Oscilador Amortecido em interface com Arduino

## OSCILADOR AMORTECIDO EM INTERFACE COM ARDUINO

José Neres de Almeida Junior , Marisa de Almeida Cavalcante , Thaís 1 1 Tokashiki Tavares Rodrigues 1

1 Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP)/Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia (FCET)/Departamento de Física

## Resumo

O projeto tem como principal objetivo utilizar o Arduino® em experimentos com osciladores amortecidos para estudar a diminuição temporal da amplitude de oscilação, além de calcular o coeficiente de amortecimento do sistema utilizado. O Arduino® é uma placa de controle I/O, de código aberto baseada no microcontrolador Atmega (Atmel). Apesar de difundido em diferentes áreas, é pouco utilizado em salas de aula para o ensino e aprendizagem de conteúdos de Física. Uma das intenções deste projeto é justamente difundir o uso do Arduino para fins educacionais, nas áreas de Física (como no estudo de oscilações amortecidas), como forma de melhorar a abordagem deste conteúdo tanto no Ensino Médio, quanto em cursos superiores que contemplem conceitos da Física, como cursos de Engenharia, Física, entre outros. O trabalho foi desenvolvido durante o curso de Licenciatura em Física, pela PUC-SP, tal como projeto. Além do equipamento desenvolvido, adotamos algumas estratégias para seu acompanhamento e divulgação: (1) criação de um blog deste trabalho (http://experimentodefisicaarduino.blogspot.com), onde disponibilizamos cada etapa do trabalho, bem como o código-fonte desenvolvido e (2) elaboração de um pôster, apresentado durante a Semana Acadêmica da PUC/SP. Apresentaremos neste trabalho, as etapas do desenvolvimento, dificuldades encontradas, e as superações e como este processo contribuiu para a nossa formação profissional.

Palavras-chave : Arduino na Educação, Oscilador Amortecido, Ultrassom, Ensino e Aprendizagem por Projetos.

## 1. Introdução

As oscilações harmônicas e harmônicas amortecidas (UFMG, 2010) são estudadas de forma breve nas séries do ensino médio, e quando abordadas, de forma que o aluno não possa interagir (Neumann, 2005). Nesta proposta procuramos evidenciar a interação aluno-projeto, bem como a percepção destes com o comportamento amortecido do objeto de estudo. Para tanto, verificaremos o amortecimento ocorrido em um pêndulo, devido à resistência do ar, detectando as oscilações amortecidas através da placa microcontroladora Arduino.

Tomamos como referência o trabalho de Souza (2011). Neste trabalho, o autor usa uma régua presa a um suporte como pêndulo, associando a ela, um espelho plano. Abaixo, uma lanterna de LED branco emite a luz, que ao refletir no espelho, este a rebate em um LDR, posicionado ao lado da lanterna. Ao balançar a régua, a luz da lanterna incide no espelho e ao rebater para o LDR se faz para diferentes ângulos. Com isso, ao se ter diferentes incidências de luz no LDR, o circuito auxiliar (LDR associado a uma das portas analógicas do Arduino) converteria as variações de resistência no LDR em variações de tensão. Na porta analógica do arduino, as variações de tensão, por sua vez, são convertidas em um sinal digital que é armazenado no PC, em uma frequência pré-selecionada.

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20 a 25 de janeiro de 2013

Entretanto, no LDR as variações de resistência não podem ser caracterizadas como inversamente proporcional a luminosidade que chega ao sensor, o que caracterizaria uma prévia calibração do sistema. E sem esta calibração realizada, os resultados do referido autor não poderiam refletir exatamente a frequência de oscilação da régua.

Assim, decidimos substituir o sensor de distância pelo sensor ultrassônico modelo SEN136B5B, e também a estrutura da montagem para que fosse de simples construção e com resultados mais fáceis de se coletar, além de possibilitar uso mais abrangente em escolas. Também fornecemos o código desenvolvido para captura de dados, e detalhes do arranjo experimental.

## 1.1. Resumo Teórico: Osciladores Harmônicos Amortecidos

As características fundamentais do movimento harmônico simples (UFMG, 2010) são a ausência de atrito, devido à resistência do ar, e a presença de uma força restauradora proporcional à deformação do sistema. Nesse caso, o movimento depende apenas da ação dessa força e da inércia da partícula, determinada pela sua massa m . Em muitos casos, entretanto, o movimento harmônico se faz na presença de forças de atrito, que mudam as suas características. Essas forças podem ser de natureza tal que a descrição do movimento se torna difícil. Contudo, na maioria dos casos importantes, as velocidades são baixas e a força de atrito pode ser considerada como proporcional à velocidade. Assim, se Fa é a força de atrito, ela se escreve:

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em que b , em kg/s (SI), é uma constante que depende da natureza de interação que produz o atrito. O sinal negativo indica que a força de atrito se opõe à velocidade.

Um oscilador harmônico sujeito a uma força restauradora, e outra de atrito, função da velocidade, é chamado de oscilador harmônico amortecido. Sua equação de movimento, de acordo com a segunda lei de Newton, é:

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em que a variável é o deslocamento do oscilador relativamente a sua posição de equilíbrio. A equação acima pode ser escrita como:

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em que:

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A solução desta equação advém do estudo das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Por isso, convém que se discutam apenas os fenômenos físicos resultantes dela. O efeito da força restauradora sobre a partícula é fazê-la oscilar em torno de uma posição de equilíbrio, na qual ela se anula; a grandeza que a caracteriza é a constante k . O efeito da força de atrito (por exemplo, a resistência do ar) é o de causar uma diminuição do deslocamento da partícula à medida que se passa o tempo. De acordo com as expressões (4) e (5), a

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grandeza que caracteriza o efeito da força de atrito, é o coeficiente GLYPH&lt;31&gt; . Esses dois efeitos combinados causam o movimento real do oscilador.

Consideraremos somente o caso do movimento sub-amortecido, para fins do experimento: neste caso, a força restauradora é maior que a de atrito: o oscilador terá o seu movimento oscilatório, mas a força de atrito diminuirá a amplitude deste movimento até a partícula parar em sua posição de equilíbrio. O movimento resultante é chamado de movimento sub-amortecido ou subcrítico . Então, a solução da equação (4) será dada pela equação (6):

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em que Φ é o ângulo de fase do sistema amortecido, e A , a amplitude amortecida é dada em função de A0 :

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Na equação (8), ω é a frequência angular de oscilação do oscilador. Nota-se que ela não é a mesma que a frequência natural de oscilação, ω 0 , dada por:

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Portanto, a frequência angular amortecida é menor que a natural, em função do termo do coeficiente de amortecimento ( GLYPH&lt;31&gt; ), dependente do atrito. A equação (6) pode ser decomposta em duas partes: uma, constituída pelo termo cosseno, descrevendo a oscilação periódica, e outra, não-periódica, interpretada como a amplitude inicial A0 do movimento, dada pelo termo exponencial. Percebe-se que o expoente é negativo, descrevendo o decréscimo com o tempo, das amplitudes máximas do sistema amortecido (influenciada pelo atrito). A Figura 01 mostra o gráfico da equação (6), em função do tempo, para o caso em que cos ( Φ ) = 0. Pode-se ver que as oscilações diminuem até que o oscilador pare pelo efeito do atrito.

Figura 01: Comportamento do movimento amortecido, das amplitudes máximas de oscilações em função do tempo. A curva que envolve as oscilações é a representação gráfica da função expressa na eq. (7). O coeficiente de amortecimento GLYPH&lt;31&gt; é dado por b/m.

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## 1.2. A Placa Arduino

O Arduino® (Banzi et al , 2009), Figura 02, é uma plataforma de código aberto, que possui protótipos eletrônicos flexíveis com base em hardware e software de fácil uso e destinado a qualquer pessoa interessada em criar objetos ou ambientes interativos.

Figura 02 : Diferentes versões da placa arduino: Duemilanove (2009).

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O Arduino® atua não apenas como uma placa de aquisição e conversão de sinais, mas como um microcontrolador, ou seja, é uma placa tipo I/O que permite a 1 conexão com uma variedade de sensores. O microcontrolador da placa é programado usando a linguagem de programação hibrida entre C+ e C++, que terá seu desenvolvimento em um ambiente do Arduino®, baseado no Processing ®. Projetos do Arduino® podem ser autônomos (através de shields ) ou pode comunicar-se com o programa, rodando em um computador, pela saída USB.

As placas podem ser construídas manualmente ou compradas pré-montados, o software pode ser baixado gratuitamente. Os projetos da montagem física de referência estão disponíveis sob uma licença de código aberto, de modo que é possível adaptá-la livremente à necessidade ou À vontade do usuário.

Neste experimento, o Arduino® receberá sinais digitais emitidos por um ultrassom e refletidos pelo objeto, a partir da aproximação do sistema pendular, que funcionará como sistema amortecido, através de programação adequada; por outro lado, o Arduino® comandará o acionamento de três LEDs, que então permitem a verificação de aproximação e afastamento do pêndulo, a partir de distância já fixada na programação.

## 1.3. Funcionamento do Ultrassom

Um pulso ultrassônico (Seed Studio, 2011) de curta duração (Figura 03) é transmitido em um tempo 0 (início) e refletido pelo objeto. O sensor recebe este sinal e o converte para um sinal elétrico. O próximo pulso pode ser transmitido quando o eco está dissipado. Este período de tempo é chamado período do ciclo. O fabricante recomenda que este período seja no mínimo de 50ms. Se um pulso de partida de 10 μ s de largura é enviado para o pino de sinal, o ultrassom dará, na saída, um sinal ultrassônico de 840kHz e detecta o eco de volta.

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Figura 03: Transmissão do sinal no Sensor ultrassônico (envio e retorno do eco) e comportamento do pulso ultrassônico, para frequência de 840kHz.

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## 2. Procedimentos

Na montagem (Figura 04) utilizamos um circuito composto de três LEDs (verde (pino 13), amarelo (pino 11) e vermelho (pino 9 )), associados, cada um, a um resistor de 470 Ω . Cada um desses LEDs é colocado para ser acionado conforme a distância atingida pelo pêndulo, o qual foi confeccionado com uma placa de isopor com 15 cm de largura, presa por dois pequenos ganchos suspensos por um cordão, estendendo desde o suporte, passando pelos ganchos e voltando ao início.

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Figura 04: Esquema do circuito (direita) e montagem do experimento (esquerda), onde são mostrado: (a) placa de isopor, (b) régua, para aferição dos deslocamentos das amplitudes do pêndulo, (c) ultrassom, (d) o circuito do arduino, para coleta dos dados e verificação através dos LEDs e buzzer e (e) barra de suporte do cordão, que suspende a placa.

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Associamos ao Arduino®, um buzzer (microfone piezoelétrico), conectado à porta digital 6, acionado por programação, no momento em que a distância 'limite' é atingida pelo pendulo. Para a detecção das amplitudes decrescentes das oscilações, usamos um sensor ultrassônico que possui 3 pinos - GND (ao GND do Arduino®), VVC (aos 5V do Arduino®) e SIG (pino de sinal, capta o eco recebido para detecção da distância, que é associado ao pino 7 digital, do Arduino).

Usamos uma programação de ultrassom baseada na biblioteca disponível do Arduino®, adaptado ao material disponível no ' kit iniciante ' da empresa ROBOCORE ® (Robocore Co., 2008), para acionamento dos LEDs. Calculamos a distância a partir da velocidade do som dependente da temperatura ambiente (Garcia, 2010). Importante notar que a medida de temperatura pode ser também efetuada por um NTC, através do Arduino®, com o valor lido inserido diretamente na fórmula de velocidade.

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A duração do sinal será avaliada através de um pulso em estado alto, cuja duração é a diferença de tempo entre o envio do sinal do pino de leitura do ultrassom, até a recepção do fim do eco, vindo do objeto. E a distância (em cm) será o produto entre a velocidade do som e a duração do sinal. O valor da distância será, então, dividido por 2, já que a distância que o sinal viaja (desde o envio até a volta do sinal) é o dobro da distância entre o objeto e o sensor ultrassônico.

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Na fórmula anterior, a velocidade é dividida por mil devido a função 'pulseIn' do Arduino®: a duração comanda a determinação da duração do sinal em função da leitura de tempo ( pulseIn ); esta função, por sua vez, espera para a leitura do pino chegar na condição HIGHT (alto), para começar a contagem de tempo, depois aguarda a leitura de pulso do pino ir para baixo para a determinar o tempo gato. Então, a função retorna o comprimento do pulso em microssegundos, ou seja, 10 -3 s, e se nenhum pulso começa dentro do estabelecido, a função retorna a um valor 0.

A partir destas informações, relacionadas na programação, são impressos, no monitor serial, os dados de distância de oscilação, em função do período compatível. Assim, o comportamento das amplitudes, em cm, das oscilações podem ser analisadas, em função do tempo decorrido, evidenciando o comportamento amortecido das oscilações do objeto. Posteriormente, será calculado o coeficiente de amortecimento, a partir dos dados das amplitudes, comparando ao cálculo teórico, envolvendo a massa do objeto (placa de isopor) e frequência de oscilação.

O código da programação no Arduino®, comentado e com visualização no software Simplot (Negtronics, 2011), está disponível em http://experimentodefisicaarduino.blogspot.com.br/2011/11/codigo-da-programacaopara-experimento.html (Almeida Jr &amp; Rodrigues, 2011).

## 3. Resultados

Abaixo, o gráfico do comportamento das distâncias de oscilação do pêndulo em função do período de oscilação.

Figura 05: Gráficos do comportamento oscilatório amortecido (distância das amplitudes em relação ao ultrassom (cm) vs tempo de oscilação do pêndulo (s)), com delay = 10ms.

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O gráfico da Figura 05, foi obtido em tempo real, através da visualização pelo gráfico obtido no software SimPlot , disponível gratuitamente em ambiente eletrônico (Negtronics, 2011). Percebe-se, por análise do gráfico, que o equilíbrio do sistema pendular se encontra próximo a 20 cm do ultrassom, posição em que o pêndulo se encontrava em equilíbrio.

Na Figura 06, a seguir, o gráfico das amplitudes máximas de oscilação do pêndulo, em relação a sua posição de equilíbrio, pelo tempo de oscilação em segundos:

Figura 06: Gráfico das amplitudes amortecidas (cm) pelo tempo (s), para aferição do coeficiente de amortecimento, obtido por ajuste da curva.

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Para efetuar os cálculos do coeficiente de amortecimento da resistência do ar, retomemos a equação (7):

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Dela podemos ver, por comparação com a equação (12), obtida do ajuste da curva:

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que GLYPH&lt;31&gt;, o coeficiente de amortecimento, é dado por:

GLYPH&lt;31&gt;

= 37,8 μ s -1 .

## 4. Análises e Considerações Finais

A ideia inicial da montagem deste experimento seria uma montagem semelhante à indicada na figura 2, do artigo de Souza (Souza, 2011), composta por um LDR, que captava as variações de luminosidade de uma lâmpada de LED em movimento. Contudo, após criteriosa análise, foram notados, além de dificuldade com relação à montagem do sistema, problemas relacionados ao comportamento da nãolinearidade do LDR com a intensidade luminosa, o que implicaria uma calibração do sistema, antes de qualquer medição, o que dificultaria a reprodução do mesmo, bem como o seu uso difundido no Ensino Médio.

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Assim resolvemos usar um sensor ultrassônico cujas distancias são obtidas diretamente. De outro lado, utilizamos um pêndulo em que se pudesse observar nitidamente o seu amortecimento. Para tanto, usamos a placa de isopor, cujas dimensões e baixa densidade, possibilitaram que as distâncias de oscilação do pêndulo diminuíssem a cada oscilação, de modo que o amortecimento pôde ser observado.

Outro fator facilitador para a implementação deste experimento em sala de aula é o uso do programa de visualização gráfica, em tempo real, Simplot, o qual permite a observação da diminuição das amplitudes do pêndulo, com o passar do tempo, até chegar à sua posição de equilíbrio. Ainda, como detalhe, o programa gráfico permite a verificação desta posição de equilíbrio, comparando com a medição do pêndulo parado até o sensor ultrassônico. Com o Simplot, é possível comparar o fator de amortecimento para diferentes pêndulos e que apresentam diferentes densidades e formas geométricas. Assim, recomendamos o seu uso antes de se efetuar a coleta de dados via monitor serial do software de Arduino.

Para melhor verificação deste comportamento amortecido, incrementamos ao circuito inicial três LEDs (verde, amarelo e vermelho), de modo que o aluno possa perceber a aproximação cada vez menor do pêndulo, em relação ao ultrassom, devido à resistência do ar, que diminui as amplitudes do pêndulo.

No início, o aluno verifica que o pêndulo consegue chegar próximo a 4 cm do ultrassom, o que acende os três LEDs; depois de um curto tempo, ele percebe somente os LED verde e amarelo acendendo, o que significa uma amplitude de oscilação menor (próximo a 10cm, da placa do pêndulo ao ultrassom), até que no fim ele percebe somente o LED verde acender, o que mostra que o pêndulo chegou a sua posição de equilíbrio (próximo aos 20 cm da placa do pêndulo ao ultrassom). Lembrando que estas distâncias podem ser variadas na programação.

Estas observações, simultâneas à realização da coleta de dados, possibilitam maior interatividade do aluno com o experimento, além da associação entre o fenômeno físico com condições restritivas estabelecidas em algumas linhas de programação. Para maior atenção do aluno, anexamos ao circuito o buzzer , que ressoa quando a placa de isopor está a distâncias pequenas (variáveis na programação) do sensor..

Com relação aos resultados, coletamos os dados das amplitudes máximas de oscilações (cm), em função do tempo de oscilação (s), expressas no gráfico da Figura 06, e verificamos que o resultado evidencia a boa precisão do sistema de aquisição (ultrassom + arduino), dada pela incerteza aferida pelo gráfico SciDavis (SourceForge, 2010), de cerca de 1,1 μ s -1 , o que representa ±3% de participação no resultado final.

- O experimento montado, com a coleta de dados pelo Arduino e Simplot, contribuiu à nossa formação pelo fato de podermos ver outra forma como se pode desenvolver conceitos como o das oscilações amortecidas, de forma lúdica e envolvente. Isso torna o processo de ensino-aprendizagem de fato significativo, além de abrir possibilidades a outras abordagens, tomando a experiência como um ponto de partida para estudos de diferentes situações de amortecimentos e sua contrapartida em situações do cotidiano.

Nas próximas etapas, realizaremos o mesmo experimento usando placas de tamanhos distintos e com materiais de diferentes densidades. Também serão calculados os coeficientes de amortecimento, e comparados entre si. Algumas linhas de programação serão também introduzidas para a indicação do período de oscilação.

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## Referências

Almeida Jr, J., &amp; Rodrigues, T. (Agosto de 2011). Experimentos de Física com

Arduino . Acesso em Novembro de 2011, disponível em: http://experimentodefisicaarduino.blogspot.com.br/2011/11/codigo-da-programacao-

para-experimento.html

Banzi, M., et al . (2009). arduino.cc . Acesso em Outubro de 2011, disponível em Arduino Home Page: http://www.arduino..cc/en/Tutorial/UltrasoundSensor

Garcia, A. (2010). Velocidade de Propagação do Som em um gás . Acesso em Agosto de 2011, disponível em Página do Prof. Everton G. de Santana: http://www.fisica.ufs.br/egsantana/ondas/acustica/sonido/sonido.htm#Variaci%C3%B3n %20de%20la%20velocidad%20del%20sonido%20con%20la%20temperatura

Negtronics. (2011). Negtronics . Acesso em Outubro de 2011, disponível em http://www.negtronics.com/simplot

Neumann, F. E. (2005). Simulações computacionais e animações no ensino de oscilações. XVI Simpósio Nacional de Ensino de Física (XVI SNEF) .

. Acesso em Outubro de 2011,

Robocore Co. (2008). Robocore Loja Virtual disponível em robocore.net/loja\_virtual:

http://www.robocore.net/upload/lojavirtual/RoboCore\_Manual\_Degustacao\_Kit\_Iniciante. pdf

Seed Studio. (2011). Seed Studio UltraSonic Module SEN136B5B . Acesso em Outubro de 2011, disponível em

http://www.seeedstudio.com/depot/datasheet/Seeed%20Ultrasonic%20Sensor%20data sheet.pdf

SourceForge. (2010). SourceForge.com . Acesso em Novembro de 2011, disponível em SciDavis - SourceForge: http://scidavis.sourceforge.net/

Souza, A.R (2011). A placa Arduino: uma opção de baixo custo para experimentos de Física assistidas pelo PC. Revista Brasileira de Ensino de Física, 33 (1), p. 1702.

UFMG. (2010). Oscilador Harmônico Amortecido, Aula 44. pp. 589-590.

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