Velhas e novas reflexões acerca do papel da Matemática no Ensino de Física

## VELHAS E NOVAS REFLEXÕES ACERCA DO PAPEL DA MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA

## Fernando Carneiro , Maria Cristina Penido 1 2

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia - IFBA/Departamento de Matemática

2 Universidade Federal da Bahia - UFBA/Departamento de Física Geral

## Resumo

Neste trabalho apresentamos um elenco de considerações sobre a relação constante entre a Física e a Matemática e trata de apontar algumas reflexões acerca da forma como tratamos a matemática no ensino de física. Levaremos em consideração o contexto histórico desta relação, e refletiremos sobre a melhor forma de ensinar os estudantes a apreender o mundo por meio das outras linguagens da ciência, destacando o especial papel e a função da Matemática enquanto linguagem de estruturação do pensamento físico, pois, entendemos que ela é a responsável por uma produção científica notável na física há algum tempo e apresenta-se localizada de forma perene no seio da Física. Trataremos de objetivar a análise dos diversos entendimentos sobre a utilização adequada da matemática no ensino de física. Para isso, os caminhos a serem trilhados para chegarmos a esse objetivo, permearão por um estudo aprofundado envolvendo uma análise mais detalhada a partir da arte dos referenciais teóricos acerca do tema. Esperamos nos defrontar com resultados que diste qual seria a forma mais coerente de utilizar a matemática no ensino de física não permitindo assim uma concepção ingênua dessa relação.

Palavras-chave: Física, Matemática, Linguagem, Ensino e Reflexões.

## Introdução

A partir das nossas experiências em sala de aula e acompanhando a formação inicial e continuada dos professores de física, nas licenciaturas e projetos as quais fazemos parte, sempre nos questionamos do porque os professores de física ensinarem matemática? Esta indagação se sustenta ao longo de muitos anos de vivência na área de ensino de física, observando que muitos de nós utilizamos a Matemática como um instrumento de auxílio para resolução de problemas de física e fazemos isso com tamanha facilidade e intensidade que muitas vezes ofuscamos o labor da Física. Apesar de ser uma discussão recorrente dos ides de 1970, ainda nos defrontamos constantemente com esse dilema: a Matemática é um instrumento ou uma linguagem de auxílio à Física?

Para Poincaré,

O objetivo da física matemática não é só de facilitar ao físico o cálculo numérico de certas constantes, ou a integração de certas equações diferenciais. Mas ele é, sobretudo, o de facultar ao físico o conhecimento da harmonia oculta das coisas, fazendo com que as veja sob uma nova perspectiva (POINCARÉ apud KARAM, 2007, p. 5).

No ensino médio, por exemplo, atribui-se à Matemática o status de um 'bicho papão' que aterroriza o ensino de física, haja vista que muitos dos nossos

alunos não conseguem chegar ao sucesso de nossa disciplina por conta única e exclusivamente de uma deficiência explicita nos conceitos necessários, principalmente, do algebrismo matemático.

Pietrocola (2002) afirma que quantos de nós não escutamos o colega de área falar assim: 'para você entender esse problema de Cinemática é necessário conhecer as funções e seus gráficos a fundos'; aliás, a Cinemática em particular é um dos conteúdos de Física, em que o professor de física, mais se esmera para engendrar toda aquela matemática de funções, definições e gráficos até chegar finalmente à interpretação do fenômeno físico. Aqueles professores mais reticentes ainda dizem: 'a partir daí é com vocês (alunos) e a matemática que aprenderam no curso anterior ou no semestre anterior'.

O fato é que certamente temos dificuldades no relacionar, no lidar, com a Matemática. Ela é tão próxima e ao mesmo tempo tão distante. Isto também acontece em nível universitário, onde não se concebe no ciclo básico das licenciaturas e nos bacharelados em Física, uma quantidade excessiva de disciplinas de matemática tais como Introdução a Matemática (ou Fundamentos da Matemática Elementar), Álgebra Linear I, Álgebra Linear II, Geometria Analítica (ou Álgebra Vetorial), Cálculo I, Cálculo II, Cálculo III e Cálculo IV, dentre outras secundárias visando uma boa qualificação para apoiar a seguir o ciclo técnico. Porém sabemos que o fracasso universitário tal como o escolar acontece e está fadado a permanecer caso não se encontre uma solução para tal demanda supracitada.

Diante disto, qual seria essa dita solução? Será que realmente a Matemática está bem sincronizada no ensino de Física? Será que a sua utilização está sendo adequada aos ensinamentos dos nossos alunos permitindo especial atenção a formação inicial dos nossos discentes em Física? Ao que parece, questões de pesquisas pertinentes na década de 70, ainda continuam bastante atuais permitindo Pietrocola (2010) argumentar que alguns profissionais chegam a denominar de 'prérequisito profissional', isto é, para fazer Física há que se saber Matemática, logo vamos ensiná-la primeiro. Para ele, na educação básica, o diagnóstico intuitivo de professores, coordenadores pedagógicos e educadores em geral não é muito diferente do que propusemos para o ensino superior. Certamente é muito mais fácil então considerarmos a Matemática como um instrumento técnico para auxilio das aulas de Física atribuindo assim a primeira uma responsabilidade muito maior do que na segunda na disciplina da segunda, permitam-me a redundância, para entendermos melhor. Será que paramos para imaginar se é possível estudar o fenômeno físico na sua completude sem a Matemática? Qual o verdadeiro papel da Matemática no âmbito dos estudos destes fenômenos físicos? E como se dá isso para o ensino de física?

Obviamente que não podemos mais entender a Física sem a Matemática, pois a última localiza-se dentro do seio da Física de forma perene; a quantidade de produção acadêmica ao longo dos últimos cem anos traduz um caminho sem volta, a nosso ver, e nos faz entender que é preciso dar valor a esse contexto, inclusive nas suas diversas frentes que esse panorama nos traz, tal como propriamente uma pesquisa em ensino de Física, ou seja, precisamos desvelar e discutir esse cenário para maturarmos melhor a nossa formação, especialmente à formação inicial, pois, sabemos que formar professores é uma tarefa muito difícil. Muito há que ser estudado e pesquisado sobre a formação de um profissional que pretende ir à

escola de ensino básico e oferecer aos seus alunos um conhecimento que poucos têm acesso e que é de tão difícil compreensão apesar dos esforços para se mudar essas duas condições. Isto é o melhor que podemos oferecer.

De forma bem simplista, isto se dá porque a Matemática nos fornecerá certo rigor e organização enquanto linguagem estruturante da epistemologia da física com bem diz Pietrocola (2002). Ou seja, o critério de racionalidade é mais significativo que o convencionalismo ou empirismo de usar somente por usar. Para o historiador Paty (2003), o aprofundamento do conhecimento matemático, em particular daquele utilizado na organização de problemas físicos, alarga a racionalidade humana.

Acreditamos que a linguagem da Matemática que usamos na Física, não é a mesma utilizada pelos matemáticos, além de entendermos que a primeira organiza os pensamentos oriundos ao estudo dos fenômenos físicos.

## Contextualizando o relacionamento da Física-Matemática

- O método científico passou a ser constituído da mescla da audácia especulativa com a exigente comparação empírica, e, também, as teorias obtidas passaram a constituir sistemas de afirmações com os quais se podem inferir outras afirmações, quase sempre, com ajuda da matemática ou da lógica.

Eves (2004) preconiza que a unificação e o esclarecimento de toda ciência, ou de todo conhecimento foi preconizado pelo método da razão, vislumbrando no pensamento de Descartes e transmitido na sua célebre obra 'Discurso sobre o método de bem conduzir a razão na busca da verdade', em 1637.

A procura do conhecimento científico, em qualquer campo, deve-se consistir, essencialmente, em aceitar somente aquilo que seja tão claro na mente, que exclua qualquer dúvida; dividir os grandes problemas em problemas menores; argumentar, partindo do simples para o complexo e verificar o resultado final.

Alguns anos mais adiante, Leibniz refere-se à 'Characterística Universalis' como um sonho de um método universal, o qual todos os problemas humanos, fossem científicos, legais ou políticos, pudessem ser tratados racional e sistematicamente, através de uma computação lógica.

Nas pesquisas científicas, a Matemática passou a funcionar como agente unificador de um mundo racionalizado, sendo o instrumento indispensável para a formulação das teorias fenomenológicas fundamentais, devido, principalmente, ao seu poder de síntese e de generalização.

(PINHEIRO; PINHO-ALVES; PIETROCOLA, 2007 apud KARAM, p. 5) propõem a noção de Matemática como estrutura (ou estruturante) do conhecimento físico. Para os autores ela é o 'esqueleto' que sustenta o 'corpo' da Física:

A Matemática fornece um conjunto de estruturas dedutivas, por meio das quais se expressam as leis empíricas ou os princípios teóricos da Física [...] ela é uma forma de linguagem e ferramenta, por meio da qual são

estruturadas as relações entre os elementos constituintes de uma teoria (PINHEIRO; PINHO-ALVES; PIETROCOLA, apud KARAM: 2007, p.5).

Sendo assim, fica evidente a que o físico não pode prescindir da Matemática, uma vez que ela o fornece a linguagem, a estrutura e o torna capaz de generalizar suas leis.

- O reconhecimento de uma teoria científica passou a ter como condição necessária o fato de poder ser expressa em uma linguagem matemática. A própria Matemática teve uma evolução substancial, em decorrência da procura das diversas áreas de pesquisa por novas teorias matemáticas.

Pode-se dizer, a nosso ver, que as ciências naturais tais como Química, a Física e a Astrofísica estejam, atualmente, amplamente matematizada em seus aspectos teóricos. As ciências biológicas, apoiadas, inicialmente, nos paradigmas da Física e nas comparações consequentes, foram ficando, cada vez mais, matematizadas. Nesta área, a Matemática tem servido de base para modelar, por exemplo, os mecanismos que controlam a dinâmica de populações, a epidemiologia, a ecologia, a neurologia, a genética e os processos fisiológicos.

Para Eves (2004), seria uma concepção ingênua mascarar a importância da Matemática perante a Física, pois, a sua relação inicia de forma muito natural no século XVII no âmbito do surgimento da Ciência Moderna, quando nesta ocasião, personalidades de renome como Galileu Galilei, Isaac Newton, Leonard Euler, Alexis Clairaut e Jean Le Rond d'Alembert legitimaram a matematização no âmbito da Física. Antes disso a Matemática e a Física caminhavam separadas, cada uma com seu objeto de estudo sem nenhum diálogo permanente. Concomitantemente opostas, a Matemática com a geometria euclidiana, primeiro grande alicerce de sua base, e a Física desfrutando das ideias Aristotélicas sobre o 'lugar natural'. Era como se fosse um apartheid, porém, sem interlocução entre essas duas grandes áreas do conhecimento humano que perpassaram pela idade média e renascença sem proliferar um diálogo mais forte e agregador.

Foi com o desenvolvimento da Mecânica pós-newtoniana e o advento do Cálculo que promoveram a fidelização da Física-Matemática, vejamos o que diz,

Instala-se, então, uma tradição de 'Física-Matemática', na qual a tradução matemática passa a se constituir numa mediação propriamente física. Neste contexto, a matematização é concebida como inerente aos conceitos e suporte para a sua construção. (PIETROCOLA, 2010, p. 84),

Portanto, tratar a Matemática como uma linguagem estruturante do pensamento humano é uma alternativa pujante e sobressalente.

## A Matemática agregadora da realidade Física

Todo conhecimento é resultado de um longo processo acumulativo de geração, organização intelectual, social e de geração de ideias. Segundo D'Ambrósio (1986), essas etapas não são dicotômicas entre si. Ou seja, não há condições de desvincular a geração do conhecimento (cognição) de sua organização intelectual (epistemologia) e de sua organização social (história) ou de sua difusão (educação).

Nesta busca, o processo é um todo, e no campo da Física precisa-se encará-la de uma forma mais significativa, transcendendo a ideia de uma ciência isolada, para uma ideia mais abrangente; relacionando questões mais amplas e refletindo sobre as diversas situações, favorecendo uma visão mais crítica e muito mais fortemente elaborada.

Desta maneira, o ciclo de aquisição de conhecimento é deflagrado a partir da realidade, considerada como um complexo de fatos e fenômenos sempre acontecendo.

Segundo D'Ambrósio (1986), o indivíduo é incessantemente informado pela realidade através de mecanismos de sentidos e de memória. O indivíduo adquire a informação e define motivações e estratégias para a ação.

A ação provém de estratégias motivadas pela necessidade e/ou desejo que tem cada indivíduo de explicar, conhecer, entender, lidar, manejar, conviver com a realidade e, logicamente, resulta do processamento da informação que o indivíduo recebeu da realidade.

Salienta que,

Compreender os fenômenos da natureza e suas leis, realizar previsões dos comportamentos destas leis e construir conceitos que expliquem os fatos que nos rodeiam, tem sido uma das buscas constantes do homem, no objetivo do processo decisório do favorecimento humano. (FERRUZI, 2003, p. 33)

Assim, mecanismos de captação de informação começam a ser conhecidos. Porém, essa informação é múltipla na sua natureza, complexa e variada no seu grau de precisão e acuidade. Como se dá o processamento ainda é inexplicável e constitui um dos problemas mais fascinantes da ciência moderna.

Por isso, D'Ambrósio (1986) explicita que uma possibilidade existente é que, para definir estratégias de ação, o indivíduo selecione algumas das informações que recebeu e crie representações ou modelos da realidade transformando em linguagem estruturada.

Nesta busca, uma poderosa ferramenta para contribuir nesse processo, não poderia ser a Matemática? Ela elabora modelos representando situações concretas que por muitas vezes são impossíveis de serem fundamentadas na sua forma real e carecem de um extrato virtual, visível e representativo ao usuário final; a linguagem.

Enquanto sistema linguístico, a Matemática utiliza-se de símbolos para comunicar supostos significados. Desta forma, ao apreender a Matemática, nas séries iniciais, o aluno se depara com uma linguagem muito formal e organizada, onde o professor deve auxiliar o aluno na compreensão e na interpretação desta linguagem própria da Matemática. Porém com o cuidado de reconhecer que o conhecimento matemático não é algo concluído muito menos nem acabado e nem ter a ideia de que deve ser 'transferido' por ele, professor conhecedor, ao aluno, sujeito que não possui ainda esse conhecimento firmado ou organizado.

## A Matemática enquanto linguagem organizadora do pensamento em Física

Quando se propõe analisar um fato ou uma situação real cientificamente, quer dizer, propósito de substituir a visão ingênua desta realidade por uma postura

crítica e mais abrangente, deve-se procurar uma linguagem adequada que facilite e racionalize o pensamento.

- O objetivo principal da utilização da Matemática é, de fato, extrair a parte essencial da situação-problema e formalizá-la em um contexto abstrato onde o pensamento possa ser absorvido por uma extraordinária economia de linguagem. Assim, a Matemática pode ser vista como um instrumento intelectual capaz de sintetizar ideias concebidas em situações empíricas que estão, quase sempre, camufladas num emaranhado de variáveis de menor importância.

Pensando no ensino, a compreensão superficial do real papel desempenhado pela matemática na estruturação do conhecimento se constitui em um tipo de obstáculo pedagógico a ser superado pela educação científica.

Portanto, a distinção entre a linguagem cotidiana e a científica se torna muito grande. Essa transição lenta e continua quem faz é a Matemática. Como diria,

Mas não existe uma ruptura total entre ambas, senão uma passagem lenta e segura da linguagem menos precisa e coerente do dia-a-dia para uma linguagem formalizada na Ciência, que em Física atinge seu ápice com o uso das teorias matemáticas. ( PIETROCOLA, 2010, p. 87)

Sendo assim, com o advento da linguagem matemática, elimina-se a imprecisão da linguagem comum, tornando o discurso mais conciso e objetivo, servindo também como instrumento de raciocínio para comparar conclusões com experiência.

Galileu afirmava que, a matemática era o alfabeto das ciências; para ele, Deus escrevia a natureza com a linguagem matemática. Mas Paty (1995) contrapõe, afirma que o objeto de pesquisa da Física é o estudo de uma 'realidade objetiva', a qual é caracterizada conceitualmente e simbolicamente pelo pensamento. Porém, não podemos exatamente sobrepor essas duas afirmações: para passar de uma à outra, a física não poderia substituir o real, nem a matemática confundir-se com o pensamento real (PATY, op. cit., p.233).

Sendo assim, devemos entender a Matemática não como uma linguagem que traduz simplesmente diretamente a natureza, como foi feito em outras épocas:

Todavia, a matemática era concebida como um conhecimento que permitia uma leitura direta da natureza, da qual, precisamente era a língua. Por isso, o que interessava a Galileu, do ponto de vista do acordo numérico com os fatos de experiência, era apenas ordens de grandeza. A constituição progressiva da física matemática substitui essa 'tradução matemática' da natureza por uma mediação física propriamente dita, isto é, a elaboração explícita de conceitos físicos pensados matematicamente: sendo a matematização concebida como inerente aos conceitos, constitutiva desses, que serve para construí-los (PATY, op. cit., p.234).

A Matemática, enquanto linguagem da ciência é dizer que ela é expressão dos pensamentos humanos e não apenas um instrumento de comunicação. Logo, trata-se de uma forma de estruturar as ideias que temos sobre o mundo físico, apesar de que, em certos momentos, ela também pode ter um caráter descritivo, em que se assume um mundo físico previamente estruturado pelas pesquisas anteriores.

Essa última ideia, de linguagem organizada, é uma das mais importantes da Matemática, pois destaca, como afirma Karam (2012), a função estruturante que ela pode ter no processo de produção dos objetos que vão se tornar as interpretações do mundo físico. Assim:

A realidade não é o ponto de partida, mas de chegada das interpretações físicas (Paty, 1995). Nesse processo, a Matemática, enquanto linguagem empresta sua própria estruturação ao pensamento científico para compor os modelos físicos sobre o mundo. Essas são, em última instância, estruturas conceituais que se relacionam ao mundo, mediadas pela experimentação (PIETROCOLA, op. cit., p. 106).

Argumenta ainda o autor que a Matemática tem, em suas características, a precisão, a universalidade e, o mais importante, a lógica dedutiva - que implica possibilidade de previsibilidade. Além disso, a linguagem matemática, assim como qualquer linguagem, possui um conjunto articulado de ideias, e uma vez que os conceitos físicos são expressos nessa linguagem, são articulados entre si em forma de redes, presentes em uma teoria que, devido a sua organização interna, lógica e coerência constituem estruturas.

As estruturas conceituais têm propriedades específicas: são autoconsistentes, isto é, estão livres de contradições internas; são autocontidas, isto é, as definições de elementos nelas contidas começam e sempre terminam em seu interior e não fora dele, desta forma bastando-se a si mesma; são coerentes, pois não permitem contradições no seu domínio de validade (PIETROCOLA, op. Cit., p. 109).

Diante disto, podemos afirmar que os conteúdos oriundos do ensino de física dividem-se em duas partes: a primeira no domínio técnico dos sistemas matemáticos, tais como a operação com algoritmos, a construção de gráficos, a solução de equações, dentre outros. Segundo Karam (2009) denomina-se habilidade técnica a capacidade de lidar com essas regras e propriedades matemáticas. Porém denominamos de habilidades estruturantes a capacidade de utilizar os saberes matemáticos para a estruturação de fenômenos físicos, isto é, ao uso organizacional da matemática em domínios externos a ela. Aliás, Bachelard (1989) afirmava sempre que a força da Matemática reside no fato dela ser um pensamento seguro de sua linguagem.

## Considerações finais

Ao trazer a tona os estudos e as discussões de alguns renomados autores da nossa atualidade, que versam sobre essa relação intensa entre a Matemática e a Física articulando com argumentos teóricos de outras décadas, percebemos que a temática é muito atual e pertinente para a sala de aula e que devemos nos debruçar mais ainda sobre ela sob pena de tornarmos nossos cursos de Física mais obsoletos do que são considerados atualmente pela comunidade escolar. As aulas de Física são consideradas pelos alunos como momentos de muitas formulas matemáticas e de muitas resoluções de problemas, no velho estilo de uma aula comportamentalista com suas grandes listas de exercícios, sem que ao final da referida aula os conceitos físicos perdurem até a aula seguinte. Desta forma, nesta perspectiva,

propormos essas velhas e novas reflexões nos remete a percorrer bem as 'pontes' que unem a epistemologia e a didática da Física.

Por tudo isso, levar os estudantes a compreender o papel estruturador da Matemática no contexto do ensino de física é objetivo dos mais importantes na perspectiva de uma educação científica. O estudo da arte desses referenciais supracitados acerca do tema caminha para uma visão diferenciada daquela até então utilizada na sala de aula. Encarar a Matemática como uma linguagem que estrutura o pensamento físico propõe um novo caminho uma melhor interação e aproveitamento da disciplina Física. Esta investigação aponta a necessidade de refletirmos e revermos novamente o papel da Matemática no Ensino de Física.

## Referências

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