EXPERIMENTOS COM OSCILAÇÕES HARMÔNICAS AMORTECIDAS E RESSONÂNCIA COM UM RESSONADOR DE HELMHOLTZ.

## EXPERIMENTOS COM OSCILAÇÕES HARMÔNICAS AMORTECIDAS E RESSONÂNCIA EM UM RESSONADOR DE HELMHOLTZ.

## Niels Fontes Lima 1

1 Instituto Federal da Bahia, Departamento de Física, Campus Salvador, nielsfl@ifba.edu.br

## Resumo

O ressonador de Helmholtz é um sistema simples composto por um volume de ar confinado e um gargalo, como uma garrafa. O ar contido no gargalo oscila em primeira aproximação como um oscilador harmônico amortecido, e a pressão acústica no interior da garrafa está diretamente relacionada ao deslocamento do centro de massa do ar no gargalo. Nos experimentos apresentados, o sinal de um microfone colocado dentro de uma garrafa PET é gravado em arquivo de áudio e analisado com os próprios recursos do programa editor de som. O sinal gravado é um registro indireto da posição do oscilador em função do tempo, representando assim a própria equação horária da posição. Os parâmetros do ressonador, frequência natural e o tempo de decaimento, são determinados de duas maneiras diferentes ilustrando importantes aspectos do movimento do oscilador harmônico amortecido e sua descrição matemática. O primeiro experimento estuda a equação horária do oscilador harmônico amortecido, em duas condições: i) sujeito a uma força externa senoidal de frequência definida e ii) oscilando espontaneamente após ser retirado do equilíbrio. O sinal gravado pelo microfone é comparado com a equação horária do oscilador harmônico amortecido, permitindo a observação qualitativa dos regimes transiente e permanente, e seus parâmetros são determinados. O segundo experimento estuda a curva de ressonância do oscilador analisando a dependência da amplitude da oscilação do sinal gravado num ressonador sujeito a um som de frequência variável, função da frequência do som. A frequência de ressonância e o fator de qualidade são determinados pela posição e pela largura em frequência da curva de ressonância. Estudamos a dispersão estatística de resultados obtidos por diferentes alunos a partir dos mesmos registros e em registros diferentes dos mesmos experimentos, para avaliar a acurácia e a incerteza dos dois métodos e poder finalmente comparar os dois experimentos.

Palavras-chave : Experimentos didáticos. Oscilador Harmônico Amortecido. Ressonância.

## INTRODUÇÃO

Apresentamos neste artigo dois experimentos didáticos envolvendo a física e a matemática do oscilador harmônico amortecido, livre e forçado. Os experimentos são simples e usam material muito simples e barato, além de um computador desktop ou notebook comuns, e permitem a comprovação qualitativa e quantitativa da descrição teórica do oscilador harmônico amortecido e do fenômeno de ressonância. Nunca é demais lembrar a imensa importância do oscilador harmônico na física, como modelo teórico para muitos diferentes fenômenos e primeiro exemplo paradigmático do emprego de equações diferenciais para descrever o movimento em modelos físicos que definem as forças que atuam no sistema em diferentes níveis de complexidade, o que estes experimentos ilustram muito bem.

Os experimentos consistem na gravação do sinal de um microfone comum de computador inserido no interior de uma garrafa PET. A garrafa é um ressonador de Helmholtz (HELMHOLTZ) e a pressão no interior da garrafa varia por efeito do

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26 a 30 de janeiro de 2015

deslocamento do centro de massa do ar no gargalo. O sinal do microfone em função do tempo representa a equação horária do movimento do centro de massa do ar do gargalo da garrafa. Um som externo de frequência definida produzido pelo computador através de caixas de som padrão ligeiramente modificadas age como uma força periódica sobre o ressonador e dessa forma define as características da equação horária do movimento.

- É usado um mesmo programa editor para gerar o som com as características desejadas e para gravar o sinal do microfone. O editor trabalha com a representação visual do sinal e possui ferramentas que possibilitam a análise matemática numérica dos sinais gravados. A atividade de análise dos experimentos executada pelos alunos envolve a representação visual e a descrição matemática do sinal gravado e além de mostrarem qualitativamente a validade das equações do movimento do oscilador amortecido e do oscilador amortecido forçado, permitem a determinação numérica dos parâmetros característicos do oscilador: frequência natural e fator de qualidade.

Estes experimentos vêm sendo realizados nas aulas práticas da disciplina 'Fisica Geral e Experimental II' para alunos de engenharia e de 'Ondas, Som e Luz' para licenciandos em física do Câmpus Salvador do IFBA, com muito sucesso, tanto no que diz respeito à reprodutibilidade e consistência dos resultados, conforme mostramos neste trabalho, quanto no que tange ao resultado didático da atividade, como a experiência destes anos tem indicado ao autor deste artigo.

Este trabalho reflete uma preocupação com a precisão e a acurácia do experimento, no sentido da concordância entre si de resultados obtidos por diferentes grupos de alunos a partir dos mesmos dados experimentais. A metodologia da análise dos dados nos experimentos propostos envolve escolher trechos do sinal para analisar, e isso pode mudar de grupo para grupo de alunos. Um mesmo conjunto de registros foi apresentado a muitos grupos diferentes de alunos para serem analisados, de forma a podermos determinar a dispersão dos resultados obtidos e assim avaliarmos a imprecisão e a acurácia dos métodos propostos em cada experimento.

Também analisaremos a reprodutibilidade dos experimentos, comparando os resultados obtidos em duas realizações diferentes de cada experimento, e encontraremos basicamente a mesma estatística. Essa informação é importante para podermos comparar os resultados obtidos nos dois experimentos diferentes, o objetivo principal da atividade.

## Equação horária do oscilador harmônico amortecido e forçado

Um ressonador de Helmholtz, como a garrafa do experimento, sujeito a um som de intensidade e frequência definidas é um oscilador harmônico amortecido forçado periodicamente (OLSON). O modelo físico que representa um oscilador harmônico mecânico em uma dimensão amortecido por força viscosa e forçado periodicamente considera a ação das seguintes forças sobre um ponto material de massa m:

- i) força restauradora linear, com constante de mola k;
- ii) força viscosa linear, com constante de atrito viscoso b; e
- iii) força externa periódica, com amplitude F0 e frequência angular ω.

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A força total (resultante) que age sobre a massa m é dada assim por

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A partir das leis de força consideradas no modelo mecânico adotado, expressas na equação (*) e da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial do movimento do oscilador harmônico amortecido forçado (OHAF):

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onde os parâmetros do oscilador harmônico amortecido, o tempo de decaimento τ e a frequência natural 0 ω , são dados em termos dos parâmetros mecânicos do modelo por

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e determinam o fator de qualidade definido como 0 Q ω τ ≡ .

Muitos outros sistemas físicos compartilham da equação (2) e têm a frequência natural e o fator de qualidade determinados por seus parâmetros sejam elétricos, como no caso dos circuitos RLC, ou acústicos, como no ressonador de Helmholtz, por exemplo. Esta introdução teórica trata de um oscilador mecânico do tipo massa-mola pois os alunos que estão iniciando o estudo das oscilações têm maior familiaridade com a mecânica. Entretanto, é possível abordar o modelo acústico com referência a conhecimentos básicos de teoria de fluidos e fazer uma relação precisa entre os parâmetros do oscilador teórico e os parâmetros acústicos do ressonador de Helmholtz, para alunos de uma disciplina típica de Física Geral e Experimental II. Os resultados dos experimentos podem ser comparados com a previsão teórica a partir dos parâmetros geométricos e condições de ambiente, mas o principal objetivo destes experimentos é determinar os valores dos parâmetros do oscilador de duas formas diferentes, expressos em diferentes propriedades do movimento, e compará-las entre si.

A equação (2) é uma equação diferencial não-homogênea, cuja equação homogênea associada representa o oscilador harmônico amortecido livre. Sua solução geral é a soma da solução geral do oscilador harmônico amortecido com a solução particular da equação não-homogênea que corresponde ao movimento sob efeito da força periódica com a frequência dada.

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O primeiro termo, a solução geral do oscilador amortecido, é o transiente que decai para zero quando t τ &gt;&gt; . As constantes 0 A e 0 ϕ são determinados pelas condições iniciais e a frequência do movimento amortecido é dada por

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Observe-se que para 1 Q &gt;&gt; a frequência da oscilação amortecida é praticamente igual à frequência natural.

O segundo termo de (5) corresponde ao regime permanente, e descreve o comportamento a longo prazo do oscilador forçado. O movimento é oscilatório com frequência igual à da força externa, e a amplitude e a fase relativa à força são funções da frequência da força externa, que satisfazem à equação diferencial. A amplitude da oscilação no regime permanente é uma função da frequência bastante concentrada em torno de 0 ~ ω ω , com altura diretamente proporcional e largura inversamente proporcional ao fator de qualidade Q.

Figura 1: Gráfico da amplitude da oscilação no regime permanente em função da frequência angular da força externa ( A ω ω × ) para um fator de qualidade 10 Q = . A amplitude máxima é Q vezes maior que a amplitude para frequência zero e ocorre próximo à frequência de ressonância 0 ω =ω . A largura da curva medida na altura igual a 2 / 2 da amplitude máxima é igual a 1 0 Q ω -.

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A forma de A ω ω × pode ser vista na Figura 1, calculada num caso com Q = 10. A Figura 1 superpõe ao gráfico da amplitude em função da frequência um retângulo centrado em 0 ω , com altura igual a 2 / 2 vezes a amplitude máxima de oscilação e largura igual a 1 0 Q ω -, que mostra como a largura da curva a essa amplitude tem a largura do retângulo. Essa largura de curva no gráfico de amplitude corresponde à semi-largura da curva da potência da força externa, proporcional ao quadrado da amplitude.

O máximo da amplitude não ocorre na ressonância, mas em um valor de frequência diferente da, mas próximo à, frequência natural. Para 1 Q &gt;&gt; , o máximo de amplitude praticamente ocorre na ressonância, como se vê na Figura 1.

## Experimentos com o Ressonador de Helmholtz

Um roteiro dos experimentos (LIMA, 2006) com instruções detalhadas para a geração dos sinais para a excitação do ressonador e para gravação do sinal do microfone, além dos procedimentos para análise do sinal gravado está disponível

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online e pode ser acessado no endereço dado nas referências. Também a lista de material necessário e detalhes da montagem podem ser procurados lá.

- O programa editor de som usado nestes experimentos é o 'CoolEdit 96' (JOHNSTON), aplicativo shareware que pode ser encontrado em inúmeros sítios da internet, como no endereço fornecido nas referências. O aplicativo é gratuito e de distribuição gratuita.

## Primeiro experimento: equação horária do oscilador harmônico amortecido e forçado

- O primeiro experimento consiste na gravação e análise da equação horária do oscilador forçado periodicamente com frequência definida. O ressonador é submetido a um som de frequência conhecida, durante certo tempo, ao fim do qual o som é interrompido. O som é gerado com o mesmo programa editor usado para a gravação e análise dos sinais do microfone e é produzido pelo alto-falante fora da caixa com a disposição descrita anteriormente. A abertura do arquivo com o sinal gravado do microfone no programa editor permite a imediata visualização da equação horária do movimento do ressonador, como mostra a Figura 2.

Figura 2 : Visualização do registro do sinal do microfone dentro da garrafa em função do tempo, submetida a som de frequência 185 Hz e duração de dois segundos. Nota-se o comportamento transiente até por volta dos cinco primeiros décimos de segundo; a partir daí o ressonador oscila com amplitude constante no regime permanente. Depois de 2,0 s de iniciada, o som cessa e o ressonador oscila decaindo espontaneamente. A frequência escolhida é muito próxima da frequência natural do ressonador, de forma que quase não há batimento entre as duas frequências no regime transiente.

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A análise qualitativa inicial consiste basicamente em identificar no registro os intervalos que correspondem aos diferentes regimes de validade da equação (4): o regime transiente, que depende das condições iniciais; o regime permanente,

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quando a informação sobre as condições iniciais foi dissipada; e o regime de oscilação amortecida livre, que passa a ocorrer quando a força externa é interrompida.

Esses intervalos são muito bem definidos neste experimento, como se pode ver na Figura 2, que mostra a janela do programa analisador exibindo o sinal do microfone gravado enquanto a garrafa era submetida a um som de frequência de 185 Hz e 2,00 s de duração, numa das realizações do experimento que são analisadas neste trabalho.

As Figuras 3a e 3b mostram o sinal do microfone numa escala de tempo ampliada nos intervalos que correspondem ao regime transiente e início do permanente e ao regime de oscilação livre, respectivamente os trechos inicial e final do sinal mostrado na Figura 2. O trecho não mostrado nas Figuras 3a e 3b, o intervalo intermediário entre elas, corresponde ao regime permanente.

Além da observação qualitativa, a identificação dos regimes é a base da análise quantitativa no experimento da equação horária, com os seguintes objetivos:

- 1 - Determinar experimentalmente a frequência da oscilação do ressonador no regime permanente;
- 2 - Determinar experimentalmente a frequência da oscilação e o tempo de decaimento do oscilador amortecido livre.

Figura 3a: Os primeiros quatro a cinco décimos de segundo da gravação da Figura 2, quando se dá o comportamento transiente e o início do regime permanente.

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- O resultado experimental para a frequência no regime permanente pode ser diretamente comparada com o valor previsto, a frequência do som utilizada. Além de proporcionar uma boa verificação da previsão teórica (como mostram os resultados que vêm sendo obtidos) eles servem como bons indicadores da precisão e da acurácia do próprio método experimental, e assim serão usados quando analisarmos a estatística de vários resultados experimentais no item seguinte.

A determinação das frequências de oscilação em cada regime é feita tomando-se um intervalo que contenha um número inteiro de ciclos e medindo-se a duração do intervalo com as ferramentas do programa editor de som. O programa dispõe de uma ferramenta de análise de frequência baseada em transformadas de Fourier, que pode servir como uma indicação (rápida) das frequências (e da sua

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Figura 3b: Trecho final da gravação da Figura 2, quando a força externa (o som de frequência 185 Hz) cessa e o movimento torna-se uma oscilação amortecida livre.

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composição harmônica, mas isso é outro problema), mas o método sempre utilizado para medir frequências nestas atividades é a contagem de ciclos, já que é um processo que pode ser muito bem controlado, diferentemente da ferramenta de análise que funciona de acordo com um algoritmo desconhecido.

As ferramentas de análise do editor também permitem a localização no registro da altura e instante dos máximos e mínimos, ou seja, fornecem os dados para construir uma tabela A(t) x t representando a dependência temporal da amplitude da oscilação no oscilador amortecido livre. Esses dados são linearizados tomando-se o logaritmo da amplitude em função do tempo e ajustados a uma reta pelos mínimos quadrados. A análise desses resultados fornece o tempo de decaimento τ . Todo o trabalho de obtenção dos dados é feito no programa editor, e o tratamento dos dados é feito em planilha eletrônica, em particular os gráficos e a regressão linear no oscilador amortecido livre.

## Segundo experimento: curva de ressonância do oscilador forçado

Os alunos geram um som de frequência variável (uma rampa de frequência com taxa de variação constante, conhecida) com o programa editor de som e gravam o sinal do microfone na garrafa enquanto reproduzem o som no alto-falante dedicado ao experimento.

Figura 5. S inal gravado pelo microfone na garrafa submetida a som gerado por rampa de frequência, mostrando a região onde a amplitude é maior ou igual a aproximadamente 70% do máximo. A amplitude do sinal gravado em função do tempo representa a amplitude A ω em função da frequência, uma vez que a frequência varia linearmente com o tempo durante o intervalo de medição. A duração em tempo da faixa central, igual a 2,200 s, corresponde no caso à largura de 4,400 Hz, com uma rampa de frequência de 2 Hz/s.

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O sinal gravado visualizado no editor mostra claramente o fenômeno da ressonância, e analisando-o é possível determinar os dois parâmetros do oscilador, através da medição da posição do máximo em frequência e da largura da curva como definida anteriormente. A frequência do máximo e a largura da curva em frequência podem ser determinadas usando as ferramentas do programa editor e os dados da rampa de frequência empregada e fornecem estimativas experimentais da frequência natural e do fator de qualidade do oscilador.

## Resultados

Os resultados que vamos apresentar e discutir foram obtidos por diferentes grupos de alunos que analisaram algumas gravações dos experimentos 'equação horária' e 'curva de ressonância', feitas em diferentes datas usando a mesma garrafa e montagem experimental. Dessa forma, obtivemos um conjunto estatístico de dados que reflete a distribuição típica dos resultados da análise efetuada pelos alunos, mostrando a reprodutibilidade intrínseca dos procedimentos experimentais de medida. Além disso, podemos comparar resultados de diferentes realizações do mesmo experimento entre si, e os resultados dos dois experimentos. Como veremos, ambos experimentos são bastante reprodutíveis e a comparação dos dois experimentos revela ótimo acerto entre a teoria e a prática.

Foram realizadas seis gravações para o experimento 'equação horária'. Os experimentos foram realizados usando som em três frequências (170, 185 e 200 Hz), sempre com a duração de 2,00 s, em dois dias diferentes. Do experimento sobre a curva de ressonância foram feitas duas gravações, também obtidas em dias diferentes. Todas elas foram realizadas em sala do laboratório pelas turmas de física prática (FIS212) do segundo semestre de 2010, que foram as primeiras turmas a analisá-las. Essas mesmas gravações vêm sendo apresentadas a grupos de alunos de outras turmas posteriores, que as analisam e com seus resultados contribuem para a estatística do experimento.

Para apresentar os resultados, vamos dividir o primeiro experimento em duas partes: a determinação da frequência na oscilação permanente, que pode ser visto como uma calibração do próprio experimento, e a determinação dos parâmetros do oscilador na oscilação amortecida livre, cujos resultados serão comparados com o segundo experimento.

Os resultados da primeira parte estão apresentados no Quadro 1, que traz a média e o desvio padrão da frequência de oscilação medida no regime permanente, bem como o número de amostras de análises feitas pelos grupos. A estatística mostrada reúne os resultados obtidos nas duas realizações do experimento com cada frequência. Não houve (nem se esperaria) diferenças relevantes ou significativas entre as duas realizações, em dias diferentes, desse mesmo experimento.

Quadro 1 : Média e desvio-padrão dos resultados obtidos para a medição da frequência no regime permanente por diferentes alunos nas três frequências de excitação (em Hz).

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Os resultados resumidos no Quadro 1 avaliam a qualidade geral do método experimental de medida de frequências. A frequência da oscilação medida em cada realização do experimento deve ser igual a do som gerado, e os desvios em relação ao esperado indicam a precisão e a acurácia do experimento. Podemos, a partir deles, assumir que o desvio relativo experimental do método de medir frequências no programa editor de som é menor do que 1%, acurácia imensamente satisfatória no contexto dos experimentos didáticos de física. O desvio padrão das medições também tem aproximadamente esse mesmo valor e assim podemos escrever as frequências com três algarismos significativos.

Os resultados da segunda parte do primeiro experimento são apresentados no Quadro 2. Os resultados obtidos da análise das três gravações realizadas em cada dia foram reunidos por dia. Não se espera diferença na frequência com a qual o ressonador oscila após o desligamento do som, e por isso juntamos as análises com diferentes frequências de excitação, mas a diferença de frequência em dias diferentes pode ser esperada, já que essa depende da velocidade do som e portanto da temperatura ambiente. Entretanto, isso não se verificou nos experimentos realizados em dias diferentes, que coincidiram de maneira notável, tanto no valor da frequência medida (o que indica que a temperatura da sala não deve ter variado significativamente de um dia para o outro) como no desvio padrão, com resultados da determinação da frequência amortecida muito semelhantes aos do regime permanente, confirmando a estimativa da imprecisão experimental.

Quadro 2 : Média e desvio padrão dos resultados obtidos pelos alunos na análise do sinal gravado nas realizações do experimento 1 nas datas indicadas.

Os resultados obtidos para o tempo de decaimento mostram um desvio relativo consideravelmente mais alto, que pode chegar a quase 20%. Isso é devido a uma dispersão grande entre os valores dos máximos e mínimos na oscilação amortecida, que podem ser muito afetados por ruídos, e que pode ser notada nos dados dos quais se determina o tempo de decaimento. Cada oscilação individual é mais afetada pelo ruído, e isso é uma característica do método experimental que acarreta a maior dispersão no tempo de decaimento. Os resultados obtidos nos dois dias, que teoricamente deveriam ser os mesmos, de fato coincidem dentro da incerteza das duas determinações, de forma bastante satisfatória. A diferença relativa entre eles é de 10%, com método que como mostra a dispersão dos resultados obtidos tem imprecisão de mais do que 10%.

Os resultados do segundo experimento estão mostrados no Quadro 3. Todas as determinações feitas pelos alunos das duas gravações foram reunidas, por dia, e mostram também a mesma consistência estatística que as determinações de frequência do primeiro experimento. Além de coincidirem entre si nos dois dias, mostram uma notável coincidência com os resultados do primeiro experimento na determinação dos parâmetros do oscilador.

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Quadro 3 : Média e desvio padrão dos resultados obtidos pelos alunos na análise do sinal gravado nas realizações do experimento 2 nas datas indicadas.

## Conclusão

Os experimentos didáticos apresentados neste artigo qualificam-se muito bem como atividades de ensino e aprendizagem de física das oscilações para cursos de graduação em engenharias e ciências, em particular física. A montagem experimental é simples e barata, mas o aparente improviso não deixa a desejar no que diz respeito aos resultados que podem ser obtidos. O método de determinação de frequências por contagem de ciclos é acurado e preciso, permitindo escrever as frequências medidas com três algarismos significativos, com a incerteza na ordem de 1 Hz.

O envolvimento dos alunos no uso do programa editor, que também é usado em outros experimentos, parece ser também um elemento motivador, pelo menos para alguns alunos. Para os alunos que não se entusiasmam tanto, o programa é de simples e intuitivo e seu uso pode ser demonstrado pelo professor, além do recurso ao roteiro indicado na referência.

A comparação entre os resultados obtidos a partir das análises da equação horária do oscilador amortecido e da curva de ressonância do mesmo, cada experimento significando o estudo de um dos termos transiente ou permanente da equação horária do oscilador, é uma bela demonstração da relação entre teoria e experimento mesmo em modelos físicos simplificados. Na experiência do autor deste artigo, a realização do conjunto de práticas aqui descrita em estreita relação com a teoria do oscilador harmônico, tem sido para os alunos dos cursos de engenharia do curso de licenciatura em física do IFBA um importante elemento motivador da aprendizagem significativa do tema das oscilações lineares e sua física matemática.

## Referências

HELMHOLTZ, Hermann. On the Sensations of Tone . Tradução de ELLIS, Alexander (1885). Nova Iorque: Dover Publications, 1954.

LIMA, Niels F.. Experimentos com o ressonador de Helmholtz . Salvador: IFBA, 2006. Disponível em

&lt;http://www.ifba.edu.br/fisica/nfl/fge2/RessonadorDeHelmholtz/ExperimentoResson adorDeHelmholtz.pdf&gt;. Acesso em 1 ago. 2014.

JONHSTON, David. Aplicativo 'Cool Edit 96'

. Syntrillium Software, 1996.

Disponível em &lt;http://www.ifba.edu.br/fisica/NFL/ftp/C96SETUP.EXE &gt;. Acesso em 1 nov. 2014.

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