UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE TEORIA DE CAMPOS NO ENSINO MÉDIO

## UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE TEORIA DE CAMPOS NO ENSINO MÉDIO

## Ana Camila Costa Esteves 1 , Milton Souza Ribeiro Miltão²

1 UEFS/Departamento de Física/ana.acce@gmail.com

2 UEFS/Departamento de Física/miltaaao@gmail.com

## Resumo

Neste trabalho apresentamos uma proposta de introduzir o tema da Teoria de Campos no ensino médio, utilizando uma concepção pedagógica relacional, bem como estratégias de mapas conceituais. Não trataremos de um campo físico específico, mas de uma abordagem geral e introdutória dessa temática que possibilite uma visão ampla da teoria que conduza a uma compreensão da unificação desses campos. Para isso utilizamos a Teoria de Grupos, que pode ser entendida de forma introdutória a partir de conceitos básicos vistos na educação básica, tais como 'teoria de conjuntos', 'operações algébricas simples', 'noções de simetrias', e 'sistemas de referências'. Nesse sentido, utilizando tais conceitos e as Leis de Newton e da Relatividade Especial podemos relacionar a Teoria de Grupos com a Teoria de Campos visto que os grupos de Galileo e Poincaré, relativos à relatividade Galileana e à relatividade especial, respectivamente, nos permitem descrever alguns aspectos dos campos físicos, pois estes grupos dizem respeito às transformações de coordenadas entre referenciais distintos, e é o referencial que 'observa' o fenômeno. Além disso, podemos obter as partículas elementares relativas aos campos a partir das representações irredutíveis destes grupos. Consequentemente, propomos a introdução desse tema no ensino médio, posto que este é um tema contemporâneo e de extrema importância, já que muitas das pesquisas de alto nível desenvolvidas na área de Física dizem respeito à Teoria de Partículas e Campos. Como resultados, teríamos estudantes de ensino médio com um maior conhecimento sobre o que está sendo descoberto e desenvolvido na ciência atual. Do ponto de vista metodológico, partimos do princípio que os estudantes do nível médio já têm conhecimento de alguns conceitos que possibilitam a compreensão dessa temática, constituindo um contexto de conteúdos prévios.

Palavras-chave : Teoria de Campos, Física Moderna e Contemporânea, Sala de Aula.

## Introdução

Neste trabalho serão abordados introdutoriamente aspectos da Teoria de Campos voltados para o ensino médio, visto que é um tema contemporâneo da Física que se relaciona com dois outros temas desse Campo do Saber muito importantes para uma formação plena de um estudante daquele nível de ensino, os Sistemas de Referência e os Princípios de Simetria, que são temas abordados em disciplinas de Física na Educação Básica. Assim, não só na graduação (OLIVEIRA, 2011), mas no nível médio (KRAPAS e SILVA, 2008; OSTERMANN, 1999) poderemos abordar um tema contemporâneo na sala de aula e de grande relevância devido à ampla utilização de aceleradores de partículas na atualidade para a descoberta de novas partículas elementares, bem como para a comprovação do Modelo Padrão (PIMENTA et all, 2013).

Para atingirmos nosso objetivo, utilizaremos como fundamentação teórica do processo ensino-aprendizagem a concepção da pedagogia relacional que está ancorada pela epistemologia construtivista (MIZUKAMI, 1986). Consideramos tal

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26 a 30 de janeiro de 2015

concepção visto que ela permite levar em consideração concepções prévias dos estudantes (por exemplo, suas vivências com os conceitos da 'teoria de conjuntos', 'operações algébricas simples', 'noções de simetrias', e 'sistemas de referências'), bem como estratégias didáticas dos mapas conceituais (MOREIRA, 2004).

Nesse sentido, considerando as vivências dos estudantes citadas acima, partimos da Teoria de Grupos (BASSALO e CATTANI, 2005; BAUMSLAG e CHANDLER, 1968), um tema da matemática, e utilizando as noções de sistemas de referência e de simetrias (FERREIRA, 2009) descrevemos de forma introdutória os grupos contínuos mais utilizados no Campo do Saber da Física, tais como os grupos de Galileo e de Poincaré, os quais nos permitem compreender as famílias das partículas elementares e, consequentemente, os campos físicos a elas associados (ROCHA, RIZZUTI e MOTA, 2013; SUDARSHAN e MUKUNDA, 1974).

A Teoria de Grupos se relaciona com diversas ciências atuais, aparecendo constantemente em estudos de álgebra, química, topologia, entre outros. O seu estudo surgiu em conexão com a solução de equações (LIVIO, 2005), um tema muito importante para a Física, pois lida com inúmeras equações na compreensão dos fenômenos. Essa teoria também se relaciona com a noção de continuidade, pois existem grupos cujos elementos são 'não enumeráveis', os grupos contínuos; os quais para se caracterizar os seus elementos, lançamos mão de parâmetros ou coordenadas que variam continuamente (SUDARSHAN e MUKUNDA, 1974).

O conceito de grupo está intimamente ligado à ideia de simetria, que é uma das ideias intuitivas mais importantes da Ciência e Matemática (RODITI, 2003). As simetrias aparecem nas pinturas rupestres, cerâmicas indígenas e ladrilhamentos de palácios mouros, o que mostra seu caráter intuitivo mesmo nas mais diversas culturas (WEYL, 1952). O estudo das simetrias, em conjunto com as representações dos grupos de Lie, proporciona um grande poder preditivo, o que ajudou, por exemplo, Murray Gell-Mann e Yuval Ne'eman a publicarem dois artigos independentes em 1961 nos quais eles conseguiram uma classificação coerente para os hádrons, usando as representações de octetos dos grupos SU(3) (que é o grupo Unitário Especial de grau 3, i.e., é o grupo das matrizes complexas, 3X3, unitárias e com determinante um), prevendo a existência de novas partículas elementares; assim, consolidou-se a relação entre teorias abstratas, grupos de Lie e a Física de Partículas (BASSALO e CATTANI, 2005).

Existe uma relação também entre os grupos e os sistemas referenciais da física, que podem ser inerciais ou não-inerciais, o que possibilita o estudo da estrutura algébrica das teorias físicas. Sendo que os inerciais são aqueles que obedecem à lei da inércia, ou seja, ou estão em repouso ou se movendo com velocidade constante, e os não-inerciais são aqueles que estão submetidos à alguma força externa. Existem dois tipos de transformações entre os sistemas de referência inerciais: a transformação de Galileo, para baixas velocidades comparadas com a velocidade da luz, c , no vácuo e a de Poincaré, para altas velocidades. Considerando essas transformações, surgem então os grupos de Galileo e Poincaré que são constituídos pelos Grupos das Transformações de Coordenadas espaço-temporais no contínuo espaço-tempo de Euclides e Minkowski, respectivamente (ABREU et all, 2009; CRAWFORD, 2005; FERREIRA, 2009; ROCHA, RIZZUTI e MOTA, 2013). No caso dos sistemas de referência não inerciais, que são tratados na Relatividade Geral, advinda da ' necessidade de generalizar o princípio da relatividade dos movimentos uniformes aos movimentos

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arbitrários ' (CRAWFORD, 2005, p. 102; vide p. 108-109), o grupo correspondente é o Grupo de Difeomorfismos na Variedade Diferenciável M , onde M é uma variedade espaço-temporal de Riemann de pontos diferenciáveis com certa estrutura topológica (CALA V., GÓMEZ-PLATA e RAMOS-CARO, 2007, p. 105-107).

A partir do estudo da estrutura algébrica das teorias físicas poderão ser compreendidas as bases da Teoria de Campos. Com isso, os estudantes do nível médio poderão compreender introdutoriamente a Teoria de Campos a partir do ponto de vista da Teoria de Grupos, considerando temas estudados na educação básica (os conceitos da 'teoria de conjuntos', 'operações algébricas simples', 'transformações entre referenciais' e 'simetrias').

Consequentemente, do ponto de vista metodológico, este trabalho tem suas ações pautadas em pesquisas bibliográficas através de (i) estudos e discussões dos assuntos que fundamentam o referencial teórico pedagógico; e (ii) estudo do significado de Teoria de Campos, para a compreensão da relação com o Ensino de Física. Além disso, para a proposição da Teoria de Campos no ensino médio, nos pautamos na consideração de que tal teoria apresenta pontos importantes que se relacionam com os conteúdos da educação básica (ensinos fundamental e médio), sendo, portanto conteúdos prévios dos estudantes do ensino médio.

## Grupos de transformações entre sistemas de referência

O estudo dos grupos matemáticos pode ser feito ainda no nível médio visto que está relacionado com assuntos ensinados nesse nível: a teoria de conjuntos e as operações algébricas de somar, subtrair, multiplicar e dividir.

Um grupo G (BAUMSLAG e CHANDLER, 1968) é um conjunto de elementos (objetos, operações, rotações, transformações) que podem ser combinados por uma operação binária * ('multiplicação de grupo') e que satisfazem às seguintes propriedades:

- 1- Fechamento: se a e b são dois elementos quaisquer de G , então seu produto a*b também é um elemento de G .
- 2- Associatividade: se a,b,c pertencem a G
- , então
- 3- Elemento neutro: existe um elemento único tal que, para todo I a GLYPH<31> G
- 4- Elemento inverso: Para todo a GLYPH<31> G existe um único a -1 GLYPH<31> G tal que

Com esses conceitos podemos compreender o significado de uma simetria (RODITI, 2003). Podemos chamar de simetria uma operação que mapeia um conjunto nele mesmo.

Como exemplos de simetrias, temos: (i) Translação : O deslocamento em uma dada direção de uma dada distância; (ii) Rotação : Rotação em torno de um dado ponto, o centro de rotação, de um dado ângulo; (iii) Reflexão : A transformação no plano que deixa uma linha fixa e que inverte a orientação; (iv) Reflexão com deslizamento : A transformação que combina uma reflexão numa dada linha com uma translação de uma dada distância numa direção paralela à linha de reflexão.

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Então, como exemplo, se operamos uma translação em um conjunto, sendo esta uma simetria deste conjunto, necessariamente o resultado dessa operação será o próprio conjunto. Com isso, podemos fazer um estudo introdutório dos grupos de Galileo e Poincaré. Estes grupos são formados quando consideramos as transformações de Galileo e de Poincaré como operações binárias, que são as próprias transformações entre os sistemas de referência inerciais.

Segundo o princípio da relatividade de Galileo, também chamado de princípio da relatividade do movimento, existe um número incontável de sistemas de referenciais inerciais nos quais as leis que regem o movimento dos corpos são semelhantes, i.e., invariantes, o que expressa a propriedade de simetria aludida mais acima.

Na Mecânica Newtoniana é introduzida uma escala de tempo absoluta que deve ser usada em todos os sistemas de coordenadas que estão em movimento mútuo relativo, o que implica em um conceito absoluto de simultaneidade (SCHRÖDER, 1990). Além disso, na Mecânica Newtoniana, assume-se que quando se passa de um sistema de coordenadas para outro, a massa do corpo é inalterada, ou seja, a massa é uma quantidade invariante. Assim, na Mecânica Newtoniana, todos os sistemas inerciais em movimento mútuo uniforme são equivalentes. Considerando dois sistemas de coordenadas K e K' (figura 1), que se movem com a velocidade relativa e que coincidem em , as coordenadas de um ponto P , relativo a K' e K , respectivamente, são relacionados pela transformação de Galileo, que é dada por:

Figura 1 -Sistemas de coordenadas com um movimento relativo mútuo.

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Dessa forma, segundo o princípio da relatividade da mecânica Newtoniana, as leis da mecânica são as mesmas em todos os sistemas de referência que surgem de um referencial inercial por meio de transformações de Galileo. Em outras palavras, as leis de Newton são invariantes sob as transformações de Galileo.

Pode ser mostrado que a transformação de Galileo forma um grupo. Podemos verificar a propriedade de fechamento considerando como elementos do grupo as velocidades e . Aplicando em sequência as transformações:

obtém-se novamente um elemento do grupo, a saber:

que é especificado pela velocidade , sendo esta a lei de adição de velocidades válida na Mecânica Newtoniana.

Quantidades que não são alteradas por nenhuma das transformações de um grupo são chamadas de invariantes do grupo de transformação.

O grupo de Galileo é o grupo das transformações no espaço e tempo que conectam os sistemas referenciais inerciais na mecânica newtoniana. No entanto, foi

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verificado que o princípio de invariância de Galileo não pode ser aplicado a uma lei geral. Considerando, por exemplo, a mecânica newtoniana, era possível atingir velocidades absurdamente altas pela simples composição de velocidades. Mas, experimentalmente, foi verificado que existe uma velocidade limite c , que depois se descobriu que coincidia com a velocidade da luz no vácuo. Além disso, a equação de onda para a eletrodinâmica não é invariante sob as transformações de Galileo. Mas, pelo fato dos experimentos constatarem que as equações de Maxwell estavam corretas, a saída era a criação de uma nova mecânica que obedecesse a um princípio da relatividade válido tanto para a mecânica quanto para a eletrodinâmica (SCHRÖDER, 1990).

Nesse sentido, há necessidade da existência de um principio de relatividade mais geral do que o de Galileo. Nesse contexto Einstein formula a sua teoria da relatividade especial partindo de dois postulados fundamentais (SCHRÖDER, 1990). O primeiro postulado é o princípio da relatividade de Einstein, segundo o qual as leis da natureza devem ter a mesma forma em todos os referenciais inerciais. O segundo postulado afirma que a velocidade máxima de propagação das interações no vácuo deve ser a mesma em todos os sistemas referencias, ou seja, a velocidade limite c é uma constante.

Para que isso seja verdade é necessário que seja abandonada a ideia de tempo absoluto, já que não há efeitos instantâneos, pelo fato de existir uma velocidade limite. Assim, em sistemas referenciais distintos, o tempo possui ritmos diferentes. Dessa forma, o conceito de simultaneidade absoluta é também abandonado, visto que eventos que são simultâneos em um sistema de referência não mais o serão em outro sistema.

Além disso, na teoria da relatividade de Einstein a massa se torna uma entidade dependente da velocidade, e a massa relativística invariante (massa de repouso) é definida de outra forma. Consequentemente, a massa deixa de ser um invariante sob as transformações de coordenadas na relatividade especial.

As transformações de coordenadas que correspondem ao princípio da relatividade de Einstein são as transformações de Lorentz. Essas transformações são dadas por (SCHRÖDER, 1990):

onde (x', y', z', t') são as coordenadas do ponto P no sistema K' da figura 1 e (x, y, z, t) são as coordenadas no sistema K . A grandeza v é a velocidade relativa entre os dois sistemas referenciais e c a velocidade da luz no vácuo. Além disso, temos que , que é uma função par da velocidade v, é dada por:

Realizando duas transformações de Lorentz em sequência, obtém-se novamente uma transformação de Lorentz. Já que a propriedade associativa existe,

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e o elemento inverso e o elemento identidade existem, a transformação de Lorentz forma um grupo.

Dessa forma, sejam v1 a velocidade de K' em relação a K e v2 a velocidade de K'' relativa a K', nas direções positivas de x e x' ; daí temos que:

Expressando x'', t'' em termos de x, t

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Agora, essa transformação (de K a K'' ) é um elemento do grupo de Lorentz que pode ser escrito da seguinte forma:

onde w representa o parâmetro de grupo definindo a transformação de K a K'.

As transformações de Lorentz podem ser divididas em homogêneas e não homogêneas. No primeiro caso, as transformações envolvidas conectam referenciais inerciais S , S' ,... que ou são rotacionados (uma rotação fixada no tempo) uns em relação aos outros, ou estão se movendo relativamente uns em relação aos outros (com velocidade retilínea uniforme), ou alguma combinação de ambos, mas cujas origens no espaço e tempo coincidem. No segundo caso, inclui-se a possibilidade de translações no espaço-tempo. Assim, as transformações homogêneas levam ao grupo homogêneo de Lorentz, as transformações não homogêneas levam ao grupo não homogêneo de Lorentz, ou grupo de Poincaré.

Diferentemente da Relatividade Galileana, com o espaço-tempo de Euclides e da Relatividade Especial, com o espaço-tempo de Minkowski que é um espaço liso ( flat ), nas quais prevalecem as invariâncias das equações de movimento como uma expressão da simetria, na Relatividade Geral temos o espaço-tempo curvo que ' é uma entidade física que não só atua sobre a matéria, dizendo-lhe como deve moverse, mas também é atuado pela matéria que lhe diz como deve curvar-se ' (CRAWFORD, 2005, p. 111), na qual prevalece a covariância das equações de movimento, não existindo portanto simetrias (CRAWFORD, 2005, p. 109).

## A Teoria de Campos no Ensino de Física

No estudo do conhecimento humano a estratégia utilizada é a separação sujeito versus objeto (MILTÃO, 2014). Este é um problema central na filosofia e que se estende para todos os outros campos do saber. No caso da Física, representamos o sujeito por um sistema de referência a partir do qual estudamos um determinado fenômeno, que representa um objeto.

Nesse trabalho, os diferentes sujeitos representados por diferentes sistemas de referência estabelecem um diálogo ao utilizar a teoria de grupos (que representa

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o conjunto das transformações entre os sistemas de referência), no estudo dos campos físicos (que representam fenômenos que estudamos).

A Teoria de Campos é uma proposta que busca uma unificação entre os diferentes campos físicos atualmente existentes (DIAS, 2006; GRIBBIN, 1998; OLIVEIRA, 20122; PIMENTA et all, 2013; SANTANA, 1997; SUDARSHAN e MUKUNDA, 1974). São eles os campos bosônicos (campo Bosônico de Schroedinger, campo bosônico de Schroedinger-Klein-Gordon, campo bosônico de Higgs, campo eletromagnético, campo nuclear fraco, campo nuclear forte, campo gravitacional) e os campos fermiônicos ou de matéria (campo de Pauli, campo de Dirac, etc.) (DIAS, 2006). Como estratégia didática podemos apresentar aos estudantes um mapa conceitual como aquele construído em Moreira, na figura 2 (2004, p. 13).

Um campo é uma porção do espaço-tempo onde são sensíveis e verificáveis ações de forças sem agente transmissor intermediário (ANDRADE-NETO, 2006; DIAS, 2006), ou seja, ' um campo é uma quantidade física que tem um valor para cada ponto no espaço e tempo ' (GRIBBIN, 1998, p. 138). No que tange à teoria das partículas elementares, tais entidades são representadas pelas excitações dos campos físicos denominadas quanta (DIAS, 2006). Novamente, apresentamos para os estudantes um mapa conceitual como aquele construído em Moreira, na figura 1 (2004, p. 13).

Ao utilizarmos a Teoria de Grupos, a sua relação com a Teoria de Campos é dada ao considerarmos que as partículas elementares podem ser obtidas a partir das representações irredutíveis dos grupos de Galileo e Poincaré (TUNG, 1999).

Como podemos observar, tratar de forma introdutória o conteúdo de Teoria de Campos no nível médio não é algo impossível, visto que tal conhecimento está relacionado com os conteúdos dos sistemas de referência, transformações lineares (transformações de Galileo e Lorentz), teoria de conjuntos, operações algébricas (multiplicação e soma), Leis de Newton e de Einstein (da Relatividade restrita), que são temas estudados (ou que deveriam ser estudados) nesse nível de ensino.

## Conclusão

Nesse artigo tratamos de uma proposta para apresentar um tema contemporâneo da Física, a Física de Campos. Considerando a necessidade da formação de um indivíduo crítico, o conhecimento de temas da Física Moderna e Contemporânea torna-se fundamental, visto que na atualidade as tecnologias existentes em geral utilizam tais temas. Para tanto, utilizamos como referencial pedagógico a concepção construtivista por levar em consideração não só as concepções prévias dos estudantes, o que permite uma interação professor-aluno, mas também o uso de estratégias didáticas dos mapas conceituais. Portanto, mostramos como relacionar as vivências conceituais dos estudantes com o tema da Teoria de Grupos, que é central para o entendimento da Teoria de Campos a partir da compreensão da estrutura algébrica das teorias físicas.

Como demonstramos, é possível apresentar o tema de Teoria de Campos introdutoriamente no nível médio considerando o fato de que essa teoria esta relacionada com conteúdos apresentados nesse nível de ensino, permitindo uma aprendizagem significativa através de uma apropriada transposição didática. Como

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estratégia, podemos utilizar mapas conceituais a exemplo daqueles apresentados em (MOREIRA, 2004).

## Referências

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