EXPERIMENTOS DE PÊNDULO SIMPLES COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

## EXPERIMENTOS DE PÊNDULO SIMPLES COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

## Rosana Cavalcanti Maia Santos 1 , Márcia Maria Lucchese , Cecília Petinga 2 Irala 3

- 1 Universidade Federal do Pampa/Campus Bagé/prof.rosanamaia@gmail.com
- 2 Universidade Federal do Pampa/Campus Bagé/ mmlucchese@gmail.com

## Resumo

A utilização de softwares matemáticos como recurso didático para o ensino de física é um tema recorrente nos estudos de diversos pesquisadores. Algumas pesquisas apontam que essas ferramentas podem possibilitar a adequação do ensino aos diferentes estilos de aprendizagem, bem como às necessidades que a sociedade atual exige enquanto competências e habilidades do indivíduo. Nesse contexto, este trabalho apresenta um relato de experiência da inserção do software GeoGebra como auxílio para análises e interpretações de dados em atividades experimentais acerca do pêndulo simples, no âmbito da componente curricular de Laboratório de Física II. O experimento sobre o pêndulo simples foi dividido em duas atividades: primeira permitiu a coleta de dados, interpretação dos mesmos e a determinação da aceleração gravitacional local através da análise gráfica. Já na segunda atividade, o experimento foi repetido, variando os parâmetros de comprimento do pêndulo e amplitude. Com isso, realizou-se a análise da dependência do período do pêndulo com cada um destes parâmetros, separadamente, e a partir da modelagem teórica do pêndulo simples, foi feita a comparação dos dados teóricos com os experimentais, permitindo a interpretação física dos resultados. Após a dinâmica das atividades experimentais, os estudantes passaram por uma avaliação acerca deste experimento e dos conteúdos abordados. A partir dos resultados obtidos pelos estudantes em tal avaliação, foi possível fazer uma reflexão crítica sobre a implicação do uso do software GeoGebra na aprendizagem dos discentes.

Palavras-chave : Pêndulo simples, experimento, software GeoGebra.

## Pêndulo simples: potencialidades e limitações no ensino e aprendizagem de conceitos físicos

O movimento oscilatório de pêndulos é objeto de estudo desde os primórdios do desenvolvimento da ciência. Nesse contexto, o pêndulo tem papel fundamental para a história da ciência (MATTHEWS; GAULD; STINNER, 2005), pesquisas educacionais (INHELDER; PIAGET, 1958; STAFFORD, 2005; NEWBURGH, 2005; BARBOSA; MORAES, 2010), bem como para o desenvolvimento tecnológico (ESPERIDIÃO, 1992; OLIVEIRA, 1995; PETERS, 2005; BELÉNDEZ, 2007).

Nessa perspectiva, o pêndulo é um tema recorrente nas componentes curriculares básicas de cursos de engenharia. Para fins didáticos, dos diversos tipos de pêndulos, o experimento com pêndulo simples é um dos mais conhecidos e realizados, uma vez que, o estudo do seu movimento oscilatório e periódico permite a compreensão de conceitos introdutórios de Mecânica, além de servir como 'base' para a realização de analogias e interpretação de diversos fenômenos da natureza, aplicações tecnológicas e introdução ao estudo de fenômenos caóticos (PERRETTO; 2004).

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

26 a 30 de janeiro de 2015

Apesar de tais potencialidades sobre a análise experimental do movimento oscilatório de pêndulos, o seu estudo é, geralmente, realizado de maneira restrita, uma vez que o pêndulo é visto como um dispositivo experimental simples (um fio acoplado a uma massa) sendo utilizado para realizar algumas medidas em laboratório e constatar alguns resultados já esperados pela previsão matemática (MATTHEWS; GAULD; STINNER, 2005) - fato que se remete a uma abordagem de um ensino tradicional e mecânico. Além disso, quando o estudo do movimento oscilatório do pêndulo é realizado a partir de tal abordagem, percebe-se que os estudantes têm certa dificuldade em interpretar o que acontece em tal movimento (BAZIN; LUCIE, 1981) e em descrever de maneira qualitativa e quantitativa o comportamento das grandezas físicas envolvidas, causando uma dificuldade na aprendizagem dos conteúdos relacionados (PERRETTO, 2004).

Assim, a fim de tornar o conhecimento sobre o movimento oscilatório do pêndulo simples mais significativo e contextualizado, bem como reduzir as dificuldades em interpretar tal movimento, propomos que as atividades experimentais desenvolvidas em laboratório sobre tal tema sejam realizadas com o auxílio dos softwares matemáticos livres, como por exemplo, o GeoGebra.

## Experimentos do pêndulo simples com auxílio dos softwares matemáticos

A necessidade da inserção das novas tecnologias no ensino é um tema recorrente de estudo de diversos pesquisadores (ALONSO; GALLEGO, 2000; SANTOS, 2013). Tais ferramentas possibilitam a modificação da dinâmica das atividades de ensino, inclusive as experimentais, favorecendo a autonomia e a aprendizagem dos estudantes a partir da maneira pessoal de aprender.

Assim, apresentamos neste trabalho um relato de duas atividades experimentais desenvolvidas na componente curricular de Laboratório de Física II, para cursos de engenharia, acerca do pêndulo simples com o auxílio do software 1 GeoGebra.

O GeoGebra é um é um software dinâmico de matemática, que reúne geometria, álgebra e cálculo; cuja principal característica é o movimento de objetos na tela (LOPES, 2010; GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010). Apresenta, portanto, ferramentas que permitem a análise de dados coletados em laboratório no experimento do pêndulo simples, como por exemplo, construção gráfica a partir de tabelas, inserção de funções com variação de parâmetros, determinação de valores teóricos de grandezas físicas etc. Assim, é possível realizar uma discussão e interpretação das equações do movimento do pêndulo simples por meio de construções gráficas.

Nesse contexto, o software GeoGebra será utilizado com uma abordagem didática, para que proporcione aos estudantes a aprendizagem de conceitos e fenômenos físicos sobre o pêndulo simples, bem como a sua autonomia para elaborar e testar hipóteses sem que se limitem ao espaço físico do laboratório.

## Atividades desenvolvidas

Atividade 1: Determinação da aceleração da gravidade local a partir de medidas de período do pêndulo simples

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Após uma breve discussão sobre o movimento oscilatório do pêndulo simples; bem como a análise e dedução das equações que descrevem seu movimento, os estudantes iniciaram a primeira atividade experimental cuja finalidade era a determinação da aceleração da gravidade local. Para isso, foram coletados dados de comprimento e período do pêndulo simples, por meio de uma fita métrica e um cronômetro digital, respectivamente. Os dados de um dos grupos podem ser observados na tabela 01.

Após essa etapa os alunos constataram que o período do pêndulo e seu comprimento são grandezas físicas proporcionais, o que já era constatado a partir da equação do período do pêndulo simples.

Tabela 01: Valores de comprimento do pêndulo e seu respectivo período

A partir da coleta desses dados, iniciamos uma dinâmica de discussão sobre como determinar a aceleração da gravidade local por meio de um gráfico . Os estudantes foram questionados se o gráfico de T x l seria linear , e para facilitar a análise, a docente construiu tal gráfico (equação do período do pêndulo simples) no software GeoGebra (figura 01). Assim, os alunos observaram a não-linearidade entre o período do pêndulo e o seu comprimento.

Figura 01 : Gráfico apresentado aos estudantes para constatação da nãolinearidade do gráfico de

<!-- image -->

Dando continuidade às discussões, com o auxílio da docente, os estudantes perceberam que seria possível obter uma linearidade no gráfico de T² X l, ou seja, caso a equação do período do pêndulo fosse 'elevada ao quadrado'. Dessa maneira

obtemos a equação: . Os estudantes, então, construíram no GeoGebra o

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

gráfico de T² x l, a partir dos dados coletados (tabela 01) e determinaram a aceleração da gravidade local a partir do coeficiente angular ( Φ ) a reta encontrada

pelo software: . Para os dados aqui apresentados, o grupo obteve uma reta cujo coeficiente angular é Φ = 4,0085 , portanto foi encontrado o valor para aceleração gravitacional local: g = 9,84 m/s².

Figura 02 : Análise dos dados obtidos no software GeoGebra

<!-- image -->

## Atividade 2: Análise do movimento oscilatório do pêndulo

Atividade 2a: Se a amplitude inicial ( θ ) é mantida constante, como se comporta o movimento do pêndulo quando seu comprimento ( ) é variado? l

Esta segunda atividade foi desenvolvida para que os estudantes pudessem realizar o estudo da equação do movimento do pêndulo simples por meio de interpretação gráfica, bem como determinar os valores teóricos de algumas grandezas e comparar com os valores experimentais.

Para isso, foi determinado em um cronômetro digital o período do pêndulo para valores de comprimento de , para um valor de amplitude fixa ( ). Posteriormente, os estudantes traçaram o gráfico de cada pêndulo explorado experimentalmente no GeoGebra. Nesse caso, utilizou-se a equação do movimento do pêndulo simples variando o valor do seu comprimento: .

Essa construção gráfica permitiu que os estudantes determinassem o valor teórico, no software GeoGebra, para o período de cada pêndulo, analisando-se o valor da separação entre dois pontos consecutivos no eixo horizontal (medindo tempo). Na tabela 02 é possível observar os dados experimentais e teóricos encontrados por um grupo.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Tabela 02: Valores experimentais e teóricos para o período do pêndulo simples a partir da variação do seu comprimento

Assim, é possível observar, a partir da equação do movimento do pêndulo simples que quanto maior o valor do seu comprimento, maior o valor do seu período. Além disso, é possível determinar o valor desse período de uma maneira indireta, a partir da interpretação gráfica (não ficando limitado à equação específica do período).

## Atividade 2b: Se o comprimento do pêndulo ( ) for mantido constante, como l se comporta o movimento do pêndulo quando sua amplitude inicial ( θ ) é variada?

Nesta atividade, os estudantes analisaram o comportamento do período do pêndulo quando o seu comprimento é mantido constante e a amplitude é variada. Assim, fixamos o comprimento do pêndulo em l = 1m e utilizamos valor de amplitude inicial de θ 1 = 4°, θ 2 = 7°, θ 3 = 10° .

Os valores de períodos experimentais foram determinados pelo cronômetro digital, e os valores teóricos por meio das construções gráficas da equação do movimento do pêndulo no software GeoGebra. Os dados de um dos grupos podem ser observados no quadro 03.

Tabela 03 : Valores experimentais e teóricos para o período do pêndulo simples a partir da variação da amplitude inicial

Assim, nesta atividade foi possível observar que a variação na amplitude não interfere no valor do período do pêndulo simples - o que já era previsto pela equação do período do pêndulo simples. Os alunos ainda discutiram sobre o que poderia ter interferido na medida do período do pêndulo para cada valor de amplitude por meio do cronômetro digital, o que acarretou em uma variação a partir da terceira casa decimal. Uma possível explicação seria a interferência da resistência do ar.

## Avaliação do estudo do movimento oscilatório do pêndulo simples e algumas discussões

A avaliação do movimento do pêndulo simples na componente curricular de Laboratório de Física II foi realizada por meio de uma prova com questões que

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

tiveram como objetivo a análise de um 'estudo de caso' sobre os conteúdos abordados. Como a prova englobou outros experimentos (movimento circular uniforme, ondas estacionárias em fio e no ar), optamos por avaliar os conhecimentos sobre o pêndulo simples em uma questão (figura 02). Tal questão tem como principal objetivo a avaliação acerca da linearização do gráfico T² X l, bem como a determinação da aceleração gravitacional local.

Dezoito (18) estudantes realizaram a prova, cujo desempenho pode ser observado no quadro 01.

A partir de tais resultados é possível fazer uma análise sobre a contribuição das atividades desenvolvidas na aprendizagem dos estudantes acerca do movimento do pêndulo simples.

O item 'a' buscava analisar se os estudantes haviam compreendido que quanto maior o comprimento do pêndulo, maior seria seu período de oscilação. Observamos que o desempenho foi satisfatório. Os estudantes justificaram suas respostas a partir da análise da tabela da questão, bem como a partir da equação do período do pêndulo simples.

Figura 02 : Questão para avaliação do pêndulo simples

<!-- image -->

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Quadro 01 : Desempenho dos 18 estudantes acerca do movimento do pêndulo simples

Já no item 'b' constatamos o maior número de erros. Podemos interpretar essa situação a partir de três possibilidades. A primeira seria em relação à interpretação da própria questão, ou seja, será que os estudantes tomaram o enunciado do problema como verdadeiro e inquestionável? A questão está ambígua ou os estudantes não têm contato com avaliações cujas questões são interpretação de estudos de caso? A segunda interpretação seria acerca da dinâmica na atividade experimental, visto que a docente apenas 'mostrou' o gráfico de T x l para ajudar os estudantes a observar seu comportamento não-linear. Nesse contexto, Schlemmer (2006) discute que as ferramentas tecnológicas devem ser utilizar para que os estudantes construam seu próprio conhecimento e não apenas façam observações. Assim, podemos nos questionar: se os estudantes tivessem construído o referido gráfico no GeoGebra e realizado as análises individualmente, teriam obtido um desempenho melhor? E, a terceira interpretação é em relação à recorrente dificuldade que os estudantes têm em relacionar as equações que modelam 2 fenômenos físicos com o seu comportamento gráfico, ou seja, mesmo conhecendo a equação do período do pêndulo e sabendo que o mesmo depende da 'raiz do seu comprimento', os estudantes não conseguem expressar essa dependência por meio da curva de um gráfico. Por fim, no item 'c' observamos que houve um número considerável nos acertos. Porém, visto que a interpretação desse item está totalmente relacionada com o conhecimento explorado no item 'b', constatamos (pelos resultados do quadro 01 e pelas respostas dos discentes) que boa parte dos

alunos decorou a equação ( .) que permitia o cálculo da aceleração gravitacional a partir a linearização do gráfico

## Considerações finais

Por meio deste trabalho foi possível exemplificar e refletir acerca da inserção de softwares matemáticos para a análise de dados coletados em atividades experimentais. Observamos que alguns resultados obtidos quanto à aprendizagem dos estudantes sobre o movimento do pêndulo simples não foram satisfatórios. Portanto, é necessária uma constante reflexão sobre a dinâmica das atividades experimentais, bem como o uso das ferramentas tecnológicas, para que seja, de fato, um meio para que os estudantes construam seu próprio conhecimento. Nessa perspectiva, para atividades didáticas futuras, iremos propor aos discentes uma familiarização prévia com o software para que disponham de mais autonomia para que a realização das análises não tenha interferência direta dos docentes envolvidos (construindo e mostrando gráficos aos estudantes, por exemplo). Além disso, podemos inserir outros softwares para que os discentes realizem análises

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

experimentais, bem como adquiram o conhecimento de novas ferramentas que podem ser utilizadas em sua profissão.

## Referências

ALONSO, C. M.; GALLEGO, D. J. Aprendizaje y Ordenador . Madrid: Dykinson, 2000.

BARBOSA, V. C.; MORAES, P. C. Uma descrição newtoniana do movimento de um pêndulo esférico. Revista Brasileira de Ensino de Física , v.32, n.3, p.3307-1 - 3307-12, 2007.

BAZIN, M.; LUCIE, P. Porque e Como estudar 'O Pêndulo Simples' no Laboratório Básico? Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 3, n.1, p.3-9, 1981.

BELÉNDEZ, A. et al. Exact solution for the nonlinear pendulum. Revista Brasileira de Ensino de Física , v.29, n.4, p. 645 - 648, 2010.

ESPERIDIÃO, A. S. C. et al. Espaço de Fase do Pêndulo Físico Não Linear: Experimento e Integração Numérica. Revista Brasileira de Ensino de Física , v.14, n.2, p.78 - 86, 1992.

GERÔNIMO, J. R.; BARROS, R. M. O.; FRANCO, V. S. Geometria Euclidiana Plana: Um estudo com o software GeoGebra . Maringá: Eduem, 2010.

INHELDER, B.; PIAGET, J. The Growth of Logical Thinking from childhood to adolescence . New York: Basic Books, 1958.

LOPES, M. M. Construção e Aplicação de uma sequência didática para o ensino e aprendizagem de trigonometria usando o software GeoGebra . Natal:UFRN, 2010. 138f. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Centro de Ciências Exatas e da Terra - UFRN, Natal, 2010.

MATTHEWS, M.; GAULD, C. STINNER,. The Pendulum . Netherlands: Springer, 2005.

NEWBURGH, R. The Pendulum: A paradigm for the Linear Oscillator. In: MATTHEWS, M. R.; GAULD, C. F.; STINNER, A. (Org). The Pendulum . Netherlands: Springer, 2005, p.19-35.

OLIVEIRA, P. M. C. Comportamento crítico no pêndulo simples. Revista Brasileira de Ensino de Física , v.17, n.1, p.21 - 26, 1995.

PERRETTO, M. et al. Desenvolvimento de um sistema de aquisição e tratamento de dados para o estudo do movimento de um pêndulo . Trabalho apresentado no IX Encontro Nacional de Pesquisa em Ensino de Física, Jaboticatubas, 2004.

PETERS, R. The Pendulum in the 21st Century-Relic or Trendsetter. In: In: MATTHEWS, M. R.; GAULD, C. F.; STINNER, A. (Org). The Pendulum . Netherlands: Springer, 2005, p.19-35.

SANTOS, R. C. M. Utilizando o software GeoGebra como recurso didático para o ensino do movimento oscilatório de pêndulos. Bauru: UNESP, 2010. 174 p. Dissertação (Mestrado) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências, Faculdade de Ciências, UNESP, Bauru, 2013.

SCHLEMMER, E. A Geração eh web e eu, o professor. E agora? In: GONÇALVES, R. A; OLIVEIRA, J. S.; RIBAS, M. A. C (Org.). A Educação na Sociedade dos Meios Virtuais . Santa Maria: Centro Universitário Franciscano, 2006.

STAFFORD, E. What the Pendulum Can Tell Educators about Children's Scientific Reasoning. In: In: MATTHEWS, M. R.; GAULD, C. F.; STINNER, A. (Org). The Pendulum . Netherlands: Springer, 2005, p.315-348.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_