Uma transformação linear para a produção de imagens anamórficas cilíndricas

## UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA A PRODUÇÃO DE IMAGENS ANAMÓRFICAS CILÍNDRICAS

## Marcelo Nunes Coelho 1 , Simony Maia Vieira 2

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IFRN - Campus Mossoró, e-mail: marcelo.coelho@ifrn.edu.br

2 Universidade Federal do Ceará, e-mail: simonymv@gmail.com

## Resumo

É sabido a dificuldade que muitos professores têm para conseguir aliar seus conteúdos com práticas ou atividades cotidianas dos nossos alunos. É também bem conhecido o fato de que uma abordagem interdisciplinar que preserve as relações entre as diversas áreas que podem ser contempladas por um determinado conteúdo, ao invés da partição desse tema por áreas distintas, é sempre mais eficiente. Assim sendo, aliar a Física com a Matemática, a Química, etc. e até mesmo com as Artes, pode ser um trunfo poderosíssimo no processo de conquista dos alunos e funcionar como um gatilho que desperte o interesse dos mesmos pela Física. Diversos artistas vêm fazendo, atualmente, uso de técnicas de anamorfose, que é a distorção de uma imagem de modo que a mesma só possa ser visualizada com sua forma correta a partir de um determinado ponto de vista ou com o auxílio de algum sistema óptico. Este trabalho vem, portanto, apresentar uma atividade que pode ser usada como um complemento para o professor de Física durante suas aulas de óptica geométrica. Trata-se pois, da busca por uma transformação linear simples capaz de produzir imagens anamórficas cilíndricas (um dos tipos mais comuns de anamorfose). A transformação é apresentada ao final e alguns exemplos de imagens anamórficas criadas com o seu auxílio são tratados.

Palavras-chave : Anamorfose; Transformação Linear; Óptica Geométrica

## Introdução

Ensinar Ciências, em especial Física, tem sido um desafio enorme durante muito tempo. A forma como muitos professores e livros didáticos têm apresentado os conteúdos, desvinculando-os da realidade dos alunos, finda por, na grande parte das vezes torná-los avessos à disciplina.

De acordo com os PCN+ 1 , ensinar Física trata

de construir uma visão que esteja voltada para a formação de um cidadão contemporâneo, atuante e solidário, com instrumentos para compreender, intervir e participar na realidade.

Dessa forma, o ensino de Física que preza pela interdisciplinaridade, torna as experiências dos alunos em sala de aula mais proveitosas e mais próximas de seu contexto social.

Ainda de acordo com os PCN+,

a Física deve apresentar-se, ..., como um conjunto de competências específicas que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos...

Além disso, assim como João Zanetic , creio que 2

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o ensino de física não pode prescindir da presença da história da física, da filosofia da ciência e de sua ligação com outras áreas da cultura como literatura, música, cinema, teatro...

e artes plásticas.

Isso pode soar estranho, pois costuma-se relacionar a Física com a razão e as Artes, com os sentimentos. Engana-se quem pensa dessa forma, pois o próprio Einstein sentia-se incomodado

com a aparente falta de simetria - um conceito amplamente usado pelos artistas - entre a Mecânica Newtoniana e o Eletromagnetismo de Maxwell. 3

Há muito os artistas já se apossam de fenômenos e conceitos físicos na construção de suas obras. O francês Claude Monet brincou com a luz em suas pinturas impressionistas; o espanhol Salvador Dali, exprimiu de sua maneira o novo conceito de tempo inaugurado pela Relatividade de Einstein; o italiano Leonardo Da Vinci, foi magistral na representação das perspectivas. Hoje em dia, artistas continuam fazendo uso da Física em suas obras. Dentre estes artistas, destacam-se o britânico Julian Beever que trabalha com imagens anamórficas.

Além do mais, a construção dessas obras, quando não fazem uso de uma profunda reflexão perante conceitos Físicos explorados por uma teoria - como é o caso da obra 'O Tempo' de Salvador Dali -, utilizam-se de uma construção matemática - como é o caso da obra 'Los embajadores' de Hans Holbien, ou mesmo as obras de Julian Beever.

Dessa forma, aliar esses temas ao ensino de Física, além de propiciar uma aproximação maior com o cotidiano dos alunos, serve como ilustração de quão transversal pode ser a Física.

Nesse texto apresentamos uma proposta de trabalho que pode ser utilizada em aulas de óptica, visando explorar conceitos de matrizes e fazendo uma ligação com artes plásticas.

## Anamorfose

Segundo o dicionário Aurélio da Língua Portuguesa , anamorfose é 3

3.Ópt. Deformação de uma imagem formada por um sistema óptico cuja ampliação longitudinal é diferente da ampliação transversal; 4. Ópt. Arte de representar essa imagem.

Em arte, o conceito de anamorfose já era utilizado desde o Renascimento. Hans Holbien, na obra 'Los embajadores', põe um elemento que se situa aos pés dos personagens centrais. Quando observada de frente, a figura parece não fazer sentido, mas se observada em uma linha de visão inclinada em relação ao plano da tela, percebe-se claramente que se trata de um crânio.

Hoje em dia, essa ferramenta - a anamorfose - vem sendo amplamente utilizado por diversos artistas, principalmente artistas de rua. Citamos Julian Beever, os grafiteiros ninja1 e mach505, Tracy Lee Stum, etc. A técnica cria uma distorção de projeção. Essa distorção causa uma ilusão ou deformação da imagem. A estrutura ideal da imagem, desejada pelo artista, é recuperada desde que seja observada a partir de determinado ponto de vista ou com o auxílio de algum sistema óptico.

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Uma busca rápida na internet revela um sem fim de obras que utilizam deste recurso. É possível, inclusive, encontrar algumas dicas práticas de como produzir desenhos anamórficos de alguns tipos.

## Anamorfose Cilíndrica

Dentre as formas mais difundidas de anamorfose, está a cilíndrica. Nesta técnica, um desenho é distorcido de tal forma que sua aparência desejada é recuperada quando visto refletido em um espelho cilíndrico. A posição do espelho é relevante para a visualização adequada da imagem. Descreveremos agora uma forma prática para se conseguir imagens anamórficas cilíndricas.

Suponha que se queira desenhar o quadrado da Figura 1 em uma perspectiva anamórfica cilíndrica. A malha criada na Figura 1 servirá como referência para a construção seguinte.

- O próximo passo é determinar uma superfície em forma de semicírculo subdividida em fatias de mesmo tamanho, na mesma quantidade de colunas da Figura 1. Em seguida, traçam-se semicírculos internos concêntricos ao primeiro semicírculo de forma a gerar uma quantidade de coroas circulares na mesma quantidade de linhas da Figura 1. A Figura 2 mostra esse passo da tarefa.

Figura 1. Discretização da região do plano cartesiano que se deseja converter em uma região anamórfica cilíndrica. O quadrado no centro da região será a figura convertida.

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Figura 2. Mesma região da Figura 1 agora convertida em uma região anamórfica cilíndrica. Observe o formato que o quadrado adquiriu nessa nova perspectiva.

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Em seguida, basta cobrir de preto os elementos que se encontram nas respectivas intersecções correspondentes àqueles do desenho da Figura 1. A figura conseguida por meio disso é tal que quando um cilindro espelhado for posicionado com o centro sobre o ponto T, a imagem será refletida na sua superfície como o quadrado da Figura 1.

É prático e fácil produzir imagens anamórficas cilíndricas por meio disso. O que fazemos neste trabalho é apresentar uma transformação linear, que irá facilitar a transposição de qualquer ponto no plano retangular (o plano que contém a figura que eu desejo observar refletida) para o plano semicircular (o plano que contém a figura distorcida - anamórfica). Dessa forma, produziremos imagens anamórficas cilíndricas de forma bastante rápida, mesmo para curvas contínuas (nesse caso, será necessário o uso de algum software capaz de desenhar gráficos). Buscamos com isso mostrar aos alunos que a relação entre a Arte, Matemática e Física existe e, em alguns casos, ela é bem estreita, com uma área fazendo uso amplo de conceitos da outra.

## Dedução da transformação linear para a construção de imagens anamórficas cilíndricas

Nossa proposta é encontrar uma transformação de coordenadas que gere imagens anamórficas cilíndricas de tal forma que quando refletidas em um espelho cilíndrico, produzam as imagens regulares desejadas. Esta transformação deve produzir um efeito semelhante ao conseguido por meio do método explicitado acima.

A primeira coisa a se fazer é determinar qual região do plano retangular queremos distorcer (doravante chamaremos essa região de região R). Geramos uma

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malha com linhas e colunas igualmente espaçadas entre si na região R. Em seguida, procedemos gerando uma região semicircular (doravante chamada de região S) de raio L = 2a ( L é a altura da região retangular que se deseja representar de forma anamórfica e a é a meia largura dessa região = ao raio do semicírculo). A origem dos dois sistemas é o mesmo ponto (0,0) do plano cartesiano. A transformação linear deverá transformar a região R na região S. A Figura 3 define os elementos essenciais para a sucessão do trabalho.

Figura 3. Malha retangular e sua correspondente malha anamórfica cilíndrica.

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Observe que, ainda aqui, estamos utilizando uma malha discreta para realizar nosso intento. No entanto, a transformação que iremos conseguir é independente dessa malha, servindo portanto para linhas contínuas desde que conheçamos a forma matemática da curva.

A transformação deve obedecer inicialmente às seguintes condições:

A região R é dividida em colunas. Assim, temos que a largura de cada coluna é . A região S é analogamente dividida em fatias. O tamanho angular de cada fatia é . Seja uma coluna qualquer ( , contando a partir da extrema direita) na região R, suas coordenadas são dadas por: para para para para para Já para a região S, sendo uma fatia qualquer, temos: para para para para para Assim, para um ponto qualquer da região R, a transformação leva ao ponto

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No entanto, de acordo com as relações apresentadas anteriormente, e . Com isso, temos

Observe que este resultado só depende da largura da região que se deseja transformar. É possível ainda escrever esse resultado na forma de um produto de matrizes:

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onde usamos .

Embora as coordenadas da região S estejam distorcidas em relação àquelas da região R, elas ainda estão dadas na forma de coordenadas retangulares. Se representarmos o plano semicircular em coordenadas polares , podemos agora escrever da seguinte forma:

onde o sobrescrito P representa coordenada polar.

Figura 4. Gráfico das curvas a) f(x) = |x| + 2; b) x +2; c) f(t) tal que, x(t) = cos(t) e y(t) = 2 sen(t) + 2; e d) f(t) tal que, x(t) = sen(t) e y(t) = sen(2t)+1,5.

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A Figura 4 apresenta os gráficos das funções a) (reta) , b) (parábola), c) a curva paramétrica tal que e (circunferência unitária de centro ) e d) a curva paramétrica tal que e .

A Figura 5 apresenta os gráficos das transformações anamórficas cilíndricas das mesmas funções. Os gráficos foram gerados usando o software Wolfram Mathematica Student Edition ® versão 10.0.

Figura 5. Gráfico das funções da Figura 4 em uma perspectiva anamórfica cilíndrica obtida por meio da transformação da Equação (1). As imagens da Figura 4 serão observadas por reflexão na superfície de um cilindro posicionado com o centro sobre o ponto (0,0) nos gráficos acima.

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## Conclusão

Vimos nesse trabalho que é possível construir uma transformação linear que mapeia uma região delimitada do plano no próprio plano . A transformação é tal que distorce os objetos originais transformando-os em imagens anamórficas

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cilíndricas que só serão recuperadas quando observadas refletidas em um espelho cilíndrico.

## Referências

- 1. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+) - Ciências da Natureza e suas Tecnologias . Brasília: MEC, 2002.
- 2. ZANETIC, João. Física e Arte: uma ponte entre duas culturas, Pro-Posições , Campinas, v.17, n. I, p. 39-57, jan./abr. 2006.
- 3. CLÁUDIO REIS, José; GUERRA, Andreia; BRAGA, Marco. Física e arte: a construção do mundo com tintas, palavras e equações, Ciência e Cultura , Campinas, v. 57, n. 3, p. 29-32, jul./set. 2005.
- 4. FERREIRA, Aurélio B. de Holanda, Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa , 2. Ed. Paraná - Editora Positivo, 2004.

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