O FORMALISMO MATEMÁTICO DA MECÂNICA QUÂNTICA PARA O ENSINO MÉDIO: O EXPERIMENTO DA DUPLA FENDA UTILIZANDO VETORES DE ESTADO

## O FORMALISMO MATEMÁTICO DA MECÂNICA QUÂNTICA PARA O ENSINO MÉDIO: O EXPERIMENTO DA DUPLA FENDA UTILIZANDO VETORES DE ESTADO

## Danilo Cardoso Ferreira , Moacir Pereira de Souza Filho 1 2

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Instituto Federal do Paraná - IFPR Campus Jacarezinho, danilo.ferreira@ifpr.edu.br Universidade Estadual Paulista - FCT - Unesp/Departamento de Física, moacir@fct.unesp.br

## Resumo

Nosso trabalho analisa o experimento da dupla fenda com objetos quânticos (fótons e elétrons) com o objetivo de propor uma abordagem do formalismo matemático da mecânica quântica no nível do ensino médio. Devido as dificuldades conceituais (probabilidade, superposição, complementariedade, etc.) e matemáticas (vetores de estados, espaços vetoriais complexos, operadores, etc.), tentamos reduzir demonstrações matemáticas a favor de discussões conceituais. O processo metodológico se dividiu em 3 (três) etapas: (i) mostramos brevemente o comportamento de objetos quânticos que atravessam uma parede com duas fendas. Neste caso, percebe-se que ocorre interferência. (ii) Em seguida, apresentamos algumas regras proposta por Feynman (1918-1988) para mostrar a notação de Paul Dirac (1902-1984), ou seja, os vetores de estado, os quais nos permitem mostrar matematicamente o que ocorre no experimento da dupla fenda com objetos quânticos e como podemos obtê-la através da análise do experimento da dupla fenda. (iii) Finalmente, aplicamos o formalismo matemático da mecânica quântica para discutir a superposição quântica, o princípio da complementariedade, além da questão de probabilidade. Enceramos o trabalho propondo outras aplicações para a utilização de vetores de estado como: experimento da dupla-fenda com detectores, localidade, realidade e princípio da incerteza.

Palavras-chave : Mecânica Quântica, Ensino Médio, Formalismo Matemático

## 1. Introdução

- O ensino de física quântica no Ensino Médio normalmente esbarra em dificuldades conceituais e matemáticas inerentes a teoria quântica. Poderíamos listar algumas destas dificuldades como: i) Conceituais: superposição quântica, probabilidade, complementaridade, medida, localidade, entre outras; ii) Matemáticas: vetores de estado, espaços vetoriais complexos, operadores, autovalores, autovetores, entre outras.

Desta forma, superar as limitações conceituais e matemáticas intrínsecas a física quântica é uma busca constante é recorrente na literatura (PEREIRA et al., 2012). Este trabalho propõem uma representação, ou até mesmo tradução, do formalismo matemático da mecânica quântica. Para realizar este proposito realizamos uma revisão bibliográfica de (FEYNMAN et al., 1963; 2008) inspirado no seguinte trecho de sua obra:

Chegamos à conclusão de que as chamadas 'partes avançadas' da mecânica quântica são de fato muito simples. A matemática necessária é particularmente simples, envolvendo operações algébricas simples, sem equações diferenciais, ou, no máximo, as mais simples delas. O único problema é que temos que pular a lacuna de não sermos mais capazes de descrever o comportamento em detalhe das partículas no espaço.

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- O assunto avançado ao qual Feynman se refere é o spin do elétron que é tratado nos capítulos seguintes de seu livro de Lições de Física Feynman (FEYNMAN et al., 1963; 2008). As equações diferenciais citadas são relativas a equação de onda de Erwin Schrödinger (1887-1961) que não serão discutidas neste trabalho.

Apresentamos, inicialmente, de forma resumida, o aparato experimental da dupla fenda com objetos quânticos. Discutimos os diferentes resultados obtidos neste experimento, conforme alterações são realizadas, como inserção de detectores. Em seguida apresentamos as regras propostas por Feynman para mostrar a funcionalidade da notação de vetores de estado. Em seguida apresentamos algumas aplicações da notação de Dirac.

## 2. Desenvolvimento

## 2.1 Experimento da Dupla Fenda

O experimento da dupla fenda pode ser analisado em três etapas: partículas, ondas e objetos quânticos. Esta sequência (nem sempre nesta ordem) é amplamente divulga na literatura (DICKE e WITTKE, 1961; COHEN-TANNOUDJI et al. , 1977; GASIOROWICZ, 1979; LOPES, 1992; MERZBACHER, 1997; NUSSENZVEIG, 1998; MAHON, 2011). E, inicialmente proposta por Feynman (FEYNMAN et al., 1963; 2008).

- O aparato experimental da dupla fenda , 1 com partículas, pode ser conjecturado como uma arma, metralhadora, girando, que dispara projéteis com velocidade constante, mesma energia e uma bala por vez, contra uma parede com dois orifícios. Estes orifícios são suficientemente grandes de forma que um projétil consiga passar por ele e, a parede é resistente ao impacto das balas. Após estas duas fendas existe um anteparo que freia o projétil de forma a mostrar onde a bala chegou. Analisando este anteparo, após um longo tempo de disparos, pode-se observar duas distribuições de balas sobre o anteparo que mostram os locais onde ouve maior incidência de chegada de projéteis. A distribuição é máxima na direção que une a metralhadora com a fenda. Este comportamento é denominado como corpuscular .

Utilizando o mesmo aparato experimental, com algumas modificações: partículas por ondas de água, a parede com duas fendas que difratam as ondas de água e o anteparo por um absorvedor, as frentes de ondas que difratam nas fendas possuíram mesma intensidade e energia e o encontro das duas ondas difratadas, superposição das ondas, produzirá interferência construtiva ou interferência destrutiva. Observando o absorvedor, teremos uma imagem de interferência que corresponde a distribuições ora máximas (interferência construtiva), ora mínimas (interferência destrutiva). Este comportamento é denominado como ondulatório .

- O experimento da dupla fenda com objetos quânticos consiste em um canhão de elétrons, que pode ser um filamento aquecido de tungstênio, enclausurado em uma caixa de metal com um orifício. Se o fio tiver uma voltagem negativa em relação a caixa, os elétrons emitidos pelo filamento serão acelerados na

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direção da parede e alguns passarão pelo orifício. Na frente do canhão temos uma parede com duas fendas. Após a parede, esta outra placa que servirá como anteparo. Na frente do anteparo é colocado um detector móvel que pode ser um contador Geiger conectada a um alto-falante. Quando um elétron chega no anteparo o contador Geiger e acionado e alto-falante emite um som. Podemos representar o experimento da dupla fenda como na figura 1:

Figura 01: Experimento da dupla fenda com elétrons

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Com este arranjo experimental é possível perceber que os elétrons sofrem interferência no experimento da dupla fenda e se comportam como ondas. Se fecharmos uma das fendas, por exemplo, a fenda 2, os elétrons passaram apenas pela fenda 1 e seu comportamento será como de partículas. Comportamentos ondulatórios e corpusculares possuem muitos aspectos distintos como pode ser verificado em (FERREIRA, SOUZA FILHO; 2016).

Quando tentamos observar por qual fenda o elétron passou (colocando uma fonte de luz atrás da parede e detectores apontados para as fendas) para chegar no anteparo estando as duas fendas abertas, neste caso, o elétron volta a se comportar como partícula e não conseguimos observar o padrão de interferência.

## 2.2 - Representação através de Vetores de Estado

Mostramos a seguir os princípios gerais (ou regras gerais) para utilizar a notação especifica da mecânica quântica. Está introdução é um método criado por Feynman e colaboradores com a finalidade de destacar a facilidade do uso de vetores de estado (FEYNMAN et al., 1963; 2008):

Nosso primeiro princípio geral da mecânica quântica é que a probabilidade de que uma partícula chegará em x , quando sai da fonte s , pode ser representada quantitativamente pelo quadrado de um número complexo chamado de amplitude de probabilidade - nesse caso, a 'amplitude que uma partícula saindo de s que chega em x '

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A representação da amplitude de probabilidade é:

Onde: i) é um sinal equivalente a amplitude de que ocorra um fenômeno; ii) é a condição inicial e é denominado ket ; iii) é a condição final e é denominado bra . Esta notação é devida a Dirac (1902 - 1984) e a nomenclatura surge da palavra bracket . Uma forma de resumir a notação na expressão (1), é 2 escrever abreviadamente e, enfim, representar a probabilidade descrita no primeiro princípio geral:

Tal amplitude é um número complexo. O segundo princípio (FEYNMAN et al., 1963; 2008) é: ' segundo princípio geral da mecânica quântica, quando uma partícula pode alcançar um certo estado por duas rotas possíveis, a amplitude total para o processo é a soma das amplitudes para cada rota separadamente'. Desta forma, podemos escrever:

Supondo que os orifícios sejam suficientemente pequenos, de tal forma que, quando dissermos que o objeto quântico passou através do orifício, não precisamos nos preocupar em qual parte do orifício o fóton passou. O terceiro princípio é destacado como (FEYNMAN et al., 1963; 2008):

Agora podemos escrever com mais detalhes o que podemos dizer sobre a amplitude para o processo no qual o elétron chega em x pelo orifício 1. Podemos fazer isto usando o nosso terceiro princípio geral: quando uma partícula vai por alguma rota particular a amplitude para aquela rota pode ser escrita como o produto da amplitude para ir, parte do caminho, com a amplitude de ir o restante.

Assim, a amplitude para ir de s (canhão de elétrons) a x (anteparo) pelo orifício 1 é igual a amplitude de sair de s (fonte) até a fenda 1 (F1), multiplicado pela amplitude de sair da fenda 1 (F1) e chegar no anteparo x . Representamos este evento por: .

O mesmo vale para o objeto quântico sair do canhão de elétrons s e chegar no anteparo x passando pela fenda 2 (F2), . Esta expressão deve ser lida da direita para a esquerda: o objeto quântico sai de s e chega na fenda 2, e então, sai da fenda 2 e chega em x . Portanto, podemos escrever que um objeto que sai de s e passa ou pela fenda 1 (F1) ou pela fenda 2 (F2) e chega em x é:

A expressão (4) pode ser ainda representada como o esquema da figura 02 que mostra os vetores de estado no experimento da dupla fenda. O cuidado que se deve tomar com está figura é a ordem de escrever a expressão (4) que começa da esquerda com a fonte s para a direita com o anteparo x .

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Figura 02: Esquema dos vetores de estado da expressão (4) no experimento da dupla fenda com elétrons

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## 3. Resultados

Pode-se utilizar a notação de Dirac para analisar o que acontece com objetos quânticos no experimento da dupla fenda. Para sintetizar a notação apresentada na seção 2.2, definimos como a amplitude de probabilidade para o objeto quântico chegar em x pela fenda 1, ou seja: e a amplitude de probabilidade para o objeto quântico chegar no detector através do fenda 2, isto é: . Estas são as amplitudes para o objeto quântico sair da fonte s e passar ou pela fenda 1 ou pela fenda 2 e chegar no anteparo x .

Podemos dizer que um objeto quântico preparado no estado possui a probabilidade de ser observado num estado igual a (expressão 2). Como a amplitude de probabilidade é igual a , ou:

Como afirmamos que o número deve ser um número complexo, temos

que:

O símbolo * significa que o número é complexo e . O produto do lado direito da expressão 6 sempre leva a um valor real. Calculando o resultado na expressão (6) temos:

Podemos sintetizar o resultado na expressão (7) utilizando a seguinte notação: e . A probabilidade é igual a , isto é, a probabilidade de chegar no anteparo x apenas pela fenda 1. Idem para a fenda 2. Assim:

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A expressão (8) revela que a probabilidade de um objeto quântico que sai da fonte s chegue em x por alguma das fendas é igual a probabilidade do objeto quântico chegar no anteparo x apenas pela fenda 1 acrescido da probabilidade de chegar apenas pela fenda 2 mas alguns termos cruzados que não especificam por qual fenda o elétron passou. São estes termos cruzados que geram interferência.

Este resultado pode ser encarado como um dos princípios mais fundamentais da mecânica quântica: o Princípio da Superposição. 3 Os termos cruzados representam um estado de superposição no qual não podemos dizer por qual fenda elétron passou ' o resultado mostra interferência simultânea de um só elétron pelos dois caminhos ' (LOPES, 1992).

Caso seja fechada, por exemplo, a fenda 2, o vetor de estado será nulo devido ao fato do elétron não conseguir atravessar está fenda. Se então, , pois . A expressão (7) fica:

Podemos observar que na expressão (9) não existe termos cruzados. Neste caso não ocorrerá interferência e o elétron se comportará como partícula. Analisando as duas situações resumidas nas expressões (8), o elétron sofre interferência, e (9) o elétron não sofre interferência, o que mudou no aparato experimental foi a questão de observar por qual fenda o elétron passou. No caso da expressão (8) não sabemos dizer por qual fenda o elétron passou. No caso da expressão (9), fenda 2 fechada, podemos afirmar que o elétron passou pela fenda 1. Com estas considerações podemos enunciar o Princípio da Complementariedade (PESSOA JR., 2003):

Um sistema quântico ou exibe aspectos corpusculares (seguindo trajetórias bem definidas), ou aspectos ondulatórios (como a formação de um padrão de interferência), dependendo do arranjo experimental, mas nunca ambos ao mesmo tempo. Essas não são as palavras de Bohr, mas exprimem a sua noção de que onda e partícula são aspectos mutuamente excludentes, mas complementares, da natureza

Desta forma, quando as duas fendas estão abertas não podemos afirmar por qual fenda o elétron passou. Utilizando o Princípio da Complementariedade podemos dizer que o objeto quântico deverá exibir características ondulatórias (interferência da expressão 8). Mas, quando fechamos a fenda 2, restou apenas a fenda 1 para o elétron passar. Como podemos predizer qual a trajetória do elétron, segundo o Princípio da Complementariedade , o objeto quântico deverá exibir características corpusculares (sem interferência como na expressão 9).

## 4. Considerações Finais

Apresentamos sinteticamente o experimento da dupla fenda com objetos quânticos e explicamos conceitualmente como este aparato experimental funciona e sua importância para introduzir mecânica quântica.

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Conseguimos apresentar a notação de Dirac dos vetores de estado sem utilizar a matemática que supera o nível do ensino médio. Para isto, utilizamos as regras propostas por Feynman (FEYNMAN et al., 1963; 2008) e mostramos o significado dos vetores de estado.

Como resultado apresentamos aplicações do uso da notação de Dirac para discutir conceitualmente o Princípio da Superposição e Princípio da Complementariedade.

Poderíamos ainda ter discutido com o apoio dos vetores de estado a destruição do padrão de interferência, quando se tenta observar por qual fenda o elétron atravessou.

Outro tópico poderia ter sido abordado em nossas discussões são questões como localidade e realidade em mecânica quântica. A localidade pois não conseguimos observar efeitos quânticos (interferência de partículas) quando podemos afirmar a trajetória de partículas e, porque através do experimento da dupla fenda podemos apresentar o Princípio da Incerteza. O formalismo matemático da mecânica quântica não descreve a realidade física do sistema (PESSOA JR., 2003):

O formalismo da Teoria Quântica não trata dessas questões, ele não se preocupa em descrever a realidade que existe além de nossas observações, mas apenas em fornecer previsões sobre os resultados das medições realizadas em diferentes situações experimentais.

Este trabalho apresenta de forma sintética várias aplicações que podem ser utilizadas apresentando a proposta de tradução do formalismo matemático da mecânica quântica de forma conceitual. Concluímos este trabalho mostrando da forma mais elementar possível (ao nosso ver) como introduzir mecânica quântica e seu formalismo matemático, seja numa disciplina de graduação, seja no ensino básico.

## Agradecimentos

Os autores agradecem a Sociedade Brasileira de Física (SBF) e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) pelo apoio financeiro ao Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física (MNPEF).

## Referências

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DICKE, R.H.; WITTKE, J.P. Introduction to Quantum Mechanics , Massachusetts: Addison-Wesley Company, Inc, 1961.

AUTOR (2016).

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