GULLIVER, OS LILIPUTIANOS E A FÍSICA

## GULLIVER, OS LILIPUTIANOS E A FÍSICA

## Luiz Raimundo M. de Carvalho 1

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro / PEF-IF

## Resumo

A aprendizagem em Física requer a compreensão dos conceitos-alicerces de escalas, proporções, áreas e volumes. Essa compreensão não é, de forma nenhuma, algo trivial, e não deve ser tratada como simples pré-requisito para a construção de conceitos físicos mais elaborados. A realização de atividades que tratem dos alicerces é fundamental para uma aprendizagem em Física, seja qual for o nível de ensino em que o estudante se encontra. Partindo de uma análise do Capítulo 4 da Parte I do livro Física do PSSC, foram propostas situações-problema envolvendo o imaginário reino de Liliput, descrito na mais famosa obra de Jonathan Swift, As Viagens de Gulliver. A narrativa de Swift apresenta diversas situações que, apesar de fictícias, são muito ricas e nos permitem explorar o tema dos alicerces de uma forma interessante e, principalmente, abordando uma grande variedade de situações físicas que não só envolvem as principais dificuldades apresentadas pelos estudantes no estudo dos alicerces como também contextualizam os alicerces com outros conceitos físicos.

Palavras-chave : Conceitos-alicerces, medidas, aprendizagem.

## Introdução

Dificilmente será contestada a importância da compreensão, por parte dos estudantes, dos conceitos de área e volume, uma vez que tais conceitos são tratados como 'alicerces' (ARONS, 1997) para a construção de inúmeros outros conceitos físicos básicos, como pressão, massa específica, fluxo de energia etc. Apesar da importância dada ao tema, a responsabilidade pelo trabalho pedagógico envolvendo os conceitos-alicerces de área e volume costuma ser tacitamente atribuída ao ensino da Matemática. Porém, como o trabalho pedagógico envolvendo conceitos físicos é (obviamente) de responsabilidade do ensino de Física, é um equívoco tratar os conceitos de área e volume, considerados alicerces para o ensino de Física, como simples pré-requisitos, por duas razões:

- 1ª) Os estudantes exibem uma resistência muito grande ao pensamento em termos de relações de proporção (ARONS, 1997, p. 14), em especial porque a maioria dos estudantes de nível médio (e até mesmo muitos estudantes de nível superior) não apresenta uma compreensão elaborada sobre a relação funcional básica entre área e dimensões lineares ou entre volume e dimensões lineares (ARONS, 1997, p. 12).
- 2ª) Na construção de conceitos físicos que envolvem áreas e volumes, esses dois conceitos-alicerces encontram-se contextualizados em fenômenos que envolvem outros conceitos (força, massa, energia etc.). Consequentemente, a abordagem pedagógica de temas considerados alicerces deve ser diferenciada no ensino de Física.

Existem diversos entraves cognitivos que se destacam na aprendizagem dos conceitos de área e volume. Inicialmente, destaca-se o fato de que os estudantes apresentam muita dificuldade em formar uma clara definição operacional de área (e

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20 a 25 de janeiro de 2013

também de volume). Mas a construção de uma definição operacional é apenas o início do processo de aprendizagem dos conceitos-alicerces (ARONS, 1997, p. 3). Espera-se que o estudante apresente uma capacidade cognitiva que vá muito além da construção de definições operacionais de área e volume. De fato, a expectativa dos professores é de que os estudantes, em primeiro lugar, sejam capazes de manipular os conceitos-alicerces na elaboração de um raciocínio proporcional envolvendo mudanças de escala e, em segundo lugar, que apresentem um pensamento em termos de proporções que envolvam a relação entre os conceitosalicerces e outros conceitos físicos básicos. Geralmente a expectativa é frustrada, dadas as razões expostas acima.

Parece claro, portanto, que a construção de conceitos físicos e a elaboração de linhas de raciocínio matemático e físico devem passar necessariamente pela aprendizagem dos alicerces: escalas, proporções, áreas e volumes. Sendo assim, é imprescindível que o trabalho pedagógico aborde os alicerces em diferentes momentos e de diferentes maneiras, e que estes nunca sejam tratados como prérequisitos ou como temas que sejam de responsabilidade exclusiva de uma determinada disciplina. Com o intuito de abordar situações-problema envolvendo os alicerces (escalas, proporções, áreas e volumes), são explorados alguns exemplos extraídos de As Viagens de Gulliver .

## Proporções envolvendo áreas e volumes

O trabalho pedagógico nas salas de aula nos mostra, em diferentes níveis de ensino, que existe uma grande deficiência na aplicação de um raciocínio que trate intimamente com a proporcionalidade envolvendo áreas e volumes. ' A razão para essa deficiência é muito simples: os estudantes têm pouca ou nenhuma prática com esse tipo de pensamento, e esta capacidade não se desenvolve espontaneamente. ' (ARONS, 1997, p. 14)

Comparar os valores final e inicial de áreas (ou volumes) quando as dimensões lineares são ampliadas ou reduzidas de um determinado fator não é trivial para os estudantes (ARONS, 1997, p. 4). A situação piora nos casos em que o fator de escala não é inteiro (ARONS, 1997, p. 12). O que se pretende, em última instância, é fazer com que os estudantes percebam que a ampliação ou redução de um determinado fator linear de escala e a consequente comparação entre áreas ou volumes independe de uma regularidade geométrica ou dos termos de uma fórmula.

Não é surpreendente, portanto, o fato de que os ' estudantes não têm consciência de que todas as áreas variam com o quadrado do fator linear de escala, e que volumes variam com o cubo, independentemente de uma regularidade ou irregularidade na forma e independentemente da existência ou não de uma fórmula .' (ARONS, 1997, p.12) É especialmente importante no desenvolvimento do trabalho pedagógico que os estudantes tenham a percepção de que tanto a regularidade geométrica quanto a existência de uma fórmula não são essenciais na abordagem de um problema em que são feitas comparações entre áreas ou volumes quando as dimensões lineares são ampliadas ou reduzidas de um determinado fator.

## O imaginário reino de Liliput

Em As Viagens de Gulliver , Jonathan Swift apresenta uma narrativa dividida em quatro partes, nas quais Lemuel Gulliver relata suas experiências fantásticas em

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diversas viagens que duraram, ao todo, 'dezesseis anos e mais de sete meses' (SWIFT, 2003, p. 342). Na 1ª Parte, a mais famosa da obra, Gulliver descreve suas experiências em Liliput, um reino em que todas as coisas (pessoas, animais, plantas etc.) apresentam-se idênticas, em forma, às coisas reais, porém em escala reduzida. O Capítulo 4 da Parte I do livro Física do PSSC, que trabalha com os alicerces, faz referência à 1ª Parte de As Viagens de Gulliver . Entretanto, também faz referência à 2ª Parte, onde Gulliver passa a descrever o reino de Brobdingnag, no qual todas as coisas também se apresentam idênticas, em forma, às coisas reais, porém em escala ampliada. Uma vez que a 1ª Parte é a mais conhecida do público, as discussões de situações-problema envolvendo os conceitos-alicerces de área, volume, escalas e proporções se concentraram em pontos da narrativa desse trecho da obra de Swift.

## Peso, altura e estrutura óssea de um liliputiano

No Capítulo I da 1ª Parte, Gulliver relata que sobrevive ao naufrágio do navio Antelope , indo parar em um local desconhecido, posteriormente identificado como reino de Liliput. A passagem da narrativa em que Gulliver descreve seu primeiro contato com os liliputianos já informa, antes de qualquer outra coisa, a forma e a altura de um liliputiano.

- '... forçando os olhos para baixo o mais que pude, vi uma criaturazinha humana, que mal chegava a quinze centímetros de altura...' (SWIFT, 2003, 1ª Parte, Capítulo I, p. 43)

Posteriormente, encontramos elementos na narrativa que nos permitem concluir que a proporção entre um liliputiano e Gulliver é de uma polegada (2,54cm) para um pé (30,48cm), isto é, 1:12.

- '... os matemáticos de Sua Majestade, tendo conseguido a medida de meu corpo com a ajuda de um quadrante e calculado que meu tamanho excedia o deles na proporção de doze para um...' (SWIFT, 2003, 1ª Parte, Capítulo III, p. 69-70)

A relação de proporcionalidade descrita na narrativa entre a altura de Gulliver (HG) e a altura de um liliputiano típico (HL) pode ser expressa por:

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Considerando HG = 1,68m, teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

Vamos considerar verdadeira a seguinte hipótese (HIPÓTESE Nº 1): A massa específica média de Gulliver é uma constante.

Com essa hipótese são evitados problemas de cálculo decorrentes de uma massa específica que varie em função da massa do corpo, de seu volume ou outro fator externo ou interno. Essa simplificação torna irrelevante uma possível variação na massa de Gulliver, ou seja, o fato de Gulliver engordar ou emagrecer não interfere no fato de que a massa de Gulliver (mG) é proporcional ao seu volume (VG).

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Lembrando que volumes variam com o cubo do fator linear de escala, qualquer que seja a dimensão linear considerada, esta pode ser, por exemplo, a altura de Gulliver (HG). Sendo assim, o volume de Gulliver pode ser expresso como proporcional ao cubo de sua altura.

<!-- formula-not-decoded -->

As duas relações acima podem ser reescritas na forma das seguintes equações:

<!-- formula-not-decoded -->

Nas equações acima, k1 e k2 são constantes de proporcionalidade, onde k1 poderia ser medida, por exemplo, em kg/m³, e k2 é adimensional. Essas duas equações podem ser reescritas da seguinte forma:

<!-- formula-not-decoded -->

Portanto, a massa de Gulliver pode ser expressa como proporcional ao cubo de sua altura, onde C é uma constante de proporcionalidade (C 2 1 k k · = ) que poderia ser medida, por exemplo, em kg/m³.

Analogamente, a massa de um liliputiano típico (mL) é proporcional ao seu volume (VL), que por sua vez também pode ser expresso como proporcional ao cubo de sua altura (HL). (Convenientemente também estamos usando para um liliputiano a altura como dimensão linear considerada.) Sendo assim, a massa de um liliputiano também pode ser expressa como proporcional ao cubo de sua altura.

<!-- formula-not-decoded -->

O problema nesse caso é que, mesmo considerando C e C medidas em ' uma mesma unidade, não temos a garantia de que a constante C 2 1 k k ' · ' = ' seja igual à constante C 2 1 k k · = , em especial porque a massa específica média de Gulliver (k 1 ) poderia ser diferente da massa específica média de um liliputiano (k 1 ' ).

Vamos considerar verdadeira a seguinte hipótese (HIPÓTESE Nº 2): A massa específica média de um liliputiano é igual à massa específica média de Gulliver, isto é, k 1 1 k . = '

Uma vez que Swift descreve os liliputianos como seres semelhantes aos homens (isto é, com a mesma forma geométrica, porém em escala menor), a relação entre as constantes de proporcionalidade k 2 e k 2 ' será k 2 2 k = ' . Essa relação, em conjunto com a hipótese nº 2 acima, nos permite escrever que C C. = '

Já vimos que as massas de Gulliver e de um liliputiano podem ser expressas como proporcionais ao cubo de suas respectivas alturas. Adotando agora a relação C, obtemos: C = '

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Considerando mG = 60kg, teremos:

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Concluímos, portanto, que se um liliputiano (ser geometricamente semelhante ao homem) tiver uma massa específica média igual à de um homem, ele apresentará altura e massa da ordem de:

<!-- formula-not-decoded -->

O problema maior, nesse caso, está na suposição de que um liliputiano pode ser semelhante a um homem (mesma geometria, mesma densidade etc). Em sua obra Discurso e demonstrações matemáticas em torno de duas novas ciências , Galileu argumenta sobre a impossibilidade da existência de modelos muito grandes ou muito pequenos que sejam semelhantes ao homem ou a qualquer outro ser (GALILEO, 1954, p. 130). Antes de comentar sobre modelos vivos, Galileu trata de objetos inanimados: ' A partir do que já foi demonstrado, você pode claramente ver a impossibilidade de se ampliar o tamanho de estruturas a grandes dimensões, tanto na arte [isto é, produtos do engenho humano, como, por exemplo, da arquitetura, da construção naval etc.] quanto na natureza... ' (GALILEO, 1954, p. 130). A argumentação 1 de Galileu passa pela análise da resistência que objetos semelhantes, feitos de um mesmo material, apresentam sob a ação de seus próprios pesos.

Usando argumentos geométricos e valendo-se de relações envolvendo torques, Galileu acaba demonstrando que ' dentre uma infinita variedade de sólidos que sejam similares entre si, não existem dois para os quais as forças e respectivas 2 resistências dos sólidos estejam relacionadas em uma mesma proporção ' (GALILEO, 1954, p. 125). A partir desse fato, Galileu passa a dissertar sobre a consequente desproporção que seres de diferentes tamanhos apresentam em suas estruturas ósseas, ressaltando também a possibilidade de que a proporção geométrica só seria possível caso os 'materiais' que constituem os ossos e/ou a carne de tais seres apresentassem diferentes características físicas (GALILEO, 1954, p. 130 e p. 132).

Embora a regularidade geométrica e a existência de uma fórmula não serem essenciais na abordagem de um problema em que são feitas comparações entre áreas ou volumes quando as dimensões lineares são ampliadas ou reduzidas de um determinado fator, os argumentos de Galileu são apresentados em termos de proposições envolvendo cilindros e prismas. A simplificação de Galileu é oportuna, pois dessa forma podemos tratar com dimensões lineares bem definidas e

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costumeiras, como a altura de um cilindro ou o raio de sua base, assim como também podemos fazer referência a dimensões de área igualmente bem definidas e costumeiras, como a área da base de um cilindro ou sua área superficial total. Galileu ressalta o fato de que para esses objetos (cilindros e prismas homogêneos) o peso é proporcional ao volume, que por sua vez pode ser expresso como proporcional ao cubo de uma de suas dimensões lineares (como a altura, por exemplo), ao passo que a resistência é proporcional à área da base, e esta é proporcional ao quadrado de uma de suas dimensões lineares (GALILEO, 1954, p. 124-125).

A análise das consequências trazidas para a resistência da estrutura óssea de um liliputiano também pode ser feita a partir de simplificações geométricas, de forma análoga à análise feita por Galileu no Discurso , adotando cilindros (ou prismas) como modelos comparativos. Assim como na abordagem de Galileu, não existirá aqui qualquer prejuízo lógico às conclusões obtidas. Volumes e áreas variam, respectivamente, com o cubo e com o quadrado do fator linear de escala, qualquer que seja a dimensão linear considerada. E sabemos que esse fato não implica nem em regularidade geométrica nem na existência de uma fórmula.

Assim, as conclusões obtidas a respeito da resistência oferecida pela estrutura óssea de um organismo submetido à ação de seu peso são equivalentes às conclusões que podemos obter a partir da análise da resistência oferecida por uma coluna (cilindro ou prisma) submetida à ação de seu peso. Uma vez que as compressões que colunas geometricamente semelhantes suportam (comparando apenas as de um mesmo material) podem ser expressas como proporcionais às áreas de suas respectivas seções transversais (A), a relação entre a estrutura óssea de Gulliver necessária para sustentar seu próprio peso (PG) e a estrutura óssea de um liliputiano para sustentar seu próprio peso (PL) poderia ser expressa por:

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Para que a área da seção transversal da estrutura óssea de um liliputiano seja 1728 1 da área da seção transversal da estrutura óssea de Gulliver, sua

espessura (ou raio, ou diâmetro...) deveria ser 1728 1 da espessura da estrutura

óssea de Gulliver, ou seja, da ordem de 2,4%. (Entretanto, esse fato parece contradizer a relação de proporcionalidade estabelecida anteriormente, que é de 1:12, ou seja, da ordem de 8,3%.)

Esse resultado é muito importante e a partir dele podemos extrair diversas conclusões. Um ser que seja um modelo semelhante, em escala reduzida de 1 12 de um ser humano, poderia ter ossos extremamente finos e mesmo assim seu esqueleto seria capaz de sustentar seu próprio peso. Mas se isso fosse verdade, será que sua densidade média poderia ser igual à densidade média de um homem? Por outro lado, se seus ossos não fossem extremamente finos, mas proporcionais aos ossos de um homem, ele teria um esqueleto capaz de sustentar até 12 vezes seu próprio peso, fato esse que demonstramos a seguir.

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Quadro 01: Capacidade de sustentação

A estrutura óssea de Gulliver apresenta uma capacidade de sustentação ZG necessária ao peso de Gulliver (PG). Mas H 12 HG . Logo: L =

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Por outro lado, m 1728 mG L = . Portanto:

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Sendo assim, a estrutura óssea de um liliputiano apresentaria 144 1 da capacidade de sustentação que a estrutura óssea de Gulliver apresenta, ao passo que o peso a ser sustentado é apenas 1728 1 do peso de Gulliver. Concluímos, portanto, que se um liliputiano possuísse ossos feitos de um mesmo material e que fossem proporcionais aos ossos de um homem, ele realmente teria um esqueleto capaz de sustentar até 12 vezes seu próprio peso!

## Explorando outras situações-problema

## Alimentar Gulliver em Liliput

Pode-se demonstrar que Gulliver necessita de uma quantidade de energia 144 vezes maior que um liliputiano (e não 1728 vezes maior, como calculou o imperador na descrição do Capítulo III da 1ª Parte).

## Vestir Gulliver em Liliput

Diferentemente do que se encontra no relato sobre a alimentação, nessa parte da narrativa (Capítulo VI da 1ª Parte) não se encontram dados numéricos fornecidos pelo autor. É possível demonstrar que como a área superficial de Gulliver é 144 vezes maior que a área superficial de um liliputiano, para confeccionar as roupas de Gulliver as costureiras liliputianas devem utilizar uma quantidade de

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tecido cuja área seja aproximadamente 144 vezes maior que a área do tecido utilizado para as roupas de um liliputiano. Por outro lado, também se deve levar em consideração a proporcionalidade existente entre a espessura do tecido liliputiano e a do tecido em escala humana, o que em última instância nos levaria ao volume total de tecido liliputiano necessário para se confeccionar roupas para Gulliver.

## A cama de Gulliver em Liliput

Com 600 colchões foi preparada para Gulliver uma cama com quatro camadas de 150 colchões (Capítulo II da 1ª Parte). O número de colchões por camada é razoável, já que a área da seção reta do corpo de Gulliver é 144 vezes maior que a de um liliputiano. O problema está no número de camadas. A pressão exercida por um liliputiano é sustentada por apenas uma camada de colchão, isto é, por apenas um colchão. Como a pressão exercida por Gulliver é 12 vezes maior, seriam necessárias 12 camadas de colchões. Já que o corpo de Gulliver apresenta uma área de seção reta 144 vezes maior que a de um liliputiano, o número total de colchões para a cama de Gulliver deveria ser 144 × 12 = 1728. Esse resultado é compatível com o fato de que a cama de Gulliver deve ser projetada de forma a sustentar seu peso, que é 1728 vezes maior que o peso de um liliputiano típico.

## Conclusão

Situações da ficção literária (ou de outras mídias), contemporânea ou histórica, estão disponíveis para o desenvolvimento de atividades pedagógicas que tratem dos conceitos-alicerces. Os problemas envolvendo Gulliver são exemplos ricos que podem ser utilizados em diversas abordagens na aprendizagem: introdução de conceitos, aprofundamento, revisão, desafio.

Existe uma grande deficiência na aplicação de um raciocínio que trate intimamente com a proporcionalidade envolvendo áreas e volumes. Portanto, o desenvolvimento de atividades que tratem dos conceitos-alicerces de escalas, proporções, áreas e volumes é essencial para a aprendizagem em Física, visto que a compreensão de tais conceitos não é trivial, seja qual for o nível de ensino em que o estudante se encontra.

## Referências

ARONS, Arnold B. Teaching Introductory Physics. Lexington: John Wiley &amp; Sons, 1997.

GALILEO GALILEI. Dialogues Concerning Two New Sciences. New York: Dover Publications, 1954.

PSSC. Física - Parte I. 2ª edição. São Paulo: Edart, 1966.

SWIFT, Jonathan. As Viagens de Gulliver. São Paulo: Nova Cultural, 2003.

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