Kepler, Cassini e a determinação da órbita planetária

## Kepler, Cassini e a determinação da órbita planetária.

## Bruno Eduardo Morgado¹, Vitorvani Soares²

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IF/ UFRJ/ bruno\_morgado@ufrj.br 2 IF/ UFRJ/ vsoares@if.ufrj.br

## Resumo

Aprendemos durante nossa formação escolar que, no inicio do século XVII, Johannes Kepler se ocupa da determinação das trajetórias dos planetas vizinhos à Terra em seu movimento translacional em torno do Sol de maneira a poder prever as futuras configurações planetárias e, ao mesmo tempo, verificar o modelo heliocêntrico de Copérnico. Para realizar esta tarefa, Kepler analisa geometricamente as posições em relação ao Sol dos diferentes planetas então conhecidos, determinadas por Tycho Brahe, e conclui que as trajetórias são elipses de muito baixa excentricidade, quase indistinguíveis de circunferências. Canalle [1] nos chama a atenção para o fato desta última observação de Kepler ter sido pouco enfatizada na literatura contemporânea do ensino de Física. Outro fato ainda menos conhecido é que, do ponto de vista geométrico, a elipse não seria a única possibilidade para a descrição da trajetória planetária. Cohen [2,3] e Sivardiere [4] nos lembra de que Giovanni Domenico Cassini, o patriarca de uma família de astrônomos reais franceses, em 1680, explorou exaustivamente a possibilidade destas trajetórias serem descritas por uma oval, as chamadas ovais de Cassini. Neste trabalho, discutimos geometricamente estas diferentes possibilidades de descrição da trajetória de um planeta ao redor do Sol, quando são conhecidas somente as suas posições em regulares intervalos de tempo ao longo da sua órbita, e discutimos também o critério a ser empregado para orientar nossa escolha.

Palavras-chave : Kepler, Cassini, Geometria, Elipse, Oval.

## Introdução

Os astros sempre foram objetos de fascínio para todos que ousavam contemplá-los. Desde tempos antigos os homens buscam no movimento estelar e planetário significados físicos e espirituais. Essa busca recebeu impulso, se tornando o foco de grandes cientistas, quando se percebeu que os astros podem ser o ponto de referência necessário para se locomover, com precisão, em locais onde não há referencial fixo adequado, como, por exemplo, em mar aberto. Como era importantes que as navegações fossem precisas e as mais rápidas possíveis também era importante saber com precisão como esses astros se moveriam.

Não é novidade que os planetas possuem dois movimentos característicos, a rotação e a translação. A rotação de um planeta é o movimento que ele realiza em torno de seu próprio eixo, responsável pelo movimento das estrelas no céu a noite, enquanto a translação é o movimento que esse planeta descreve em torno de uma estrela. Esse movimento translacional define a trajetória do planeta em torno dessa estrela. Em meados do século XVI e XVII cientistas como Galileu, Kepler e Brahe se incumbem da missão de entenderem esse movimento translacional dos astros [3].

Kepler, em 1609, após anos de estudos e com os dados obtidos por Brahe, observa que na verdade essa curva é uma elipse de baixíssima excentricidade,

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diferente da descrição dos movimentos celestes tradicionais a partir da composição de diferentes movimentos circulares uniformes.

Entretanto, Kepler não foi o único a estudar essa trajetória. Em 1680, Cassini, após a invenção da luneta e com medidas astronômicas divergentes das de Brahe, explora a possibilidade dessa trajetória ser uma curva oval particular, a denominada falsa elipse [4]. Neste trabalho discutimos geometricamente estas diferentes representações para a descrição da trajetória planetária e procuramos chamar a atenção para a dificuldade da escolha entre essas possíveis curvas a partir somente do ponto de vista geométrico.

Escolhemos Marte como objeto de estudo e as suas posições em torno do Sol podem ser obtidas em diversos sítios eletrônicos como, por exemplo, em [5]. Sabendo que o ano marciano possui 687 dias terrestres, isto é, aproximadamente dois anos, e escolhemos as posições que tenham o mesmo intervalo de tempo entre elas e que completem a trajetória. Ao colocarmos as coordenadas em papel milimetrado ou em qualquer programa de igual função, como por exemplo o Geogebra [7], obtemos a Fig. 1 como resposta. O sistema utilizado é o heliocêntrico e portanto o Sol se localiza na origem dos eixos. Para nossos propósitos neste trabalho, podemos também calcular doze posições em intervalos regulares de tempo ao longo de uma elipse de excentricidade 1/11, igual a da órbita de Marte.

Figura 1: Representação gráfica das posições de Marte em relação ao Sol.

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Inicialmente partiremos do pressuposto de que não conhecemos a curva que representa o movimento e que só conhecemos as posições pontuais dessa trajetória em intervalos regulares de tempo. A nossa tarefa é portanto determinar qual a curva mais adequada para descrever este conjunto de posições.

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## A circunferência

A partir somente da observação da Fig. 1, uma circunferência é a escolha natural para a trajetória do planeta. Porém, antes de construirmos esta circunferência devemos primeiramente traçar o eixo de referência que utilizaremos. Existem diversas maneiras de determinarmos geometricamente esse eixo, mas a mais aceita é considerarmos que Kepler conhecia as distâncias medidas durante os solstícios de verão e de inverno. Isso nos remete aos valores do periélio e do afélio, isto é, da menor distância e da maior distância entre o planeta e o Sol, respectivamente. Se essa condição for verdade, então, para se determinar o eixo maior, devemos simplesmente adicionar esses dois segmentos de reta, como indicado na Fig. 2(a) pelas posições P3 e P9.

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Figura 2: (a) O afélio, o periélio e o eixo maior da trajetória; (b) Arcos para a determinação do centro do eixo maior; (c) Construção do eixo menor.

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Uma vez estabelecido o eixo maior, determinamos o seu centro, o que pode ser feito utilizando-se de um compasso. Construímos um arco de circunferência de raio igual ao eixo já conhecido e de centro em uma de suas extremidades e, depois, outro arco de mesmo raio porém de centro na outra extremidade. Os pontos onde

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esses arcos se interceptam serão pertencentes à reta perpendicular ao eixo já obtido e que definirá o outro eixo, como representado nas Figs. 2(b) e 2(c).

Para a construção da circunferência escolhemos três pontos adjacentes PI, PJ e PK quaisquer da trajetória como indicado na Fig. 3. Construímos, em seguida, dois segmentos de reta PIPJ e PJPK (Fig. 3(a)). O próximo passo é a construção das mediatrizes desses segmentos e as prolongarmos até que elas se interceptem no ponto O (Fig.3 (b)). Este ponto define o centro da circunferência que passa pelos pontos considerados, como ilustrado na Fig. 3(c) e 3(d).

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Figura 3: (a) Escolha de três pontos; (b) Determinação das mediatrizes; (c) Construção da circunferência; (d) Construção de uma segunda circunferência.

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Ao observarmos esta figura, percebemos três fatos importantes: (i) a curva não se comporta da maneira esperada. Várias posições do planeta estão fora da

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circunferência obtida; (ii) se escolhermos três diferentes pontos adjacentes para construirmos a circunferência teremos diferentes circunferências; e (iii) por fim, o Sol não se encontra em nenhuma posição de destaque. Este procedimento demonstra geometricamente que não pode ser uma circunferência a curva que define a trajetória de um planeta em torno do Sol.

## A elipse de Kepler

A partir do eixo maior podemos também construir a curva elíptica, como representado na Fig. 4. Como descrito em [7], devemos primeiramente construir um arco de circunferência qualquer utilizando três pontos da curva, como realizado no item anterior.

Figura 4: (a) Determinação da reta tangente a um dos pontos da curva; (b) Pontos Q e Q' e os focos da elipse; (c) Retas tangentes que envelopam a elipse; (d) Construção final da elipse.

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Devemos também utilizar este mesmo arco para determinar uma reta tangente a ele (Fig. 4(a)). Observamos, por fim, onde essa reta se encontra com outra circunferência, centrada em O e de raio igual à metade do eixo maior. Os dois

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pontos onde estas duas curvas se interceptam serão os pontos Q e Q'. A partir desses dois pontos traçamos agora duas retas perpendiculares à reta tangente. Estas duas retas passam pelos dois focos da elipse procurada (Fig. 4(b)). Fazendo agora o processo inverso, partindo dos focos até a circunferência de raio igual à metade do eixo maior, podemos determinar diferentes pontos Q e Q' de maneira a termos diferentes retas tangentes às diferentes posições do planeta (Fig. 4(c)). Essas retas tangentes envelopam a curva elíptica procurada, como descrita na Fig. 4(d).

Essa curva, em contraste com a circunferência, consegue atingir todos os pontos da trajetória dentro da precisão exigida e, um dos fatores mais importantes para a aceitação dessa curva por Kepler, é esta elipse manter o Sol em uma posição privilegiada, um dos focos da elipse.

## A oval de Cassini

A partir dos eixos existe também a possibilidade de construirmos a oval de Cassini, como representado na Fig. 5.

Figura 5: (a) Quatro focos da oval de Cassini; (b) Definindo o ponto D; (c) Pontos pertencentes a curva; (d) Construção final da oval .

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A oval de Cassini possui quatro focos. Porém, para manter o Sol em um deles, dois destes focos devem coincidir com os da elipse anterior, faltando assim determinar os outros dois focos. Para tal, devemos construir uma circunferência de centro O e de raio OF1. Os quatro pontos em que essa circunferência intercepta os eixos de referência serão os quatro focos procurados.

O próximo passo para a construção desta oval é, segundo [7], a criação de uma reta tangente a essa circunferência, perpendicular ao eixo menor. Determinamos, em seguida, um ponto D nesta reta tangente que possua a mesma distância até a circunferência que a distância entre o foco F1 e a posição P0 no eixo menor. Após a determinação deste ponto D, devemos traçar uma reta qualquer que corte a circunferência de raio OF1 em dois pontos Q e Q'. As distâncias DQ e DQ' serão os raios de duas circunferências centradas nos focos F1 (o Sol) e F2, respectivamente. Os dois pontos onde estas circunferências se encontram, R e R', são pontos pertencentes a curva oval. Se definirmos inúmeras retas oriundas do ponto D que cortam a circunferência de raio OF1, teremos diferentes pontos Q e Q' e assim diferentes pontos R e R'. Podemos assim, como ilustrado na Fig. 5(d), completar a construção da oval de Cassini.

Podemos observar que, também nesta oval, o Sol ainda mantém sua posição privilegiada e que, aparentemente, esta trajetória também descreve satisfatoriamente todos os pontos dessa trajetória assim como a elipse de Kepler.

## Conclusão

Em uma primeira análise, a partir das construções feitas, podemos concluir que as duas representações são aparentemente satisfatórias quanto à trajetória de Marte ao redor do Sol. Porém, se analisarmos com maior precisão, nos aproximando de uma das posições - por exemplo, do ponto P0, que se encontra sobre o eixo menor da curva -, observamos que isso não é verdade. Antes de continuar a análise, vamos traçar, em escala maior, como representado na Fig. 6, a circunferência centrada no ponto central da elipse e de diâmetro igual ao eixo maior, a elipse e a oval de Cassini que construímos.

Figura 6: Aproximação no ponto P0. Todas as curvas tem o mesmo centro. A curva superior é a circunferência de raio igual à metade do eixo maior da elipse, a curva central é a elipse e a curva inferior é a oval de Cassini.

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Desta figura, podemos concluir então que, de fato, somente a elipse se superpõe às posições do planeta perfeitamente e, deste modo, ela é a curva mais apropriada para definir as trajetórias planetárias. Porém, é importante ressaltar que essa aproximação é feita na milésima casa decimal. Isto significa que é necessário uma ilustração de aproximadamente dois metros para sermos capazes de perceber a diferença de quatro milímetros entre a elipse e a oval ou então algum programa atual que permita esta aproximação. Lembrando que Kepler trabalhou a partir das medidas de Brahe, e que Marte é um dos planetas de órbita mais excêntrica, podemos perceber a complexidade da tarefa a qual ele se dedicou para obter a sua elipse. Compreendemos também a determinação de Cassini - apoiado nas novas observações astronômicas realizadas com o subsequente desenvolvimento do telescópio, a partir de 1610 - em apresentar alternativas à representação elíptica, mais de seis décadas após a publicação dos resultados de Kepler.

As observações feitas neste trabalho chamam a atenção para a facilidade ilusória, adotada na literatura do ensino de Física para o ensino médio, na determinação da trajetória planetária a partir somente da análise das posições dos planetas ao longo de suas órbitas. Mostramos a dificuldade dessa percepção através da construção geométrica destas curvas e de como a precisão das medidas é um fator importante para orientar a escolha. Entretanto, somente após a consagração da mecânica Newtoniana é que vai ser possível aceitar que a trajetória planetária em torno do Sol é uma elipse, e toda e qualquer divergência entre a curva elíptica e a curva observada se dá apenas por perturbações de outros corpos celestes na órbita do planeta considerado [2,3,4].

## Referências

- [1] J.B.G. Canalle. Física na Escola , 4(2):12-16,2003.
- [2] I.B. Cohen. J. Hist. Med. Allied Sci. , 17(1):72-82, 1962.
- [3] I.B. Cohen. 'The Newtonian Revolution'. Cambridge University Press, Cambridge 1983, p. 224-225.
- [4] J. Sivardiere. Eur. J. Phys. , 15(2):62-64, 1994.
- [5] http://www.imcce.fr/en/ephemerides/formulaire/form\_ephepos.php, Acesso em 10/04/2012
- [6] http://www.geogebra.org/cms/, Acesso em 15/04/2012
- [7] Lockwood. 'Book of curves'. Londres: Cambridge University Press , 1961

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