MEDINDO A DISTÂNCIA DA TERRA À LUA: UMA PROPOSTA FACTÍVEL PARA O ENSINO MÉDIO

## MEDINDO A DISTÂNCIA DA TERRA À LUA: UMA PROPOSTA FACTÍVEL PARA O ENSINO MÉDIO

João Teles de Carvalho Neto , Douglas Garrido , Gustavo Eiji Ityanagui , 1 1 1 Matheus Navi 1 , Adenilson Francisco Tetzener Júnior 1,2 , Cristiano Rocha 1,2 , Guilherme de Oliveira Silvério 1,2 , Paulo Cézar de Faria 1

1 Universidade Federal de São Carlos/Departamento de Ciências da Natureza, Matemática e Educação, jteles@cca.ufscar.br

2 Universidade de Aveiro, Portugal

## Resumo

Propomos um método para a medição da distância da Terra à Lua em unidade de raios terrestres utilizando apenas medidas locais com instrumentos simples e sem a necessidade do uso de valores tabelados. Esta é uma proposta de experimento colaborativo a ser realizado entre grupos de estudantes situados em diferentes localidades geográficas. O princípio físico utilizado é o da paralaxe apresentada pela Lua em relação ao fundo de estrelas quando observada, simultaneamente, de diferentes localidades na Terra. Conceitos de geometria, trigonometria, ótica geométrica e astronomia são explorados. Para auxiliar o estudo dos conteúdos de astronomia será utilizado o software Stellarium, sendo que o processamento dos dados será feito com o software SciLab. A medida da distância da Terra à Lua vem sendo determinada desde a antiguidade por astrônomos e matemáticos como Aristarco de Samos, Hiparco e Ptolomeu, e, por isso, possui também uma contextualização histórica. Nossas estimativas mostram que, dentro da nossa proposta, a referida distância pode ser aferida com erro inferior a 25%.

Palavras-chave : ensino de astronomia, paralaxe, experimento colaborativo, distância Terra-Lua

## Introdução

As distâncias entre objetos astronômicos vêm sendo medidas desde a Grécia antiga (ÁVILA, 2010; FARIA, 1987; HEATH, 1921). A história da matemática e da astronomia se confundem visto que os grandes astrônomos da antiguidade foram os primeiros a fazer extenso uso da matemática para descrever os fenômenos naturais relacionados aos movimentos e posições dos corpos celestes. Distâncias relativas e raios da Terra, Lua e Sol foram inferidas usando os mais belos raciocínios desenvolvidos por pensadores como Aristarco de Samos, Hiparco de Niceia, Cláudio Ptolomeu, entre outros expoentes. Dessa forma, a astronomia também oferece uma ótima oportunidade de aplicações dos conteúdos de matemática - principalmente geometria - que podem ser exploradas no contexto do ensino (ÁVILA, 2010; NOGUEIRA e CANALLE, 2010).

Dentre os métodos mais antigos para medição da distância Terra-Lua, encontramos o proposto por Aristarco de Samos (séc. III a.C.) que astutamente percebeu que o vértice formado pela direção Lua-Sol e Lua-Terra na posição de

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26 a 30 de janeiro de 2015

quarto crescente e quarto minguante faz um ângulo reto (ÁVILA, 2010; FARIA, 1987). Combinando medidas nessas condições com a medida do tempo em que a Lua leva para percorrer a sombra da Terra durante um eclipse lunar, Aristarco estimou a distância Terra-Lua em torno de 20 raios terrestres (20 R ): um valor bastante inferior ao que conhecemos na atualidade (60 R em média) (NASA, 2014); entretanto, o método é matematicamente consistente.

Hiparco de Niceia (séc. II a.C.) parece ter sido o primeiro a estimar a distância Terra-Lua utilizando o efeito de paralaxe (TOOMER, 1974). Para isso, teria comparado a parcela do disco solar encoberto pela Lua durante um eclipse solar visto, simultaneamente, por dois observadores: um situado na região de Niceia (atualmente na Turquia) e outro em Alexandria (Egito). Como o Sol está a uma distância da Terra muito maior do que a Lua, o seu centro pôde ser considerado como estando na mesma direção para os dois observadores. No momento em que o Sol estava totalmente encoberto pela Lua em Niceia, encontrava-se parcialmente encoberto em Alexandria, ou seja, a posição da Lua apresentava um desvio angular em relação a uma direção fixa - efeito de paralaxe -, permitindo a Hiparco estimar a distância Terra-Lua entre 71 e 83 raios terrestres: valor bem mais próximo do atual. Posteriormente, Cláudio Ptolomeu (séc. II d.C.) também obteve medidas da paralaxe lunar. Em 1751, os astrônomos Lacaille e Lalande obtiveram as primeiras medidas precisas da distância lunar usando paralaxe e, a partir de 1838, a paralaxe trigonométrica foi utilizada para medir distâncias a estrelas próximas (FARIA, 1987). Atualmente, o método mais preciso de medida da distância lunar é através do tempo de eco de luz laser refletida por espelhos especiais colocados em solo lunar pelas missões Apolo (FARIA, 1987; SHELUS, 2001).

Inspirados pelo método de Hiparco, pensamos em um experimento colaborativo entre estudantes de diferentes localidades para a medição da distância Terra-Lua. Experimentos colaborativos possuem a característica de necessitar de medidas e avaliações de diferentes grupos de pessoas com o intuito de se chegar a um objetivo comum; estratégia comumente utilizada em pesquisas na área de Astronomia (HOLLOW, 2103). No caso do ensino de astronomia e matemática, podemos citar como uma experiência colaborativa bem sucedida a determinação do raio da Terra usando o método de Eratóstenes (SANTOS et al., 2012). Nesse caso, os diferentes observadores medem o tamanho da sombra produzida pelo Sol em uma espécie de gnômon em suas respectivas localidades, inferindo o ângulo do Sol com o zênite local. Dessas observações, e conhecendo-se a distância entre as localidades, é possível determinar o raio da Terra usando conceitos da geometria.

O experimento colaborativo usando paralaxe que propomos baseia-se na medida da posição da Lua em relação às estrelas ou planetas visíveis realizada em diferentes localidades simultaneamente. Como os planetas, e principalmente as estrelas, encontram-se a distâncias muito superiores ao raio terrestre, podemos considerá-las, em um mesmo instante, como apontando na mesma direção do espaço em qualquer lugar da Terra. A Lua, por estar bem mais próxima, deve apresentar diferenças perceptíveis em sua direção, as quais são tão grandes quanto maior a distância entre as localidades. A medida das distâncias angulares da Lua em relação a algumas estrelas de referência permite, através do uso de conceitos da geometria, mensurar a distância Terra-Lua em termos de R .

Um dos maiores desafios práticos para que essa proposta seja aplicada no ensino médio é estabelecer um método de medida angular minimamente preciso

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que seja de fácil acesso aos estudantes e que seja prático em seu uso. Para isso, propomos neste trabalho a construção de um tipo de sextante usando monóculo de fotografia que permite medidas de intervalos angulares de até 32° em quaisquer direções com precisão de 0,4°. Outros métodos, como a tomada de fotografias que englobem a região da Lua e das estrelas de referência, também serão considerados. Pretendemos aplicar esta atividade durante o 2° semestre de 2014 e 1° semestre de 2015 entre estudantes do ensino médio da cidade de Araras-SP-Brasil e AveiroPortugal sob coordenação de estudantes bolsistas do campus Araras da UFSCar e participantes do Programa Licenciaturas Internacionais (PLI) em Aveiro.

Por fim, muitos conceitos adjacentes poderão ser explorados, como o efeito de paralaxe e seu uso em medidas astronômicas, definição da unidade de distância parsec , visão estereoscópica, aplicações de lentes convergentes (lupa contida no monóculo de fotografia), e, principalmente, o uso de conhecimentos de geometria e trigonometria. Para auxiliar todo esse processo, pretendemos fazer extenso uso do software livre Stellarium (GATES, 2014), um simulador do céu, que permitirá encontrar os melhores dias e horários para realização das medidas e ajudará a simular os efeitos observados. Pretendemos também usar o software de código aberto SciLab (GOMEZ, 2013), que permitirá realizar os cálculos numéricos com os dados medidos. Devido ao seu aspecto relativamente mais avançado, o uso do SciLab será restrito aos coordenadores da atividade, sendo que com os estudantes do ensino médio serão explorados, preferencialmente, os conceitos físicos e matemáticos e as medidas experimentais.

## Metodologia

Descrevemos a seguir o desenvolvimento matemático que será utilizado para se determinar a distância Terra-Lua medindo-se a paralaxe lunar em relação a algumas estrelas de referência. A figura 1 contém os vetores das distâncias e ângulos utilizados no problema.

Figura 1: Vetores e ângulos utilizados na determinação da distância Terra-Lua

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RA e RB são os vetores que conectam o centro da Terra C aos pontos de observação A e B sobre a superfície. LA e LB são os vetores que conectam as localidade A e B ao centro da Lua D . O vetor unitário u aponta na direção de uma estrela de referência - nota-se que, diferentemente da Lua, a mesma estrela possui

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a mesma direção u para as duas localidades. L é o vetor do centro da Terra ao centro da Lua. Pela figura, podemos observar que:

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Fazendo o produto escalar dos vetores da equação (1) com o versor u e dividindo-os pelo raio terrestre R , encontramos:

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em que os ângulos entre a estrela e a Lua e a estrela e o zênite (topo do céu) correspondem, respectivamente, a a L e a R na localidade A e a b L e b R na localidade B . Definimos também as distâncias A = | l LA |/ R e l B = | LB |/ R como sendo a distância Terra-Lua em cada localidade em unidades do raio R . Na obtenção da equação (2) assumimos que a Terra é perfeitamente esférica.

Medindo-se os ângulos da estrela em relação à Lua e em relação ao zênite resulta em duas incógnitas a serem determinadas: l A e l B. Portanto, precisamos de pelo menos mais uma equação linearmente independente em A e B para resolver o l l problema. Isso pode ser feito medindo-se os referidos ângulos para outras estrelas de referência. Na verdade, tantas estrelas quanto possível podem ser medidas e o sistema linear, dessa forma, sobredeterminado, pode ser resolvido pelo método dos mínimos quadrados, por exemplo. Assim, uma quantidade maior de estrelas contribui para diminuir o erro na determinação das distâncias à Lua.

Vale salientar que esse procedimento não requer nenhum alinhamento ou condição especial, diferentemente dos métodos de Aristarco e Hiparco, bastando que a Lua e as estrelas de referência estejam visíveis em ambas as localidades simultaneamente. Por exemplo: os vértices A , B , C e D na figura 1 não precisam estar contidos no mesmo plano; nenhum subconjunto de vetores precisa ser coplanar; e o vetor L não precisa estar na bissetriz do ângulo com vértice em C .

## Instrumentos de medida angular

É necessária a utilização de instrumentos de medição angular adequados para que a metodologia proposta funcione. Instrumentos clássicos como o astrolábio, sextante ou quadrante podem ser utilizados para essa função. Existem propostas de confecção de astrolábios de baixo custo usando transferidor escolar, prumo e tubo de caneta (MARQUES et al., 2013). Quando bem confeccionados e operados de maneira adequada podem ser usados para medir o ângulo dos astros em relação ao horizonte (altura) com erro em torno de 1°, que é a menor divisão do transferidor. Podemos, portanto, utilizá-los na determinação do ângulo da estrela de referência em relação ao zênite: a R e b R.

Para a medida do ângulo da estrela em relação à Lua, a L e b L, o astrolábio com transferidor não é conveniente, pois dificilmente esses dois astros estão na mesma vertical. Para isso, pode ser usado o sextante. Não encontramos na

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literatura nenhuma proposta simples para a sua confecção, sendo essa uma das contribuições deste trabalho. O sextante aqui proposto baseia-se em dois princípios: a visão estereoscópica e a formação de imagens em uma lupa. O dispositivo que os implementará será um monóculo de fotografia. A figura 2 ilustra os princípios envolvidos.

O monóculo é constituído por uma lente convergente (lupa) por onde o observador vê a imagem de uma fotografia colocada no foco da lente. No nosso sextante, a fotografia é substituída pelo desenho de um reticulado, cuja menor divisão é de 0,5 mm. O observador deve olhar com um olho através da lente do monóculo, apontando-o na direção do par de astros entre os quais deseja medir a distância angular. O outro olho, desobstruído, é mantido aberto na direção dos mesmos astros e, portanto, com foco no infinito. Uma vez que o reticulado encontrase no plano focal da lente, a imagem para o primeiro olho também é formada no infinito. Essa condição faz com que os dois olhos mantenham-se paralelos entre si e com a mesma condição focal, produzindo no cérebro uma sobreposição nítida das duas imagens: essa é a base da visão estereoscópica tão explorada ultimamente nos cinemas 3D. Centralizando a origem do reticulado entre os dois astros e contando-se o número n de retículos da origem a cada um dos astros é possível calcular a distância angular s pela relação da tangente:

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em que é a distância focal da lente e f x é a separação entre as linhas do reticulado.

Figura 2: Princípio de funcionamento do sextante feito com monóculo de fotografia

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Uma outra vantagem em se utilizar uma lente para focalizar o reticulado é que o ângulo formado pelos retículos é pouco dependente da distância do olho à lente, uma vez que os raios que emergem dela são paralelos. Isso diminui os erros na medida angular, pois diferentes observadores podem posicionar seus olhos a diferentes distâncias da lente, a exemplo dos usuários de óculos.

Um instrumento antigo e menos conhecido, mas que possui a mesma finalidade que o nosso sextante é a Balestilha (FERNANDES et al., 2011). Nele, uma haste de madeira desliza perpendicularmente por uma outra haste guia, de tal forma que o comprimento da primeira preencha exatamente o intervalo angular

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compreendido pelo par de estrelas a ser medido. Usando-se uma relação similar à equação (3) é possível calcular esse intervalo. Esse é um instrumento que também poderemos explorar, embora seja mais trabalhoso de ser construído, principalmente se formos distribuí-lo entre um grande número de estudantes.

## Experimental

O monóculo de fotografia que temos à disposição possui distância focal de 40 mm, sendo a área para a fotografia formada por um retângulo de 23 mm x 17 mm. Isso corresponde a uma abertura angular de 32° no lado maior. Sendo esse ângulo aproximadamente 1/12 do círculo, poderíamos nomear nosso instrumento de dodecante . Por meio da experimentação percebemos que a menor distância para a separação das linhas do retículo que ainda permite uma fácil contagem e identificação foi de x = 0,5 mm. Considerando que o erro avaliado é aproximadamente a metade da menor divisão da escala, calculamos que a precisão angular é de 0,4°. O reticulado foi desenhado em um software gráfico e impresso em papel sulfite branco por uma impressora Laser.

Como um teste preliminar, medimos a distância angular entre dois pares de astros: (i) as estrelas alfa e beta do Centauro e (ii) o planeta Saturno e a estrela delta do Escorpião. As medidas foram feitas em 23/07/2014 e comparadas com os valores fornecidos pelo software Stellarium , sendo que no primeiro caso o erro foi de 0,2° e, no segundo, de menos de 0,1°, ou seja, inferiores à precisão avaliada para o instrumento.

Como este é um trabalho recente, ainda não tivemos a oportunidade de fazer testes experimentais da medida da distância Terra-Lua. Entretanto, fizemos simulações numéricas com o software Scilab . Para isso, medimos as diferenças angulares entre a Lua e três astros em duas ocasiões diferentes usando o software Stellarium . As cidades escolhidas foram Araras-SP-Brasil e Aveiro-Portugal. Com três astros temos um sistema de três equações lineares, dadas pela equação (2), o qual foi resolvido pelo método dos mínimos quadrados via o software SciLab . Para cada um dos ângulos, foi somado um desvio gerado aleatoriamente através de uma distribuição uniforme entre -0,4° e +0,4° para a diferença angular do astro à Lua e entre -1° e +1° para a altura do astro em relação ao horizonte. Esse cálculo foi repetido dez mil vezes (valor de convergência), fornecendo um valor médio e um desvio padrão para as distâncias A e B. A tabela 1 contém esses resultados. l l

Tabela 1: Resultados das simulações das medidas que poderão ser feitas em Araras e Aveiro para determinar a distância Terra-Lua (em termos do raio da Terra, R )

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Vemos que a simulação da medida do conjunto de épsilon Sagitário apresentou um erro relativo de 9%, o qual é significativamente menor que o erro do conjunto alfa Libra (25%). Essa é uma consequência da disposição dos astros em relação à direção que une Araras e Aveiro (aprox. NE-SO): quanto mais próximos os astros, incluindo a Lua, estiverem dessa direção, maior a diferença entre os ângulos a L e b L e, consequentemente, menor o erro relativo na determinação de A e B. l l

Devido, principalmente, à excentricidade da órbita lunar, a sua distância à Terra está longe de ser uma constante, estando, aproximadamente, a 57 R no perigeu e 64 R no apogeu (NASA, 2014). Portanto, é natural encontrarmos variações dessa ordem ao longo de um mês, que é, aproximadamente, a duração do período orbital lunar.

Por fim, vale comentar uma outra fonte de erro nas medidas angulares causada pelo efeito de refração da atmosfera que desvia de maneira desigual a direção dos raios de luz advindos dos astros: quanto menor a altura em relação ao horizonte, maior o desvio. Entretanto, para uma altura de 5°, o desvio é da ordem de 0,2°, que é menor que a precisão do nosso dodecante . Como é muito difícil, na prática, observar astros a alturas menores do que essas, não precisaremos nos preocupar com esse erro.

## Forma de aplicação

Pretendemos desenvolver essa atividade com alunos do ensino médio nas cidades de Araras e Aveiro. A atividade pressupõe o estudo e a discussão dos conteúdos e métodos relacionados ao fenômeno observado, bem como à confecção dos instrumentos. Vários grupos de estudantes deverão ser formados nas duas cidades. Alguns desses grupos podem ficar responsáveis por medir a altura dos astros escolhidos com o astrolábio, enquanto outros medirão as distâncias angulares com o dodecante . Quanto maior o número de participantes, maior será o número de medidas e, consequentemente, maior será a confiabilidade nos resultados, a exemplo das repetições feitas na simulação numérica, e incorporando um dos principais apelos dos experimentos colaborativos. As seções de observação serão pré-agendas para garantir que as medidas sejam as mais simultâneas possíveis. Pretendemos também tirar fotos do céu na região da Lua e dos astros escolhidos utilizando duas câmeras digitais de alta-resolução para poder mostrar aos estudantes, explicitamente, a paralaxe lunar nas medidas realizadas por eles.

## Referências

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. As várias faces da matemática . 2. ed. São Paulo: Edgar Blucher, 2010. 204p.

FARIA, Romildo Póvoa (Org.). Fundamentos de Astronomia . 6. ed. Campinas: Papirus Editora, 1987. 208p.

FERNANDES, T. C. D.; LONGHINI, M. D.; MARQUES, D. M. A construção de um antigo instrumento para navegação marítima e seu emprego em aulas de Astronomia e Matemática. História da Ciência e Ensino, v. 4, p. 62-79, 2011.

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GATES, Matthew. Stellarium User Guide . Versão 0.12.3, 2014. 128p. Disponível em: &lt;http://barry.sarcasmogerdes.com/stellarium/stellarium\_user\_guide-new.pdf&gt;. Acesso em: 01 ago. 2014.

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&lt;http://www.scilab.org/content/download/849/7901/file/Scilab\_beginners.pdf&gt;.

Acesso em: 01 ago. 2014.

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SANTOS, A. J. J.; VOELZKE, M. R.; ARAÚJO, M. S. T. O projeto Eratóstenes: a reprodução de um experimento histórico como recurso para a inserção de conceitos da astronomia no ensino médio. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 29, n. 3: p. 1137-1174, 2012.

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