Túneis de vento numéricos

## TÚNEIS DE VENTO NUMÉRICOS

## P. V. S. Souza 1

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Volta Redonda. Rua Antônio Barreiros, 212, Aterrado, Volta Redonda, RJ - Brasil e Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física. Av. Litorânea, s/n, Boa Viagem, Niterói, RJ - Brasil, paulo.victor@ifrj.edu.br

## Resumo

Escoamentos viscosos não são, em geral, discutidos de maneira detalhada em cursos de física geral e básica. Isso se deve, em parte, ao fato da equação de Navier-Stokes admitir solução analítica apenas para alguns poucos casos restritos, enquanto problemas mais sofisticados só podem ser resolvidos por meio de métodos numéricos. Neste trabalho, apresentamos um túnel de vento simulado, i.e., apresentamos um conjunto de programas capaz de resolver a equação de Navier-Stokes para simular o escoamento sobre um objeto de formato arbitrário inserido em um túnel de vento. O túnel nos possibilita visualizar a formação de vórtices atrás do objeto, os conhecidos vórtices de von Kármán. É possível também calcular a força de arrasto sobre o objeto. Acreditamos que este túnel de vento numérico possa subsidiar o professor e permitir que uma discussão mais elaborada de escoamentos viscosos seja realizada. As potencialidades do túnel são exemplificadas por meio do estudo do comportamento da força de arrasto sobre um modelo simplificado de asa cujo ângulo de ataque pode ser controlado. Um link para o download dos programas que compõem o túnel é apresentado ao final do texto.

Palavras-chave : dinâmica dos fluidos, escoamentos viscosos, túneis de vento, força de arrasto.

## Introdução

Pode uma bolinha em queda frear? Um experimento recente (OLIVEIRA, 2007; OLIVEIRA et al. , 2010) mostra-nos que, surpreendentemente, a resposta é sim. Os autores sugerem que isto se deve à formação gradativa de uma esteira de vórtices no ar atrás da bolinha. Estes vórtices, que surgem em virtude da viscosidade do fluido, são arrastados pela bolinha em queda e, por isso, são responsáveis pela força de arrasto que se opõe ao movimento. No início do processo de formação da esteira, a força de arrasto é proporcional à velocidade. Uma vez que a esteira tenha sido completada, a força se torna proporcional ao quadrado da velocidade. Na transição entre um regime e outro, o arrasto torna-se maior que o peso e a frenagem é observada na bolinha. Este cenário é confirmado por meio de simulações numéricas (OLIVEIRA, 2012).

Embora interessantes e profícuos, veja por exemplo (AGUIAR, RUBINI, 2004), problemas físicos que envolvem dinâmica de fluidos viscosos não são, em geral, discutidos em cursos de física básica e geral. Quando isso ocorre, o assunto é tratado de maneira superficial (NUSSENVEIG, 1997). Por quê? Para responder a esta pergunta precisamos primeiro definir o que são fluidos viscosos e discutir como são descritos.

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Costuma-se definir como fluido qualquer substância que evidentemente não seja um sólido. Quando submetido a uma tensão de cisalhamento (tipo de tensão gerada por forças que atuam em sentidos opostos) um fluido tende a se deformar de acordo com sua viscosidade, uma propriedade que determina quão facilmente o mesmo se deforma e corresponde ao atrito interno resultante das interações entre as moléculas. (MUNSON et al., 1990).

Fluidos são descritos por meio de uma equação derivada independentemente por G. G. Stokes (1816 - 1903) e L. M. H. Navier (1785-1836), a equação de Navier-Stokes (FEYNMAN et al., 1965) 1

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onde v ρ ρ ϖ = ∇× ω é a vorticidade e Re é o número de Reynolds, uma grandeza adimensional resultante da divisão de forças de inércia por forças de viscosidade em um elemento de fluido. Explicitamente, μ ρ / Re vD = , em que v é a velocidade do vento (longe do obstáculo, para o caso de um objeto inserido no interior de um túnel de vento), D é uma dimensão característica do objeto, μ é a viscosidade e ρ é a massa específica do fluido. O número ou coeficiente de Reynolds foi introduzido por G. G. Stokes em 1851. Contudo, foi O. Reynolds (1842 - 1912) que popularizou o seu uso em 1883 e demonstrou, pela primeira vez, que o número poderia ser utilizado como um critério para distinção entre escoamento laminar, no qual as trajetórias das partículas do fluido tendem a ser paralelas, e turbulento, no qual as trajetórias das partículas são curvas, irregulares e entrecruzadas (MUNSON et al. , 1990). Por exemplo, para o escoamento sobre um cilindro, a transição entre o regime laminar e o turbulento ocorre quando 140 ≤ Re ≤ 300 (MUNSON et al. , 1990).

A equação de Navier-Stokes admite soluções analíticas para alguns poucos casos. Na verdade, a prova matemática da existência de uma solução global para a equação de Navier-Stokes ainda não existe. Com isso, resta-nos recorrer às simulações numéricas. Embora métodos numéricos para solução da equação de Navier-Stokes sejam numerosos na literatura, simulações voltadas para o ensino são praticamente ausentes.

Neste trabalho apresentamos um túnel de vento simulado no qual se pode escolher o formato do objeto a ser inserido no túnel assim como a velocidade do vento (SOUZA, OLIVEIRA, 2016). Imaginamos que esta ferramenta seja capaz de subsidiar o professor e permitir que uma discussão mais profunda de escoamentos viscosos seja realizada. Este texto está organizado da seguinte maneira. Inicialmente, os procedimentos para solução da equação de Navier-Stokes para um objeto de formato arbitrário no interior de um túnel de vento são apresentados. Em seguida, descrevemos um método, recentemente introduzido (SOUZA et al ., 2015), para determinação da força de arrasto sobre objetos imersos em túneis de vento.

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Posteriormente, exemplificamos potencialidades didáticas apresentando os resultados obtidos para o escoamentosobre uma asa cujo ângulo de ataque pode ser controlado.

## Solução da equação de Navier-Stokes para um objeto de formato arbitrário imerso em um túnel de vento

- O sistema físico em questão é um túnel de vento, no qual a velocidade do vento é controlável e onde pode ser inserido um objeto de formato arbitrário, por exemplo, uma asa ou um cilindro.

Para descrever a dinâmica deste sistema físico, resolvemos a equação de Navier-Stokes em uma rede bidimensional de 400 x 200 pontos (correspondente a uma região que denominamos região de interesse), suficiente para nossos propósitos (a resolução poderá ser ampliada no caso de necessidade de maior precisão). Para resolver a equação de Navier-Stokes, usamos um método (OLIVEIRA, 2012) de diferenças finitas com relaxações sucessivas sobre as vorticidades . As configurações iniciais dos campos de velocidades e vorticidades 2 são as resultantes da solução da equação de Navier-Stokes no limite em que Re → 0. Neste limite, a equação de Navier-Stokes reduz-se a equação de Laplace. Utilizar esta configuração inicial é necessário pois do contrário, um comportamento transiente espúrio pode ser obtido.

As condições de contorno são: (a) na superfície do obstáculo e dentro dele, são mantidas nulas as velocidades e vorticidades; (b) fora da região de interesse (definida acima), o vento tem apenas uma componente não nula, ao longo da direção X, de modo que nesta região, x v v ˆ = ρ (por conveniência, fez-se v = 1 em unidades adimensionais) e as vorticidades são nulas.

Em princípio, objetos de qualquer formato podem ser inseridos no túnel resguardada a condição de que suas dimensões não ultrapassem 20% do tamanho total do túnel. Ademais, o objeto precisa estar localizado no centro do túnel. Atendidas estas condições, fomos bem sucedidos em observar a formação da esteira de vórtices para Re ≤ 1000, sendo possível simular com números de Reynolds próximos de 1000 sem que alterações significativas no tamanho da rede, nas condições de contorno e na viscosidade numérica sejam necessárias . A figura 3

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1 mostra a formação de vórtices no escoamento sobre um triângulo inserido no túnel.

Figura 01: Vórtice aparecendo atrás de um objeto imerso no túnel

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Contudo, como é possível determinar a força de arrasto sobre o objeto no túnel? A próxima seção é dedicada à descrição de um método geral capaz de fazêlo (SOUZA et al. , 2015).

## Um método alternativo para determinação da força sobre objetos imersos em túneis de vento

A maneira tradicional de calcular a força de arrasto sobre um obstáculo rígido envolve o conhecimento de dois elementos básicos: a distribuição de pressões e a viscosidade nas proximidades da interface objeto/fluido, i.e., na região correspondente à camada limite (MUNSON et al. , 1990). O cálculo envolve o gradiente do campo de velocidades que deve ser determinado ao longo da superfície da interface objeto/fluido (MUNSON et al ., 1990). Porém, quando o campo de velocidades é determinado em pontos de uma rede discreta, a precisão para o cálculo do gradiente fica comprometida, a menos que se adote uma rede muito fina perto da superfície de integração, o que requer um grande esforço computacional. Para contornar este problema técnico, propusemos recentemente um método alternativo que consiste em substituir a integral de superfície por uma integral de volume sobre todo o volume ocupado pelo objeto, como descrevemos a seguir (SOUZA et al. , 2015).

Consideremos conhecida a configuração do campo de velocidades em cada ponto da rede em um instante t qualquer. Nos pontos da rede no interior do obstáculo e na sua superfície, as velocidades são sempre mantidas nulas.

Suponhamos então que o objeto seja removido no instante qualquer e o t volume que o objeto ocupava seja preenchido com fluido estático. Como o objeto rígido foi substituído por um fluido, algumas velocidades não nulas aparecem no interior do volume anteriormente ocupado pelo objeto. Em outras palavras, a remoção do objeto permite que o campo de velocidades penetre um pouco na região em que o mesmo se encontrava.

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Partindo então de uma configuração conhecida do campo de velocidades no instante , obtém-se a configuração futura no tempo + t t δ t do campo de velocidades, em que δ t é o tempo que se permitiu que o fluido penetrasse onde o objeto se encontrava . Agora, este campo de velocidades interno pode ser integrado no 4 volume. O resultado é multiplicado pela densidade do fluido, obtendo-se assim o momento que seria transferido do fluido para o objeto. Dividindo-se esse impulso por δ t , finalmente obtém-se a força de arrasto. Os resultados obtidos por meio da aplicação deste método se harmonizam com diversos resultados experimentais disponíveis na literatura, o que confirma incontestavelmente sua validade (MUNSON et al. , 1990).

Na seção seguinte, associamos o túnel e o método para descrever a dinâmica de um fluido viscoso que escoa sobre uma asa genérica inserida no túnel.

## Uma asa no túnel de vento

Para exemplificar as potencialidades do túnel, apresentamos, nesta seção, os resultados obtidos para a simulação do escoamento sobre um modelo simplificado de asa cujo ângulo de ataque, i.e., o ângulo que o eixo da asa faz com o vento, pode ser controlado.

Nossa simulação corresponde à situação física de um aeromodelo, cuja asa tem largura característica aproximada de 10 cm voando a uma velocidade aproximada de 0,15 m/s no ar . A asa que desenhamos é mostrada na figura 2. Para 5 a velocidade do vento fixa em Re = 1000, o ângulo de ataque pode variar entre ±22º sem que as paredes do túnel interfiram fortemente na simulação. Neste caso, após o regime transiente, vórtices girando em sentidos contrários aparecem alternadamente atrás da asa, assim como ocorre com o triângulo mostrado na figura 1.

Figura 02: Modelo simplificado de asa introduzida no túnel

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A aplicação do protocolo de determinação da força de arrasto descrito na seção anterior ao caso do escoamento sobre a asa permiti-nos obter a evolução temporal desta força. A componente longitudinal do arrasto neste caso cresce, 6 atinge um valor máximo, reduz-se um pouco e estabiliza, passando a oscilar em torno de um valor fixo positivo. Este valor fixo aumenta com o ângulo de ataque. O comportamento da componente transversal do arrasto, igualmente, depende do

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ângulo de ataque. Para um ângulo de ataque igual a 0º, observa-se que esta componente, depois de um estágio transiente, flutua continuamente em torno de zero, o que é esperado para um obstáculo axialmente simétrico (MUNSON et al. , 1990). À medida que o ângulo de ataque cresce, os valores desta componente aumentam. Este resultado corresponde satisfatoriamente ao que se sabe sobre a relação entre a sustentação, força correspondente a componente transversal do arrasto, e o ângulo de ataque (MUNSON et al. , 1990). Veja a figura 3.

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Figura 03: Em (a) e (c), apresentam-se os coeficientes de arrasto para ângulo de ataque igual a, respectivamente, 0º e 15º, em (b) e (d), apresentam-se os coeficientes de sustentação para ângulo de ataque igual a, respectivamente, 0º e 15º. Para o ângulo de ataque acionado em 0º, o coeficiente de arrasto cresce, atinge um valor máximo, reduz-se um pouco e se estabiliza, passando a oscilar levemente (imperceptível na figura) em torno de um valor fixo positivo, enquanto o coeficiente de sustentação flutua continuamente em torno de um valor fixo muito próximo de zero, como esperado para obstáculos que apresentam simetria axial. Para o ângulo de ataque acionado em 15º, o coeficiente de arrasto, assim como antes, cresce, atinge um valor máximo, reduz-se um pouco e estabiliza, passando a oscilar em torno de um valor fixo positivo enquanto o coeficiente de sustentação, após o transiente (neste caso, bem diferente do caso para ângulo de ataque 0º, pois a simetria axial foi quebrada), passa a flutuar em torno de um valor fixo, no caso do ângulo de ataque igual a 15º, este valor é positivo, embora pequeno se comparado com a componente longitudinal.

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Em nossa simulação, a asa pode ser ligeiramente modificada para incluir um tipo de flap. Flaps consistem em abas ou superfícies articuladas existentes na parte posterior das asas que alteram temporariamente a geometria das mesmas. Quando abaixados e/ou estendidos, os flaps aumentam o arrasto e a sustentação, o que é especialmente importante no procedimento de pouso. A asa com flap que desenhamos é mostrada na figura 4 e é equivalente a um flap do tipo ventral. As alterações nas componentes do arrasto em função da presença do flap para um ângulo de ataque igual a 15º são mostradas na figura 5. Da análise do gráfico, percebe-se que a presença do flap altera a força de arrasto, aumentando o valor de ambas as componentes em relação ao seu valor sem o flap, o que se harmoniza com o que se sabe a respeito da função deste tipo de flap nas asas (MUNSON et al. , 1990) .

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Figura 04: Modelo simplificado de asa com flap introduzida no túnel

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Figura 05: Comparação das componentes do arrasto para a asa com e sem flap para um ângulo de ataque igual 15º. Em (a) e (b), se observam, respectivamente, as componentes longitudinal e transversal do arrasto para asa sem flap (repetido da figura 5) enquanto em (c e (d), se observam, respectivamente, as componentes longitudinal e transversal do arrasto para asa com flap. Como esperado, para um mesmo ângulo de ataque, a asa com flap apresenta valores mais altos para suas componentes embora o comportamento qualitativo seja aproximadamente o mesmo com ou sem flap.

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## Comentários finais

O estudo de escoamentos viscosos, embora riquíssimo, é praticamente ausente em cursos de física geral e básica. Isso se deve, em parte, ao fato deste tipo de escoamento ser descrito pela equação de Navier-Stokes que, por sua vez, só admite solução analítica para alguns poucos casos. Diante deste quadro, apresentamos neste texto um túnel de vento simulado no qual se pode escolher o formato do objeto a ser inserido no túnel assim como a velocidade do vento. O objetivo do túnel é instrumentalizar o professor e viabilizar que uma discussão mais aprofundada do tema seja realizada.

Os programas que compõem a simulação, assim como um arquivo denominado 'Leia-me' com instruções para utilização do túnel podem ser baixados em um único arquivo compactado no endereço https://www.dropbox.com/s/6ii1nyu8uh4pjyk/programastunel.rar?dl=0.

Em um formato piloto, o túnel foi utilizado em duas disciplinas, física térmica para o curso técnico de automação industrial e física geral II para licenciatura em física do Instituto Federal do Rio de Janeiro. Na aplicação no curso de automação, por tratar-se de um curso de nível médio, o tópico escoamentos viscosos foi apresentado como complementar. Neste caso, o problema da bolinha que freia ao cair foi apresentado e discutido em detalhes com o auxílio do túnel. Simulações com asas também foram utilizadas para discutir as razões físicas pelas quais o avião

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consegue manter-se no ar. No curso de licenciatura, o túnel foi utilizado por um pequeno número de alunos para elaboração do projeto de final do curso. Neste caso, inicialmente, os alunos se familiarizaram com túnel numérico. Posteriormente, inseriram diferentes objetos no túnel, como uma bala de revolver, um triângulo e um cilindro girando com velocidade angular controlável. Os resultados observados nestas aplicações foram consonantes com nossa expectativa prévia.

Evidentemente, as potencialidades do túnel de vento são muito grandes, estando restritas apenas à imaginação do usuário. Sem mais, findamos este texto reiterando a certeza que temos de que o túnel de vento numérico desenvolvido por nós representa uma importante inovação, constituindo-se em um instrumento para o professor, que, acreditamos, muito beneficiará o processo de ensino-aprendizagem. Com isso, cada vez mais alunos poderão contemplar a beleza e a riqueza dos fenômenos que envolvem escoamentos viscosos.

## Referências

AGUIAR. C. E. e RUBINI. G., A aerodinâmica da bola de futebol , Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 297, 2004;

FEYNMAN, R. P., LEIGHTON, R. B. and SANDS, M., Feynmann Lectures on Physics , vol II, Addison-Wesley, Massachusetts,1965;

MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentals of fluid mechanics . Chap. 9. New York: John Wiley &amp; Sons, 1990;

NUSSENVEIG, H. M., Curso de Física Básica. Vol. 2. Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor . 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1997;

OLIVEIRA, P. M. C., Queda de uma bola de isopor . Atas do XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física - São Luis, Maranhão, 2007;

OLIVEIRA, P. M. C, DE OLIVEIRA, S.M. and SARTORELLI, J.C., Can a Falling Ball Lose Speed? , arXiv:1005.4086, 2010;

OLIVEIRA, P. M. C. Relaxation Method for Navier Stokes Equation . International Journal of Modern Physics C, v. 23, p. 1250021, 2012;

SOUZA, P. V. S.; GIRARDI, D.; OLIVEIRA, P. M. C. de. Drag force in wind tunnels: a new method . Physica A. No prelo;

SOUZA, P. V. S.; OLIVEIRA, P. M. C. de. Numerical wind tunnels . Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 2, p. 2303, 2016;

SCHERER, C. Métodos computacionais da Física . Cap. 3. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2005.

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