MICRO E MACROESTADOS NO ENSINO MÉDIO - UMA POSSÍVEL ABORDAGEM ESTATÍSTICA PARA 2ª LEI DA TERMODINÂMICA

## MICRO E MACROESTADOS NO ENSINO MÉDIO - UMA POSSÍVEL ABORDAGEM ESTATÍSTICA PARA 2ª LEI DA TERMODINÂMICA

## P V S Souza¹, F P M dos Santos², B F Souto³ e P M C Dias 4

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Campus Nilópolis. Rua Lúcio Tavares, 1045, Centro, 26530-060 - Nilópolis, RJ - Brasil e Universidade Federal Fluminense, Centro de Estudos Gerais, Instituto de Física. Rua Gal. Milton Tavares de Souza, s/n, São Domingos 24210340 - Niterói, RJ - Brasil, paulo.victor@ifrj.edu.br

## Resumo

Neste texto, sugerimos uma abordagem da segunda lei da termodinâmica nas aulas de física do ensino médio. O objetivo desta abordagem é promover a melhoria no entendimento do conceito de entropia. A proposta enfatiza o ponto de vista microscópico da entropia e a estatística da 2ª lei da termodinâmica. Sua principal vantagem é partir de um problema concreto, próprio da realidade dos alunos e, em seguida, analisá-lo por meio de uma discussão orientada que utilizará recursos computacionais. Um curso regular de estatística não é pré-requisito para a realização do objetivo proposto. As noções básicas de microestados e multiplicidades são relativamente simples, mas entender como a segunda lei decorre delas requer o trabalho com números grandes demais. Para ver o efeito de grandes números, criamos um programa de computador que pode realizar os cálculos combinatórios necessários e subsidiar a geração de gráficos, visando uma exploração melhor dos princípios aprendidos . A aplicação de um piloto da proposta foi realizada na rede pública estadual do Rio de Janeiro.

Palavras-chave : Ensino de física, física estatística, termodinâmica, 2ª lei da termodinâmica, entropia.

## 1 Introdução

A segunda lei da termodinâmica é, em geral, tratada superficialmente nos textos de ensino médio, porque muitas vezes ela é apresentada como uma fórmula que fornece o rendimento de máquinas térmicas [DIAS, 2001]. No entanto, essa fórmula é apenas uma consequência de uma lei que significa muito mais. Dessa maneira, o ponto de vista microscópico e o caráter estatístico da lei são ignorados. Em uma tentativa de remediar isso, neste artigo é proposta uma abordagem para a segunda lei da termodinâmica, introduzindo seus aspectos estatísticos, de um modo acessível ao aluno do ensino médio.

Nossa proposta utiliza o computador como instrumento de aprendizagem . O 1 emprego de novas tecnologias no ensino de física é intensamente discutido na literatura [SILVA, 1995; NOGUEIRA et al, 2000; FIOLHAIS e TRINDADE, 2003;

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BARBOSA et al, 2006; CAMILETTI e FERRACILLI, 2001; RAMOS et al , 2010; BARNETT et al, 2002; GIORDAN, 2005; DUNLEAVY et al, 2008].

Na seção 2 deste texto, revisamos como a segunda lei da termodinâmica é tradicionalmente apresentada e mostramos algumas implicações disso. Na seção 3, motivamos e sugerimos como ampliar a discussão desse assunto. Resultados preliminares são discutidos na seção 4.

## 2. A segunda lei da termodinâmica e o ensino tradicional

As dificuldades encontradas pelos alunos ao estudar a segunda lei da termodinâmica e propostas alternativas de ensino dos conceitos envolvidos têm sido investigadas e documentadas ao longo das últimas décadas [CHRISTENSEN et al, 2009; KESIDOU e DUIT, 1993; GRANVILLE, 1985; COVOLAN e SILVA, 2005; BENZVI, 1999; CASTRO e FERRACIOLI, 2002; COVOLAN, 2004; SCHOEPF, 2002; LEE, 2001; COCHRAN e HERON, 2006]. É comum os alunos ignorarem a entropia e a segunda lei ao resolver problemas de termodinâmica, enquanto raciocinam apenas em termos da primeira lei. Outra dificuldade é uma vaga identificação de entropia com desordem sem conhecimento do que 'desordem' significa e de qualquer técnica que permita avaliar quantitativamente essa desordem.

A essência do significado de entropia e, muitas vezes, o reconhecimento da existência dessa grandeza, é tratada de forma abreviada nos livros didáticos. Para compreender o que é entropia, deve-se adotar o ponto de vista microscópico. Apenas duas habilidades precisam ser desenvolvidas pelos alunos. A primeira é aprender a diferenciar uma configuração específica (também chamada de microestado) de uma configuração global (também chamada de macroestado). A segunda consiste em treinar o aluno a pensar em números excepcionalmente grandes e ver o efeito que causam na contagem do número de configurações. Em uma tentativa de contrapor as questões discutidas nesta seção, apresentamos a seguir nossa proposta.

## 3 A proposta

Nossa discussão é baseada em um problema concreto, o de uma menina que entorna um frasco de perfume. Pretende-se descobrir qual é a probabilidade das moléculas do perfume voltarem ao frasco. Apresentamos este problema aos alunos por meio de um texto cujo título é: Cecília, o perfume e a Segunda Lei da Termodinâmica . O texto descreve o dia em que a jovem Cecília entornou um frasco do perfume preferido da sua mãe sobre a cama. Apavorada, Cecília escondeu o frasco vazio, mas a fragrância do perfume persistia no quarto. Para ajudar Cecília a esconder sua traquinagem e, sabendo-se que o cheiro é devido à presença de moléculas do perfume no ar, foi proposta a seguinte questão: uma vez espalhadas, há alguma possibilidade de as moléculas voltarem a concentrar-se dentro do frasco? Neste sentido, a nossa proposta está ancorada em uma forma atual de pensar o processo de ensino-aprendizagem, o ensino por investigação, intensamente discutido na literatura [AZEVEDO, 2004; CARVALHO, 2011; LEWIN e LOMÁSCOLO, 1998; RODRIGUES e BORGES, 2008].

Em outras palavras, pretende-se descobrir qual é a probabilidade de um gás perturbado da sua configuração macroscópica inicial retornar a ela em um instante posterior. Após terem estudado a segunda lei da termodinâmica no contexto das máquinas térmicas, como geralmente é apresentada nos livros didáticos do ensino

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médio, os alunos são questionados se um gás difundido livremente pode retornar espontaneamente às suas condições iniciais. As subseções a seguir descrevem o conteúdo físico que orienta a discussão do problema.

## 3.1 Micro e macroestados

Será analisado um gás ideal simplificado, composto por apenas cinco moléculas livres para se mover dentro de um recipiente com volume cem vezes maior do que o volume de cada molécula . A figura 1 ilustra a situação. 2

Figura 01 : O sistema pode ser imaginado como uma caixa com o volume de 100 moléculas. As bolinhas pretas representam as moléculas do gás enquanto as transparentes representam os espaços vazios. As posições em que as moléculas podem ser encontradas variam no tempo.

Considere um arranjo experimental fictício para o estudo deste sistema. Toda vez que as moléculas ocuparem certa região da caixa, na verdade, a coluna mais à esquerda, um dispositivo imaginário será capaz de determinar como as moléculas estão dispostas e associará a cada configuração um número que será informado pelo display do aparato. Supomos a princípio que existe a possibilidade de o mesmo número estar associado a mais de uma configuração. Este dispositivo referencia a presença de moléculas com uma bolinha preta e a ausência com uma bolinha branca, como mostra a figura 2.

Lembramos que duas moléculas não podem ocupar o mesmo volume. Além disso, supomos que não conseguimos diferenciar moléculas, ou seja, uma troca nas posições das bolas pretas não altera a configuração do sistema. Pela nomenclatura usual, dizemos que neste caso as moléculas são indistinguíveis. Portanto, o

2 Como verá o leitor, nossa região de interesse se restringe a uma coluna do recipiente. Contudo pareceu-nos razoável atribuir ao gás liberdade adicional para que a aleatoriedade e equiprobabilidade das configurações que aparecem na região de interesse seja reforçada. Figura 02: Quando as moléculas se encontram simultaneamente em uma determinada região da caixa, o dispositivo fictício é disparado e informa o macroestado associado a esta configuração microscópica, isto é, o microestado.

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dispositivo pode 'escanear' as bolas pretas de 10!/5!5! = 252 maneiras diferentes.

Cada uma dessas 252 configurações será denominada de microestado do gás ideal. Contudo, tais configurações não são acessíveis diretamente ao usuário do dispositivo. Na verdade, o que o dispositivo informa é um número - também chamado de macroestado - associado a cada configuração.

Os macroestados representam as grandezas macroscópicas que geralmente são avaliadas pelos instrumentos de medida. Existem vários microestados associados a cada macroestado. Por exemplo, existem várias maneiras de distribuir as energias cinética e potencial das moléculas de um gás que determinam a mesma energia interna para o gás como um todo. Embora os instrumentos de laboratório não consigam medir experimentalmente os microestados - o exemplo acima tratou de um dispositivo imaginário -, o conhecimento de quais microestados existem (ou seja, quais são acessíveis) para um dado sistema permite a realização de cálculos e estimativas teóricas para suas propriedades. Pressão, temperatura e volume são alguns exemplos de macroestados.

Uma hipótese fundamental é que os microestados são equiprováveis. Logo, como existem vários deles para cada macroestado, os macroestados possuem probabilidades diferentes de ocorrer. O objetivo é calcular a probabilidade de cada macroestado. Isso será realizado na próxima seção ao analisarmos um modelo específico de sistema. Com ele, será mais fácil generalizar nossos argumentos para outros sistemas físicos, como o problema originalmente discutido com os alunos, o problema de Cecília.

## 3.2 Calculando probabilidades de ocorrência de macroestados

Existem várias maneiras de posicionar as bolas pretas da figura 2 dentro da primeira coluna, marcada com um retângulo vermelho. Cada uma delas constitui um microestado e quando todas as bolas se encontram nela, um dispositivo fictício faz uma leitura do sistema e nos informa um número associado a cada microestado. Este número representa o macroestado e será chamado de macrovalor.

Nosso dispositivo imaginário representa cada macroestado através de um número, ou macrovalor, calculado da maneira descrita a seguir. A cada bola preta atribui-se um ponto multiplicado pela posição que a bola ocupa em relação à posição mais baixa da coluna marcada na figura 2. Os espaços vazios (bolas transparentes) não contribuem. Assim, o macrovalor é a soma dos números atribuídos às posições de cada bola preta. Por exemplo, o macrovalor associado ao microestado MVVVVVMMMM é 10 + 4 + 3 + 2 + 1 = 20 3 .

Nessa situação, os macrovalores variam de 15 até 40. Consideremos que o microestado correspondente ao maior macrovalor, MMMMMVVVVV, que chamaremos de configuração padrão, seja a configuração inicial do sistema. Desejase calcular a probabilidade de, uma vez perturbado, o sistema ser novamente encontrado na configuração padrão.

Existe apenas um microestado tal que o macrovalor associado a si seja igual a 40. Por outro lado, para outros macrovalores, há várias configurações possíveis que associadas ao mesmo macrovalor. Por exemplo, existem 19 microestados com

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o macrovalor 27. A tabela 01 lista os microestados associados a alguns macrovalores.

Tabela 01 - Configurações, microestados e macrovalores para o gás idealizado.

Há 252 microestados igualmente prováveis neste sistema físicos fictício. Portanto, a probabilidade de o encontrarmos com macrovalor 27 é igual a 19/252 = 7,53%, enquanto a configuração inicial tem apenas 1/252 = 0,39% chances de ocorrer. Concluímos que o sistema tende a ser encontrado em configurações associadas a macroestados representados pelo maior número de microestados. Além disso, à medida que aumentamos o volume, isto é, o número de espaços vazios acessíveis a cada bola preta, por exemplo, ampliando a altura da região 'scaneada', esta tendência se acentua. As figuras 3(a) e 3(b) comparam as probabilidades de ocorrência em função do macrovalor para sistemas com diferentes números de espaços vazios. Observa-se que, embora o desvio absoluto em relação ao pico seja maior na figura 3(b) com relação à figura 3(a), tem-se um menor desvio relativo, ou seja, a gaussiana que representa a curva torna-se mais estreita. As figuras 3 e 4 foram geradas a partir do aplicativo descrito na seção 3.3.

Nos problemas encontrados na termodinâmica, os números são da ordem de 10 23 , caracterizando situações em que o sistema tende a ser encontrado em macroestados associados com os maiores números de microestados. Sendo a entropia definida a partir do número de microestados, concluímos que a entropia é maximizada em sistemas isolados. O que se descreveu nesta seção se harmoniza com um fato conhecido, a saber, que S ≈ log W, em que S é a entropia e W representa o número de microestados, a formulação estatística da 2ª lei da termodinâmica.

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Figura 3: (a) Gráfico do Macrovalor x Probabilidade de ocorrência para o sistema composto de 5 bolas pretas e 5 espaços vazios; (b) Gráfico do Macrovalor x Probabilidade de ocorrência para o sistema composto de 5 bolas pretas e 100 espaços vazios.

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## 3.3 Simulando a contagem de dados

Desenvolvemos um aplicativo que, a partir do número de bolas pretas e espaços vazios, gera as frequências de ocorrência dos macroestados. Nesta seção, descrevemos como o aplicativo pode ser utilizado, com que finalidade e onde está disponível . O arquivo para download, combinacao.rar, depois de descompactado, 4 origina dois arquivos, o combina.exe e o info.in; este último é um arquivo de texto e por isso, no Windows© , deve ser aberto com o bloco de notas. O aplicativo funciona da seguinte maneira: deve-se executar o arquivo info.in. O arquivo apresentará dois números e duas letras. O primeiro número (cinco, no exemplo) refere-se à quantidade de bolas pretas e o segundo número (seis, no exemplo) refere-se a quantidade de espaços vazios. O usuário pode modificar tais números como desejar. Em seguida, as alterações devem ser salvas e o arquivo combina.exe executado. Dessa maneira, é criado um arquivo de texto com os resultados na mesma pasta em que se encontram os primeiros. A frequência de ocorrência associada a cada macroestado aparece no arquivo. Estas informações podem ser aplicadas em qualquer aplicativo capaz de gerar gráficos, tais como Excel© ou Gnuplot©.

## 4 Resultados preliminares

A aplicação de um piloto da proposta foi realizada na rede pública estadual do Rio de Janeiro . As atividades foram propostas para serem realizadas pelos 5 próprios alunos, como estratégia de investigação de um problema concreto. Inicialmente o problema foi abordado na sala de aula, enquanto a teoria apresentada nas seções 3.1 e 3.2 foi discutida por meio de um questionário que norteou as atividades. Os alunos trabalharam em grupos de quatro alunos e, a cada etapa completa, apresentavam suas conclusões e resultados aos outros grupos por meio de um representante que relatava, em voz alta, a opinião do grupo sobre aquela

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etapa. As discussões foram mediadas pelo professor que atuou como tutor no desenvolvimento das atividades.

Em seguida, o professor guiou a atividade para outra direção, discutindo com os alunos a possibilidade de avaliar os resultados para sistemas com um maior número de espaços vazios acessíveis a cada bola preta. Com isso, os alunos foram conduzidos ao laboratório de informática, previamente preparado, onde deram continuidade à discussão, trabalhando ainda em grupos de quatro alunos. O aplicativo combina.exe foi então utilizado para gerar tabelas que apresentavam a relação funcional entre o macrovalor e a probabilidade de ocorrência para os sistemas definidos anteriormente em sala de aula.

Pretendemos, com as próximas aplicações da proposta, desenvolver um método quantitativo de avaliação da eficácia da abordagem.

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