Um método alternativo para calcular a força de arrasto

## UM MÉTODO ALTERNATIVO PARA CALCULAR A FORÇA DE ARRASTO

## P. V. S. Souza 1

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Volta Redonda. Rua Antônio Barreiros, 212, Aterrado, Volta Redonda, RJ - Brasil e Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física. Av. Litorânea, s/n, Boa Viagem, Niterói, RJ - Brasil, paulo.victor@ifrj.edu.br

## Resumo

A força de arrasto é um conceito físico central na mecânica dos fluidos. Seu comportamento é estudado em diversos campos do conhecimento, sobretudo os campos voltados para o desenvolvimento tecnológico. Basicamente, existem duas famílias de métodos para medir o arrasto: a família dos métodos extrínsecos e a família dos métodos intrínsecos. Nos métodos extrínsecos medições diretas da força de arrasto são realizadas. Nos métodos intrínsecos, medições de velocidade e pressão são utilizadas em expressões deduzidas teoricamente para obter a força de arrasto. Em geral, na implementação numérica dos métodos intrínsecos é necessário realizar uma integração do gradiente do campo de velocidades na superfície do objeto, o que só é possível com a utilização de uma malha muito fina, o que implica em grande esforço computacional. Para contornar este problema técnico, propomos um método alternativo para a determinação da força de arrasto que se utiliza de princípios simplíssimos de física básica e consiste em substituir a integral de superfície acima citada (que envolve o gradiente) por uma integral de volume sobre todo o volume ocupado pelo objeto. Aplicamos o método ao problema clássico do clássico do escoamento sobre um cilindro estático. Os resultados obtidos estão em conformidade com os dados experimentais disponíveis, o que testifica a favor do método. Aplicamos também o método para determinar a força de arrasto sobre um cilindro girante. Por sua simplicidade e precisão, imaginamos que este método alternativo possa compor o currículo de física básica e geral permitindo assim que um estudo mais cabal do tema seja realizado.

Palavras-chave : ensino de física, dinâmica dos fluidos, força de arrasto, força de Magnus.

## Introdução

A força de arrasto é um conceito central na mecânica, em particular, na mecânica dos fluidos. A determinação da força de arrasto é fundamental para diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, engenheiros espaciais, aeronáuticos e navais estudam o comportamento da força de arrasto com o intuito de desenvolver foguetes, aviões e navios mais eficientes. Esportistas estudam o comportamento da força de arrasto com objetivo de promover práticas que otimizem a performance de nadadores, corredores, jogadores de esporte em que se usa bola e assim por diante.

O surgimento da força de arrasto está relacionado à gradativa formação de vórtices atrás do objeto sólido que se move através de um fluido. Com o passar do tempo estes vórtices formam um tipo de esteira, conhecida como esteira de von Kármán, que é arrastada pelo objeto resultando assim no aparecimento de uma força no sentido contrário ao movimento do objeto.

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Existem duas famílias de métodos para medir o arrasto: a família dos métodos extrínsecos e a família dos métodos intrínsecos. Na família de métodos extrínsecos, são realizadas medições diretas da força externa necessária para manter um corpo em determinada trajetória. Nestes métodos, a força de arrasto é obtida empiricamente. Nos métodos intrínsecos, expressões para a força de arrasto são derivadas a partir das equações da mecânica dos fluidos e avaliadas usando medições dos campos de pressão, velocidade, vorticidade, etc. Atualmente, este tipo de medição é possível com o advento de técnicas como a Velocimetria Digital por Imagem de Partículas (VDIP) que permite medições espaciais e temporais do campo de velocidade. A distribuição de pressões, por sua vez, pode ser obtida com a instalação de uma série de tomadas de pressão na superfície do corpo [MUNSON 1990, NOCA 1999].

Os métodos intrínsecos superam os extrínsecos porque permitem a medição de forças seccionais, níveis de força pequenos e forças em fluidos quando o uso de medições diretas não é prático [NOCA 1999].

Tradicionalmente, a utilização de métodos intrínsecos envolve o conhecimento da tensão normal e tensão de cisalhamento na superfície do objeto, embora seja possível obter a força de arrasto apenas a partir do conhecimento do campo de velocidades [NOCA 1999]. De uma forma ou de outra, é preciso calcular o gradiente do campo de velocidades nas proximidades da superfície do objeto. Se um método numérico é utilizado com este intuito, o que geralmente acontece, uma rede discreta muito fina é necessária para que o gradiente seja calculado com precisão, o que implica em um grande esforço computacional.

Para contornar este problema técnico, desenvolvemos recentemente um método alternativo para a determinação da força de arrasto [SOUZA 2015] que se utiliza de princípios simplíssimos de física básica e consiste em substituir a integral de superfície acima citada (que envolve o gradiente) por uma integral de volume sobre todo o volume ocupado pelo objeto.

Por sua simplicidade e precisão, consideramos que este método alternativo possa compor o currículo de física básica e geral permitindo assim que um estudo mais cabal do tema seja realizado.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: inicialmente apresentamos o método alternativo para determinação da força de arrasto propriamente dito. Em seguida, aplicamos o método ao clássico problema do escoamento sobre um cilindro infinito estático. A excelente concordância entre os dados experimentais e o valor obtido por meio do método é uma evidência irrefutável de sua validade. Depois, aplicamos o método para determinar a força de arrasto sobre um cilindro girante. Neste caso, a componente da força de arrasto que é perpendicular ao fluxo de vento é não nula, o que indica a manifestação da conhecida força de Magnus. Incluímos no texto algumas considerações finais pertinentes. Por fim, apresentamos em um apêndice a dedução matemática do método.

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## Um método alternativo para determinação da força de arrasto

Descrevemos nesta seção o método para determinação da força de arrasto proposto recentemente por nós para contornar as usuais dificuldades técnicas do cálculo da força de arrasto por meio de métodos intrínsecos [SOUZA 2015].

Considere conhecida, no instante t, a configuração do campo de velocidades em todo o espaço. Esta configuração no instante t é obtida a partir de configurações em instantes anteriores por meio da solução da equação de Navier-Stokes para o problema em questão, neste caso, o escoamento sobre um obstáculo de formato arbitrário . No interior do obstáculo e na sua superfície, todas as velocidades são 1 nulas em qualquer instante t. Suponha então que o obstáculo seja removido no instante t e o volume que o obstáculo ocupava seja preenchido com fluido estático. Partindo de uma configuração do campo de velocidades no instante t, obtém-se a configuração futura no tempo t+Dt. Como o obstáculo rígido foi substituído por um fluido, algumas velocidades não nulas aparecem no interior do volume anteriormente ocupado pelo obstáculo. Em outras palavras, a substituição do obstáculo estático por fluido também estático no instante t permite que o campo de velocidades comece a penetrar no interior do seu volume a partir deste instante t. Num instante posterior t + Dt, este campo de velocidades interno pode ser integrado no volume. O resultado é multiplicado pela densidade do fluido, obtendo-se assim o momento que seria transferido do fluido para o obstáculo. Dividindo-se este impulso por Dt, finalmente obtém-se a força de arrasto. Na próxima seção, aplicamos o método para determinar o arrasto sobre um cilindro infinito estático, enquanto a demonstração matemática do método é apresentada no apêndice.

## A força de arrasto sobre um cilindro infinito estático

Nesta seção, aplicamos o método descrito acima para determinar a força de arrasto sobre um cilindro infinito estático fixo em um túnel de vento inicialmente desligado e, de repente, ligado com número de Reynolds igual a 1000 . O 2 comportamento da força de arrasto sobre o cilindro em função do tempo pode ser visto no gráfico representado na figura 1.

A análise do gráfico mostra que a força de arrasto sobre um cilindro estático cresce, alcança um valor máximo, decresce e estabiliza. A existência de um regime transiente durante o qual a força de arrasto alcança um valor maior do que seu valor no regime estacionário é confirmada por diversos estudos experimentais [OLIVEIRA

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2007, OLIVEIRA 2010, SARPKAYA 1966]. Reproduzimos um destes resultados na figura 2. Ademais, os resultados obtidos por meio do método estão de acordo com os dados experimentais conhecidos. Coeficientes de arrasto são medidos desde o começo do século XX. O coeficiente de arrasto no regime estacionário para um cilindro estático foi medido pela primeira vez (pelo que se sabe) em 1921 [WIESELSBERGER 1921]. Depois disso, vários experimentos similares foram realizados e hoje, é um fato conhecido de que, para R = 1000, CD ≈ 1.0 [FINN 1953, JAYAWEERA 1965, KATO 1983], enquanto por meio do método descrito neste capítulo obteve-se CD = 1.01. Reproduzimos na figura 3 uma representação da curva experimental CD & R orginalmente publicada na referência [MUNSON 1990]. A excelente concordância entre os dados experimentais e o valor obtido por meio do método é uma evidência irrefutável de sua validade.

Figura 01: Força de arrasto sobre um cilindro estático no túnel de vento. Inicialmente o túnel está desligado. Em seguida, em t = 0, o túnel é ligado e o número de Reynolds é mantido fixo em R = 1000. Durante uma unidade de tempo, o vento viaja o equivalente a um diâmetro do cilindro. A força de arrasto adimensional é representada em termos do conhecido coeficiente de arrasto. Enquanto a componente da força na direção perpendicular ao fluxo do vento é desprezível, a componente da força que é paralela ao fluxo de vento cresce, atinge um valor máximo, decresce e finalmente estabiliza. O destaque mostra o mesmo numa escala longa no tempo.

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Figura 02 Curva experimental do coeficiente de arrasto em função do tempo para um cilindro estático em um túnel de água para números de Reynolds um pouco maiores do que os simulados por nós. O comportamento qualitativo do coeficiente de arrasto coincide com o obtido numericamente por meio de nosso método. Gráfico reproduzido da referência [SARPKAYA 1966].

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Figura 03 Curva experimental do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds. A curva tracejada refere-se ao um cilindro estático. O valor obtido experimentalmente para o número de Reynolds igual a 1000 coincide com o obtido numericamente por meio de nosso método. Gráfico reproduzido da referência [MUNSON 1990].

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Naturalmente, o método acima descrito pode ser aplicado não apenas a um cilindro estático, mas a objetos de qualquer formato. Para demonstrar a versatilidade e as potencialidades didáticas do método, apresentamos na seção seguinte os resultados obtidos por meio dele na para a solução de um problema ligeiramente diferente, o escoamento sobre um cilindro infinito girante.

## A força de arrasto sobre um cilindro infinito girante

Em uma versão ligeiramente diferente do problema original, um cilindro que gira com velocidade angular constante ω é introduzido no túnel. Neste caso, a velocidade do fluido sobre a superfície do cilindro não é mais nula, mas igual à velocidade da superfície, i.e., o fluido gira com o cilindro. A velocidade angular do fluido ω é medida em unidades tais que ω = 1 corresponde à magnitude das velocidades na superfície do cilindro igual à velocidade do vento. Na figura 4, apresentamos um gráfico dos coeficientes de arrasto e sustentação em função do tempo para um cilindro infinito que gira com velocidade angular ω = 0.1 no interior de um túnel de vento.

Figura 04 Força de arrasto sobre um cilindro que gira no sentido horário com velocidade angular ω = 0.1. Partindo da configuração laminar de Stokes, o vento é ligado em t = 0 e mantido fixo em R =1000. Durante uma unidade de tempo, o vento viaja o equivalente a um diâmetro do cilindro. O coeficiente de arrasto (a) apresenta o mesmo comportamento observado para o cilindro estático. Durante o regime transiente, o coeficiente de sustentação

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- (b) também cresce, alcança um máximo e decresce. Entretanto, esta componente não estabiliza simplesmente. Ao invés disso, fica oscilando perceptivelmente em torno de um valor médio não nulo.
- O aparecimento deste coeficiente de sustentação não nulo deve-se a uma assimetria na separação na camada limite , que é antecipada na parte de baixo do 3 cilindro, em virtude da rotação em sentido horário. Em consequência disso, a esteira de vórtices é, como um todo, defletida para baixo. Trata-se de uma clara manifestação de um efeito conhecido como Efeito Magnus . 4

## Comentários finais

A força de arrasto é um conceito físico central na mecânica dos fluidos. Seu comportamento é estudado em diversos campos do conhecimento, sobretudo os campos voltados para o desenvolvimento tecnológico. Existem dois métodos básicos para medir o arrasto: extrínseco e intrínseco. Nos métodos extrínsecos medições diretas da força são realizadas. Nos métodos intrínsecos, medições de velocidade e pressão são utilizadas em expressões deduzidas teoricamente para obter a força de arrasto. Em geral, é necessário realizar uma integração do gradiente do campo de velocidades na superfície do objeto, o que só é possível com a utilização de uma malha muito fina, o que implica em grande esforço computacional. Para contornar este problema técnico, propomos um método alternativo para a determinação da força de arrasto que se utiliza de princípios simplíssimos de física básica e consiste em substituir a integral de superfície acima citada (que envolve o gradiente) por uma integral de volume sobre todo o volume ocupado pelo objeto. Aplicamos o método ao problema clássico do clássico do escoamento sobre um cilindro estático. Os resultados obtidos estão em conformidade com os dados experimentais disponíveis, o que testifica a favor do método. Aplicamos também o método para determinar a força de arrasto sobre um cilindro girante. Por sua simplicidade e precisão, consideramos que este método alternativo possa compor o currículo de física básica e geral permitindo assim que um estudo mais cabal do tema seja realizado.

## Referências

FINN, R. K. Determination of the drag on a cylinder at low reynolds numbers . Journal of Applied Physics, v. 24, n. 6, p. 771, 1953. Journal of Fluid Mechanics, v. 10, n. 3, p. 345, 1961;

JAYAWEERA, K.; MASON, B. J. The behaviour of freely falling cylinders and cones in a viscous fluid . Journal of Fluid Mechanics, v. 22, n. 4, p. 709, 1965;

KATO, H.; MIZUNO, Y. An experimental investigation of viscoelastic flow past a circular cylinder . Bulletin of Japan Society of Mechanical Engineers, v. 26, n. 214, p. 529, 1983;

MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentals of fluid mechanics . Chap. 9. New York: John Wiley &amp; Sons, 1990;

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NOCA, F.; SHIELS, D.; JEON, D. A comparison of methods for evaluating time-dependent fluid dynamic forces on bodies, using only velocity fields and their derivatives . Journal of Fluids and Structures , v. 13, n. 5, p. 551, 1999.

OLIVEIRA, P. M. C., Queda de uma bola de isopor . Atas do XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física - São Luis, Maranhão, 2007;

OLIVEIRA, P. M. C, DE OLIVEIRA, S.M. and SARTORELLI, J.C., Can a Falling Ball Lose Speed? , arXiv:1005.4086, 2010;

OLIVEIRA, P. M. C. Relaxation Method for Navier Stokes Equation . International Journal of Modern Physics C, v. 23, p. 1250021, 2012;

SARPKAYA, T. Separated flow about lifting bodies and impulsive flow about cylinders . The American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, v. 4, n. 3, p. 414, 1966.

SOUZA, P. V. S.; GIRARDI, D.; OLIVEIRA, P. M. C. de. Drag force in wind tunnels: a new method . arXiv preprint arXiv:1505.01101 , 2015;

SOUZA, P. V. S.; OLIVEIRA, P. M. C. de. Numerical wind tunnels . Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 2, p. 2303, 2016;

WIESELSBERGER, C. Neuere feststellungen über die gesetze des flüssigkeits-und luftwiderstandes . Phys. Z., v. 22, n. 11, p. 321, 1921.

## Apêndice

Neste apêndice, nós demonstramos matematicamente a validade do método descrito na segunda seção deste texto.

O objetivo (cilindro ou qualquer outro) dentro de um túnel de vento é fixado por meio de um dispositivo mecânico que exerce sobre ele uma força F ρ -com o objetivo de contrabalançar a força de arrasto que o fluido faz sobre o objeto, F ρ . No instante t pode-se imaginar que o objeto é substituído por um fluido também em repouso. Agora, uma porção extra do fluido pode mover-se. Um elemento de fluido r d 3 dentro do volume em que o objeto se encontrava irá sofrer uma força ) ( r f d ρ ρ exercida pelo resto do fluido em torno dele, e então vai adquirir uma velocidade v ρ δ depois de um pequeno intervalo de tempo t δ . A 2ª lei de Newton pode então ser aplicada, t v r r f d δ δ ρ ρ ρ ρ 3 d ) ( = , em que ρ é a densidade do fluido.

Com o objetivo de evitar este movimento extra e manter o fluido em repouso, algum dispositivo 'mágico' deve exercer uma segunda força ) ( r f d ρ ρ -no elemento de fluido r d 3 . Considerando toda a porção extra do volume em repouso, pode-se determinar a força resultante que este dispositivo 'mágico' deve exercer no inteiro volume anteriormente ocupado pelo objeto ob V ,

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Agora, este dispositivo 'mágico' não se mostra mais tão 'mágico', ele é apenas o mesmo dispositivo mecânico já citada, que fixa o objeto dentro do túnel de vento. Portanto, a força de arrasto exercida pelo fluido no objeto é

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equação que define nosso método.

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