ANÁLISE DA RESOLUÇÃO VETORIAL DO PROBLEMA ''O MACACO E O CAÇADOR" A LUZ DA TEORIA DOS ERROS

## ANÁLISE DA RESOLUÇÃO VETORIAL DO PROBLEMA 'O MACACO E O CAÇADOR' A LUZ DA TEORIA DOS ERROS

Aristóteles Nunes Rodrigues , Henrique Patriota Alves , Misael Manoel 1 1 Azevedo de Sena 1 , Alanne Vandreia da Silva Alves , 1 Kátia Silva Cunha , Kátia Calligaris Rodrigues 1 1

1 Universidade Federal de Pernambuco/Núcleo de Formação Docente/

aristottiles@hotmail.com

## Resumo

O trabalho busca a avaliação dos conceitos Físicos de vetores com alunos de Física, Química e Matemática da UFPE - CAA, onde é feita uma discussão a partir dos resultados obtidos num questionário aplicado nas turmas do primeiro período. Os resultados foram analisados usando ferramentas para interpretar os motivos que os levaram a cometer os erros, como erros de compreensão, de análise sintética, operacionais ou estratégicos, entre outros. Mostra também que o teste aplicado requeria apenas um conhecimento vindo do Ensino Médio e uma vez que alunos do ensino superior dessas áreas deveriam ter domínio no assunto, o resultado não foi o esperado: houve uma grande confusão por parte dos alunos com relação à intensidade, direção e decomposição dos vetores. O problema "O macaco e o caçador" é sempre fonte de dúvidas entre os alunos das ciências exatas, uma vez que pede um conhecimento intercalado entre a Física e a Matemática: é preciso interpretar o problema, traçar a trajetória do dardo e do macaco, analisar as componentes vetoriais do dardo e do macaco e montar as equações vetoriais. Tais etapas fazem uso da cinemática vetorial, um dos primeiros conteúdos da Física trabalhados no ensino médio. Sendo assim, o esperado é que os alunos percebessem que o dardo atingirá o macaco independente da sua velocidade inicial, desde que percorra a distância do caçador à árvore. Com uma base teórica para analisar a postura dos estudantes diante do problema, foram seguidas algumas etapas no processamento das informações obtidas: levantamento de dados, análise, classificação e resultados.

Palavras-chave : cinemática vetorial, teoria dos erros, problema do macaco e do caçador, aprendizagem de Física.

## Introdução

Um problema comumente aplicado no estudo do movimento em duas dimensões é o do 'macaco e o caçador', devido ao tratamento vetorial requerido e ao desafio proposto de se pensar se o caçador acertará o macaco com o dardo ou não. Considerado por muitos professores de Física como um problema clássico de cinemática, é apenas na obra de Nussenzveig que ele é citado como a 'tradicional história do caçador e do macaco' (NUSSENZVEIG, 1981, p. 42), nas demais obras têm-se apenas a apresentação na forma de exemplos e exercícios sem dar o referido destaque.

Tal problema pode ser visto como exemplo, no estudo do movimento em duas dimensões em 'Física para Cientistas e Engenheiros' de Paul A. Tipler e Gene Mosca, e em essência, através de algumas questões que podem ser encontradas em muitos livros do ensino médio como 'Física Clássica' de Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio, e 'Os fundamentos da Física - Mecânica' de Ramalho, Nicolau e Toledo.

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20 a 25 de janeiro de 2013

No que diz respeito a sua criação, sabe-se que durante a década de 1980 tal problema apareceu no seriado 'The Mechanical Universe', criado e apresentado pelo professor de Física do Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech), David L. Goodstein, no episódio 'Newton's Laws' (WIKIPEDIA, 2012a, 2012b), onde o mesmo realiza o experimento em sala de aula e, talvez, tenha sido o primeiro a apresentar o problema. O problema também aparece no livro de histórias em quadrinho de Gonick e Huffman (1991), mas há ainda uma carência de fontes sobre a origem da proposição do problema.

Diante disso, o presente artigo se propôs a analisar os erros cometidos pelos estudantes do primeiro período dos cursos de Licenciatura em Física, Química e Matemática na resolução vetorial de tal problema. Para isso, foi aplicada uma avaliação diagnóstica nas turmas ingressantes nesses cursos utilizando a proposição do problema do macaco e do caçador a fim de analisar como os alunos apresentam, na resolução do problema, os conceitos básicos referentes à cinemática vetorial, aplicada ao lançamento de projéteis em um plano bidimensional, como direção, sentido, intensidade e decomposição vetorial.

## Fundamentação Teórica

Diante da proposta do artigo, faz-se necessário a exposição de algumas ferramentas fundamentais para analisar a postura dos estudantes diante do problema 'o macaco e o caçador'. Tais recursos foram a Teoria dos Erros proposta por Saturnino de La Torre (2007), necessária para identificar os prováveis erros cometidos pelos alunos e a Física do Problema (ou Cinemática Vetorial), fundamental para compreensão dos conceitos físicos exigidos na solução do problema. Desta forma, a seguir são apresentados em detalhes esses dois recursos.

## Teoria dos Erros de Saturnino De La Torre

Na visão de Torre (2007 p.27) 'O erro é uma variável concomitante ao processo educativo, porque não é possível avançar em um longo e desconhecido caminho sem se equivocar'. Nesse sentido a intuição, vista como percepção, toma três acepções diferentes: clara compreensão; capacidade de interpretar sinais; e identificação rápida de um objeto. Diante disso, é fácil perceber que o conceito prévio do aluno está fixo por suas experiências e intuições acerca do fenômeno.

A intuição como percepção é o primeiro contato do indivíduo com a acepção referente ao fenômeno ou conceito estudado. Esse conhecimento é pré-científico, já que está mais ligado a agudeza sensorial que a intelectual. Depende da acuidade perceptual, da organização da informação e da inteligência a que se refere. Essa acepção de intuição tem um grande valor para a ciência porque coopera na interpretação dos resultados obtidos empiricamente ou mediante outro procedimento.

Bunge (1986) também divide a intuição como imaginação em três perspectivas: espacial, metafórica e criadora. De um modo simplório, Bunge descreve a intuição como uma habilidade de relacionar símbolos com objetivos específicos, reconstruindo metaforicamente o fenômeno com um isomorfismo de um campo científico ou semântico transportando-as para outro campo. Um exemplo matemático disso é a semelhança entre os espaços funcionais e os vetoriais, falando de 'vetores de base', 'produto escalar', 'ortogonal'. Em Física temos o

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exemplo do húngaro Leo Szilard que imaginou a fissão nuclear pela primeira vez enquanto esperava que o sinal de tráfego mudasse num cruzamento em Southampton Row. Szilard desempenhou um papel importante na primeira reação em cadeia com urânio, realizada em Chicago em 1942, que na verdade levou à bomba atômica (SAGAN, 1999). Outra intuição que é bastante importante é o poder de síntese do indivíduo, que é a capacidade de sintetizar uma pluralidade de elementos dispersos em um todo coerente. Algo que não pode ser esquecido é a inferência catalítica do aluno, que é a passagem veloz de algumas proposições para outras e vem, geralmente, com a experiência.

## O papel do erro na construção do conhecimento

Para a filosofia, o erro é um julgamento falso de um estado subjetivo da mente que consiste na ilusão da verdade. O erro, portanto, reside apenas no julgamento. Porém, errar significa que ao menos houve processo cognitivo, como defende a dúvida metódica de Descartes (FERREIRA, 2011).

Para Popper (1999) a ciência evolui a 'golpes de erros', onde afirma que a verdade educativa não é de natureza fática, mas racional, ética, moral e axiológica. O erro também pode ser posto na situação em que há fonte de conhecimento, que consequentemente induzirá à avaliações errôneas sobre o fenômeno observado.

Já disse Torre (2007) o erro é filho da mudança. Ele não é meta que se tenha de perseguir, mas tampouco um resultado que se tenha de condenar sem antes examinar seu processo. Deve ser entendido à luz dos processos cognitivos e do desenvolvimento do pensamento humano .

Com este enfoque, destaca-se o erro como processo interativo e como sinal de progresso. O erro como sinal de progresso substitui o conceito de aprendizagem como formação de hábitos pela formulação de hipóteses sobre fenômenos.

Desta forma, Torre (2007) destaca os principais tipos de erros como apresentado na Tabela 1.

Tabela 01: Tipos de erros segundo Torre (2007)

Os tipos de erro citados acima podem ser identificados quando observado suas características. Por exemplo, o Erro de Entrada: quando relacionado ao Plano das Intenções (objetivos), esse erro é cometido devido a basicamente três fatores. A indefinição de metas ou falta de clareza, incompreensão ou confusão do objetivo e o conflito de objetivos ou o desvio da meta fixada. Nesse plano o principal responsável pelos erros é o professor. No campo da Percepção, o erro de entrada caracteriza-se na existência de três subtipos de erros, omissão, redundância e distorção. Por exemplo, o erro de omissão existe quando o professor omite informações que ele considera que os alunos já conhecem. Ou seja, lembre-se da famosa frase 'isso vocês já sabem de anos anteriores'. No plano da Compreensão, o erro de entrada tem raiz em limitações ou deficiências na compreensão léxica, conceitual ou lógica. Uma vez que compreender uma tarefa ou um problema, significa ser capaz de reconceitualizá-lo ou expressá-lo com termos diferentes, com a própria linguagem.

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Observa-se que muitos dos erros cometidos em exames se devem ao desconhecimento de palavras ou expressões.

- O Erro de Organização ocorre quando o sujeito trata de mudar a informação de que dispões para dar com a resposta que lhe é pedida. Nesse processo, os erros são cometidos durante a execução das seguintes fases: análise (isolar elementos), síntese (combiná-los de diferentes maneiras), conexão (associá-los com conhecimentos prévios) e sequência (ordená-los corretamente).

Por fim, o Erro de Execução (também conhecido por equívoco ) está presente quando o sujeito arrisca caminhos novos, novas estratégias, procedimentos não familiares, entre outros. Também ocorre quando o aluno encontra resultados intermediários ou finais que o permitem voltar sobre seus passos e achar o lugar da falha. Um exemplo comum aos estudantes de exatas é a troca da soma pela subtração, devido a uma falha na execução de determinados processos matemáticos. Aos estudantes de exatas 'quem nunca obteve um resultado com a existência de um sinal de subtração que não deveria estar lá?'.

## Física para resolver o problema 'o macaco e o caçador'

O objetivo desta seção é trazer uma análise do processo de resolução da atividade diagnóstica aplicada aos estudantes do primeiro período das Licenciaturas em Física, Química e Matemática. A partir do enunciado: 'Um macaco escapa do jardim zoológico e se refugia em uma árvore. O guarda do zoológico tenta em vão fazê-lo descer e atira um dardo tranquilizante na direção do macaco. O esperto animal larga o galho no mesmo instante que o dardo é disparado'. A partir desse enunciado foi solicitado o esboço das trajetórias do dardo e do macaco, o comportamento das componentes do vetor velocidade do dardo, o comportamento das componentes do vetor velocidade do macaco e a discussão do questionamento 'O dardo vai atingir o macaco?'. Adicionalmente, a atividade diagnóstica apresenta o esquema da proposição relatada no enunciado, conforme a figura 1.

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Figura 01: esquema do macaco e do caçador

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Desta forma, apresenta-se, a seguir, um procedimento passo a passo que envolve planificação e alocação de recursos cognitivos até se chegar à resposta do questionamento final apresentado na atividade diagnóstica.

Passo 1: análise do esboço do problema, pois é uma esquematização do acontecimento. Nesse processo são alocados os primeiros recursos cognitivos para a resolução do problema.

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Passo 2: traçar a trajetória do dardo e do macaco sobre o esquema esboçado no passo 1. Aqui está implícito um conhecimento essencial: o comportamento dos corpos quando são lançados e/ou largados no ar (desconsiderando a resistência do ar). Para o caso do dardo, devido à ação da gravidade, sua trajetória é parabólica. No caso do macaco, sua trajetória é retilínea e vertical para baixo, uma vez que está em queda livre.

Passo 3: traçar sobre as trajetórias (elaboradas no passo 2) os vetores velocidade do dardo e do macaco. É importante observar que o vetor velocidade é representado na direção tangencial à trajetória e sua dimensão representa a intensidade da velocidade.

Passo 4: traçar as componentes vetoriais da velocidade do dardo e da velocidade do macaco. O uso da Cinemática Vetorial nesse momento é de grande importância. Como o problema é dado em duas dimensões (no plano), o vetor velocidade do dardo e o vetor velocidade do macaco possuem duas componentes, uma e outra x y (adotando o plano xy como referência). Em especial, a componente x do vetor velocidade do macaco é nula, uma vez que o movimento é apenas na vertical. A força da gravidade é orientada para o centro da Terra, de modo que ela atua sobre a componente y no movimento tanto do dardo quanto do macaco. Ou seja, a componente y do dardo se comporta como um projétil que é lançado verticalmente do solo, sobe desacelerando até parar no ar e depois começa a cair em queda livre, em função da ação da força da gravidade sobre ele. Entretanto, no movimento do dardo, o lançamento é obliquo, e não vertical, o que faz com que o dardo apresente uma componente na direção x não nula. Por isso, a trajetória do dardo é parabólica, pois enquanto uma componente está variando na vertical, a outra se mantém constante na horizontal (uma vez que não existem forças atuando nessa direção). Para a componente y do macaco, a força da gravidade atua de forma favorável ao movimento, pois o animal está em queda livre.

Após o estudo detalhado do comportamento dos movimentos do dardo e do macaco é possível verificar que o macaco será atingido, não importando qual a velocidade inicial do dardo, desde que esta velocidade seja suficiente para que o dardo percorra a distância horizontal até a posição onde se encontra o macaco. Desta forma, em um certo instante t, posterior ao lançamento do dardo, o dardo e o macaco estarão na mesma posição em x, e ambos a uma mesma distância abaixo da linha de mira do caçador. De modo que o dardo atinge o macaco ao alcançar a sua linha de queda.

## Análise das avaliações diagnósticas

O presente trabalho focou na análise do tratamento vetorial realizado pelos estudantes que responderam a avaliação diagnóstica descrita anteriormente. Para tal, foi realizado um levantamento sobre a maneira como os estudantes desenharam os vetores, desde a forma geométrica de representar o módulo, até a maneira de indicar a direção e o sentido deles.

Os dados coletados foram organizados, por turma e em duas fases distintas de forma a clarificar as informações para análise. Na primeira fase foram verificados os diferentes tipos de representações de vetor elaboradas pelos estudantes. Na segunda fase buscaram-se quais as representações de vetor que se repetiram mais.

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Desta forma, em um primeiro momento foi analisado se os vetores foram desenhados com a notação correta, sendo observado se durante toda a trajetória do dardo e do macaco a notação foi mantida corretamente. Em um segundo momento, houve a análise da decomposição do módulo do vetor velocidade do dardo, o qual deveria ter sido decomposto nas direções horizontal (v - velocidade na direção do x eixo x ) e vertical (v - velocidade na direção do eixo y y ), e da decomposição do vetor velocidade do macaco, o qual tinha movimento apenas na direção vertical (v ). Em y um terceiro momento foi realizada a análise da variação da direção, sentido e intensidade do vetor velocidade do dardo.

Observou-se que a maior parte dos alunos não levou em consideração as variações que ocorrem na direção e intensidade durante toda a trajetória, foi verificado ainda, que também não foi considerada pela maioria a variação de intensidade do módulo do vetor velocidade do macaco durante sua trajetória de queda. O resultado da análise do tratamento vetorial realizado pelos estudantes, dividido por turma, é apresentado na Tabela 2.

Tabela 02: Análise do tratamento vetorial por turma

Como observado na Tabela 2, uma grande parte dos estudantes não aplicou nenhum tratamento vetorial, principalmente os alunos da turma de Matemática. Entretanto, identificou-se um tipo de erro comum a todas as turmas, o erro de entrada. Sabe-se que o erro de entrada é subdividido em três subcasos: intenção, percepção e compreensão. Esses subcasos são, ainda, classificados de acordo com o fator que acarretou em determinado tipo de erro. Desta forma, a análise realizada permitiu classificar o erro de entrada como pertencente à classe da compreensão. Os erros devido à compreensão estão relacionados aos fatores lexical, conceitual e lógico. Desta forma, o erro de compreensão identificado está relacionado ao fator conceitual. Ou seja, a maioria dos estudantes demonstrou não saber trabalhar com a aplicação de vetores, apesar de saber desenhar um vetor geometricamente, não foram capazes de demonstrar domínio conceitual sobre as representações geométricas da intensidade, da direção e do sentido de um vetor.

Na turma de Física pelo menos metade dos alunos desenharam os vetores, entretanto demonstraram igualmente que não tinham o devido domínio sobre as representações de intensidade, direção e sentido, tratando tal ente matemático apenas como setas que apontavam para o macaco em sua posição inicial. De modo geral, observamos que o erro cometido pelos estudantes de Matemática, Física e Química possui a mesma natureza, ou seja, é um erro devido à falta de domínio conceitual sobre a representação vetorial.

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## Conclusão

A análise das resoluções desenvolvidas pelos estudantes do primeiro período de licenciatura em Física, Matemática e Química diante do problema 'o macaco e o caçador' proposto na avaliação diagnóstica, demonstrou que o erro conceitual foi preponderante. Desta forma, compreende-se que esses estudantes não apresentavam domínio conceitual ou, na maioria das vezes, o conhecimento básico e necessário para análise do problema através da cinemática vetorial, a qual deveria ser trivial para os estudantes do primeiro período do Ensino Superior, ou seja, egressos do Ensino Médio.

A partir de um olhar da Teoria dos erros, identificam-se os erros cometidos como erros de entrada, que estão relacionados à compreensão do problema, como definido por Torre (2007). Após a análise dos dados coletados, pode-se perceber que os alunos têm uma grande deficiência trazida do Ensino Médio, deficiência esta que pode ser responsável pela dificuldade que esses estudantes apresentam na progressão das disciplinas de cálculo dos cursos de Ciências Exatas.

Como citado anteriormente, para Popper (1991), 'o erro também pode ser posto na situação em que há fonte de conhecimento, que consequentemente induzirá avaliações errôneas sobre o fenômeno observado'. Mesmo para estudantes que desenharam o vetor, demonstrando ter algum conhecimento sobre cinemática vetorial, ainda foi possível encontrar erros em suas respostas, quando, por exemplo, o estudante considera o vetor apenas como um desenho geométrico descrevendo a trajetória do dardo como uma seta, esquecendo que há variações na direção, sentido e intensidade do vetor velocidade durante o trajeto. Desta forma, nem sempre uma análise errônea significa que não se tem conhecimento, há apenas uma fragilidade conceitual trazida pelo estudante e que deve ser reparada pelo professor.

É necessário que o professor tenha o ato voluntário de aplicar questionários com uma dinâmica de análise semelhante a do problema 'o macaco e o caçador', onde em um simples problema o estudante deve fazer uso de uma gama de conceitos básicos trazidos do Ensino Médio para sua resolução. Com problemas deste porte, o professor identificará mais facilmente os erros cometidos por seus alunos e terá uma maior possibilidade de preencher as lacunas trazidas por estes em relação a sua trajetória de escolarização.

## Referências

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