Dilatação térmica: o que os livros não dizem e o que os alunos compreendem

## Dilatação térmica: o que os livros não dizem e o que os alunos compreendem

José Bohland Filho 1

1 IFES-Cariacica/Física, jbohland@ifes.edu.br

## Resumo

Este trabalho discute aspectos da dilatação linear que normalmente não são abordados nos livros textos, tanto nos livros do ensino médio quanto nos de física básica dos cursos superiores. A dilatação tem um conteúdo que a primeira vista parece ser de fácil entendimento. Seu conteúdo faz parte do cotidiano dos alunos e, a maioria dos problemas é de fácil resolução, assim ocorrem poucas discussões sobre o assunto em sala de aula, podendo ele ser abordado de forma superficial ou até mesmo negligenciado nos cursos superiores. A escolha por este tema deve-se a dois fatos acontecidos em salas de aula, no ensino médio e no curso superior. Numa destas aulas, na explicação sobre o funcionamento de um experimento sobre dilatação linear, os alunos utilizavam o tamanho total do objeto a ser dilatado como o tamanho inicial, independente do ponto onde era feita a medida. Outro fato foi um questionamento sobre a utilização da equação usual para a dilatação linear, pois se aquecemos um objeto e depois o resfriamos, com a mesma variação de temperatura, o resultado numérico final indica uma suposta diminuição do tamanho do corpo. Por meio desta discussão com os alunos resolvemos verificar como este assunto é abordado nos livros didáticos e percebemos que os mesmos não trazem os conteúdos necessários para explicar os questionamentos dos alunos. O que se pretende neste texto é apresentar estes questionamentos comuns aos alunos e propor sugestões para transpor estes obstáculos.

Palavras-chave : Dilatação Linear, Ensino, livros didáticos.

## INTRODUÇÃO

O ensino da dilatação linear, numa primeira visão, é um assunto de fácil entendimento para os alunos, tanto para os do ensino médio como para os alunos dos cursos superiores que possuem as disciplinas de física básica na sua grade curricular. A compreensão do fenômeno da dilatação térmica dos sólidos possui importantes aplicações e a percepção da existência da dilatação térmica pode ser verificada pelos vãos que existem nas pontes e entre os trilhos do trem, ou mesmo quando é feito um calçamento ou a separação entre os azulejos e pisos numa casa. Essa compreensão do fenômeno, aliada ao fato dos alunos resolverem boa parte dos exercícios propostos nos livros textos, fazem parecer que este assunto, pelo menos nestes níveis introdutórios, é plenamente compreendido. Mas a realidade é outra.

A ocorrência de duas situações em salas de aula distintas e, com alunos do ensino médio e superior, me motivaram a fazer uma investigação sobre o assunto. A primeira situação ocorreu numa aula da disciplina de Pratica de Ensino, do curso

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26 a 30 de janeiro de 2015

superior, na qual os alunos apresentaram um experimento para verificação da dilatação linear nos sólidos. Este experimento é constituído por uma barra metálica que é aquecida utilizando uma canaleta com álcool. Para verificar a dilatação da barra, utilizaram um alfinete que girava conforme a barra dilatava. Neste alfinete estava preso um canudo de refrigerante e a medida da rotação era feita com o auxilio de um transferidor (figura 1). Após a apresentação, discutiu-se sobre a utilização deste experimento no ensino da dilatação linear para uma turma de ensino médio, quando foi verificado que os alunos utilizavam como tamanho inicial da barra, o seu tamanho total e não o tamanho desde o inicio da barra até o ponto onde estava sendo medida a dilatação do sólido.

Figura 01: equipamento para experimento sobre dilatação linear

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A segunda situação ocorreu numa sala de ensino médio. Um aluno após resolver um exercício simples sobre a dilatação linear de um corpo, decidiu verificar se o seu resultado estava correto, fazendo com que o corpo esfriasse para a temperatura inicial. Para espanto do aluno, os resultados eram diferentes. O resultado matemático apresenta uma incoerência física, pois se calcularmos o tamanho final do objeto após o aquecermos e, de posse deste resultado, o resfriarmos, o resultado numérico apresenta um tamanho menor do que o inicial. Levamos este questionamento, sobre a diferença entre os resultados, para ser discutido com os alunos do PIBID do curso de licenciatura em física, uma vez que este questionamento poderia surgir numa sala de aula e, para nosso espanto, eles não sabiam explicar o porque do resultado.

Após a ocorrência destas duas situações em um curto espaço de tempo, decidimos verificar como a dilatação linear é abordada nos livros didáticos, do ensino médio e das físicas básicas dos cursos superiores, além de buscar artigos sobre o assunto. Foram analisados os conteúdos e exercícios presentes nos livros de modo separado, para verificar como transpor as dificuldades e questionamentos apresentados pelos alunos.

## REVISÃO DA LITERATURA

Como primeiro passo, analisamos como este assunto é abordado nos livros do ensino médio (do PNLD) e em dois livros de física básica do ensino superior. Na maioria dos livros texto, o conteúdo sobre a dilatação linear está presente no volume dois que corresponde ao segundo ano do ensino médio ou ao segundo semestre da disciplina de física dos cursos superiores.

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No livro 'Física para o ensino médio' (FUKE; KAZUHITO, 2010) o conteúdo de dilatação linear é apresentado em quatro paginas com um único exemplo. Ele usa um modelo para a agitação térmica das moléculas e traz um pequeno texto sobre a validade dos modelos. No texto é apresentado o gráfico do tamanho do objeto em função da temperatura como sendo uma função linear. Apresenta somente três exercícios sobre a dilatação linear cuja resolução é feita com a aplicação direta da equação.

No livro 'Compreendendo a Física' (GASPAR, 2010) o conteúdo é apresentado em duas páginas, utilizando um modelo de sólido cristalino composto por molas ligando os átomos e não apresenta gráficos. O livro traz 4 exercícios resolvidos e quatro propostos, sendo que no final do capítulo traz 12 testes e questões de vestibular. Após o conteúdo do capítulo é sugerida uma atividade prática, que consiste em construir um equipamento para medir a dilatação linear de um tubo. Um ponto importante na descrição do experimento é o destaque de que deve ser utilizado como tamanho inicial a medida entre o ponto fixo e o marcador. No entanto, nos exercícios propostos essa diferença entre o tamanho total e o tamanho inicial não é necessária para a resolução.

- O livro 'Física' (VILLAS BOAS; DOCA; BISCOULA, 2010) apresenta o conteúdo de dilatação linear em 4 paginas e tenta explicar a dilatação pelo uso do gráfico da força intermolecular em função da distância. A explicação para a dilatação está relacionada ao fato da força decair com o afastamento das moléculas. Apresenta também o gráfico do tamanho do objeto em função da temperatura. Após o conteúdo teórico tem a seção 'faça você mesmo' com um experimento sobre ligas bimetálicas. Os exercícios estão ao final do capítulo com nove exemplos e onze exercícios sobre dilatação linear, todos utilizando o tamanho total do material como tamanho inicial.
- O livro 'Física ciência e tecnologia' (TORRES; FERRARO; SOARES, 2010) traz o conteúdo em duas páginas e apresenta sete exercícios, todos utilizando o tamanho total como o inicial. Já, o 'Quanta Física' (KANTOR, 2010) apresenta o conteúdo no volume três em uma pagina e com somente três exercícios.

Pelo que se pôde ver, nenhum dos livros textos para o ensino médio analisado faz uma discussão mais profunda sobre o assunto. Não são apresentadas discussões sobre a validade da equação e quais são as aproximações utilizadas na obtenção da equação sobre a dilatação linear.

Nos livros do ensino superior avaliados (KELLER; GETTYS; SKOVE, 1997; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009), o conteúdo é apresentado em duas páginas e nem apresentam a equação na sua forma diferencial, utilizando-se da mesma equação presente nos livros do ensino médio. Alguns livros do ensino superior consultados, apresentam a equação na forma diferencial, mas utilizam-se da equação linear para a dilatação. A maioria dos exercícios, dos livros pesquisados, não utiliza como tamanho inicial um valor diferente do tamanho total da barra, podendo induzir os alunos ao seguinte erro: considerar que a dilatação medida em qualquer ponto vai depender do tamanho total da barra.

Foram encontrados três artigos que discutem a dilatação linear, num nível básico. No Caderno Brasileiro de Ensino de Física (LOPES, 2011; PIMENTEL; RUIZ, 1988) os artigos versam sobre a construção de aparatos experimentais para o estudo da dilatação. Lopes (2011) explica como construir um dilatômetro com materiais simples e comenta que a medida inicial deve ser entre o ponto fixo e o

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ponto onde se encontra o medidor. Pimentel e Ruiz (1988) também apresentam a construção de um equipamento para verificar a dilatação linear de sólidos e enfatizam que a medida inicial deva ser entre o ponto de apoio e o ponto de medida.

Precker e Silva (1997) fazem uma análise sobre erros sistemáticos de medidas e a diferença entre dados experimentais e predições teóricas. Um dos assuntos abordados no artigo é sobre o uso impróprio da expressão linear para descrever a dilatação térmica, que implica numa perda de massa (volume) do material. Foi analisado, também, um trabalho de final de curso (SOUZA, 2007) que trata deste tema. Neste trabalho ele utiliza a mesma fórmula para a dilatação, mas para o esfriamento do corpo, ele utiliza a forma diferencial proposta por Newton.

## Resultados

Vamos apresentar aqui algumas sugestões de como conduzir esta discussão com os alunos, de forma que eles possam melhor compreender o fenômeno da dilatação linear.

- O primeiro ponto a ser tratado será aquele relativo ao experimento dos alunos sobre a dilatação. Durante a apresentação, os alunos utilizaram como tamanho inicial para realizar os cálculos, o tamanho total da barra e não o tamanho desde o ponto de fixação da barra até o local onde estava o aparelho de medida (transferidor). O experimento somente poderia ser qualitativo, pois o aquecimento da barra estava localizado num ponto, não sendo portanto, uniforme. Quando questionados sobre o comprimento inicial a ser utilizado - mesmo sendo um experimento qualitativo -, eles disseram que utilizaram o tamanho total, pois todos os exercícios teóricos que eles tinham feito na física básica utilizavam o tamanho total da barra e eles nunca haviam pensado sobre isso.

Como é importante a discussão sobre o tamanho inicial da barra, na resolução de um problema sobre dilatação linear, foi feita uma sugestão para a melhoria do experimento; com o objetivo de demonstrar que a dilatação em pontos diferentes apresenta resultados diferentes e que o tamanho a ser considerado como tamanho inicial deve ser aquele desde o início da barra até o ponto de medida. Foi proposta a inclusão de um segundo aparelho de medida em um ponto diferente da barra, pois nestes pontos a medida da dilatação seria diferente. Mesmo nos modelos de equipamentos propostos (LOPES, 2011; PIMENTEL, RUIZ, 1988), nos quais é possível fazer uma medida mais precisa da temperatura, esta introdução de um outro ponto de medida propiciaria uma discussão e facilitaria a compreensão sobre qual é o tamanho inicial que deva ser utilizado.

Sobre o segundo ponto que fez suscitar esta discussão, ele pode ser tratado de duas formas distintas dependendo do nível matemático dos alunos. Vamos inicialmente discutir o assunto considerando que os alunos não tenham conhecimento do cálculo diferencial e integral.

- O cálculo matemático que resulta em uma suposta diminuição do tamanho do objeto, quando o aquecemos e esfriamos (tabelas 1 e 2), pode ser explicado aos alunos pelo fato de estarmos utilizando tamanhos iniciais diferentes para um mesmo alfa e mesma variação de temperatura, fazendo com que a variação de tamanho seja diferente. Quando o sólido começa a dilatar o seu tamanho aumenta e, por conseguinte, a dilatação também aumenta. Quando resfriamos o sólido, seu tamanho diminui e, portanto, a contração também diminui. Para mostrar este

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resultado podemos utilizar uma planilha matemática e realizar a mesma dilatação mostrada nas tabelas 1 e 2, porém recalculando o tamanho inicial a cada 1 C para o dilatação e contração. Os resultados podem ser vistos nas tabelas 3 e 4.

Tabela 1 : dilatação linear com ∆ T de 30 o CTabela 2 : compressão linear com ∆ T de 30 o C

Podemos ver pelos resultados encontrados que quando fazemos a dilatação, não diretamente utilizando-se do tamanho inicial ao final, mas em passos menores (de 1 o C), a suposta diferença de tamanhos - inicial e final - que ocorria, se aproxima de zero. De posse destes resultados, calculamos o erro percentual ocorrido entre os resultados das tabelas 1 e 3 e, este erro é da ordem de 2,10861 10 -5 %, o que mostra que a aproximação linear é uma boa aproximação, apesar de induzir a um erro de uma aparente diminuição de tamanho quando aquecemos e resfriamos o material. Apesar destes erros não serem significativos, é prudente fazer esta discussão com os alunos do porque da existência do erro.

Tabela 3 : dilatação linear de 30 o C com passo a cada 1 o CTabela 4 : compressão linear com ∆ T de 1 o C

Por outro lado, se estivermos tratando com alunos de curso superior que possuem o conhecimento de cálculo, podemos partir da equação na forma diferencial dL = L α dT e obter uma expressão para o tamanho final do objeto utilizando:

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Obtendo a equação L = L0 e α∆ T que é uma função exponencial para a dilatação linear de sólidos. Podemos expandir em serie de Taylor a função:

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Tomando os dois primeiros termos da expansão (1 + x), uma vez que o termo α Δ T é muito pequeno (da ordem de 10 -4 ), obtém-se a equação que está presente nos livros textos: L = L0 (1 + α Δ T) ou Δ L = L0 α Δ T .

Se utilizarmos a forma exponencial para a dilatação e contração do material (tabelas 5 e 6), a diferença entre o tamanho inicial e final, quando da dilatação e posterior contração do material que surgia dos cálculos, desaparece, uma vez que estamos usando a expressão sem aproximações.

Tabela 5 : dilatação usando a forma exponencialTabela 6 : compressão usando a forma exponencial

## CONCLUSÃO

Apesar do assunto dilatação linear, ser de fácil entendimento por parte dos alunos, em comparação com outros assuntos da física, os livros textos não trazem uma discussão sobre as aproximações adotadas e, na maioria dos exercícios propostos nos livros, é para ser utilizado como tamanho inicial o valor do tamanho total do material, podendo induzir aos alunos que o L0 da equação é o tamanho total do objeto.

Podemos usar uma planilha matemática para mostrar que a equação usual sobre a dilatação é uma aproximação útil para o seu cálculo e que a aparente diminuição do tamanho de um material quando o aquecemos e resfriamos é proveniente desta aproximação. Isto pode ser utilizado também como uma introdução ao estudo da função exponencial.

Nos cursos superiores, o processo de construção da equação, mostrando a validade da aproximação e os limites da mesma deve ser explorado, uma vez que há um maior conhecimento matemático por parte dos alunos.

## Referências

FUKE, Luis Felipe; KAZUHITO, Yamamoto. Física para o Ensino Médio , volume 2. 1 ed. São Paulo: Saraiva, 2010. a

GASPAR, Alberto. Compreendendo a Física , volume 2. 1 ed. São Paulo: a Ática, 2010.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física , volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

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KANTOR, Carlos et al. Quanta Física , volume 3. 1 ed. São Paulo: Editora a PD, 2010.

KELER, Frederick J.;GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J. Física , volume 1. São Paulo: Makrom Books, 1997.

LOPES, Wilson. Construção de um dilatômetro e medida do coeficiente de dilatação linear médio de um tubo de cobre. Caderno Brasileiro de Ensino de Física , [S.l.], v. 28, n. 2, p. 423-434, Out. 2011. ISSN 2175-7941. Disponível em: &lt;https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175-7941.2011v28n2p423&gt;. Acesso em: 21 Jun. 2014.

PIMENTEL, Jorge Roberto; RUIZ, Alberto Ibañez. Laboratório caseiro: equipamento didático simples para estudo de dilatação linear. Caderno Brasileiro de Ensino de Física , [S.l.], v. 5, n. 2, p. 101-111, jan. 1988. ISSN 2175-7941. Disponível em: &lt;https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/7822/15137&gt;. Acesso em: 21 Jun. 2014.

PRECKER, Jürgen W.; SILVA, Wilton P. da. O Modelo de Dilatação Térmica e os erros sistemáticos. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 19, n. 3, p. 311314, set. 1997.

SOUZA, Luiz Fernando UM EXPERIMENTO SOBRE A DILATAÇÃO TÉRMICA E A LEI DE RESFRIAMENTO - MONOGRAFIA DE CONCLUSÃO DE CURSO. Disponível em:

&lt;http://www.if.ufrj.br/~carlos/inic/luizfernando/monografiaLuizFernando.pdf Licenciatura em física Instituto de Física - UFRJ maio 2007

&gt;

TORRES, Carlos Magno A.; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio de Toledo. Física : ciência e tecnologia, volume 2. 1 ed. São Paulo: a Moderna, 2010

VILAS BOAS, Newton; DOCA, Ricardo Helou; BISCUOLA, Gualter José. Física, volume 2. 1 ed. São Paulo: Saraiva, 2010. a

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