ANALISANDO O COMPORTAMENTO DE UM SISTEMA OSCILANTE COM MASSA VARIÁVEL: COM A INTERFACE DE DADOS ARDUINO

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## ANALISANDO O COMPORTAMENTO DE UM SISTEMA OSCILANTE COM MASSA VARIÁVEL: COM A INTERFACE DE DADOS ARDUINO

## Fabiana Jenifer de Castro Fernandes , Paulo Sergio T. Mariano , 1 2 Gilmar da Silva Neto , Julio Santiago Espinoza Ortiz 3 4

1 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão-GO, fabicastro19@gmail.com

2 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão-GO, paulo.sergio.fisica.ps@gmail.com

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Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão-GO, gilmarneto@gmail.com 4 Universidade Federal de Goiás/Departamento de Física/Catalão-GO, jsespinophysics@gmail.com

## Resumo

Na descrição dos movimentos periódicos, um dos sistemas mais empregados para modelagem na física é o Oscilador Harmônico Simples (OHS), que é utilizado tanto para descrever sistemas mecânicos clássicos quanto na mecânica quântica, onde este vem a ser o principal protagonista das hipóteses de quantização. Neste trabalho, um experimento foi implementado para estudar um oscilador com massa variável, sendo empregada a Segunda Lei de Newton para descrever e analisar os resultados obtidos. Foi elaborado e montado um arranjo experimental simples, que consiste de uma garrafa plástica (PET) contendo areia, pendurada por uma mola, que ao oscilar perderá massa através do escoamento do material granular. As medidas experimentais foram obtidas utilizando: um sensor de força (que possibilita medir a taxa de escoamento da massa), um sensor de posição (para medir a posição instantânea do sistema dinâmico) e uma interface com o computador (para coletar e armazenar os dados experimentais), onde desenvolvemos um sketch para aquisição de dados usando o Arduino. A dinâmica do sistema físico foi modelada teoricamente tendo como ponto de partida a segunda lei de Newton. A análise dos resultados obtidos experimentalmente mostra que o movimento resultante é composto por dois modos normais: um movimento de translação do ponto de equilíbrio do sistema e um movimento puramente oscilatório na vizinhança deste ponto.

Palavras-chave : Oscilador harmônico, Massa variável, Composição de movimentos.

## Introdução

A experimentação pode facilitar o entendimento de como certas leis básicas da física foram observadas e comprovadas, sendo considerada, por várias pesquisas da área de Ensino de Física, como um método bastante eficaz de ensino, pois possibilita ao estudante descobrir (ou redescobrir) os princípios físicos, através da vivência em laboratório, mesmo quando o fenômeno estudado seja abstrato. Entre os fenômenos vistos de forma bem abstrata podem-se citar os fenômenos periódicos, como é o caso das oscilações, onde os alunos normalmente decoram as equações e as utilizam sem necessariamente compreender muito bem o que ocorre.

No nosso cotidiano estamos cercados de movimentos periódicos; movimentos que se repetem em intervalos de tempo regulares. E a descrição matemática das oscilações é aplicada tanto aos objetos materiais quanto ao estudo

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das ondas eletromagnéticas. Um movimento oscilatório no mundo real é, em geral, amortecido, ou seja, é um movimento que diminui sua amplitude assim como seu deslocamento gradualmente, com a transformação de energia mecânica em energia térmica, devido à existência de forças de atrito.

Na descrição dos movimentos periódicos, um dos sistemas mais empregados para modelagem na física é o Oscilador Harmônico Simples, que é utilizado tanto para descrever sistemas mecânicos clássicos quanto na mecânica quântica, onde é o principal protagonista das hipóteses de quantização com resultados empíricos fantásticos, constituindo um excelente sistema para o estudo e a modelagem de movimentos periódicos (PALLADINO e FERREIRA, 1999; BERTUOLLA et. al. 2005; GRIFFITHS, 2011). Devido a sua simplicidade, esse sistema pode ser descrito pelas Leis de Newton da mecânica clássica, descrevendo perfeitamente o balanço energético entre a energia potencial e a energia cinética. Dentre os diferentes modelos de osciladores harmônicos que podem ser construídos, estamos particularmente interessados no oscilador harmônico de massa variável, composto por uma garrafa com massa própria pendurada verticalmente por uma mola.

Neste trabalho utilizamos um arranjo experimental simples para estudar o comportamento de um sistema físico oscilante com massa variável, que consiste de uma garrafa plástica (PET) contendo areia e que está pendurada por uma mola. O sistema ao oscilar perderá massa através do escoamento da areia, e a forma como o arranjo foi montado permite a medição da quantidade de massa que escoa. Através do furo na tampa da garrafa, observa-se que a areia escoa regularmente. Esta montagem experimental (conforme esquema mostrado na Figura 01(a)), além do baixo custo é bastante rica em conceitos físicos, pois possibilita observar o comportamento do sistema enquanto perde massa através do escoamento de um material granular, especificamente areia. Este arranjo descreve uma situação onde a força peso está diretamente associada com a posição de equilíbrio do sistema em repouso.

A implementação deste experimento tem fundamentalmente como propósito didático estudar e observar fenômenos físicos em tempo real, impossíveis de ser observados sem o auxílio de equipamentos similares aos utilizados neste experimento. Pretende-se mostrar de forma sistemática e simples como o processo de perda de massa influencia o comportamento de um sistema oscilante. Por outro lado, o sistema físico real depende da interação com o meio onde está localizado, especificamente neste caso, está sujeito à ação do campo gravitacional e do atrito. Todos estes elementos atuando conjuntamente de maneira competitiva entre eles, determinando assim o comportamento físico do sistema.

Para analisar os dados obtidos, partiremos de um modelo teórico préestabelecido para o estudo desse sistema (FLORES et. al., 2003), que descreve meticulosamente os dados experimentais obtidos. O estudo de tais sistemas com a variação de certos parâmetros constitui um excelente aprofundamento no que tange as famosas leis que mudaram o mundo no século XVII, as leis de Newton. Mostraremos que o movimento resultante está composto por dois modos normais: um movimento de translação e outro de oscilação, através da aplicação da segunda lei de Newton.

## Montagem e Descrição do Experimento

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Para a aquisição das medidas experimentais utilizamos equipamentos comercializados pela CIDEPE: um sensor de força, um sensor de posição, ambos conectados a uma interface de dados ARDUINO. A primeira aquisição de dados se refere ao escoamento de massa, montado segundo o esquema na Figura 01(a). Para isso foram utilizadas duas tampas de uma garrafa plástica média com área de seção transversal regular, com orifício circular de diâmetros 5,20 mm e 7,73 mm. Na própria garrafa, para efeitos de medidas da posição, foi transpassado perpendicularmente à linha do centro de massa da mesma um arame metálico grosso que permite pendurar dois suportes de pequenas massas de 10 g que, além de incorporar uma massa própria ao sistema, age como uma superfície refletora melhorando a aquisição pelo sensor de posição, como é mostrado na mesma figura. O experimento foi configurado como mostrado na Figura 01(b), sendo que as grandezas mostradas têm como comprimento inicial da mola , a distância entre as extremidades de um dos pesos e o ponto de junção mola-garrafa , a distância do sensor até o ponto de fixação da mola-garrafa e a constante de Hooke da mola utilizada é . O sucesso das medidas experimentais obedece a certos critérios específicos importantes, como pequenos deslocamentos verticais do sistema em torno da sua posição de equilíbrio. Ressaltando que o sistema real possui três graus de liberdade. Outra consideração refere à granularidade da areia, sendo que a mesma foi previamente seca e peneirada para garantir certa uniformidade dos grãos.

Figura 01 . (a) Esquema de montagem do aparato experimental utilizado para medir o escoamento de massa, e (b) esquema experimental utilizado para medir a posição instantânea do sistema.

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O experimento utilizado para estudar o movimento do Oscilador Harmônico como Massa Variável, explicável pela Segunda Lei de Newton, é um arranjo experimental simples, mas que oferece uma física riquíssima, e consiste numa garrafa PET, presa a uma mola, onde é colocado areia. Enquanto a areia escoa, sobre a influência do campo gravitacional, a mola faz com que o sistema seja capaz de oscilar, enquanto o meio exerce certo atrito sobre o sistema em questão. Evidentemente os resultados aqui mostrados estão sujeitos a um regime de pequenas oscilações, o que permite que o sistema oscile apenas verticalmente. Enfatizamos que apesar desta propositada escolha, uma variedade de situações podem ser exploradas, através da mudança nos parâmetros do sistema, a exemplo do atrito que o meio oferece e da a taxa de escoamento da areia, o que pode levar o sistema a uma situação estacionaria, isto é oscilar com amplitude constante, ou a um comportamento mais complexo que podemos, classificar de maneira geral como caótico. De modo que, motivados pela complexidade do comportamento físico do sistema e os conceitos físicos envolvidos, pretende-se que o experimento aqui descrito seja utilizado por estudantes de física e áreas afins em diferentes níveis de ensino, de maneira totalmente dinâmica. Para isso implementamos um ambiente experimental interativo baseado na plataforma ARDUINO.

## O Arduino

É uma poderosa ferramenta que permite a execução e analise deste experimento em tempo real, desta forma facilitando a percepção e o entendimento do processo físico (McROBERTS, 2011).

Sendo uma plataforma de computação de fonte aberta, o ARDUINO pode ser utilizado para desenvolver objetos interativos independentes ou conectados através de um software a um computador. Ele é conformado por dois componentes principais: a placa ARDUINO que é um elemento de hardware, e o IDE que é um software que é executado no computador. Sendo este último utilizado para criar um programa de computador também chamado de sketch , que será responsável pela execução deste projeto. Para a implementação do experimento com o auxílio do ARDUINO usamos duas placas pré-construídas para conectar os sensores de força e de posição, o que possibilita a obtenção de medições precisas em tempo real. A segunda fase consiste em implementar os programas de cálculo computacional ( sketch ) que nos permitirá realizar a análise dos dados (SILVA NETO, G. 2014), assim como sua visualização imediata na forma de gráficos. Elementos estes imprescindivelmente didáticos, que certamente auxiliarão o aluno na consolidação de seu conhecimento físico acerca do oscilador harmônico de massa variável.

## Modelo Teórico

Um importante sistema físico sujeito à perda de massa é o movimento do foguete, que é um relevante estudo sobre movimento e variação da quantidade de movimento (HALLIDAY, RESNICK, WALKER, 2010). De forma similar, modelamos nosso sistema a partir da análise da variação de momento linear do sistema após uma pequena porção de massa deixar a garrafa. Definindo como sendo a velocidade relativa da porção de massa com relação à garrafa e definindo e como sendo a distância entre o ponto de fixação à extremidade do suporte do peso e a distância entre o ponto de fixação à pequena porção de massa que sai da garrafa, respectivamente (conforme mostrado na Figura 01(b)).

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Portanto, se considerarmos certo instante de tempo e um pequeno intervalo de tempo imediatamente posterior, podemos escrever, no limite quando

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onde o segundo termo dessa equação é responsável pelo impulso sobre o sistema devido a ejeção da massa, como ocorre com o recuo de uma arma ao ser disparada. Contudo, a ejeção da areia é causada pela força gravitacional, e a sua taxa de variação depende linearmente do tempo na forma , fato este que foi confirmado experimentalmente. Ademais, considerando o efeito da granularidade da areia, podemos afirmar que a pequena quantidade de impulso, assim que uma porção de massa deixa a garrafa, é desprezível se comparado à grande quantidade de momento linear vinculada à garrafa. Consequentemente, a segunda lei de Newton aplicada à garrafa pode ser escrita como:

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onde é a resistência do ar, a constante da mola e . Aqui fizemos uma mudança de variáveis . Note que a variável é medida a partir do sensor, como mostrado na Figura 01(b). Esta consideração facilitou a montagem do nosso experimento, assim como a obtenção das medidas experimentais.

Observe que a equação acima é uma equação diferencial de segunda ordem, e para solucioná-la pode-se escrever , desta forma separamos o movimento da garrafa como sendo uma combinação de dois tipos de movimento: um em relação ao deslocamento do ponto de equilíbrio , e o último relacionado a um movimento puramente oscilatório descrito por , sendo

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## Análise dos Resultados Experimentais

O erro nas medidas experimentais é calculado usando a técnica do desvio padrão médio, dessa maneira obtivemos 2,6% como resultado. O comportamento do escoamento da areia ao longo do tempo, mantendo a garrafa em repouso, é mostrado na Figura 02. Encontramos que o comportamento é linear, descrito por, cuja inclinação fornece os valores e para orifícios com menor e maior diâmetro, respectivamente. Enfatizando que verificamos que para um material granular de densidade que flui, por causa da ação gravitacional, através de um orifício de diâmetro , a taxa de escoamento satisfaz a fórmula de Yersel (YERSEL, 2000): , onde é o diâmetro médio do grão de areia, que para nosso caso é de aproximadamente 1,0 mm. Os valores antes mencionados foram satisfatoriamente computados através desta formulação.

O coeficiente de amortecimento é determinado na Figura 03, onde mostramos a amplitude de oscilação em função do tempo para o movimento oscilatório da garrafa, desta vez desconsiderando o escoamento de massa. O ajuste na escala logarítmica no eixo vertical determinou que . Na Figura 04 mostramos os dados experimentais assim como o ajuste da curva para o deslocamento da garrafa como função do tempo, considerando como posição inicial

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a posição de equilíbrio. Para os diferentes diâmetros das tampas, encontramos que o escoamento é aproximadamente linear, sendo que quanto maior for o diâmetro da tampa maior será a pendente da curva.

Figura 02. Gráfico mostrando a variação da massa de areia na garrafa em relação ao tempo de escoamento. Os pontos são os dados experimentais e a linha sólida representa o ajuste da curva.

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Figura 03. Amplitude em função do tempo para o movimento oscilatório amortecido sem escoamento. O ajuste teórico permite a determinação do coeficiente de amortecimento.

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Figura 04. Gráfico mostrando a variação temporal da posição da garrafa para o escoamento partindo-se do repouso, na posição de equilíbrio, para ambos os orifícios.

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A Figura 05 mostra as medidas da posição oscilante da garrafa em função do tempo considerando os diferentes orifícios. O termo é determinado via regressão linear, note-se os diferentes valores para . Em seguida, na Figura 06 apresentamos o movimento puramente oscilatório onde foi subtraído o modo de translação do ponto de equilíbrio.

Figura 05 . A posição da garrafa em função do tempo para o movimento com escoamento partindo-se do repouso, fora da posição de equilíbrio. A figura superior refere-se à tampa menor e a inferior à tampa maior.

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Figura 06 . O movimento puramente oscilatório da garrafa, onde foi subtraído o modo de translação do ponto de equilíbrio; para a garrafa com tampa menor e maior, respectivamente.

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## Conclusões

Neste trabalho apresentamos a proposta de utilizar um arranjo experimental simples, que possibilita obter experimentalmente a confirmação de previsões

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teóricas e experimentais disponíveis na literatura no estudo de sistemas oscilatórios de massa variável (Flores, et. al, 2003; Yersel, 2000). Para analisar o escoamento granular utilizamos a fórmula empírica de Yersel (Yersel, 2000) para orifícios circulares, fato este que foi verificado a partir das medidas com o sensor de força.

Em seguida, fazendo a análise a partir do repouso e de uma posição inicial fora do equilíbrio inicial, podemos medir as oscilações do oscilador com a massa variável. Tendo como ponto de partida a Segunda Lei de Newton, foi feita a descrição teórica do movimento da garrafa. Vimos que dois tipos de movimento estão presentes: o movimento de translação do ponto de equilíbrio e o movimento puramente oscilatório, constituindo um movimento composto por dois modos normais. Concluímos, então, que os resultados obtidos com o experimento proposto para estudar o comportamento de um oscilador com massa variável, mostra que este é um bom sistema para se trabalhar as equações de Newton em sua plenitude. Variando-se o parâmetro que confere inércia ao sistema, conseguimos explicar os dados experimentais a partir de um modelo teórico que leva em conta a variação de energia tanto devido ao arraste quanto devido á perda de massa.

A implementação de arranjos experimentais desse tipo usando o ARDUINO, aliados a estratégias de ensino que considere as contribuições da experimentação na reformulação e análise dos fenômenos físicos, pode ser um facilitador para que os estudantes de física, em diferentes níveis de ensino, construam (ou reformulem) seus conceitos acerca dos fenômenos analisados. O experimento mostrado neste trabalho contribui para a consolidação dos conhecimentos dos alunos acerca do movimento oscilatório de sistemas com massa variável, com implicações diretas na aprendizagem das Leis de Newton e dos princípios de conservação da mecânica.

## Referências

BERTUOLA A.C.; HUSSEIN M.S.; PATO M.P., Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 27, p. 327, 2005.

FLORES J.; SOLOVEY G.; GIL S., American Journal of Physics, v.71 (7), p. 721, 2003.

GRIFFITHS D.J., Mecânica Quântica , 2ª edição, Pearson, São Paulo, 2011.

HALLIDAY D.; RESNICK R.; J. WALKER J., Fundamentals of Physics, 8th edition , Wiley, New York, 2010.

MCROBERTS M., Beginning ARDUINO , 3th edition, Springer Sciences, New York, 2011.

PALLADINO B.E.; FERREIRA, P.L., Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 21, p. 490, 1999.

YERSEL M., The Physics Teacher , v. 38, p. 290, 2000.

SILVA NETO, G. Dados\_Salvos\_no\_Excel.ino . Google Drive. 2014. Disponível em: https://drive.google.com/file/d/0B1i3YEXVai00S3AtNjhZM1hKbkk/view?usp=sharing

## Agradecimentos:

Os autores agradecem a Prof. Dra. Ana Rita Pereira pelas frutíferas discussões e críticas pertinentes. A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás (FAPEG) pelo suporte para a realização deste trabalho.

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