Dedução da convenção de sinal da equação de Gauss para espelhos esféricos

## DEDUÇÃO DA CONVENÇÃO DE SINAL DA EQUAÇÃO DE GAUSS PARA ESPELHOS ESFÉRICOS

## Niels Fontes Lima , Rodrigo Oliveira Magalhães 1 2

1 Instituto Federal da Bahia, Departamento de Física, Campus Salvador, nielsfl@ifba.edu.br

2 Instituto Federal da Bahia, Departamento de Física, Campus Salvador,

rodrigomagalhaes1@gmail.com

## Resumo

Os livros textos utilizados nas disciplinas de física para bacharelados e licenciaturas em ciências e engenharias normalmente não trazem demonstração matemática das convenções de sinal da equação de Gauss da formação de imagens por lentes ou espelhos esféricos. A convenção é apresentada como algo que 'dá certo', estendendo o conceito de distância para incluir sinais negativos para imagens, objetos ou focos virtuais. Pode não ser problema sério na formação de engenheiros ou bacharéis em física, mas é uma inadequação na formação de professores de física, que têm um importante campo de ensino na Ótica Geométrica. Faremos uma breve exposição da demonstração paradigmática, encontrada em quatro livros-texto amplamente usados, da formação de imagens em espelhos esféricos e da dedução da equação de Gauss. Os autores estudados usam os princípios da ótica geométrica para estudar a formação de uma imagem real e generalizam os resultados obtidos para outras situações, meramente enunciando a convenção de sinal. Neste artigo, apresentamos uma justificativa da convenção de sinal a partir de um exercício de aplicação do método geométrico ao caso de imagem virtual formada por espelho côncavo. A equação obtida pelos alunos é diferente da equação da imagem real no sinal com que a distância da imagem aparece. O caso geral de reflexão por espelho convexo é estudado explorando-se a simetria com o caso da imagem virtual em espelho côncavo, e obtém-se ainda outra equação, na qual o foco aparece com sinal negativo. A introdução do conceito de distância ótica , que acrescenta sinal algébrico à distância geométrica, permite escrever as três equações como uma. Não analisamos aqui o caso do chamado objeto virtual, que será deixado para trabalho subsequente dedicado à formação de imagens de refração por dioptros individuais, lentes e combinação de lentes, incluindo a convenção de sinais da equação do fabricante de lentes.

Palavras-chave : Ótica Geométrica, Convenção de sinal, Equação de Gauss, Licenciatura em Física.

## INTRODUÇÃO

A Ótica Geométrica pode ser definida como uma teoria que, apesar de não abordar a natureza fundamental da luz, explica e descreve de maneira bastante satisfatória a formação de imagens por instrumentos óticos compostos por espelhos e lentes, instrumentos de enorme importância no desenvolvimento da ciência moderna e até hoje em aplicações tecnológicas extremamente relevantes.

No projeto do curso de licenciatura em física do Câmpus Salvador do IFBA a Ótica Geométrica tem um papel importante, pelo seu conteúdo (muito importante no ensino médio), mas também como exemplo do método científico-matemático. As deduções geométricas e algébricas para obter a lei que rege a formação de imagens por espelhos e lentes são de grande importância também como aplicação da

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26 a 30 de janeiro de 2015

matemática, e é com essa ideia que a disciplina é oferecida como optativa para os alunos da licenciatura em matemática do Câmpus Salvador do IFBA.

Neste artigo analisamos, utilizando o método de pesquisa bibliográfica, como alguns dos principais livros texto utilizados nos cursos das disciplinas que podem ser genericamente chamadas de Física Geral e Experimental, para estudantes de engenharia e ciências, inclusive nas licenciaturas, apresentam a convenção de sinal no estudo das imagens formadas em espelhos.

Os quatro livros analisados são importantes livros-texto amplamente utilizados. São os conhecidos 'Sears' (YOUNG, 2009) e 'Halliday' (HALLIDAY, 2007) utilizados mundialmente e tantas vezes reeditados, o primoroso 'Moysés' (NUSSENZVEIG, 1998), texto preciso e profundo do autor brasileiro, e o 'Keller' (KELLER, 1999), obra menos conhecida, com uma versão mais resumida da física universitária que os outros autores, mas ainda assim adequado a disciplinas de introdução à física em cursos superiores. Não pretendemos fazer uma análise exaustiva de todos os autores, mas não conhecemos nenhum texto que difira fundamentalmente das abordagens dos autores estudados.

## DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE GAUSS PARA ESPELHOS ESFÉRICOS

Apresentaremos aqui a dedução 'paradigmática' da equação de Gauss, ou equação dos pontos conjugados, para espelhos esféricos encontrada nas obras analisadas. Os autores coincidem no caso adotado para obter a equação dos pontos conjugados, como também na forma de obter a partir dessa equação as regras de formação de formação de imagens extensas, na geometria considerada. O caso paradigmático é o de um ponto objeto situado no eixo de um espelho côncavo que gera um ponto imagem real também sobre o eixo do espelho. Os autores também coincidem na forma de generalizar as regras obtidas na situação analisada e aplicálas a situações físicas muito diferentes, como a uma imagem virtual formada por espelho côncavo e o caso geral de um espelho convexo. Isso é feito através da convenção de sinal, que os autores enunciam e convidam o leitor para ver como funciona quando a equação de Gauss é aplicada a uma imagem virtual ou a um espelho convexo; mas não demonstram porque funciona.

## Formação de imagem real por espelho côncavo.

Como nos livros investigados, vamos considerar um ponto objeto P situado sobre o eixo de um espelho côncavo. O ponto P está a uma distância S do vértice V, maior do que o raio de curvatura R. A Figura 1 mostra um raio de luz que emana do ponto objeto formando o ângulo com o eixo, incide na superfície do espelho no ponto A e é refletido, cruzando o eixo num ponto P' à distância S' do vértice do espelho.

- O raio incidente forma um ângulo com a direção normal à superfície do espelho no ponto de incidência, o raio de C a A que forma um ângulo com o eixo, como mostrado na Figura 1. O raio de luz refletido forma um ângulo com a normal igual ao de incidência e cruza o eixo formando o ângulo no ponto P', com S' menor do que o raio de curvatura.

Mostra-se que os raios que emanam de P formando um ângulo pequeno com o eixo do espelho são refletidos pelo espelho e cruzam o eixo aproximadamente num mesmo ponto, formando assim uma imagem real do ponto objeto. A definição de imagem real é física: no ponto P' a luz que provêm de P é novamente reunida;

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podemos colocar no ponto P' um medidor, sensor ou anteparo, que a luz será medida ou registrada e uma imagem será projetada e poderá ser vista no anteparo.

Figura 1: Formação de um ponto imagem real por reflexão em espelho côncavo.

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A distância do ponto imagem pode ser determinada em função da distância do ponto objeto e do raio de curvatura do espelho, aplicando-se as leis da reflexão da ótica geométrica. Todos os autores fazem isso de forma bastante satisfatória, consistindo num belo exemplo de demonstração matemática de um fenômeno físico. Os autores diferem no grau de aproximação utilizado para a demonstração, que em algum momento há de se limitar a ângulos pequenos, e normalmente nesse ponto introduzem o tema da aberração esférica. NUSSENZVEIG faz uma aproximação mais criteriosa que permite considerar melhor a aberração, mas todos acabam ao final por obter a mesma relação, válida em primeira ordem nos ângulos de abertura pequenos.

Vamos dividir a obtenção da equação dos pontos conjugados em duas partes. Na primeira, obteremos uma relação entre os ângulos e as distâncias S, R e S', respectivamente. Na segunda, a análise geométrica da reflexão fornecerá relações desses ângulos entre si, e daí a relação entre as distâncias que se busca.

- O ângulo é dado, pela definição de ângulo plano, como a razão entre o comprimento do arco entre V e A e o raio de curvatura do espelho R,

Essa relação é exata e válida para aberturas grandes.

Na Figura 1 definimos dois triângulos retângulos, um com vértice em P e o outro em P', que possuem em comum o lado de comprimento , o segmento de reta entre o ponto A e sua projeção vertical sobre o eixo, situada à distância do vértice. Esse lado é o cateto oposto aos ângulos , que têm como cateto adjacente os

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comprimentos e , respectivamente. A tangente desses ângulos é dada portanto por

Simplifica-se bastante essas relações tomando a aproximação de pequenas aberturas, . Nessa condição, pode-se tomar h e desprezar em primeira ordem o termo no cálculo das tangentes dos ângulos. Além disso, como a tangente de um ângulo pequeno pode ser aproximada pelo valor do ângulo, obtemos as seguintes relações entre os ângulos e as distâncias no diagrama, válidas em primeira ordem:

A segunda parte da demonstração consiste em encontrar uma relação entre os ângulos e daí estabelecer uma relação entre as distâncias S, S' e R. Nessa parte há naturalmente maior diversidade entre os autores, que diferem em detalhes da demonstração e na notação utilizada. O que mostraremos aqui é a forma mais simples que encontramos para chegar ao que resultado desejado.

Consideramos na Figura 1 os triângulos e . Como se sabe da geometria euclidiana, a soma de dois ângulos internos de um triângulo é igual ao ângulo externo oposto a estes dois. Por inspeção da figura isso nos dá, no primeiro triângulo,

$$,$$

e no segundo,

$$.$$

Eliminando entre as duas equações obtemos

Substituindo os ângulos em (7) pelas razões (1) e (4) entre e as distâncias encontradas na primeira parte, e dividindo a equação resultante por , ficamos finalmente com

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Essa relação é a equação dos pontos conjugados, mas ainda falta algo para termos a equação de Gauss em todo seu significado. Essa expressão por enquanto é apenas uma relação entre as distâncias ao vértice dos pontos objeto e imagem real, situados sobre o eixo do espelho. Ainda falta obter a regra de formação da imagem de pontos objetos situados fora do eixo, ou seja, imagens de corpos extensos. Também ainda é necessário generalizá-la para ser aplicada a imagens virtuais e espelhos côncavos, o que normalmente é feito pela convenção de sinal.

A formação das imagens extensas também é feita de uma forma basicamente comum por todos os autores. Como mostra a equação (8), a imagem de um ponto objeto no infinito forma-se à distância do vértice do espelho. O sentido

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físico disso é que raios de luz que incidem paralelamente ao eixo convergem em um ponto que é identificado como o foco do espelho. A distância do foco ao vértice do espelho é chamada de distância focal , e é igual à metade do raio de curvatura.

A relação obtida entre S e S' é simétrica, representando o postulado físico da reversibilidade dos raios luminosos. Mostra-se facilmente que a equação (8) se aplica também para um ponto objeto situado entre o centro de curvatura e o foco do espelho, caso no qual a imagem se formará a uma distância do vértice entre R e o infinito; um objeto pontual localizado no foco emite raios que são refletidos paralelamente ao eixo.

Essa propriedade dos raios paralelos ao eixo é utilizada para construir diagramas que representam a formação das imagens de corpos extensos (Figura 2). Da cabeça da imagem são traçados dois raios, um que incide no espelho paralelamente ao eixo e é desviado passando pelo foco e outro que passa pelo foco e depois de ser refletido propaga-se paralelamente ao eixo. Assumindo pequenas aberturas, constrói-se um diagrama de raios que mostra que raios emanando da cabeça do objeto, situada à distância vertical H acima do eixo e a uma distância do espelho aproximadamente igual a S, são refletidos no espelho e convergem num ponto a uma distância do vértice aproximadamente igual a S' e a uma distância vertical H' abaixo do eixo, formando assim uma imagem real e invertida do objeto.

Figura 2: Formação de imagem real de corpo extenso por reflexão em espelho côncavo. O pé do objeto está à distância S do vértice (ponto P sobre o eixo) e o pé da imagem à distância S' (ponto P'). Um raio paralelo ao eixo emitido pela cabeça, um ponto à distância H do eixo e com projeção sobre P, é refletido pelo espelho e cruza o eixo no ponto focal. Outro raio emitido pela cabeça passa pelo foco e incide no espelho, sendo então refletido ficando paralelo ao eixo. A imagem da cabeça do objeto forma-se nesse ponto onde os dois raios se cruzam.

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A relação entre a altura da imagem e a altura do objeto é facilmente obtida por semelhança de triângulos e é dada, na aproximação de pequena abertura adotada, por

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Note-se que todas as distâncias referidas aqui nessa demonstração são por definição positivas. No contexto trabalhado, uma distância negativa não tem significado físico. Note-se também que a demonstração da equação (8) e sua utilização para o estudo da formação de imagem de corpo extenso foram feitas para o caso de imagem real formada por um espelho côncavo. Ainda precisamos estudar os casos de imagem virtual, em espelhos côncavo e convexo, e vamos fazer isso de uma forma tal que a convenção de sinal será introduzida de forma natural.

Daqui em diante nossa exposição se distingue da forma paradigmática dos livros-texto, que generalizam a aplicação da equação de Gauss aos casos não estudados em detalhe enunciando as convenções de sinal.

## Formação de imagem virtual por espelho côncavo.

A dedução da equação não se aplica a um ponto objeto situado entre o foco e o vértice do espelho. A tentativa de usá-la para uma distância menor do que dá um resultado negativo para a distância da imagem, algo sem sentido no contexto da demonstração desenvolvida até aqui. De fato, a análise geométrica da reflexão dos raios emanados de um objeto situado entre o foco e o vértice um espelho côncavo mostra que não se forma imagem real do ponto objeto. Forma-se, entretanto, o que se chama uma imagem virtual .

Figura 3: Formação de um ponto imagem virtual por reflexão em espelho côncavo.

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A geometria desse problema está apresentada na Figura 3. A aplicação das leis da reflexão mostra que os raios que emanam de um ponto objeto P entre o foco e o vértice continuam divergindo após a reflexão; nunca voltam a convergir e não se forma imagem real do objeto. Entretanto, prolongando-se os raios refletidos na direção do que está atrás do espelho, observa-se que os raios refletidos (na aproximação de pequenas aberturas) parecem provir de um mesmo ponto P', como se houvesse ali uma imagem. A luz refletida não está lá, e não pode ser registrada ou observada com sensor ou anteparo colocado nesse ponto, mas a luz parece provir do ponto à distância S' do vértice. P' é uma imagem virtual do ponto objeto P.

Na situação mostrada na Figura 3, as relações entre os ângulos formados pelos raios e as distâncias de objeto, imagem e centro de curvatura ao vértice são muito semelhantes às anteriores. A única diferença é o comprimento do cateto adjacente ao ângulo , agora dado por ; mas será desprezada como antes, quando considerarmos , e assim obtemos as mesmas relações (1) e (4) entre os ângulos e as distâncias obtidas no caso anterior.

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A geometria euclidiana e as leis da reflexão fornecerão como antes uma relação entre os ângulos a e daí a relação entre as distâncias S, S' e R. Tomando os triângulos e obtemos as seguintes relações entre os ângulos:

<!-- formula-not-decoded -->

Eliminando

<!-- formula-not-decoded -->

O sinal do ângulo é agora negativo. Ao substituir os ângulos em (13) pelas razões (1) e (4) entre e as distâncias objeto e imagem, ficamos com uma relação muito semelhante à anterior, mas com uma diferença importante no sinal da distância da imagem S' na equação.

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Note-se que essa expressão não é simétrica por troca entre S e S'; ou seja, a relação entre a simetria física - o postulado da reversibilidade dos raios luminosos e a simetria matemática não é tão simples como no caso anterior. Mas existe, e será explorada adiante para descrever o problema do espelho convexo.

## Formação de imagem virtual por espelho convexo.

A geometria apresentada na Figura 3 pode ser usada para representar a reflexão por um espelho convexo. Imaginando a figura invertida, teríamos um raio de luz saindo de P' refletido em A e sendo desviado de forma que pareceria estar vindo de P. Como ângulos opostos pelo vértice são iguais, a figura pode ser interpretada como a representação de um raio de luz que sai de P e é refletido por uma superfície côncava parecendo provir de P' ou igualmente como um raio de luz emitido por P' que é refletido por uma superfície convexa e parece vir de P.

Isso significa que ainda podemos usar a equação (14), interpretando de outro forma cada termo. Para representar o espelho convexo, a distância do objeto será S' e a da imagem S. Para continuar chamando o objeto de P e a imagem de S, precisamos trocar os nomes, obtendo assim

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Multiplicando por -1 forma a comparar melhor com as expressões (8) e (14), obtemos a equação dos pontos conjugados válida para o espelho convexo:

A equação (16) traz, como a (14), um sinal negativo para a imagem virtual. Além disso, a distância focal também aparece com um sinal negativo.

## CONVENÇÃO DE SINAL E EQUAÇÃO DE GAUSS

As equações (8), (14) e (16), que representam a relação entre as distâncias de objeto e imagem e raio de curvatura, foram deduzidas para situações físicas e geométricas diferentes e são diferentes. As diferenças são importantes, mas como elas só afetam os sinais com que a distância da imagem e do foco aparecem na

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equação, as três equações podem ser escritas de uma forma unificada se incorporamos o sinal nas variáveis. Vamos definir as variáveis do, di e f, que representam as distâncias óticas do objeto, da imagem e do foco ao vértice do espelho. De forma que é natural, as distâncias óticas com a qual escreveremos a equação de Gauss estarão relacionadas às distâncias geométricas das equações (8), (14) e (16) da seguinte forma (que é a convenção de sinal usada pelos autores pesquisados):

Imagem real em espelho côncavo:

```
Imagem virtual em espelho côncavo: Imagem virtual em espelho convexo:
```

A distância ótica de imagens virtuais é negativa, assim como a distância focal de espelhos convexos. Em termos das distâncias óticas definidas como acima, podemos escrever finalmente a equação de Gauss em todo seu pleno significado:

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## CONCLUSÃO

A análise dos livros texto mostrou que nenhum dos autores apresenta uma demonstração matemática formal da convenção de sinal utilizada no estudo da formação de imagens em espelhos esféricos. Entretanto, como vimos aqui, essa demonstração está bem ao alcance dos alunos, podendo ser apresentada na forma de exercício (obtenção da equação para imagem virtual em espelho côncava) e discussão sobre simetrias e a extensão de conceitos para unificar os resultados obtidos em situações diferentes em uma mesma forma de expressão.

## Referências

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos da Física, volume 4: Óptica e Física Moderna .Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

KELLER, Frederick J.; GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J. Física, volume 2 . Tradução: Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física básica - vol. 4 . São Paulo: Blucher, 1998.

YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A.; FORD, A. Lewis. Física IV: Ótica e Física Moderna . Tradução: Cláudia Martins. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

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