comprimento de onda. Com isso obtemos interferência construtiva (100% da intensidade) em um dos detectores, e interferência destrutiva (0% da intensidade) no outro. Iremos sempre supor que nosso interferômetro estará balanceado desta maneira.

Figura 2: Simulação do interferômetro de Mach-Zehnder, ao ser aberta.

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A interface do programa de simulação está mostrada na Figura 2. Note que ela é iniciada sem a presença do segundo semiespelho. A inserção ou retirada

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desse semiespelho é realizada com a caixa de seleção que se encontra no alto do painel da simulação, à esquerda. A Figura 3 mostra a simulação com o segundo semiespelho. É a presença desse elemento que produz a interferência entre os feixes que percorrem os dois braços do interferômetro, como ilustrado nos painéis à direita na Figura 3. O interferômetro está supostamente balanceado, de forma que apenas o detector 2 recebe luz (a interferência é construtiva) e o detector 1 permanece no escuro (interferência destrutiva).

Figura 3: Introdução do segundo semiespelho. Apenas o detector 2 é iluminado.

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No canto superior esquerdo também estão opções sobre o tipo de fonte: fóton a fóton ou laser. A opção de laser exibirá na tela feixes azuis cujo tom representa a intensidade (Figura 4, à esquerda). Para a fonte de fótons únicos, os caminhos acessíveis a cada fóton são indicados por linhas tracejadas (Figura 4, à direita).

Figura 4: A simulação com as opções 'laser' (à esquerda) e 'fóton' (à direita).

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Os detectores 1 e 2 registram a presença de luz, indicada pelo acendimento da 'lâmpada' amarela no detector. Na parte superior direita da simulação (ver Figura 3) existem barras de contagem utilizadas para a apresentação dos dados coletados por esses detectores. As barras representam, para cada detector (inclusive um possível terceiro detector), a intensidade da onda, no caso da fonte laser, ou a porcentagem de fótons no caso da fonte de fótons únicos. Abaixo das barras está uma tabela com os valores da contagem de fótons.

Os botões 'Iniciar' e 'Parar' iniciam e interrompem a simulação. Ao lado deles está o botão 'Turbo', que acelera momentaneamente a taxa de emissão da fonte de fótons, de modo a aumentar o número de dados coletados e dessa maneira facilitar a análise das porcentagens de chegada de fótons em cada detector.

A simulação também possui duas caixas de seleção ao lado esquerdo da fonte. A superior coloca um terceiro detector no caminho do braço inferior, como

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mostrado na Figura 5 à esquerda. Nessa configuração só há um caminho possível da fonte a qualquer um dos três detectores. A caixa de seleção inferior aciona um detector que indica qual caminho o fóton percorreu após passar pelo primeiro semiespelho, sem que ocorra uma destruição do fóton como a causada pelo terceiro detector. O detector de caminho é representado esquematicamente na simulação por uma mola acoplada a um dos espelhos, como vemos na Figura 5 à direita. Esta mola é, supostamente, tão sensível que pode indicar a reflexão de um único fóton pelo espelho, apontando o caminho seguido. Um experimento semelhante, embora não realizado com molas mecânicas, está descrito em (BERTET, 2001).

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Figura 5: (Esquerda) Um terceiro detector é inserido no interferômetro. Há um único caminho para a luz chegar a cada detector. (Direita) O detector de caminho é inserido. Há dois caminhos distinguíveis para a luz chegar a cada detector.

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## 3. Dualidade onda-partícula: um roteiro didático

Nesta seção apresentaremos um roteiro para a discussão da dualidade onda-partícula em uma sala de aula do ensino médio, baseado na utilização da simulação do interferômetro de Mach-Zehnder. A ideia principal é apresentar a dualidade enquanto um fenômeno da natureza, ainda que simulada no computador. A discussão é mantida num nível puramente fenomenológico, sem introduzir explicações que envolvam o formalismo da mecânica quântica. Isso não impede, entretanto, que aplicações interessantes dessa dualidade sejam exploradas, como, por exemplo, o 'testador de bombas' de Elitzur-Vaidman (ELITZUR, 1993). Para aplicação do roteiro, pressupõe-se que os alunos já foram apresentados à física ondulatória e fenômenos de interferência.

## I. A evolução das ideias sobre a luz

Como primeira etapa, sugerimos uma breve discussão histórica acerca da evolução da compreensão que se tem a respeito da natureza da luz. Embora este seja um tema vasto, para abreviar a apresentação pode-se tomar como ponto de partida o século XVII e as ideias de Isaac Newton e Christiaan Huygens.

Deve ser ressaltada a incompatibilidade entre os modelos propostos: Newton trouxe a ideia da luz como sendo formada por corpúsculos em um de seus primeiros trabalhos, Nova teoria sobre luz e cores , de 1672, enquanto Huygens propôs a luz como uma onda em 1690, em seu Tratado sobre a luz . É importante descrever como essa discussão evoluiu, chegando ao século XIX, época em que foi realizado o experimento crucial de Thomas Young (1803), que 'decidiu' a questão em favor da teoria ondulatória. No mesmo século, em 1865, James Clerk Maxwell desenvolveu sua teoria eletromagnética das ondas luminosas.

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Finalmente, propomos que sejam feitos comentários sobre a retomada dessa discussão no século XX, a partir da proposta heurística de Einstein de que a luz apresenta, em certas circunstâncias, comportamento que é característico de partículas (os fótons). Esses comentários devem servir de introdução histórica ao fenômeno da dualidade onda-partícula, o tema central deste roteiro.

A apresentação histórica pode ser reduzida caso esta já tenha sido realizada em estudos prévios de física ondulatória. Por outro lado, se os alunos ainda não estudaram física ondulatória, a discussão histórica pode ser expandida para incluir a introdução aos conceitos básicos de interferência, durante a apresentação do experimento de Young, por exemplo.

## II. O interferômetro de Mach-Zehnder

O passo seguinte no roteiro é a apresentação aos alunos do interferômetro de Mach-Zehnder e sua utilidade para o estudo da luz através do fenômeno da interferência. Isso é feito com auxílio da simulação, que deve ser iniciada com a fonte no modo 'laser'. Também se deve ter o cuidado de inserir o segundo semiespelho, do contrário não teremos um interferômetro. Deve-se comentar com os alunos sobre como os semiespelhos funcionam, refletindo e transmitindo as ondas que os atingem.

Aos alunos deve ser explicado cuidadosamente que, no modelo ondulatório da luz, o segundo semiespelho superpõe os feixes provenientes dos dois braços do interferômetro, produzindo interferências construtivas ou destrutivas nos detectores 1 e 2. É importante ressaltar que o interferômetro simulado pelo programa foi 'balanceado' de modo a gerar interferência construtiva no detector 2 e destrutiva no detector 1, mostrando aos alunos que este é o resultado fornecido pelos detectores. O paralelismo com o experimento de Young deve ser notado: as franjas claras e escuras correspondem aos detectores iluminado e não-iluminado.

## III. Interferência com luz 'fraca'

Aqui tem início a principal etapa deste roteiro, que se estenderá pelas próximas seções. Na simulação troca-se a fonte do modo 'laser' para 'fóton', mantendo-se o segundo semiespelho. Neste estágio a fonte de fótons é apresentada aos alunos como uma fonte de luz 'muito fraca'. Antes de iniciar a simulação, podese perguntar aos alunos acerca do resultado que se irá obter. Isso é uma boa maneira de checar se ouve boa compreensão do fenômeno de interferência, principalmente no que diz respeito ao fato do comportamento ondulatório não depender da intensidade da onda.

Com a fonte de fótons, o detector iluminado emite sinais intermitentes, ao invés do sinal contínuo encontrado no modo laser. Nesta etapa podemos 'explicar' isso como sendo resultado da luz ser muito fraca.

## IV. O experimento de anticoincidência

Mantendo a fonte no modo fóton, remove-se o segundo semiespelho. É interessante perguntar aos alunos o que eles esperam que aconteça nessa situação. As respostas podem motivar a discussão de como o modelo ondulatório descreve o experimento: a onda incidente é dividida em duas partes de igual amplitude no primeiro (e agora único) semiespelho, que chegam simultaneamente aos dois fotodetectores.

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Ao executar a simulação, pode-se observar que os fotodetectores jamais disparam ao mesmo tempo; há uma anticoincidência entre os sinais luminosos, contrária à previsão do modelo ondulatório. Nesse momento pode-se apresentar a perspectiva corpuscular da luz, através da noção de fóton, partículas que transportam a energia luminosa e que não se dividem em 'duas metades' ao passar pelo semiespelho, fato que ocorreria com uma onda.

Esse é o ponto central da apresentação da dualidade onda-partícula proposta neste roteiro. Deve ser discutido com os alunos que corpúsculos 'clássicos' (que seguem apenas um caminho entre dois pontos) não apresentariam o fenômeno de interferência encontrado quando o segundo semiespelho está presente. A interferência exige que a luz passe simultaneamente pelos dois braços do interferômetro. Assim, um modelo corpuscular clássico não é capaz de descrever o experimento de interferência, embora descreva o de anticoincidência. O modelo ondulatório, por sua vez, tem uma função 'complementar': explica a interferência, mas não a anticoincidência.

Essa dualidade é conhecida como 'dualidade onda-partícula'. Deve ser enfatizado com os alunos que tal dualidade reflete um conflito entre interpretações clássicas de fatos experimentais. Segundo a física clássica, ondas e partículas são conceitos completamente distintos, que não podem ser intercambiados. Também deve ser ressaltado que dualidade onda partícula é o nome do problema conceitual gerado pelos experimentos com a luz, não a sua 'solução'.

## V. A experiência de 'qual-caminho' e o bloqueio de um dos caminhos

Aspectos ainda mais surpreendentes do comportamento da luz são obtidos ao se observar qual o caminho tomado pelo fóton após passar pelo primeiro semiespelho. Uma vez que a interferência exige que a luz passe pelos dois braços do interferômetro, e uma partícula clássica só pode percorrer um deles de cada vez, o que aconteceria se determinássemos qual foi o caminho tomado pelo fóton após passar pelo primeiro semiespelho? A simulação possui uma opção para isso: o 'detector de caminho'. Este é uma 'mola' ultrassensível acoplada a um dos espelhos, capaz de registrar a reflexão de um único fóton. Isso torna possível identificar o caminho seguido pelo fóton. Se a mola for colocada em vibração, o caminho será aquele que passa pelo espelho a ela acoplado; caso contrário, o caminho só poderá ser o outro. Colocando o segundo semiespelho (sem retirar o detector de caminho), observa-se que os dois detectores passam a receber luz, ou seja, a interferência deixou de existir. Num experimento em que 'forçamos' a luz a revelar seu caminho, ela comporta-se como uma partícula clássica.

A simulação apresenta também a possibilidade de introduzir um terceiro detector em um dos braços do interferômetro. Se esse detector é inserido, a interferência também desaparecerá, assim como ocorreu com o detector de caminho. Num certo sentido o terceiro detector é um detector de caminho, com a diferença de que absorve os fótons incidentes sobre ele, eliminando um dos caminhos disponíveis. O terceiro detector permite retomar a discussão da dualidade de uma forma alternativa, sem remover o segundo semiespelho. Sem ele temos dois caminhos indistinguíveis (não há detector de caminho) e interferência. Com ele há apenas um caminho possível até cada detector; estes disparam sempre em anticoincidência e não temos interferência.

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## VI. O testador de bombas de Elitzur-Vaidman

Como tópico final, sugere-se apresentar uma aplicação 'prática' da dualidade onda-partícula, resolvendo um problema que não teria solução no contexto da física clássica. O problema, conhecido como o testador de bombas de Elitzur-Vaidman, foi proposto em 1993 (ELITZUR, 1993) e uma implementação experimental da solução (sem 'bombas') foi realizada em 1995 (KWIAT, 1995).

- O testador de Elitzur-Vaidman parte de uma situação hipotética, na qual existe uma coleção de bombas, algumas 'boas' e outras ruins. As bombas boas possuem um sensor de luz sensível ao ponto de detonar a bomba ao absorver um único fóton. Nas bombas ruins o sensor não funciona: o fóton passa direto e a bomba não explode. O problema proposto é como preparar um lote de bombas contendo apenas bombas boas.

Se tratarmos esta situação com conceitos da física clássica, para sabermos se uma bomba é boa teremos que incidir luz sobre ela e observar se irá explodir ou não. Isso identifica as bombas boas, mas não resolve o problema de preparar um lote delas, pois agora o melhor que poderemos obter será uma coleção de bombas que identificamos como ruins e bombas que identificamos como originalmente boas, mas que explodiram.

A pergunta que se faz é: existe uma maneira de separar algumas bombas boas sem ter de explodi-las? Veremos que sim, ao fazer uso da dualidade ondapartícula e do interferômetro de Mach-Zehnder. A primeira coisa a notar é que colocar uma bomba boa em um dos braços do interferômetro, digamos, no braço 1, produz o mesmo efeito do terceiro detector em nossa simulação: uma bomba boa registra a passagem do fóton através da explosão (Figura 6, à esquerda). Já uma bomba ruim é transparente e não afetará o fóton (Figura 6, à direita), o que corresponde à ausência do terceiro detector e à situação de interferência discutida na etapa III deste roteiro, na qual um dos detectores nunca é acionado. Portanto, nos casos em que este detector registra a chegada de um fóton, podemos afirmar duas coisas: (1) a bomba é boa, e (2) o fóton não a explodiu. Com isso temos um método para selecionar um lote de bombas que certamente estão boas e intactas, algo impossível classicamente.

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## 4. Comentários finais

- O roteiro proposto acima não é uma prescrição acabada; é um exemplo 'mínimo' de discussão da dualidade onda-partícula e de aplicação da simulação do interferômetro de Mach-Zehnder. É importante ressaltar que ele é apenas uma base a partir da qual professores podem fazer as modificações que melhor se encaixem em seu ambiente pedagógico. Embora desenvolvido para o ensino médio, com algumas adaptações o roteiro pode ser estendido ao ensino superior, especialmente nos cursos de física básica ou de licenciatura.
- O roteiro didático foi aplicado em duas turmas do ensino médio de uma escola técnica federal, durante dois tempos de aula. O objetivo dessa aplicação preliminar foi analisar a viabilidade do uso da simulação e roteiro em uma sala de aula e avaliar qualitativamente seu efeito em uma apresentação da dualidade ondapartícula. A simulação computacional mostrou ser uma boa maneira de atrair a atenção dos estudantes. O fato de alguns alunos manifestarem incredulidade ao final da simulação dos experimentos mostrou que estes estavam de fato pensando sobre a situação apresentada e tentando compreendê-la. Vários alunos perguntaram a razão de haver interferência num experimento feito com partículas, demonstrando terem percebido a estranheza dos fenômenos associados à dualidade ondapartícula. Um estudo mais detalhado da eficácia dessa abordagem está em desenvolvimento.

## Referências

BERTET, P. et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature , v. 411, p. 166, 2001.

ELITZUR, A. C.; VAIDMAN, L., Quantum mechanical interaction-free measurements, Foundations of Physics , v. 23, n. 7, p. 987, 1993.

KOHNLE, A. et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics , v. 35, n. 1, art. 015001, 2014.

KWIAT, P. G. et al., Interaction-free measurement, Physical Review Letters , v. 74, n. 24, p. 4763, 1995.

MARSHMAN, E., SINGH, C., Interactive tutorial to improve student understanding of single photon experiments involving a Mach-Zehnder interferometer, European Journal of Physics , v. 37, n. 2, art. 024001, 2016.

MU LLER, R., WIESNER, H., Teaching quantum mechanics on an GLYPH&lt;31&gt; introductory level, American Journal of Physics , v. 70, n. 3, p. 200, 2002.

PEREIRA, A. P., OSTERMANN, F., CAVALCANTI, C. J. H., On the use of a virtual Mach-Zehnder interferometer in the teaching of quantum mechanics, Physics Education , v. 44, n. 3, p. 281, 2009.

PONTES, R. G., Simulação computacional do interferômetro de MachZehnder , Monografia (Licenciatura em Física), IF-UFRJ, 2016. Disponível em: &lt;http://www.if.ufrj.br/~carlos/trablicen/raphael/monografiaRaphaelFinal.pdf&gt;

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