Uma proposta de atividade sobre o princípio de equivalência da teoria da relatividade geral: colocando em prática um experimento de pensamento

## UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE SOBRE O PRINCÍPIO DE EQUIVALÊNCIA DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL: COLOCANDO EM PRÁTICA UM EXPERIMENTO DE PENSAMENTO.

## CARDOSO, Danilo 1 , NORONHA, André B. 2 , GURGEL, Ivã 3

- 1 Instituto de Física da Universidade de São Paulo, danilo.luiz@usp.br
- 2 Instituto de Física da Universidade de São Paulo, andrefisica@usp.br
- 3 Instituto de Física da Universidade de São Paulo, gurgel@if.usp.br

## Resumo

A inserção de tópicos da Física Moderna e Contemporânea no ensino de ciências tem sido foco de pesquisas e programas curriculares nos últimos anos. A busca por maneiras diversificadas de discutir estes tópicos em sala de aula passa, então, a ter importante relevância para a educação científica. Ao lado da teoria quântica, as teorias relativísticas compõem base importante da Física Moderna. Buscamos neste trabalho, como objetivo central, apresentar uma proposta didática experimental que ilustra o princípio de equivalência da Teoria da Relatividade Geral. Trata-se de uma experiência demonstrativa sobre o Princípio de Equivalência, um dos pilares da teoria geral. Mencionamos maneiras alternativas, presentes na literatura, de discutir este mesmo tópico. Buscamos delinear, de maneira sintética, a importância do princípio de equivalência para a construção e estruturação da Teoria da Relatividade Geral, através de algumas considerações históricas e filosóficas. Descrevemos em detalhe os materiais e os procedimentos da atividade proposta, assim como sua relevância para o ensino de relatividade. Entendemos que a discussão dos aspectos histórico-filosóficos deste princípio tem especial relevância para justificar e problematizar a experiência demonstrativa a ser apresentada.

Palavras-chave : ensino de relatividade; princípio de equivalência; proposta didática de demonstração.

## Introdução

No âmbito do ensino de ciências, em especial nas discussões curriculares, há acentuada preocupação relativa à formação adequada dos estudantes do ensino médio frente ao atual contexto de acelerado desenvolvimento científico e tecnológico. Conforme afirma Terrazan (1992), a compreensão por parte dos estudantes das mudanças sociais relacionadas à tecnologia só é possível se conceitos da ciência do século XX forem utilizados. Sendo assim, um dos objetivos de inserir tópicos de Física Moderna e Contemporânea (FMC) no ensino médio seria o de transformar estudantes em futuros cidadãos prontos para serem mais do que simples espectadores dos avanços tecnológicos e seus impactos sociais e culturais, mas participantes e avaliadores críticos destas. O apelo à inserção da FMC no ensino de ciências na literatura especializada marcou presença constante nos últimos vinte anos (TERRAZAN, 1992; PINTO & ZANETIC, 1999; MAXWELL, 2006; OLIVEIRA et al , 2007).

A Teoria da Relatividade Especial (daqui em diante TRE) e a Teoria da Relatividade Geral (daqui em diante TRG) fazem parte daquilo que pode ser chamado de 'revolução da física moderna' no início do século passado. Ao lado da física quântica, as teorias relativísticas se tornaram um dos pilares da FMC, gozando

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hoje de um status de 'paradigma' (no sentido kuhniano) da ciência. Mesmo sendo teorias bastante abstratas em muitos pontos, as teorias especial e geral da relatividade estão (direta ou indiretamente) próximas do nosso dia-a-dia e do acelerado desenvolvimento científico e tecnológico mencionado anteriormente. A título de exemplo, atualmente o uso de aparelhos GPS se torna cada vez mais uma realidade acessível. Muitos celulares e também carros populares levam consigo aparelhos que fornecem em segundos dados sobre a posição geográfica com precisões espantosas. Por outro lado, há o imenso valor (em diversos sentidos, cultural, intelectual, histórico, científico, entre outros) atribuído à construção destas teorias, episódio particularmente importante à história da ciência (NORONHA, 2014).

Propostas de ensino de TRE e TRG não são novidades na área de ensino de física. Muitos trabalhos envolvendo propostas de sequências didáticas, intervenções pontuais diferenciadas, propostas de currículo e de outras naturezas, surgiram nos últimos anos, tanto no âmbito nacional como no internacional (ver VILLANI & ARRUDA, 1998; ARRIASSECQ & GRECA, 2002; GUERRA, BRAGA & REIS, 2007; 2010). No caso do Brasil, o ensino de relatividade ganhou espaço próprio, de modo que muitos livros didáticos atuais abordam o tema (NORONHA, 2011). Houve e há incentivos em documentos oficiais, como os parâmetros curriculares (BRASIL, 1998), para que se abordem temas relacionados à FMC no ensino médio. Por outro lado, o fato de muitos exames vestibulares nacionais abordarem pouco estes temas faz com que muitas vezes eles sejam abordados (quando o são) de forma ainda tímida.

Contudo, embora existam estas propostas, no âmbito da demonstração experimental didática, as teorias relativísticas desvelam um desafio aos pesquisadores e professores. Em outras áreas da física, como a mecânica e termodinâmica, as propostas de demonstrações ou experimentação em classe são bastante diversas e relativamente comuns. Já para TRE e TRG, o número de propostas desta natureza é reduzido, o que não significa que a busca de formas didáticas de fácil acesso não sejam relevantes para estes conteúdos. Uma analogia interessante, introduzida pelo físico britânico Arthur Eddington há mais de oitenta anos e utilizada para fins didáticos hoje, é a do lençol esticado e deformado por pesos, representando as deformações do espaço-tempo. Existem hoje programas lúdicos interativos e jogos educacionais que ilustram explicitamente a aparência visual de objetos no regime de altas velocidades. E há, também, demonstrações simples e instrutivas do Princípio de Equivalência (daqui em diante PE) da TRG (MEDEIROS & MEDEIROS, 2005), foco deste trabalho.

Neste trabalho, nos propomos a complementar o leque de demonstrações do PE com uma proposta de atividade que utiliza alguns recursos tecnológicos relativamente acessíveis a estudantes e professores, como celular com função gravador de vídeo e balança portátil. A atividade foi elaborada com o intuito de ser aplicável tanto no contexto do ensino básico como no ensino superior. Como as outras propostas, esta que iremos apresentar possui um forte apelo visual, e pode ajudar a incentivar a compreensão conceitual do PE e também outros aspectos das teorias relativísticas.

## Considerações histórias sobre o Princípio de Equivalência da Teoria da Relatividade Geral

Em 1905 são publicados os célebres trabalhos de Albert Einstein ( Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento e A inércia de um corpo depende do seu

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conteúdo energético? ) nos quais o cientista alemão apresenta o que depois ficou conhecido como TRE, cuja principal ruptura com a física clássica é a maneira de encarar tempo e espaço, até então tidos como absolutos. A TRE foi sua maneira encontrada à época de conciliar teoricamente o eletromagnetismo e a mecânica clássica. Dez anos mais tarde, Einstein publicaria outro importante trabalho ( Fundamentos da Relatividade Geral ), fruto de sua tentativa em generalizar a teoria apresentada em 1905. De maneira sintética, suas motivações teriam sido o fato de que a descrição das leis físicas na TRE se dá apenas nos referenciais inerciais, e a falta de uma abordagem relativística para a gravitação: ' O fato de ser a teoria da relatividade restrita apenas o primeiro passo de um desenvolvimento necessário só se tornou evidente para mim quando procurei representar a gravitação na estrutura dessa teoria ' (EINSTEIN, 1982, p.63).

Uma das questões que Einstein estava interessado em responder ao inserir a gravitação na teoria da relatividade refere-se à igualdade entre a massa inercial e massa gravitacional. Esta era uma igualdade encontrada empiricamente, em especial nos experimentos de Eötvös no final do século XIX. A mecânica newtoniana a pressupõe, embora a ' igualdade entre as duas massas, gravitacional e inercial, era acidental do ponto de vista da mecânica clássica e não desempenhava papel algum em sua estrutura ' (EINSTEIN & INFELD, 2008, p. 180). De acordo com o próprio Einstein, um ponto decisivo para interpretar esta igualdade surgiu ao perceber que um corpo em queda livre não sente o próprio peso:

Estava sentado numa cadeira na repartição de patentes em Berna quando de súbito me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, não sente o próprio peso. Fiquei abismado. Este simples pensamento provocoume uma impressão profunda. Impeliu-me para a teoria da gravitação. (EINSTEIN apud PAIS, 1993, p.225)

Esse simples pensamento foi, nas palavras de Einstein, o pensamento mais feliz da sua vida (PAIS, 1993, p.208). Posteriormente, com a criação e desenvolvimento da TRG, a igualdade entre as massas gravitacional e inercial passou a ser interpretada por uma relação mais profunda, uma equivalência entre um referencial localmente inercial 'em queda livre' na presença de um campo gravitacional homogêneo e um referencial inercial livre de campos gravitacionais. Localmente, referenciais não inerciais passam a ser também, na TRG, bons candidatos para descrever as leis físicas . 1

Com o passar dos anos, o PE foi analisado sobre várias e diferentes perspectivas, e hoje se fala, por exemplo, em 'PE fraco' e 'PE forte' (BROWN, 2005, p.169), algo semelhante a o que ocorreu com o Princípio da Correspondência de Bohr. Muitas corroborações experimentais do PE e suas consequências ocorreram vários anos depois da formulação da TRG. Por exemplo, experimentos precisos de redshift gravitacional, efeito previsto pela teoria, foram feitos nas décadas de 60 e 70 do século passado (MISNER, THORNER & WHEELER, 1970, p.1056). Cabe mencionar que muito recentemente, os experimentos Gravity Probe trouxeram resultados muito precisos e condizentes com o PE (NI, 2011), muito embora existam

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controvérsias filosóficas, por exemplo, quanto ao princípio ser ou não o principal elo entre a TRE e a TRG e seu papel nas teorias quânticas (BROWN, 2005).

## Proposta de atividade

- O objetivo central deste trabalho é apresentar uma proposta de demonstração didática do PE, desenvolvida e apresentada pelos autores em uma disciplina de pós-graduação da Universidade de São Paulo . De início, ela foi 2 elaborada para ser compatível tanto para uma aula a cursos de licenciatura em física como para o ensino médio. Para o ensino básico, a demonstração em sala pelo professor, e a subsequente investigação conjunta com os alunos de seus resultados pode ser um encaminhamento didático interessante. Para futuros professores, esta e outras propostas (MEDEIROS & MEDEIROS, 2005) podem servir não só para demonstração, mas também como objeto de estudo, de forma a apontar suas limitações, possíveis rearranjos, adaptações e modificações para diferentes fins em sala de aula.

Propostas de demonstrações didáticas do PE não são novidade na literatura especializada. Medeiros e Medeiros (2005) apresentam alguns exemplos de experiências simples para ilustrar o princípio, que os autores classificam como 'elevadores de Einstein'. Encaram-nas como uma forma de brincadeira, cuja principal função seria trazer alegria para o ensino de ciências e, consequentemente, maior envolvimento por parte dos estudantes ( idem ). Uma destas experiências em forma de brinquedo foi dada a Einstein por Eric Rogers como presente pelo seu septuagésimo sexto aniversário. O brinquedo presenteado era uma espécie de 'quebra-cabeças' que:

- [...] consistia de uma bola de metal amarrada a um fio leve e encerrada em um globo transparente. Inicialmente, a bola era colocada dependurada para fora do copo (...). A outra extremidade do fio mergulhava pelo copo e atravessava um cilindro oco ligando-se a uma mola bem leve e flexível no extremo da qual era atado um pesinho em forma de bastão. O desafio era a partir dessa posição inicial da bola dependurada para fora do copo encontrar um método infalível de colocá-la para dentro do mesmo. (MEDEIROS & MEDEIROS, 2005, p.307)
- O 'método infalível' procurado nada mais era que lançar o brinquedo em queda livre. A solução do 'quebra-cabeças' era uma aplicação do PE, por isso Einstein teria se encantado com o presente, segundo relatos de seus colegas Eric Rogers e Bernard Cohen. Einstein, dirigindo-se à Cohen, afirmou:

Este brinquedo é feito como um modelo para ilustrar o princípio da equivalência. A pequena bola está atada a uma mola que penetra neste pequeno tubo. A mola puxa a bola para dentro do copo, mas não é suficientemente forte para trazê-la para dentro do mesmo, pois para isso teria que sobrepujar a força gravitacional que puxa a bola para baixo. (...) de acordo com o Princípio da Equivalência não haverá força gravitacional [no referencial do objeto em queda livre]. Assim, a mola será suficientemente forte para puxar a bolinha para dentro do copo de plástico (ROGERS; COHEN apud MEDEIROS & MEDEIROS, 2005, p.308).

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Como ilustram Medeiros e Medeiros ( idem ), existem outros tipos de experiências didáticas que têm como principal foco o PE. A proposta apresentada neste trabalho é mais uma forma possível de ilustrar de forma prática e didática o PE. Assim como as propostas apresentadas por Medeiros e Medeiros (idem), esta tem um forte apelo visual, principalmente pelo fato de utilizar explicitamente uma balança, como se discute abaixo.

Sucintamente, a proposta centra-se em três etapas: a construção de um aparato-suporte (lado esquerdo da figura 1), uma filmagem em queda livre (lado direito da figura 1), e a análise desta gravação. Para a construção do aparatosuporte, os materiais utilizados foram: duas bases retangulares de isopor grosso (3cm), quatro palitos de madeira grandes e fitas adesivas. Além destes, utiliza-se duas balanças digitais pequenas e um celular (ou câmera fotográfica digital 3 pequena) com função 'gravador de vídeo'. Colocam-se as bases de isopor de forma paralela, sendo a de cima apoiada pelos quatro palitos. Em seguida, desgasta-se o interior das bases para apoiar completamente uma das balanças (base de baixo) e celular/câmera (base de cima) (ver lado esquerdo da figura 1). A base de cima deve ser perfurada na região do captador do celular/câmera de forma que ele capte com nitidez o registro da balança. Por fim, colocamos um objeto de 103g sobre a balança, ponto fundamental para a próxima etapa.

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Figura 1: À esquerda, aparato- suporte construído e utilizado na proposta. À direita, ilustração da segunda etapa da proposta, no qual o aparato-suporte com um peso sobre a balança é posto em queda livre e filmado no próprio referencial.

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Na segunda etapa, liga-se a função 'gravador de vídeo' do celular/câmera, e soltamos o aparato-suporte com o peso sobre a balança de uma altura de três metros (ver lado direito da figura 1). Naturalmente, o aparato-suporte deve ser capturado antes da colisão com o chão, e logo em seguida desliga-se a função 'gravador de vídeo'. O fato das bases serem de isopor apoiadas por palitos ajuda a reduzir o impacto e a não danificar os equipamentos.

Na última etapa da proposta analisa-se o conteúdo da filmagem feita no sistema em queda livre. Na figura 2 ilustramos imagens do vídeo gravado pelo celular das medidas da balança imediatamente antes do sistema ser lançado em queda livre (lado esquerdo) e durante a queda livre (lado direito). O que é bastante

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intrigante e interessante de ser discutido é o valor registrado para a massa do objeto sobre a balança durante a queda livre de -56 g (ver lado direito da figura 2). Como será discutido logo em seguida, é possível explicar essa medida e concluir que ela não contradiz o PE. Muito pelo contrário, o reforça. Do ponto de vista didático, esse momento cabe muito bem para problematizar a questão proposta, investigar as razões e criar hipóteses do por quê da balança ter medido um 'peso negativo' ao invés de um 'peso nulo'.

Figura 2: Imagens do vídeo gravado pelo celular das medidas da balança imediatamente antes do sistema ser lançado em queda livre (à esquerda, 103 g) e durante a queda livre (à direita, -56 g).

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A razão da medida -56g no sistema em queda livre se deve à massa de algumas das peças internas da balança. Efetivamente, as medidas feitas pela balança se devem a um sensor piezelétrico que é instalado sob sua parte superior . 4 Para a conclusão desta etapa, foi desmontada então a balança utilizada no aparatosuporte. Havia quatro peças sobre o sensor na balança utilizada: a tampa, um pequeno suporte de aço e dois parafusos. Naturalmente, as massas destas peças, em qualquer medida da balança, já são levadas em conta, e são descontadas no processo de calibração, anterior à medida efetiva da massa de objetos.

Figura 3: Medida da massa dos componentes da balança utilizada no aparato-suporte sobre o sensor piezelétrico (tampa, pequeno suporte de aço e dois parafusos) feita na outra balança: exatamente 56 g.

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De fato, utilizando outra balança idêntica para medir a massa destas quatro peças, obtemos o valor de 56g (ver figura 3). Desta forma, não é difícil perceber que a medida de -56g obtida durante a queda livre está completamente de acordo com o PE. Isto é, o objeto sobre a balança (de massa 103g) não 'sente' o próprio peso.

Comparada às outras propostas, a aqui apresentada tem também um forte apelo visual, principalmente pelo fato de se utilizar explicitamente uma medida de uma balança para constatar a 'ausência' de gravidade em referenciais em queda livre. Entendemos que esta atividade tem relevância maior em cursos de relatividade (ensino básico ou superior) que considerem a dimensão histórica e filosófica do PE. A demonstração por si, por mais que seja bem trabalhada, não pode se autossustentar no sentido de se resumir a aula à realização da proposta. Ela deve vir associada a discussões conceituais, e quiçá histórico-filosóficas, que fundamentem e deem sentido à sua realização, sem esquecer discussões que ampliam ainda mais o debate. Quais as implicações físicas do PE? Ele é válido sempre? Ele funciona também com campos elétricos ou magnéticos? Em que sentido Einstein o usou para generalizar a TRE? Como e porque Einstein pensou neste princípio? Entre várias outras.

## Considerações finais

No que tange a educação básica, o ensino das teorias relativísticas enquadra-se dentro de uma das demandas atuais da área, que é a inclusão de tópicos de FMC. A relevância do ensino de FMC é defendida com base na enorme revolução tecnológica e também cultural que ela causou e vem causando desde os primeiros decênios do século passado (TERRAZAN, 1992). Tópicos das teorias mencionadas já estão presentes em livros didáticos de física, em especial as teorias relativísticas (NORONHA, 2011), muito embora sua presença efetiva em sala de aula ainda seja um desafio (OLIVEIRA, VIANA &amp; GERBASSI, 2007).

Apresentamos neste trabalho uma proposta didática de atividade experimental sobre o PE, um dos pilares da TRG. Assim como as propostas apresentadas por Medeiros e Medeiros (2005), ela apresenta um forte apelo visual, pelo fato de se usar explicitamente medidas de uma balança em queda livre. Nela, é possível verificar de forma notável o PE, mesmo com o fato, de início estranho, da balança em queda livre registrar 'massas negativas'. Esse pode ser um momento didaticamente interessante para problematizar a proposta e seu conteúdo, elaborar hipóteses, entre outros. A proposta, concebida em um curso de pós-graduação em ensino de ciências, foi desenvolvida de forma a ser adaptável tanto para o ensino superior (em especial licenciaturas em física) como para o ensino básico, e utiliza materiais e instrumentos que são relativamente acessíveis a professores e também estudantes. Por fim, cabe esclarecer que nossa intenção não foi esgotar as possibilidades de apresentar de forma prática PE em sala de aula, mas tão somente ilustrar mais uma alternativa que pode ser envolvente e relevante aos estudantes do ensino médio e futuros professores de física.

## Referências

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