O uso de modelos no ensino: um caso de eletricidade

## O USO DE MODELOS NO ENSINO: UM CASO DE ELETRICIDADE

## Fabiana Botelho Kneubil

Programa Pós-Graduação da Faculdade de Educação/USP, fkneubil@ig.com.br

## Resumo

Esse trabalho pretende mostrar que uma abordagem no ensino sobre a natureza da ciência em sala de aula pode ampliar a imagem que os alunos têm da física e aproxima-los de uma maior significação acerca do conhecimento cientifico. Um enfoque epistemológico, especificamente o uso de modelos na física, pode promover um entendimento diferente de aspectos da ciência tais como as questões sobre realidade, fenomenologia, formalismo matemático, definições e conceitos, resolução de problemas, teorias e ciência normal. No ensino médio, conteúdos de eletricidade são propícios para o uso de modelos, principalmente por tratarem de uma fenomenologia microscópica. Nesse trabalho damos exemplo de como os modelos podem ser abordados em sala de aula, para o caso dos metais. A distinção entre fenomenologia, realidade e modelos teóricos é fundamental na formação dos professores. Acreditamos que esse enfoque pode melhorar a aprendizagem da física, revelando a natureza da ciência e esclarecendo aos alunos a relação entre modelos, teorias, princípios, leis e conceitos, promovendo, também, um entendimento que a física é um corpo de conhecimento muito amplo que envolve todas essas facetas.

Palavras-chave : Modelos, natureza da ciência, metais, teoria e fenomenologia.

## Introdução

O ensino da natureza da ciência tem sido alvo de discussões nas últimas décadas. Existem diversas pesquisa atuais em estratégias, metodologias e experiências que possibilitam incluir a natureza e a construção da ciência nos programas (Höttecke, Henke e Riess, 2010; Ruge e Howe, 2009; Villani, Dias e Valadares, 2010). Matthews é uma das principais referências que defende uma abordagem em sala de aula que enfoque um ensino não apenas de ciência, mas um ensino sobre a ciência. Segundo ele, a filosofia, a história e a sociologia da ciência podem contribuir para um maior entendimento da ciência, numa tentativa de superar a imensa ' falta de significação ' que ocorre nas aulas de ciências, onde os alunos aprendem fórmulas e equações sem saberem o que elas realmente significam. (Matthews, 1994, p.165).

Além do Brasil, vários países passam por reformas nos seus sistemas de ensino e, na Conferência do GIREP de 2006, vários trabalhos foram apresentados, cujo tema principal foi o entendimento da ciência através de modelos e, outros aspectos do conhecimento científico foram discutidos como a questão da realidade, da fenomenologia, do formalismo matemático, das definições e conceitos, resolução de problemas, teorias e ciência normal. (Hestenes, 2006; Tseitlin e Galili, 2006 e Kranjc, 2006).

Neste trabalho queremos mostrar que o uso de modelos no ensino pode enriquecer muito as aulas de física e dar uma imagem aos alunos que mais se aproxima da realidade como a ciência é tratada e construída. Especialmente em temas que abordam fenômenos microscópicos, os modelos teóricos podem dar explicações acerca do mundo real, através de representações científicas (Cupani e

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20 a 25 de janeiro de 2013

Pietrocola, 2002), pois eles são uma tentativa de se aproximar ao máximo da realidade e têm papel de mediadores entre teorias abstratas e fenômenos reais.

A construção dos modelos no ensino de física é essencial para uma aprendizagem significativa. Para Moreira (1997), os modelos físicos são modelos conceituais, isto é, modelos inventados por pesquisadores para facilitar a compreensão de sistemas físicos. Porém, os alunos também constroem modelos, aos quais chamou de modelos mentais . Segundo ele, estudantes que não construírem modelos mentais poderão até lembrar e usar símbolos e fórmulas matemáticas que representam os conceitos e leis físicas, mas não conseguirão explicar, prever e transferir seu conhecimento, ou seja, não darão evidências de uma aprendizagem significativa.

Em eletricidade, por exemplo, essa abordagem epistemológica se torna muito fértil uma vez que os fenômenos elétricos fazem parte do cotidiano dos alunos e a ligação entre a teoria ensinada e o fenômeno observado muitas vezes não é feita em sala de aula. No ensino médio, os materiais condutores são os principais protagonistas dos temas de eletricidade, como corrente elétrica, resistência, resistividade, efeito Joule, leis de Ohm, etc... Contudo, uma explicação microscópica dos metais passa longe das aulas curriculares e tradicionais da maioria dos professores de física.

## Entendendo um pouco mais dos metais

Podemos conceituar um metal por meio de suas características. Pensando macroscopicamente, os metais são, na maioria das vezes, prateados (brilhantes), maleáveis, pois podem ser flexionados sem quebrar, e esquentam com facilidade, pois são bons condutores térmicos e, também, elétricos. Microscopicamente, eles são formados por combinações de íons, cuja estrutura se organiza de maneira bastante regular. Um átomo isolado de um metal possui a maioria de seus elétrons organizados em camadas fechadas, enquanto que outros, mais afastados do núcleo, são fracamente ligados a ele. Quando vários átomos se juntam, alguns desses elétrons fracamente ligados se desprendem do átomo, formando, portanto, um sistema de íons e elétrons livres.

## a) Por que existem elétrons livres?

A energia de ligação entre um elétron e um íon é dada qualitativamente pelo gráfico abaixo.

Figura 1: Energia Potencial Ligação

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de

A energia total que o elétron possui quando ligado ao íon pode ser escrita

como . Na figura ao lado, se uma das partículas está presa à outra, a energia total pode ser representada pelo traço 1, que corresponde ET &lt; 0. Para esse elétron se desprender, é necessário fornecer energia a ele. Se essa energia for pequena, ele pode passar para o traço 2, ainda com ET &lt; 0. Por outro lado, se a energia fornecida for suficiente para que ET = 0, o elétron será arrancado do átomo.

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Essa energia crítica é chamada energia de ionização . Cada átomo possui uma curva de potencial própria e, portanto, uma energia diferente é necessária para ionizá-lo, arrancando elétrons da sua última camada. Na figura 2, está mostrada a energia necessária para arrancar um elétron mais externo de um átomo, para vários elementos químicos. Temos, por exemplo, que a energia de ionização do Hidrogênio e do Hélio, que são o primeiro e o segundo elementos da tabela periódica, valem 13,6 eV e 27 eV, respectivamente. O próximo elemento, o Lítio, tem uma energia de ionização muito menor que a dos dois primeiros, porque ele tem três elétrons, e sua primeira camada, com dois elétrons, está fechada, sobrando apenas um na segunda camada.

Figura 2: Energia de Ionização

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Quando um átomo se constitui de algumas camadas fechadas, com poucos elétrons nas camadas mais externas, esses podem ser facilmente descolados, dando origem a uma energia de ionização baixa. É isso que caracteriza um metal.

Todos os pontos no gráfico com mínimos de energia são metais (Li, Na, K, Rb, Cs,...) e todos os pontos com picos de energia, que os antecedem, são gases nobres (He, Ne, Ar, Kr, Xe,...). Pode-se notar também que, conforme aumenta o número atômico, a energia de ionização diminui (ELi &gt; ENa), pois quanto mais elétrons o átomo tiver, os das últimas camadas estarão mais afastados do núcleo, sendo mais fácil desprendê-los.

Quando aproximamos dois ou mais íons, as energias potenciais individuais se superpõem, somando-se, conforme figura 3. Com isso, os níveis de energia necessários para liberar um elétron diminuem, possibilitando a mobilidade desses elétrons e permitindo que eles cheguem até os átomos nas extremidades do arranjo, onde encontram uma barreira, que impede que eles escapem . 1

Figura 3: Superposição dos

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Esse tipo de interação dá origem aos metais, onde configurações de íons organizados regularmente se encontram embebidos em elétrons livres. Entre os íons, não há matéria alguma, apenas o vácuo e, embora haja repulsão entre eles, a força que os mantêm coesos é devida aos elétrons livres que banham e atravessam todo o metal e fazem o papel de "cola", exercendo uma força atrativa sobre os íons, que supera a repulsiva.

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Potenciais de vários íons (Eisberg e Resnick, 1979, p. 272).

## b) Quantos elétrons livres existem por unidade de volume?

O número de elétrons livres por unidade de volume é uma grandeza importante em eletricidade, chamada de N, e, a seguir, estimamos esse valor para o cobre (Pietrocola, 1988).

A massa molar do cobre (Cu) é: M = 64 g/mol e sua densidade vale d = 8,96g/cm 3 . Isso significa que em 1cm existem 8,96 g de cobre e, portanto, 64 g 3 desse metal ocupam 7,14cm = 7,14x10 3 -6 m 3 . Como em um mol, há 6,02x10 -23 átomos, o volume ocupado por um átomo vale 7,14x10 -6 m 3 / 6,02x10 -23 = 1,187x10 -29 m 3 . Na verdade, esse volume calculado é o de um cubinho que possui um átomo em seu interior, pois o tamanho do próprio átomo é tipicamente menor do que isso, da ordem 2 de 4x10 -30 m 3 .

Para a separação média aproximada entre dois átomos é razoável tirar a raiz cúbica de 1,187x10 -29 m 3 . Esse número corresponde à distância entre os centros de cada átomo e vale d = 2,28x10 -10 m. Isso mostra que o átomo ocupa cerca de 40% do volume do cubo e em 1 metro temos, aproximadamente, 4,4x10 átomos. 9

Para o cobre, o número médio de elétrons livres para cada átomo é 1,3 (Eisberg e Resnick, 1979, p. 572). Portanto, o número N de elétrons por volume, é 1,0968x10 29 e livres/m . -3

## c) Qual a velocidade de um elétron dentro do metal?

Dentro do metal, tanto os íons quantos os elétrons livres estão em constante vibração. Em equilíbrio térmico com o meio externo, quando não houver fluxo de calor em nenhum sentido, as energias cinéticas médias de todos os constituintes do

metal serão iguais. Sendo a energia cinética igual a , como o íon é bem mais pesado que o elétron, sua velocidade é muito pequena comparada com a do elétron. Por isso, para temperaturas ambientes, os elétrons livres se deslocam aleatoriamente numa velocidade altíssima, da ordem de 10 m/s. Esse deslocamento 5 aleatório dentro do metal provoca choques tanto entre eles mesmos como entre eles e os íons da rede.

Uma maneira de alterar o movimento interno dos elétrons livres é aplicar um campo elétrico externo ao metal, por exemplo, por meio de uma bateria. Esse campo gerado pela bateria se estabelece dentro do fio metálico e os elétrons passam a se deslocar, em média, numa determinada direção.

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-10

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Figura 4 : Movimento dos elétrons dentro do metal. (a) e (b) . (Purcell, 1973).

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Na verdade, os elétrons continuam se chocando entre si, espalhando-se em todas as direções, mas são todos puxados na direção contrária ao campo elétrico que foi aplicado. Esse movimento resultante, com velocidade média para a direita (Fig 4 - b), é o que chamamos de corrente elétrica.

## d) O que é, afinal, a resistividade elétrica de um metal?

Considerando um pedaço de fio cilíndrico, conforme a figura 5 abaixo, a corrente elétrica é definida como a relação entre a quantidade de carga ∆ Q que

atravessa uma seção do fio em um intervalo de tempo ∆ t: . A carga total ∆ Q pode ser escrita como o número n de elétrons que passa pela seção transversal multiplicado pela carga de cada um deles, ou seja, ∆ Q = n e . A quantidade n pode ser relacionada ao número de elétrons por unidade de volume N por n = N A v ∆ t , onde v é a velocidade média dos elétrons e A é a área da seção transversal do fio.

<!-- formula-not-decoded -->

.

Figura 5 : Velocidade de arraste do elétron dentro do metal

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Para que essa relação fique mais geral, e não dependa da área do fio, definimos a grandeza , como sendo a densidade de corrente elétrica, de modo que

. Assim, obtemos uma expressão final muito importante, que relaciona

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a densidade de corrente com a velocidade dos elétrons dentro do fio por , onde o sinal negativo deve-se ao fato de o elétron se movimentar na direção contrária ao campo elétrico.

A densidade de corrente está relacionada ao campo elétrico aplicado, que é o responsável pelo movimento "ordenado" dos elétrons dentro do fio e têm ligação com a velocidade deles. Sendo o campo , constante no cilindro considerado, uma força elétrica de módulo ' e | |' atua nos elétrons, cuja direção é contrária ao campo. Essa força acelera os elétrons e, com a segunda lei de Newton, podemos escrever , onde m é a massa do elétron. Os elétrons se deslocam dentro do condutor, que é composto por muitos íons, e têm uma aceleração de módulo

, que promove um aumento de sua velocidade. Porém, esse movimento é continuamente interrompido à medida que o elétron se choca com os íons do metal.

Sendo o tempo médio entre dois choques sucessivos, a velocidade que o τ elétron adquire nesse intervalo de tempo é proporcional à aceleração e vale . Podemos representar essa situação por meio do gráfico da figura 6, que mostra que a velocidade dos elétrons entre dois choques varia uniformemente. Supondo que os elétrons parem completamente após cada choque, perdendo toda a sua velocidade e iniciando cada novo movimento a partir do repouso, a velocidade

final do gráfico vale . Um valor de velocidade constante que promoveria o mesmo deslocamento durante o intervalo τ é a velocidade média e vale metade de vF , pois no movimento uniformemente acelerado a velocidade média pode ser calculada como sendo a média aritmética entre a velocidade final e inicial.

Figura 06: Velocidade dos elétrons, entre os choques, dentro do metal.

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<!-- formula-not-decoded -->

Se os elétrons não parassem após os choques, teríamos um gráfico diferente, seria conforme a figura (b), e a velocidade média seria uma reta inclinada com valor variável. Porém, essa hipótese dos elétrons pararem a cada choque é boa, pois empiricamente, verifica-se que a corrente que se estabelece no fio é constante ao longo de tempos grandes. Sendo assim, o valor de velocidade média constante tem por consequência a inexistência de uma força resultante média. Portanto, podemos concluir que os choques com os íons dão origem a uma força

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média que se opõe ao movimento e anula a força elétrica. Podemos considerar como um tipo de força de atrito que vale .

Usando a equação (2), concluímos que a força de atrito é proporcional à velocidade, podendo ser expressa por: .

A constante de proporcionalidade entre a força de atrito e a velocidade é muito importante para a resistividade do metal e depende de τ , que é uma grandeza que não pode ser medida e, por isso, escrevemos, genericamente: onde

a constante b é dada por , e está relacionada à resistência do condutor.

Finalmente, para obter a relação entre a densidade de corrente e o campo elétrico, juntamos as equações (1) e (2) e obtemos:

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<!-- formula-not-decoded -->

Neste resultado, a proporcionalidade entre a densidade de corrente e o campo elétrico corresponde à lei de Ohm microscópica:

,

onde

σ

é a condutividade elétrica do material, dado por

Observe que a condutividade σ do metal é totalmente dependente da constante b relacionada ao atrito que o material oferece à passagem dos elétrons.

Juntando a expressão (6) com b

<!-- formula-not-decoded -->

Como a condutividade é inversamente proporcional à resistividade, finalmente esta pode ser escrita como:

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## Considerações Finais

Através desse exemplo de modelo de condução elétrica, podemos chegar ao significado microscópico de algumas grandezas relevantes na eletricidade. A partir de estruturas matemáticas, o modelo permite nos aproximarmos de um mundo que não conseguimos enxergar e muito menos medir. Por exemplo, usando a primeira e segunda lei de Ohm, podemos medir as grandezas U, i, L e A em laboratório e obter

o valor da resistividade de um metal:

.

Após essa medida, usando-se a expressões (8) e (7), é possível chegar a valores que nenhum instrumento poderia alcançar e medir, como o tempo médio τ entre cada choque do elétron e a constante b da força de atrito.

Essa modelagem citada é apenas um exemplo do uso de modelos em aulas de ciências que enfatiza a importância de um entendimento acerca da natureza da ciência. O modelo permite articular teoria e fenomenologia, respondendo perguntas mais profundas como as citadas e criando interpretações acerca do mundo real. Essa abordagem pode mudar a imagem que os estudantes têm da Física, enquanto

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disciplina. É importante mostrar que os modelos são representações conceituais de uma realidade e que os físicos distinguem três aspectos da ciência: teorias, modelos e conceitos. Embora o núcleo da física seja a teoria, incluir o ensino de modelos no currículo pode proporcionar uma mudança fundamental na aprendizagem em ciência.

## Referências

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Hestenes, D. Notes for a Modeling Theory of Science, Cognition and Instruction. Girep 2006 - International Conference. August 2006, AMSTEL institute, Faculty of Science, University of Amsterdam, Netherlands. 2006.

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Kranjc, T. Undestanding basic physical concepts - which? The modeling of Real World Phenomena Based on Laws of Physics. Girep 2006 -International Conference. August 2006, AMSTEL institute, Faculty of Science, University of Amsterdam, Netherlands. 2006.

Matthews, M. Science Teaching: The Role of History and Philosophy of Science . New York: Routledge. 1994.

Moreira, M. A. Modelos Mentais . Trabalho apresentado no Encontro sobre Teoria e Pesquisa em Ensino de Ciências - Linguagem, Cultura e Cognição, Faculdade de Educação da UFMG, Belo Horizonte, 1997.

Pietrocola, M.. O Uso de Modelos no Ensino de Física: uma Aplicação aos Circuitos Elétricos . Dissertação de Mestrado, IFUSP, 1988.

Purcell, E. M. Curso de Física de Berkeley . Editora Guanabara Dois S.A. 2ª Edição. Capítulo 7, p. 112-117, 1973.

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